Формулы объема правильной треугольной пирамиды. Примеры решения задач

Теорема.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту .

Доказательство:

Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ2 - высота), рассмотрим сечение А1 В1 С1 пирамиды плоскостью, пер­пендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М 1 пересечения этой плоскости с осью ох, а через S{ x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S , h и х . Заметим, что треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС подобны. В самом деле А 1 В 1 II AB, поэтому треугольник ОА 1 В 1 подобен треугольнику ОАВ. С ледовательно, А 1 В 1 : А В= ОА 1: ОА .

Прямоугольные треугольники ОА 1 В 1 и ОАВ тоже подобны (они име­ют общий острый угол с вершиной О) . Поэтому , ОА 1: ОА = О 1 М 1 : ОМ = х: h . Таким образом А 1 В 1 : А В = х: h. Аналогично доказывается, что В1 С1: ВС = х: h и А1 С1: АС = х: h. Итак, треугольник А1 В1 С1 и АВС подобны с коэффициентом подобия х: h. Следовательно, S(x) : S = (х: h) ², или S(x) = S х ²/ h ².

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пи­рамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель 1/3h, получим в скобках сумму оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S оснований исходной пирамиды.

Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3Sh . Теорема доказана.

Следствие:

Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади основания равны S и S 1 , вычисляются по формуле

h - высота пирамиды

S верх. - площадь верхнего основания

S ниж. - площадь нижнего основания

Чтобы найти объем пирамиды, нужно знать несколько формул. Рассмотрим их.

Как найти объем пирамиды – 1-ый способ

Объем пирамиды можно узнать с помощью высоты и площади ее основания. V = 1/3*S*h. Так, например, если высота пирамиды 10 см, а площадь ее основания 25 см 2 , то объем будет равен V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83.3 см 3

Как найти объем пирамиды – 2-ой способ

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то найти ее объем можно по следующей формуле: V = na 2 h/12*tg(180/n), где а – сторона лежащего в основании многоугольника, а n – количество его сторон. Например: В основании лежит правильный шестиугольник, то есть n = 6. Так как он правильный, все его стороны равно, то есть все a равны. Скажем a = 10, а h – 15. Вставляем числа в формулу и получаем приблизительный ответ – 1299 см 3

Как найти объем пирамиды – 3-ий способ

Если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = ha 2 /4√3, где а – сторона равностороннего треугольника. Например: высота пирамиды – 10 см, сторона основания – 5 см. Объем будет равен V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Обычно то, что получилось в знаменателе не вычисляют и оставляют в таком же виде. Можно также умножить и числитель, и знаменатель на 4√ 3. Получим 1000√ 3/48. Сократив получим 125√ 3/6 см 3 .

Как найти объем пирамиды – 4-ый способ

Если в основании пирамиды лежит квадрат, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = 1/3*h*a 2 , где a – сторон квадрата. Например: высота – 5 см, сторона квадрата – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3

Как найти объем пирамиды – 5-ый способ

Если пирамида является тетраэдром, то есть у нее все грани – равносторонние треугольники, найти объем пирамиды можно по следующей формуле: V = a 3 √2/12, где a – ребро тетраэдра. Например: ребро тетраэдра = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 см 3

Слово «пирамида» невольно ассоциируется с величественными великанами в Египте, верно хранящими покой фараонов. Может быть поэтому пирамиду как безошибочно узнают все, даже дети.

Тем не менее, попробуем дать ей геометрическое определение. Представим на плоскости несколько точек (А1,А2,..., Ап) и еще одну (Е), не принадлежайшую ей. Так вот, если точку Е (вершину) соединить с вершинами многоугольника, образованного точками А1,А2,..., Ап (основание), получится многогранник, который и называют пирамидой. Очевидно, что вершин у многоугольника в основании пирамиды может быть сколько угодно, и в зависимости от их количества пирамиду можно назвать треугольной и четырехугольной, пятиугольной и т.д.

Если внимательно присмотреться к пирамиде, то станет ясно, почему ее определяют еще и по-другому - как геометрическую фигуру, имеющую в основании многоугольник, а в качестве боковых граней - треугольники, объединенные общей вершиной.

Поскольку пирамида - пространственная фигура, то и у нее есть такая количественная характеристика, как вычисляют по хорошо известной равного трети произведения основания пирамиды на ее высоту:

Объем пирамиды при выводе формулы первоначально рассчитывается для треугольной, взяв за основу постоянное соотношение, связывающее эту величину с объемом треугольной призмы, имеющей то же основание и высоту, которая, как оказывается, в три раза превышает этот объем.

А поскольку любая пирамида разбивается на треугольные, и ее объем не зависит от выполняемых при доказательстве построений, правомерность приведенной формулы объема - очевидна.

Особняком среди всех пирамид стоят правильные, у которых в основании лежит Что же касается , то она должна «оканчиваться» в центре основания.

В случае неправильного многоугольника в основании для вычисления площади основания потребуется:

• разбить его на треугольники и квадраты;

• подсчитать площадь каждого из них;

• сложить полученные данные.

В случае правильного многоугольника в основании пирамиды, его площадь рассчитывают по готовым формулам, поэтому объем правильной пирамиды вычисляется совсем просто.

Например, чтобы вычислить объем четырехугольной пирамиды, если она правильная, возводят длину стороны правильного четырехугольника (квадрата) в основании в квадрат и, умножив на высоту пирамиды, делят полученное произведение на три.

Объем пирамиды можно вычислить, используя и другие параметры:

• как треть произведения радиуса шара, вписанного в пирамиду, на площадь ее полной поверхности;

• как две трети произведения расстояния между двумя произвольно взятыми скрещивающимися ребрами и площади параллелограмма, который образуют середины оставшихся четырех ребер.

Объем пирамиды вычисляется просто и в случае, когда его высота совпадает с одним из боковых ребер, то есть в случае прямоугольной пирамиды.

Говоря о пирамидах, нельзя обойти вниманием также усеченные пирамиды, полученные сечением пирамиды параллельной основанию плоскостью. Их объем практически равен разности объемов целой пирамиды и отсеченной вершины.

Первым объем пирамиды, правда не совсем в его современном виде, однако равным 1/3 объема известной нам призмы, нашел Демокрит. Его метод подсчета Архимед назвал «без доказательства», поскольку Демокрит подходил к пирамиде, как к фигуре, сложенной из бесконечно тонких, подобных пластинок.

К вопросу нахождения объема пирамиды «обратилась» и векторная алгебра, используя для этого координаты ее вершин. Пирамида, построенная на тройке векторов a,b,c, равна одной шестой от модуля смешанного произведения заданных векторов.

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.

Треугольная пирамида

Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.

Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.

Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.

Любая имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.

общего типа

Прежде чем записать правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:

Здесь S o - площадь основания, h - высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:

Формулы объема правильной треугольной пирамиды

Треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:

Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.

Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:

Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:

Задача на определение объема тетраэдра

Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.

Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.

Напомним, что тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема правильной пирамиды треугольной, необходимо вычислить две величины:

• длину стороны треугольника;
• высоту фигуры.

Первая величина известна из условия задачи:

Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.

Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC - это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:

Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .

Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.

Задача с гомотетичными пирамидами

Решим одну любопытную геометрическую задачу. Предположим, что имеется треугольная правильная пирамида с некоторым объемом V 1 . Во сколько раз следует уменьшить размеры этой фигуры, чтобы получить гомотетичную ей пирамиду с объемом, в три раза меньшим исходного?

Задачу начнем решать с записи формулы для исходной правильной пирамиды:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Пусть необходимый по условию задачи объем фигуры получится, если умножить ее параметры на коэффициент k. Имеем:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Поскольку из условия известно отношение объемов фигур, то получаем значение коэффициента k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Отметим, что аналогичное значение коэффициента k мы бы получили для пирамиды произвольного типа, а не только для правильной треугольной.