Два стержня одинаковой собственной длиной движутся навстречу. Релятивистская механика

М.: Высшая школа, 2001. - 669 c.
Скачать (прямая ссылка): .djvu Предыдущая 1 .. 260 > .. >> Следующая
Решение. Длина стержня в системах отсчета "Земля" и "ракета" равна
1о = ^(х2-х])2 + (у2-У1)2"
/ = V(^-x,")2 + (v"-y;)2 соответственно (рнс. 16.3).
Так как эффект сокращения дайны проявляется только в направлении
движения, то_________
X," = X, ^ 1 - U2/c2 *2 = Х2 V 1 - U2/c2
У1=У{", Уг~Уг Следовательно,
К К
Уг ¦-Уг
У\ -У
О О"
X X"
Рис. 16.3
I = < (Xj-х,)2(1 -и2/с2) + (y2-yf.
Из рнс. 16.3 видно, что
x1-xi = l0cos а0, у2 ~у1 = /0 sin а0.
Тогда
/ = /0 V (1 - и2/с2) cos2 а + sin2 а = /0 V 1 - и2/с2 cos2 а * 0,88 м, а
искомый угол
. . >2-^1 . *8 "о
а = arctg ------- = arctg ------- ¦**- у, = arctg
*2~х (*2 - Xj) \ 1 - и /с
2/с2
53,3°
Ответ: /= /0 V 1 - и2/с2 cos2 а * 0,88 м; а = arctg -у- ^ I у * 53,3°.
^1-uW
16.3. Космический корабль, пролетая мимо наблюдателя, имеет скорость и =
2,4 108 м/с. По измерениям наблюдателя, длина корабля равна / = 90 м.
Чему равна длина корабля в состоянии покоя?
16.4. Длина катета АВ прямоугольного треугольника равна а = 5 м, а угол
между этим катетом и гипотенузой - а = 30°. Найти значение этого угла,
длину гипотенузы и ее отношение к собственной длине в системе отсчета,
движущейся вдоль катета АВ со скоростью и = 2,6-108 м/с.
16.5. Сколько времени для земного наблюдателя и для космонавтов займет
космическое путешествие до звезды и обратно на ракете, летящей со
скоростью и = 2,9108 м/с? Расстояние до звезды (для земного наблюдателя)
равно 40 световым годам.
Решение. Расстояние S, которое пролетит космический корабль в системе
отсчета, связанной с Землей, равно 5= 40 3-108 м/с-365-24-3600 с * 3,8
1017 м. Следовательно, по часам земного наблюдателя полет корабля
продлится
Д/ = -*2,62-10(r) с* 83 года, и
Время, измеренное по часам, находящимся на борту космического корабля, в
соответствии с эффектом замедления времени
A/0 = A/V 1-и2/с\
16.6. С какой скоростью должен лететь пион, чтобы пролететь до распада
расстояние / = 20 м? Среднее время жизни пиона в состоянии покоя равно
AtQ = 26 не.
16.7. На космическом корабле находятся часы, синхронизированные до полета
с земными. Насколько отстанут часы на корабле, по измерениям земного
наблюдателя, за время Д/0 = 0,5 года, если скорость корабля равна о = 7,9
км/с?
16.8. В системе отсчета К два параллельных стержня имеют одинаковую
собственную длину /0 = 1 м и движутся в продольном направлении навстречу
друг другу с равными скоростями о = 2-10* м/с, измеренными в этой системе
отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с
другим стержнем?
Решение. Для неподвижного наблюдателя при движении протяженных тел
с большими скоростями их размеры в направлении движения существенно
сокращаются. Свяжем систему отсчета К" с одним из стержней, направив одну
из осей вдоль стержня (рис. 16.4). Тогда в этой системе стержень 1 будет
находиться в покое и его длина будет равна собственной длине /0. Длина /
стержня 2 относи-Рис. 16.4 тельно системы отсчета К"
/=/oVi-i4/^
где иотн - скорость стержня 2 относительно системы К".
Скорость иотн можно найти по формуле сложения скоростей
IV + и"
отн ~ , . 2
1 + l)0 их,/с
Поскольку система отсчета К" связана с одним нз стержней, то скорость и0
движения системы отсчета К относительно системы К" по величине будет
равна скорости и стержня
1 и направлена в противоположную сторону. Скорость и*. стержня 2,
движущегося относительно системы К", в системе отсчета К также равна и.
Если ось О"Х"направлена вдоль движения стержня 1, то проекции скоростей
и0 и \>х, на эту ось будут отрицательны (рнс. 16.4). Поэтому скорость
стержня, движущегося относительно системы К\ будет равна
- и - и иотн - , . 2 ¦
1 + и и/с
Следовательно,
,= / V7Тл^И-i
1 - "П
I с4 + 2 и2 с2 + и4 - 4 и2 с2
/2 2Ч2 - "о 2 2 -"0 2 2 * ^ СМ"
(с + и) C+U C+U
с2-и2
Ответ". I = 10 ---х * 38 см.
16.9. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость и, = 0,4 с (где с =
3-108 м/с). В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении
своего движения частицу со скоростью о2 = 0,75 с относительно ускорителя.
Чему равна скорость частицы относительно ядра?
16.10. Две частицы движутся под прямым углом друг к другу со
скоростями и, = 0,5 с и о2 = 0,75 с (где с = 3108 м/с), измеренными
относи-
596
тельно одной и той же системы отсчета К. Чему равна относительная
скорость частиц?
16.11. При движении тела его продольные размеры уменьшились в п = 2
раза. Во сколько раз изменилась масса тела?
Решение. Прн движении частицы со скоростью и ее релятивистская
масса т увеличивается по сравнению с массой покоя т0 в V 1 - и2/с2 раз:
т0
""Vi-u2/c2 "
Известно, что прн переходе от одной системы отсчета к другой размеры тела
изменяются, прн этом лоренцево сокращение происходит только в направлении
движения. Еслн в системе отсчета, связанной с телом, его продольные
размеры имеют некоторое значение /0, то в системе отсчета, относительно
которой тело движется со скоростью и, они сокращаются в V 1 - и2/с2 раз:

7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

Правило сложения скоростей:

1 V c2

Скорости в двух

инерциальных системах координат, движущихся относительно друг друга со скоростью V .

Лоренцово сокращение длины и замедление хода движущихся часов:

								Где		Собственная длина,

собственное время движущихся часов.

Релятивистская масса и релятивистский импульс:

Масса покоя частицы.

Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы:

				Т Е Е0
					Где Е 0			Энергия покоя частицы.

7.1. Объѐм воды в океане составляет V=1,37·109 км3 . На сколько изменится масса воды в океане, если повысить ее температуру на 1о С.

7.2. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта q/m=0,88·10 11 Кл/кг. Определите релятивистскую массу электрона и его скорость. Ответ: m=2m0 ; v=0,87c .

7.3. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых

частиц с массой m0 покоится, другая движется со скоростью v=0,8с по направлению к покоящейся частице. Определите релятивистскую массу

движущейся частицы в лабораторной системе отсчета и ее кинетическую энергию. Ответ: m=1,67 m0 ; Е=0,67 m0 с2 .

7.4. Электрон движется со скоростью v=0,6с . Определите его

релятивистский импульс и кинетическую энергию Е. Ответ:

р=2,05·10-22 кг·м/с; Е=0,128МэВ.

7.5. Импульс р релятивистской частицы равен m 0 c (m0 -масса покоя). Определите скорость частицы v в долях скорости света и

отношение массы движущейся частицы к ее массе покоя m/m0 . Ответ: v=0,71с ; m/m0 =1,41.

7.6. Полная энергия α-частицы возросла в процессе ускоренного

движения частицы?

Е=56,4МэВ. На сколько какой скоростью движется

при этом изменится масса частица? Массой покоя α-

частицы m0 =4 а.е.м. Ответ: m=1,5m0 ; v=0,917с .

7.7. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью l = 0,1 мкм. При какой относительной скорости u двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина которого l 0 =1 м? Во сколько раз изменится масса стержня, при движении его с рассчитанной скоростью u относительно неподвижной системы отсчета?

Ответ: u=134 км/с; m/m0 = 1,114.

7.8. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы

20нс. Ответ: v = 0,87c ; S = 5,2м.

7.9. μ- мезон, рождѐнный в верхних слоях земной атмосферы, движется со скоростью V = 0,99с относительно земли и пролетает от места своего рождения до точки распада расстояние l = 3 км. Определить собственное время жизни этого мезона и расстояние, которое он пролетит в этой системе отчѐта «с его точки зрения». Ответ: τ0 =1,4 мкс; l 0 =420 м.

7.10. Два стержня одинаковой собственной длины l 0 движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей оси с одной и той же скоростью v=0,8с относительно лабораторной системы отсчѐта. Во сколько раз длина каждого стержня l в системе отсчѐта, связанной с другим стержнем, отличается от собственной длины? Ответ: l 0 /l =4,6.

7.11. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость спутника v=7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя за промежуток времени 0,5 года. Как отличаются значения кинетической энергии спутника, если расчет провести по классической и

релятивистской формулам? Масса покоя спутника составляет 10 тонн. Ответ: τ=5,4·10-3 с; не отличаются.

7.12. Какая относительная погрешность будет допущена, если расчѐт импульса частицы, движущейся со скоростью: 1) 10 км/с, 2) 103 км/с, 3) 105 км/с, 4) 0,9с . Произвести в рамках классической механики?

Ответ: 1) ррел /ркласс =1; 2) ррел /ркласс = 1; 3) ррел /ркласс = 1,06; 4) ррел /ркласс =

7.13. Какую работу необходимо совершить, чтобы скорость частиц, с массой покоя m0 , изменилась от 0,6с до 0,8с ? Сравнить полученный результат со значением работы, вычисленным по классической формуле. Ответ: Арел =0,417m0 c2 ; A класс =0,14 m0 c2 .

7.14. Фотонная ракета движется относительно земли с такой скоростью, что по часам наблюдателя на Земле, ход времени в ней замедляется в 1,25 раз. Какую часть от скорости света составляет скорость движения ракеты? На сколько изменятся ее линейные размеры в направлении движения, если первоначально длина ракеты составляла

35м? Ответ: v=0,6c ; l =7м.

7.15. Частица с массой покоя m 0 в момент времени t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость скорости V частицы от времени t. Построить качественно график V(t).

7.18. Кинетическая энергия ускоряемого протона возросла до 3·10-10 Дж. Во сколько раз изменилась при этом масса протона? Какова скорость протона? Ответ: m/m0 =3; v=2,8∙108 м/с.

7.19. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной

системе отсчета со скоростями v1 =0,6с и v2 =0,9с вдоль одной прямой. Определите их относительную скорость в двух случаях: 1)частицы движутся в противоположных направлениях, 2)частицы движутся в одном направлении. Чему равна кинетическая энергия первой частицы в системе отсчета связанной со второй, если первая частица - протон?

Ответ: 1) v=0,974с , Е1,2 =510 пДж; 2) v=0,195с , Е1,2 =300 пДж.

7.20. С какой скоростью (в долях от скорости света) должен двигаться электрон, чтобы его масса возросла на 6·10-31 кг. Какую кинетическую энергию имеет электрон при такой скорости? Ответ: v=0,8c ; E = 0,34 Мэв.

7.21. Кинетическая энергия движущегося тела в 2 раза превышает энергию покоя. Во сколько раз уменьшается при этом видимый размер

тела в направлении движения? Какова скорость тела? Ответ: l 0 /l =3; v=0,94c .

7.22. Масса движущейся частицы увеличилась в 1,5 раза. Какую скорость имеет частица? Какая относительная ошибка будет допущена, если кинетическую энергию частицы в этих условиях рассчитывать классическим образом? Ответ: v=0,75 c ; E/Eрел =0,44.

7.23. Электрон ускорен в электрическом поле с разностью потенциалов U=106 В. Вычислить скорость электрона и его кинетическую энергию методами: 1) классической механики, 2)

релятивистской механики. Оценить полученные данные. Ответ: 1) v=6·108 м/с; Е=106 эВ. 2) v=0,94c ; E=10 6 эВ.

7.24. Электрон в ускорителе прошѐл ускоряющую разность

потенциалов U=102 кВ. Во сколько раз увеличилась масса частицы? Вычислите его кинетическую энергию. Ответ: m/m0 =1,2; 1,6∙10-14 Дж.

7.25. Первоначально кинетическая энергия релятивистской частицы была равна ее энергии покоя, а затем при ускоренном движении возросла в 4 раза. Во сколько возрастет при этом импульс частицы? С какой скоростью (в долях скорости света) двигалась частица первоначально? Ответ: р 2 /р1 =2,84; v=0,87c .

1.5.1. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет a = 5,00 м и угол между этим катетом и гипотенузой α = 30°. Найти в системе отсчета K" , движущейся относительно этого треугольника со скоростью = 0,866·c вдоль катета а :

а) соответствующее значение угла α";

б) длину l" гипотенузы и ее отношение к собственной длине.

1.5.2. Найти собственную длину стержня, если в K -системе отсчета его скорость = c/2, длина l = 1,00 м и угол между ним и направлением движения = 45°.

1.5.3. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в K -системе отсчета. Время пролета = 20 нс в K -системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение " = 25 нс. Найти собственную длину стержня.

1.5.4. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью , попали в неподвижную мишень с промежутком времени = 50 нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

1.5.5. Два стержня одинаковой собственной длины l 0 движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным . Какова скорость одного стержня относительно другого?

1.5.6. Стержень AB , ориентированный вдоль оси x K x A , задним - точка B . Найти собственную длину стержня, если в момент t A координата точки A равна x A , а в момент t B координата точки B равна х B .

1.5.7. Стержень AB , ориентированный вдоль оси x K -системы отсчета, движется с постоянной скоростью в положительном направлении оси x . Передним концом стержня является точка A , задним - точка B . Через какой промежуток времени надо зафиксировать координаты начала и конца стержня в K ‑системе, чтобы разность координат оказалась равной собственной длине стержня.

1.5.8. K" -система отсчета движется в положительном направлении оси x K -системы со скоростью V относительно последней. Пусть в момент совпадения начал координат O и O" показания часов обеих систем в этих точках равны нулю. Найти в K -системе скорость перемещения точки, в которой показания часов обеих систем отсчета будут все время одинаковы. Убедиться, что .

1.5.9. В двух точках K -системы произошли события, разделенные промежутком времени . Показать, что если эти события причинно связаны в K -системе (например, выстрел и попадание в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной K" -системе отсчета.

1.5.10. В плоскости xy K -системы отсчета движется частица, проекции скорости которой равны и . Найти скорость " этой частицы в K’ -системе, которая перемещается со скоростью V относительно K ‑системы в положительном направлении ее оси x .

1.5.11. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями = 0,50c и = 0,75c по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти:

а) скорость, с которой уменьшается расстояние между частицами в лабораторной системе отсчета;

б) относительную скорость частиц.

1.5.12. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью , а другая со скоростью . Найти их относительную скорость.

1.5.13. Частица движется в K -системе со скоростью под углом к оси x . Найти соответствующий угол в K" -системе, перемещающейся со скоростью V относительно K -системы в положительном направлении ее оси x , если оси x и x" обеих систем совпадают.

1.5.14. K" -система перемещается с постоянной скоростью V относительно K -системы. Найти ускорение a" частицы в K" -системе, если в K -системе она движется со скоростью и ускорением a по прямой:

а) в направлении вектора V ;

б) перпендикулярно вектору V .

1.5.15. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0,60c до 0,80c ? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.

1.5.16. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой T = 500 МэВ и импульс p = 865 МэВ/c , где c - скорость света.

1.5.17. Частица массы m движется вдоль оси x K -системы отсчета по закону , где d - некоторая постоянная, c - скорость света, t - время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.

1.5.18. Нейтрон с кинетической энергией T = 2mc 2 , где m - его масса, налетает на другой, покоящийся нейтрон. Найти в системе их центра масс:

а) суммарную кинетическую энергию нейтронов;

б) импульс каждого нейтрона.

1.5.19. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F . Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени t .

1.5.20. Релятивистская ракета выбрасывает струю газа с нерелятивистской скоростью u , постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости ракеты от ее массы m , если в начальный момент масса ракеты равна m 0 .