Движение по криволинейной траектории. Криволинейное движение Уравнение криволинейного движения

Транскрипт

1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ УПИ от г. Екатеринбург УГТУ УПИ 009

3 УДК (075.8) Составители: Г.С. Новикова Научный редактор доцент, канд. физ.-мат. наук Дружинина Т.В. Динамика материальной точки. Криволинейное движение: сборник заданий для самостоятельной работы по курсу «Теоретическая механика»/ сост. Г.С. Новикова. Екатеринбург: УГТУ УПИ, с. Сборник предназначен для выдачи домашних заданий, расчетнографических и контрольных работ для студентов всех специальностей и всех форм обучения. Рис. 30 Подготовлено кафедрой теоретической механики Уральский государственный технический университет УПИ, 009

4 ВВЕДЕНИЕ Сборник содержит 30 задач по теме «Динамика материальной точки. Криволинейное движение». Предполагается, что он будет использоваться студентами при выполнении индивидуальных расчетных заданий, предусмотренных типовой программой курса «Теоретическая механика». В задачах заданные силы предполагаются линейными функциями координат точки, её абсолютной или относительной скорости. Поэтому дифференциальные уравнения будут линейными и имеют аналитическое решение. При решении возможно использование вычислительной техники как для численного интегрирования уравнений движения, так и для построения графиков движения и траектории при аналитическом решении систем уравнений. Указания к выполнению заданий При работе над задачей необходимо построить расчетную механическую модель, заменив заданное тело материальной точкой, показать на рисунке для произвольного положения M (x, y) действующие силы и записать в векторной форме уравнение движения. Действующие упругие силы и силы сопротивления выразить через радиус-вектор r (x, y) и абсолютную скорость точки ν r (x, y). Затем составить дифференциальные уравнения движения в проекциях на выбранные оси координат. Проинтегрировав уравнения аналитически или численно, получаем решения x (t), y(t). В большинстве задач решение имеет характер затухающих колебаний. Найти период Т и декремент D этих колебаний. Построение графиков движения x (t), y(t) провести по точкам на участке одного периода (если периоды для решений различные, то взять наибольший) с шагом, например, T / 4. Для численного интегрирования принять шаг h = T / 40. Для продолжения построения на весь период переходного режима на установившееся движение можно использовать Т и D. Время переходного режима можно оценить примерно по формуле 3 τ = 3 / n, где n = μ / m. При «ус-

5 ложнении» задач рекомендуется силы сопротивления считать пропорциональными квадрату скорости 0 R = μν ν, где ν = ν / ν 0 единичный вектор, ν и \ν вектор и модуль скорости. В вариантах 4, 5, 10, 14, 3, 5, 7 силу сопротивления принять в виде 1 x μ y R = μ V i V j. Пример решения задачи Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна m, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию до этого центра. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна μ m ; в момент t = 0: M O = x = a x& = 0; y = 0; y& 0, 0 0 ; = причем ось y направлена по вертикали вниз (см. рисунок). Согласно второму закону Ньютона m a = P + F, где F = μ m OM. В проекциях на оси координат получим m & x = μ m OM sin α ; где x = OM sin α, y = OM cosα. m & y = mg μ m OM cosα, Тогда m& x = μ mx, m& y = mg μ my. Окончательно дифференциальные уравнения движения будут иметь вид 4

6 && x = μ x, && y = g μ y. Решение первого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка & x& + μ x = 0 ищем в зависимости от вида корней характеристического уравнения, для чего в уравнении подставляем x = e и получаем характеристическое уравнение λt λ + μ = 0, откуда λ = ± i.. 1, μ Так как корни характеристического уравнения мнимые и различные, решением уравнения будет x = c1 coskt + c sin kt. Для определения постоянных интегрирования c 1 и c определим скорость x & = c1k sin kt + ck coskt. Решение второго неоднородного дифференциального уравнения с постоянной правой частью & y μ y = g = будет складываться из общего решения однородного уравнения & y& + μ y 0 и g частного решения неоднородного & y + μ y =, то есть y = A & y 0, тогда μ A = g, A = g. μ Полное решение y = y 1 + y: y = c 1 coskt + c g sin kt + μ., = Скорость y & = c1k sin kt + ck coskt. Согласно начальным условиям: y =, y& 0 из этих уравнений получим c g = 1 = ; c = μ 0. 5

7 Тогда закон движения точки в проекции на ось у будет g y = (1 coskt). μ Окончательно закон движения материальной точки в проекциях на оси координат будет x = acoskt, g y = (1 coskt). μ Исключив из этих уравнений время t, получим траекторию точки: отрезок прямой g x g y = 1 ; a x a; 0 y. μ a μ 6

8 Задача 1. Вагонетка подвесной дороги массы m поднимается заданной силой Q. Трос упругий, силу упругости его считать пропорциональной поперечной деформации скорости AM. Сопротивление среды пропорционально. Прямая OO 1 определяет точки, где поперечная деформация троса равна нулю. Движение вагонетки началось из точки O, начальная скорость указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки. Построить графики движения и траекторию. Дано: µ = 1,4 10³ Н c/м; α = 30 ; Q = 7 10³ Н; = 1,8 м/c; m = 1,3 10³ кг; c = 1 10³ Н/м. Задача. Аэростат, имеющий массу m, буксируется с постоянной скоростью V A. Разность архимедовой силы и веса его направлена вертикально вверх и равна 0,1mg. Трос упругий, силу упругости считать пропорциональной расстоянию AM, AM. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. В начальный момент времени скорость аэростата вертикальна, точка А находилась в начале координат. Принять AM = 0. Найти уравнения движения аэростата. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0,8 10³ кг; = 0,9 м/c. O V A = 5 м/с; с = 1,1 10³ Н/м; µ = 0,8 10³ Н c/м; 7

9 Задача 3. Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через неподвижное гладкое кольцо О; к свободному концу её прикреплен шарик М, масса которого m. Длина невытянутой нити l = АО. Коэффициент жесткости нити с. Вытянув нить по вертикали вдвое, сообщили шарику начальную горизонтальную скорость. При движении на шарик действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения шарика. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0, кг; с = 0 Н/м; µ = 0,8 Н c/м; = 0 м/c; l = 1м. Задача 4. Платформа массы m на воздушной подушке разгоняется постоянной силой Q. Упругие силы реализуется силами системы воздушной подушки. Считать эквивалентную упругую силу, пропорциональной вертикальному отклонении AM. Прямая OA соответствует уровню, где F = 0. Силы вязкого сопротивления в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости, коэффициенты пропорциональности равны µ 1 и µ. Начальная скорость платформы указана на рисунке. Найти уравнения движения платформы. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; Q = 4, Н; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; = 0,7 м/c. 8

10 Задача 5. Груз М массы m буксируется с заданной постоянной скоростью V A. Трос упругий, силу упругости его считать пропорциональной продольной деформации F1 = c1 AM. Амортизаторы создают упругую силу, пропорциональную вертикальному отклонению от недеформированного состояния BM. Силы сопротивления среды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости. Коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ, начальная скорость вертикальна. Найти уравнения движения. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4, м/c; с 1 = 3, Н/м; с = 1, 10 5 Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = Н c/м; V м (О) = 1,6 м/c; B 0 M 0 = 1,5 м; OB 0 = 0; OA 0 = 0,4 м. Задача 6. К концу горизонтально натянутой упругой нити AM, закрепленной в точке A и проходящей через неподвижное гладкое кольцо O, привязан груз М массы m. В начальный момент нить растянута на величину OM 0 и груз отпущен без начальной скорости. Сила упругости пропорциональна удлинению. Коэффициент пропорциональности равен с. Длина недеформированной нити l = AO. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0,6 кг; с = 15 Н/м; µ =,4 Н c/м; l = 1 м; OM 0 = 0,8 м. 9

11 Задача 7. Груз массы m подвешен на упругом тросе, сила упругости которого пропорциональна продольной деформации = c OM. На него действует постоянная сила Q, направленная под углом α к горизонту. Сила вязкого сопротивления движению пропорциональна скорости F. Найти уравнения движения груза, если в начальный момент его скорость горизонтальна, трос был вертикальным, OM 0 начальная деформация троса. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1,5 10 кг; с = 1, Н/м; µ =,6 10 Н c/м; α = 30 ; Q =,8 10 Н; =, м/c; OM 0 = 0,8 м. Задача 8. Понтон массы m, находящийся в потоке жидкости, удерживается упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации F1 = c1 AM. Скорость потока U указана на рисунке. Архимедова сила пропорциональна величине погружения BM, Сила вязкого сопротивления пропорциональна относительной скорости отн. Найти уравнения движения понтона, если начальная скорость его вертикальна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с 1 = Н/м; с = 4, Н/м; µ = 4, Н c/м; U =,6 м/c; = 0,3 м/c; AM 0 = 1 м; BM 0 = 0. 10

12 Задача 9. Вагонетка подвесной дороги массы m свободно опускается по тросу. Трос упругий, силу упругости считать пропорциональной поперечной деформации AM. Сопротивление среды пропорционально скорости. Прямая OO 1 определяет точки, где поперечная деформация троса равна нулю. Движение вагонетки началось из точки O, начальная скорость указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 5 10 кг; с = 6, Н/м; µ = 4,3 10 Н c/м; α = 10 ; = 1,8 м/c. Задача 10. Дирижабль массы m находится в воздушном потоке, скорость которого U. Трос, который удерживает дирижабль у причальной мачты, упругий, сила упругости пропорциональна продольной деформации OM. Разность архимедо-вой силы и веса направлена вертикально вверх, и равна 0,mg. Силы вязкого сопротивления в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной скорости. Коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. В начальный момент скорость дирижабля. Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; µ 1 = 5, Н c/м; µ = 1, Н c/м; U = 5 м/c; = 1,7 м/c; OM 0= 0,5 м; OM 0 U. 11

13 Задача 11. Катер массы m разгоняется горизонтальной постоянной силой. При этом, имея начальную скорость погружения в воду, он совершает колебания под действием архимедовой силы, пропорциональной глубине погружаемой части катера AM. На катер действует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения катера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1, кг; с = 4, Н/м; µ = 1, Н c/м; Q = 3, Н; = 1,3 м/c; точка A проекция центра масс катера на поверхность воды. Задача 1. Подводный аппарат массы m буксируется с заданной скоростью V. Буксировочный трос упругий, сила упругости A AM продольная деформация. Разность архимедовой силы и веса аппарата равна 0,3mg и направлена вертикально вниз. Сила сопротивления среды. Найти уравнения движения аппарата, если его F = c AM, где начальная скорость вертикальна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 5, кг; V A = м/c; с = Н/м; µ = 5, Н c/м; = 0,6 м/c; при t = 0 аппарат находится под буксиром на глубине 0,5 м. 1

14 Задача 13. Висящий на тросе груз массы m с боковыми амортизаторами совершает свободные колебания под действием силы упругости троса F1 = c1 OM (OM продольная деформация) и сил упругости амортизаторов, равнодействующую которых можно считать горизонтальной и пропорциональной горизонтальному отклонению от недеформированного состояния пружин: F x = c x. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. Найти уравнения движения груза, если начальная скорость его горизонтальна, трос OM 0 вертикален. Построить графики движения и траекторию. Дано: m =, кг; с 1 = Н/м; с = Н/м; BM 0 = 0,0 м; µ = 8, Н c/м; = 0,9 м/c; OM 0 = 0, м. Задача 14. Буер массы m разгоняется ветром, скорость которого U постоянна. Ледовую поверхность, по которой скользит буер, считать упругой. Сила упругости пропорциональна поперечной деформаций AM. Силы вязкого трения в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны составляющим относительной скорости буера по этим направлениям, коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. Прямая OO 1 указывает положения буера, где F = 0. Начальная скорость буера направлена вертикально вниз. Найти уравнения движения буера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 3,5 10 кг; с = 7, Н/м; µ 1 = Н c/м; µ =,1 10 Н c/м; = 1,4 м/c; U = 5 м/c. 13

15 Задача 15. Висящий на упругом тросе груз массы m находится в потоке жидкости, движущейся с постоянной скоростью U. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации OM. Разность веса груза и архимедовой силы направлена вертикально вниз и равна Q = 0, 8mg. Сила вязкого трения пропорциональна относительной скорости груза R μv = отн. В начальный момент груз был в равновесном положении и получил начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U = 8 м/c; с = 1, Н/м; µ = 1, Н c/м; α = 30 ; = 1, м/c. Задача 16. Баржа массы m буксируется с заданной горизонтальной скоростью V A в потоке жидкости, имеющем скорость U. Выталкивающая сила со стороны воды пропорциональна глубине погружения, коэффициент пропорциональности c 1. Сила упругости троса пропорциональна его продольной деформации AM. Сила сопротив-ления воды пропорциональна относительной скорости отн. Начальная скорость указана на рисунке. За начало координат принять начальное положение точки А, считать AM 0 = 0. Найти уравнения движения баржи. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4 м/c; U = 3 м/c; с 1 =, Н/м; с = 6, 10 5 Н/м; µ = Н c/м; α = 30 ; = 0,7 м/c. А 14

16 Задача 17. Тело массы m, брошенное с начальной скоростью под углом α к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости. Найти уравнения движения тела, наибольшую высоту подъема, расстояние по горизонтали, когда эта высота будет достигнута, дальность полета. Построить графики движения и траекторию тела. Дано: m = 5 кг; = 0 м/c; α = 60 ; µ = 0,3 Н c/м. Задача 18. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, поднимается краном с постоянной скоростью V A. Сила упругости троса пропорциональна продоль-ной деформации AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости груза. Начальная скорость горизонтальна, трос был вертикален, A0M 0 начальная деформация. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = м/c; с = 6, 10 4 Н/м; µ = 4, Н c/м; = 1,3 м/c; A 0M = 0,5 м. 0 15

17 Задача 19. Альпинист массы m спускается по упругому канату, который в ненагруженном состоянии совпадает с прямой OO 1, составляющей угол α с горизонтом. Силу упругости каната считать пропорциональной поперечной деформации AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. Начальная скорость показана на рисунке. Найти уравнения движения альпиниста. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 80 кг; α = 15 ; с = 6,5 10 = 1,5 м/c. Н/м; AM 0 = 0; µ = 75 Н c/м; Задача 0. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается краном с постоянной горизонтальной скоростью пропорциональна продольной его деформации V. Сила упругости троса A AM. Движение происходит в среде, движущейся с постоянной скоростью U. Сила сопротивления среды пропорциональна относительной скорости груза = отн. В начальный момент времени скорость груза R μv была горизонтальна, трос вертикален, A 0M 0 =1 м. Начальное положение точки А принять за начало координат. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A =,5 м/c; с = 5, Н/м; U = 3,3 м/c; µ = 6, Н c/м; = 1,4 м/c. 16

18 Задача 1. Буй массы m удерживается в жидкости упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации OM. На буй действует постоянная по модулю сила Q, направленная под углом α к горизонту. Разность архимедовой силы и веса буя равна 0,5mg и направлена вертикально вверх (положительная плавучесть). При движении буя на него действует сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения буя, если в начальный момент его скорость вертикальна и направлена вверх, трос был вертикальным и OM 0 = 0, 1 м. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1, 10 кг; c = 6, 10 3 Н/м; = 0,7 м/c; Q = 4, 10 ; α = 40 ; µ = 3,8 10 Н c/м. Задача. В лодку массы m 1, привязанную к берегу упругим тросом, запрыгивает человек массы m, при этом лодка получает начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Начальная деформация троса равна нулю. Коэффициент жесткости троса с 1. Архимедова сила, действующая на лодку при ее колебаниях, пропорциональна глубине погружения. Коэффициент пропорциональности с. Сила вязкого сопротивления зависит от скорости по линейному закону. Найти уравнения движения лодки с человеком. Построить графики движения и траекторию. Дано: m 1 = 60 кг; m = 80 кг; = 5 м/c; α = 15 ; с 1 = 500 Н/м; с = Н/м; µ = 1,8 10 Н c/м. 17

19 Задача 3. Судно массы m свободно дрейфует в потоке, скорость которого постоянна и равна U. Действующую на судно архимедову силу считать пропорциональной глубине погружения с коэффициентом пропорциональности c. Силы вязкого сопротивления движению в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной скорости, коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. В начальный момент судно имело скорость. Найти уравнения движения судна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U =,5 м/c; c = 6, Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, 10 5 Н c/м; =,3 м/c. Задача 4. Груз массы m скользит по упругой ленте транспортера. ненагруженном состоянии лента занимает положение OO 1, составляющее угол α с горизонтом. В некоторый момент времени груз падает на ленту (в точке О) со скоростью, перпендикулярной ленте. Силу трения груза о ленту считать В пропорциональной его скорости. Сила поперечной упругости ленты пропорциональна её прогибу AM. На груз действует также постоянная сила Q, параллельная OO 1 и тормозящая движение. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 60 кг; α = 15 ; = 1,5 м/c; µ = 80 Н c/м; c = 7, 10 Н/м; Q = 45 Н. 18

20 Задача 5. Дирижабль массы m буксируется с заданной скоростью Буксировочный трос упругий, силу упругости считать пропорциональной продольной деформации V A. AM, Разность архимедовой силы и веса дирижабля равна 0,15 mg и направлена вертикально вверх. Силы сопротивления воздуха в горизонтальном и вертикальном направлениях считать пропорциональными соответствующим составляющим скорости дирижабля. Коэффициенты пропорциональности равны μ и 1 μ. В начале буксировки дирижабль получил начальную скорость и AM 0. Начальное положение точки A 0 = принять за начало координат. Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 3 м/c; c = Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = 8, 10 4 Н c/м; = 0,9 м/c. Задача 6. На дне резервуара находится груз массы m, привязанный эластичным шнуром, коэффициент жесткости которого c. В некоторый момент времени груз подцепили и стали вытаскивать с постоянной силой Q под углом α к горизонту. Отрицательная плавучесть (разница между весом и архимедовой силой) направлена вниз и равна N = 0, 5G, где G вес груза. Вязкое трение воды пропорционально скорости груза и определяется по формуле В момент зацепления груз касался блока О, шнур был не деформирован, а груз получил начальную горизонтальную скорость. Найти уравнения движения груза.. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 50 кг; c = 00 Н/м; µ = 100 Н c/м; Q = 100 Н; α = 30 ; = 8 м/c. 19

21 Задача 7. Судно массы m буксируется с постоянной горизонтальной скоростью V A. Буксировочный трос упругий, силу упругости считать пропорциональной продольной деформации F = c1 AM. В начальный момент судно касалось буксира, трос не имел деформации, и начальная скорость была направлена вертикально вниз. Архимедову силу считать пропорциональной глубине погружения судна, коэффициент пропорциональности равен с. Силы сопротивления воды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости, μ 1 и μ коэффициенты пропорциональности. Найти уравнения движения судна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4,5 м/c; c 1 = 0, Н/м; c = 1, Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; =,3 м/c. Задача 8. Катер массы m движется против течения при отключенных двигателях, имея начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Скорость течения U постоянна. Архимедова сила пропорциональна высоте погружения, коэффициент пропорциональности равен c. Со стороны воды катер испытывает сопротивление, пропорциональное относительной скорости отн. Найти уравнения движения катера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 50 кг; α = 10 ; = 3 м/c; µ = 1,7 10 Н c/м; c =, Н/м; U = 5 м/c. 0

22 Задача 9. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается подъемным краном с постоянной скоростью V A направленной под углом α к горизонту. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации F = c AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. В начальный момент времени скорость груза горизонтальна, трос был вертикален, A 0M 0 начальная деформация троса. Начало координат взять в начальном положении точки A. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 500 кг; V A = 3 м/c; α = 30 ; с = 8, Н/м; = 1,8 м/c; µ = 9 10 Н c/м; A 0 M 0 = 0, м. Задача 30. Понтон массы m удерживается в потоке, скорость которого U, упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации F1 = c1 OM. Архимедова сила пропорциональна глубине погружения понтона, коэффициент пропорциональности с. Cо стороны жидкости на понтон действует сила вязкого сопротивления, пропорциональная относительной скорости отн. В начальный момент времени понтон касался блока (OM 0 = 0) и имел скорость, направленную по вертикали. Найти уравнения движения понтона. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U = м/c; c 1 = 8, µ = 3, Н c/м; =,1 м/c. Н/м; c = 9, 10 4 Н/м; 1

23 Динамика материальной точки. Криволинейное движение Редактор О.С. Смирнова Компьютерная верстка И.И. Иванов Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ Редакционно-издательский отдел УГТУ УПИ 6006, Екатеринбург, ул. Мира, 19 Ризография НИЧ УГТУ УПИ 6006, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мехатроника» Г. В. Васильева В. С. Тарасян ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ СВОБОДНЫЕ

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Г.Б. Потапова, К.В. Худяков СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Условия и решения задач II олимпиады Мордовского государственного университета по теоретической механике (2013 2014 учебный год) 1. Груз втягивают вверх по шероховатой поверхности, наклоненной под углом

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Алтайский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ Д-I Тема: Вторая основная задача динамики точки и метод кинетостатики (принцип Германа-Эйлера- Даламбера). ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. К задаче 1-ой: а) расставить силы, действующие на материальную точку

Тесты по теоретической механике 1: Какое или какие из нижеприведенных утверждений не справедливы? I. Система отсчета включает в себя тело отсчета и связанную с ним систему координат и выбранный способ

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Выдержки из книги Горбатого ИН «Механика» 3 Работа Мощность Кинетическая энергия Рассмотрим частицу которая под действием постоянной силы F r совершает перемещение l r Работой силы F r на перемещении l

Объяснение явлений 1. На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Выберите два верных утверждения, описывающих движение в соответствии с данным

3 Законы сохранения в механике Основные законы и формулы Второй закон Ньютона ma = F может быть представлен в виде: m υ = F t, те изменение импульса тела (p = m υ = mυ mυ) равняется импульсу n равнодействующей

Физика. 9 класс. Тренинг «Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике» 1 Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике Вариант 1 1 Металлический брусок подвешен к пружине и целиком погружён в сосуд с водой, находясь

Задания А5 по физике 1. Тело втаскивают вверх по шероховатой наклонной плоскости. Какая из изображенных на рисунке сил совершает положительную работу? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 2. На рисунке показан график зависимости

Лекция 1. Сергей Евгеньевич Муравьев кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ Мы начинаем! 1. Победители и призеры олимпиад должны набрать 75 баллов ЕГЭ!.

Методические материалы по теме «Механические явления»- 9 класс Часть 1 1. Автомобиль начинает движение по прямой из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с 2. За какое время он приобретёт скорость 20 м/с?

«ОСНОВЫ ДИНАМИКИ» Законы Ньютона: Первый: Существуют системы отсчета называемые инерциальными, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного

Занятие 11 Итоговый 2. Механика. Задача 1 На рисунке представлен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. Определите интервал времени после начала движения, когда велосипедист двигался со

Дифференциальное уравнение движения точки Задача D2.1. 1 Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге при скорости v 0 составляет S. Чему равен тормозной путь этого автомобиля при той же скорости

00-0 уч. год., кл. Физика. Основные законы механики.. Динамика В динамике механическое движение изучается в связи с причинами, вызывающими тот или иной его характер. В инерциальных системах отсчёта этими

Примеры заданий из базы заданий дистанционного отборочного тура олимпиады «Росатом», 11 класс База заданий дистанционного отборочного тура олимпиады «Росатом» (который проводится только для школьников

Установление соответствия, часть 2 1. русок, находящийся на шероховатой горизонтальной поверхности, начинает двигаться равноускоренно под действием силы В системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью,

КИНЕМТИК задания типа В Стр. 1 из 5 1. Тело начало движение вдоль оси OX из точки x = 0 с начальной скоростью v0х = 10 м/с и с постоянным ускорением a х = 1 м/c 2. Как будут меняться физические величины,

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 2018-2019 Физика, I тур, вариант 1 7 класс 1. (30 баллов) Два автомобиля выехали одновременно: один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А. Скорость одного

Уральский федеральный университет имени первого Президента России БН Ельцина Специализированный учебно-научный центр ЛЕТНЯЯ ШКОЛА 07 года ФИЗИКА РАЗБОР ЗАДАНИЙ Локомотив (3 балла) Определите, пользуясь

Дистанционная подготовка bituru ФИЗИКА Статья 8 Механические колебательные системы Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим методы решения задач на колебательное движение тел Колебательным движением

Динамика 1. Брусок массой движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы, направленной под углом к горизонту. Модуль этой силы Коэффициент трения между бруском и плоскостью

ТЕМА Лекция 3 Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии. Матрончик Алексей Юрьевич кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики НИЯУ МИФИ, эксперт

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант 1 РЕШЕНИЯ Внимание: квант оценки равен 5 (можно ставить только 5, 10, 15 и т. д. баллов)! Общая рекомендация: При проверке,

Занятие 3. Основные принципы динамики. Силы: тяжести, реакции, упругости Вариант 3... На тело массой 0 кг действуют несколько сил, равнодействующая которых постоянна и равна 5 Н. Относительно инерциальной

С1.1. Два одинаковых бруска, связанные легкой пружиной, покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. В момент t = 0 правый брусок начинают двигать так, что за время х он набирает конечную скорость

Дистанционная подготовка Abituru ФИЗИКА Статья Законы Ньютона Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим задачи на применение законов Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает о том,

Зачет 1 по теме: «Кинематика. Динамика. Законы сохранения» 10 класс Вопросы к зачету 1 1. Что называется механическим движением? 2. Что называется телом отсчета? 3..Какими способами можно задать положение

Банк заданий по физике 1 класс МЕХАНИКА Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение 1 На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при его прямолинейном движении по оси x.

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Физика МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ВВЕДЕНИЕ Условие каждого задания расчетно-графической работы сопровождается десятью рисунками и двумя таблицами числовых значений заданных величин. Выбор вариантов совершается согласно с шифром студента.

Зачет 1 по темам «Кинематика. Динамика». Вопросы к зачету: 1. Что изучает кинематика? 2. Основные понятия кинематики: механическое движение, материальная точка, система отсчета, траектория, пройденный

Обучающие задания на тему «ДИНАМИКА» 1(А) Автобус движется прямолинейно с постоянной скоростью. Выберете правильное утверждение. 1) На автобус действует только сила тяжести.) Равнодействующая всех приложенных

Задачник школьника izprtalru 6 Динамика прямолинейного движения Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) для тела постоянной массы в инерциальных системах отсчета имеет вид

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Методические указания по

Примеры решения задач Пример 1 Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок (рис1а) перекинута невесомая нерастяжимая нить к концам которой привязаны грузы 1 и Найдите силу давления X N F блока на

Решение задач на движение тел с использованием блоков Задача Через блок перекинута нерастяжимая нить, к которой прикреплены два тела массами и (причём) Определить ускорения, с которыми будут двигаться

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант РЕШЕНИЯ Внимание: квант оценки равен 5 (можно ставить только 5, 10, 15 и т. д. баллов)! Общая рекомендация: При проверке, даже

1.2.1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея 28(С1).1. Пассажир автобуса на остановке привязал к ручке сиденья за нитку легкий воздушный шарик, заполненный

РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ, ДАВЛЕНИЕ 008 1. Стальная деталь (ρс = 7800кг/м) объемом 4 дм находится на высоте м. Ее потенциальная энергия равна А) 9600 Дж В) 960 Дж С) 96000 Дж D) 96 Дж Е) 9,6 Дж. Определите

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант 1 РЕШЕНИЯ 7 класс 1. (40 баллов) Два автомобиля одновременно выезжают навстречу друг другу из разных пунктов и едут со скоростями,

ИТТ- 10.3.2 Вариант 2 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 1. Как называется физическая величина, равная произведению массы тела на вектор его мгновенной скорости? 2. Как называется физическая величина, равная половине произведения

Варианты домашнего задания ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Вариант 1. 1. На рисунке а приведен график колебательного движения. Уравнение колебаний x = Asin(ωt + α o). Определить начальную фазу. x О t

Величина, её определение Обозначение Единица измерения «МЕХАНИКА» Формула Величины в формуле ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ I. Равномерное прямолинейное движение-это движение, при котором тело за любые равные промежутки

Минимум по физике для учащихся 10-х классов за 1 полугодие. Учитель физики - Турова Мария Васильевна e-mail: [email protected] Список литературы: 1. Учебник физики 10 класс. Авторы: Г.Я.Мякишев, Б.Б.

Лекция 4 Тема: Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Силы в механике. Сила упругости (закон

Вопросы для зачета по курсу «Теоретическая механика», раздел «Динамика» 1. Основные аксиомы классической механики.. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. 3. Моменты инерции системы точек

Тематическая диагностическая работа по подготовке к ЕГЭ по ФИЗИКЕ по теме «Механика» 18 декабря 2014 года 10 класс Вариант ФИ00103 (90 минут) Район. Город (населённый пункт). Школа Класс Фамилия. Имя.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра физики ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА С ПОМОЩЬЮ

Демонстрационный вариант_10 класс(профиль) Задание 1 1. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся

Нурушева Марина Борисовна старший преподаватель кафедры физики 3 НИЯУ МИФИ Механические колебания Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Законы Ньютона Задача 1. Ракета стартует с поверхности Земли и движется вертикально вверх, разгоняясь с ускорением 5g. Найдите вес космонавта массой m, находящегося

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 2018-2019 Физика, I тур, вариант 2 7 класс 1 (40 баллов) Два автомобиля выехали одновременно: один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А Скорость одного автомобиля

006-007 уч. год., 9 кл. Физика. Динамика. 5. Силы Запись второго закона Ньютона в виде формулы () нельзя трактовать, как равенство двух сил F и ma. Эта запись представляет собой лишь выражение равнодействующей

Законы сохранения Импульс тела (материальной точки) - физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. p = m υ [p] = кг м/с p υ Импульс силы векторная физическая величина,

6. Криволинейное движение. Угловое перемещение, угловые скорость и ускорение тела. Путь и перемещение при криволинейном движении тела.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модульскорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), аl – длина траектории . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :

или

Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Криволинейное движение

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времениt определяется по формулам

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.

Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:

где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.

Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:

Измеряется частота в 1/с.

Период и частота - величины взаимно обратные:

Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив скорость v на время одного оборота:

l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому

vT = 2πr,

где w (с -1) - угловая скорость.

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:

Связь между линейной и угловой скоростями:

Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.

При помощи данного урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью». Вначале мы охарактеризуем прямолинейное и криволинейное движение, рассмотрев, как при этих видах движения связаны вектор скорости и приложенная к телу сила. Далее рассмотрим частный случай, когда происходит движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.

На предыдущем уроке мы рассмотрели вопросы, связанные с законом всемирного тяготения. Тема сегодняшнего урока тесно связана с этим законом, мы обратимся к равномерному движению тела по окружности.

Ранее мы говорили, что движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Движение и направление движения характеризуются в том числе и скоростью. Изменение скорости и сам вид движения связаны с действием силы. Если на тело действует сила, то тело изменяет свою скорость.

Если сила направлена параллельно движению тела, то такое движение будет прямолинейным (рис. 1).

Рис. 1. Прямолинейное движение

Криволинейным будет такое движение, когда скорость тела и сила, приложенная к этому телу, направлены друг относительно друга под некоторым углом (рис. 2). В этом случае скорость будет изменять свое направление.

Рис. 2. Криволинейное движение

Итак, при прямолинейном движении вектор скорости направлен в ту же сторону, что и сила, приложенная к телу. А криволинейным движением является такое движение, когда вектор скорости и сила, приложенная к телу, расположены под некоторым углом друг к другу.

Рассмотрим частный случай криволинейного движения, когда тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Когда тело движется по окружности с постоянной скоростью, то меняется только направление скорости. По модулю она остается постоянной, а направление скорости изменяется. Такое изменение скорости приводит к наличию у тела ускорения, которое называется центростремительным .

Рис. 6. Движение по криволинейной траектории

Если траектория движения тела является кривой, то ее можно представить как совокупность движений по дугам окружностей, как это изображено на рис. 6.

На рис. 7 показано, как изменяется направление вектора скорости. Скорость при таком движении направлена по касательной к окружности, по дуге которой движется тело. Таким образом, ее направление непрерывно меняется. Даже если скорость по модулю остается величиной постоянной, изменение скорости приводит к появлению ускорения:

В данном случае ускорение будет направлено к центру окружности. Поэтому оно называется центростремительным.

Почему центростремительное ускорение направлено к центру?

Вспомним, что если тело движется по криволинейной траектории, то его скорость направлена по касательной. Скорость является векторной величиной. У вектора есть численное значение и направление. Скорость по мере движения тела непрерывно меняет свое направление. То есть разность скоростей в различные моменты времени не будет равна нулю (), в отличие от прямолинейного равномерного движения.

Итак, у нас есть изменение скорости за какой-то промежуток времени . Отношение к - это ускорение. Мы приходим к выводу, что, даже если скорость не меняется по модулю, у тела, совершающего равномерное движение по окружности, есть ускорение.

Куда же направлено данное ускорение? Рассмотрим рис. 3. Некоторое тело движется криволинейно (по дуге). Скорость тела в точках 1 и 2 направлена по касательной. Тело движется равномерно, то есть модули скоростей равны: , но направления скоростей не совпадают.

Рис. 3. Движение тела по окружности

Вычтем из скорость и получим вектор . Для этого необходимо соединить начала обоих векторов. Параллельно перенесем вектор в начало вектора . Достраиваем до треугольника. Третья сторона треугольника будет вектором разности скоростей (рис. 4).

Рис. 4. Вектор разности скоростей

Вектор направлен в сторону окружности.

Рассмотрим треугольник, образованный векторами скоростей и вектором разности (рис. 5).

Рис. 5. Треугольник, образованный векторами скоростей

Данный треугольник является равнобедренным (модули скоростей равны). Значит, углы при основании равны. Запишем равенство для суммы углов треугольника:

Выясним, куда направлено ускорение в данной точке траектории. Для этого начнем приближать точку 2 к точке 1. При таком неограниченном прилежании угол будет стремиться к 0, а угол - к . Угол между вектором изменения скорости и вектором самой скорости составляет . Скорость направлена по касательной, а вектор изменения скорости направлен к центру окружности. Значит, ускорение тоже направлено к центру окружности . Именно поэтому данное ускорение носит название центростремительное .

Как найти центростремительное ускорение?

Рассмотрим траекторию, по которой движется тело. В данном случае это дуга окружности (рис. 8).

Рис. 8. Движение тела по окружности

На рисунке представлены два треугольника: треугольник, образованный скоростями, и треугольник, образованный радиусами и вектором перемещения. Если точки 1 и 2 очень близки, то вектор перемещения будет совпадать с вектором пути. Оба треугольника являются равнобедренными с одинаковыми углами при вершине. Таким образом, треугольники подобны. Это значит, что соответствующие стороны треугольников относятся одинаково:

Перемещение равно произведению скорости на время: . Подставив данную формулу, можно получить следующее выражение для центростремительного ускорения:

Угловая скорость обозначается греческой буквой омега (ω), она говорит о том, на какой угол поворачивается тело за единицу времени (рис. 9). Это величина дуги в градусной мере, пройденной телом за некоторое время.

Рис. 9. Угловая скорость

Обратим внимание, что если твердое тело вращается, то угловая скорость для любых точек на этом теле будет величиной постоянной. Ближе точка располагается к центру вращения или дальше - это не важно, т. е. от радиуса не зависит.

Единицей измерения в этом случае будет либо градус в секунду (), либо радиан в секунду (). Часто слово «радиан» не пишут, а пишут просто . Для примера найдем, чему равна угловая скорость Земли. Земля делает полный поворот на за ч, и в этом случае можно говорить о том, что угловая скорость равна:

Также обратите внимание на взаимосвязь угловой и линейной скоростей:

Линейная скорость прямо пропорциональна радиусу. Чем больше радиус, тем больше линейная скорость. Тем самым, удаляясь от центра вращения, мы увеличиваем свою линейную скорость.

Необходимо отметить, что движение по окружности с постоянной скоростью - это частный случай движения. Однако движение по окружности может быть и неравномерным. Скорость может изменяться не только по направлению и оставаться одинаковой по модулю, но и меняться по своему значению, т. е., кроме изменения направления, существует еще изменение модуля скорости. В этом случае мы говорим о так называемом ускоренном движении по окружности.

Что такое радиан?

Существует две единицы измерения углов: градусы и радианы. В физике, как правило, радианная мера угла является основной.

Построим центральный угол , который опирается на дугу длиной .

Рассматривая криволинейное движение тела, мы увидим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и модуль и направление скорости.

Таким образом, при криволинейном движении скорость непрерывно изменяется, так что это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. найти приращение модуля скорости и изменение ее направления.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость а через малый промежуток времени - скорость . Приращение скорости есть разность между векторами и . Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Приращение скорости выразится вектором , изображаемым стороной параллелограмма с диагональю и другой стороной . Ускорением называется отношение приращения скорости к промежутку времени , за который это приращение произошло. Значит, ускорение

По направлению совпадает с вектором .

Выбирая достаточно малым, придем к понятию мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном вектор будет представлять среднее ускорение за промежуток времени .

Направление ускорения при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают (или противоположны). Чтобы найти направление ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках и направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от к или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости траектории

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это - ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения и движущейся точки, разделенных малым промежутком времени (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в и равны по модулю, но различны по направлению. Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники и подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны , изображающей приращение скорости за промежуток времени , можно положить равной , где - модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона есть хорда дуги ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т.е. . Далее, ; , где - радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим модуль искомого ускорения:

Направление ускорения перпендикулярно к хорде . Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории, т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория - не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по модулю и направлению, его можно найти как отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае ускорение можно найти по формуле

аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь - скорость тела в начальный момент, a - скорость в момент времени .

Вам хорошо известно, что в зависимости от формы траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное . С прямолинейным движением мы научились работать на предыдущих уроках, а именно решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (рис. 1) относительно прямолинейного и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на участки прямолинейного движения

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (рис. 3). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. К тому же примеры движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия криволинейного движения от прямолинейного. Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории (рис. 4). Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по дуге окружности (рис. 5).

Рис. 5. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке равен модулю скорости тела в точке :

Однако вектор не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (рис. 6):

Рис. 6. Вектор разности скоростей

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

Это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что, даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется. Однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (рис. 7). Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 7. Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле:

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 8. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки и (рис. 8). Рассмотрим их движение. За некоторое время эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками и . Очевидно, что точка совершила большее перемещение, чем точка . Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется

Однако если внимательно посмотреть на точки и , можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения . Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности можно использовать угловые характеристики.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. По аналогии можно дать определение равномерного движения по окружности.

Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.

Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.

Угловой скоростью равномерного движения ( называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое произошел этот поворот.

В физике чаще всего используется радианная мера угла. Например, угол в равен радиан. Измеряется угловая скорость в радианах в секунду:

Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

Точка проходит при вращении дугу длиной , поворачиваясь при этом на угол . Из определения радианной меры угла можно записать:

Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей:

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

Такая зависимость линейной и угловой скоростей используется в геостационарных спутниках (спутники, которые всегда находятся над одной и той же точкой земной поверхности). Благодаря таким спутникам мы имеем возможность получать телевизионные сигналы.

Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.

Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой и измеряется в секундах в СИ:

Частота вращения – физическая величина, равная количеству оборотов, которое тело совершает за единицу времени.

Частота обозначается буквой и измеряется в обратных секундах:

Они связаны соотношением:

Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:

Подставляя эти выражения в зависимость между угловой и линейной скоростью, можно получить зависимость линейной скорости от периода или частоты:

Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:

Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности. Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным. Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения) и нашли соотношения между ними.

Список литературы

Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Аyp.ru ().
Википедия ().

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10
Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.