Дифференциальные уравнения вариация произвольной постоянной. ОДУ

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C"(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида

где - искомая функция аргумента, а функции



заданы и непрерывны на некотором интервале
.

Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),

Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).

Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).

Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.

где - частное решение уравнения (2.31),
- фундаментальная система решений однородного уравнения (2.32), а
- произвольные постоянные.

Доказательство этой теоремы Вы найдете в .

На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .

Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение

(2.35)

где коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.

Обозначим через
и
фундаментальную систему решений однородного уравнения

(2.36)

Тогда его общее решение имеет вид

(2.37)

где и- произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.

где
и
- некоторые дифференцируемые функции от, которые пока неизвестны и которые попытаемся определить так, чтобы функция (2.38) была бы решением неоднородного уравнения (2.35). Дифференцируя обе части равенства (2.38), получим

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от
и
, потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие

Тогда для будем иметь

Вычислим вторую производную

Подставляя выражения для,,из (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю всюду в
, так каки- частные решения уравнения (2.36). При этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39), получим систему уравнений для определения
и

(2.43)

Последняя система представляет собой систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений относительно
и
. Определителем этой системы является определитель Вронского для фундаментальной системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду в
. Это означает, что система (2.43) имеет единственное решение. Решив ее любым способом относительно
,
найдем

где
и
- известные функции.

Выполняя интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару функций, положим постоянные интегрирования равными нулю. Получим

Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.35) в виде

Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.

Пример 2.6 . Решить уравнение
при
если функции

образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Найдем частное решение данного уравнения. Для этого в согласии с методом Лагранжа следует сначала решить систему (2.43), которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений наполучим

Вычитая почленно из второго уравнения первое, найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая постоянные интегрирования равными нулю, будем иметь

Частное решение данного уравнения можно представить в виде

Общее решение данного уравнения имеет при этом вид

где и- произвольные постоянные.

Отметим, наконец, одно замечательное свойство, которое часто называют принципом наложения решений и описывают следующей теоремой.

Теорема 2.7. Если на промежутке
функция
- частное решение уравненияа функция
частное решение уравнениято на этом же промежутке функция
есть частное решение уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:
(1)

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y - табличный :

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1) :
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2) :
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решить уравнение

Решение

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные :

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.

Лекция 44. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. (специальная правая часть).

Социальные преобразования. Государство и церковь.

Социальная политика большевиков во многом диктовалась их классовым подходом. Декретом от 10 ноября 1917 г. уничтожена сословная система, от­менены дореволюционные чины, титулы и награды. Установлена выборность судей; проведена секуляризация гражданских состояний. Установлено бес­платное образование и медицинское обслуживание (декрет от 31 октября 1918 г.). Женщины уравнивались в правах с мужчинами (декреты от 16 и 18 декабря 1917 г.). Декрет о браке вводил институт гражданского брака.

Декретом СНК от 20 января 1918 года церковь отделена от государства и от системы образования. Большая часть церковного имущества конфискована. Патриарх Московский и всея Руси Тихон (избран 5 ноября 1917 года) 19 января 1918 года предал анафеме Советскую власть и призвал к борьбе против большевиков.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

Доказательство . Нужно доказать, что сумма

есть общее решение уравнения (1). Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1).

Подставляя сумму в уравнение (1) вместо у , будем иметь

Так как есть решение уравнение (2), то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x) . Следовательно, равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Докажем второе утверждение: выражение (3) есть общее решение уравнения (1). Мы должны доказать, что входящие в это выражение произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

(5)

каковы бы ни были числа х 0 , y 0 и (лишь бы х 0 было взято из той области, где функции а 1 , а 2 и f(x) непрерывны).

Заметив, что можно представить в форме . Тогда на основании условий (5) будем иметь

Решим эту систему и определим С 1 и С 2 . Перепишем систему в виде:

(6)

Заметим, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций у 1 и у 2 в точке х=х 0 . Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно система (6) имеет определенное решение С 1 и С 2 , т.е. существуют такие значения С 1 и С 2 , при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Что и требовалось доказать.

Перейдем к общему методу нахождения частных решений неоднородного уравнения.

Напишем общее решение однородного уравнения (2)

. (7)

Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (7), рассматривая С 1 и С 2 как некоторые пока неизвестные функции от х.

Продифференцируем равенство (7):

Подберем искомые функции С 1 и С 2 так, чтобы выполнялось равенство

. (8)

Если учесть это дополнительное условие, то первая производная примет вид

.

Дифференцируя теперь это выражение, найдем :

Подставляя в уравнение (1), получим

Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как y 1 и y 2 – решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство принимает вид

. (9)

Таким образом, функция (7) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции С 1 и С 2 удовлетворяют уравнениям (8) и (9). Составим систему уравнений из уравнений (8) и (9).

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений y 1 и y 2 уравнения (2), то он не равен нулю. Следовательно, решая систему, мы найдем как определенные функции от х .