Интегрирование по частям. Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где \(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Примеры интегрирования по частям подобного состава задают студентам 1, 2 курсов. Данные задания задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись же задачи описывать не будем. По условию заданий нужно или "Найти интеграл", или "Вычислить интеграл".
Пример 8. Интеграл находим по правилу интегрирования частями int(u*dv)=u*v-int(v*du). Здесь главное правильно выбрать функции под правило. (Для себя запомните что за dv если возможно выбирают периодические функции или такие, которые при дифференцировании с точностью до множителя дают сами себя - экспонента). В этом интеграле нужно синус внести под дифференциал

Дальнейшее интегрирование достаточно простое и на деталях останавливаться не будем.

Пример 9. Снова нужно применять правило интегрирования по частям u*dv . Здесь имеем произведение периодической функции на экспоненту, поэтому что лучше вносить под дифференциал выбирать Вам. Можно как экспоненту, так и косинус (в каждом варианте получим рекуррентную формулу).

Применяем интегрирование по частям повторно

Пришли к рекуррентной формуле. Если записать интеграл который искали и результат вычислений то получим два подобные слагаемые

Группируем их и находим искомый интеграл


Пример 10. Имеем готовую запись интеграла под правило u*dv. Находим du и выполняем интегрирование


Сводим второй интеграл под табличную формулу и вычисляем его

Пример 11. Обозначим за новую переменную cos(ln(x))=u і найдем du , затем внесением под дифференциал


К интегралу повторно применяем правило интегрирования по частям


Пришли к рекуррентной формуле

с которой и вычисляем неизвестный интеграл

Пример 12. Для нахождения интеграла выделим в знаменателе полный квадрат. Далее сведя знаменатель к известной формуле интегрирования получим арктангенс


Хорошо запомните порядок чередования множителей. Единица разделена на корень из свободного члена фигурирует перед арктангенсом, также этот множитель присутствует в арктангенс перед переменной.
Пример 13. Дело имеем с подобным интегралом, только в знаменателе квадратичная зависимость находится под корнем. Выделяем полный квадрат и сводим под формулу интегрирования, которая дает логарифм


Вот такие бывают примеры на контрольной или тестах. Хорошо запомните основные схемы интегрирования.
Если не можете решить интеграл сами, тогда обращайтесь за помощью.

Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:

Она дает возможность свести вычисление заданного интеграла
к вычислению интеграла
, который оказывается более простым, чем данный.

Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида
,
,
, где
– многочлен,
– число, не равное нулю

В этом случае через обозначают многочлен

.

2. Интегралы вида
,
,
,
,
, где
– многочлен.

В этом случае через
обозначают
, а всю остальную часть подынтегрального выражения через:

3. Интегралы вида
,
, где
– числа.

В этом случае через обозначают
и применяют формулу интегрирования по частям дважды, возвращаясь в результате к исходному интегралу, после чего исходный интеграл выражается из равенства.

Замечание : В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.

Пример 26.

Найти интегралы методом по частям: а)
; б)
.

Решение.

б)

3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов:
, где
– многочлен степени
,
– многочлен степени .

Рациональная дробь называется правильной , если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е.
, в противном случае (если
) рациональная дробь называется неправильной .

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

,

где
– целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,
– остаток от деления.

Правильные рациональные дроби вида:

I. ;

II.
;

III.
;

IV.
,

где ,,
,
,,,
– действительные числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV дробей не имеет корней – дискриминант отрицательный) называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов .

Интегрирование простейших дробей

Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.

I)
.

II) ,
.

III) Для интегрирования простейшей дроби III типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют выделением в числителе производной знаменателя, что дает табличный интеграл, а второй интеграл преобразовывают к виду
, так как
, что также дает табличный интеграл.

;

IV) Для интегрирования простейшей дроби IV типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют подстановкой
, а второй с помощью рекуррентных соотношений.

Пример 27.

Найти интегралы от простейших дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:

соответствует одна дробь вида;

– каждому множителю знаменателя
соответствует сумма дробей вида

соответствует дробь вида
;

– каждому квадратному множителю знаменателя
соответствует суммадробей вида

где – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.

Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов.

Т.к. многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв многочленах левой и правой частей, получим систему линейных уравнений. Решая систему, определяем неопределенные коэффициенты.

Метод частных значений.

Т.к. многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо в левую и правую части любое число, получим верное равенство, линейное относительно неизвестных коэффициентов. Подставляя столько значений, сколько неизвестных коэффициентов, получим систему линейных уравнений. Вместов левую и правую части можно подставлять любые числа, однако более удобно подставлять корни знаменателей дробей.

После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.

Схема интегрирования рациональных дробей:

1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.

3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.

4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 28.

Найти интегралы от рациональных дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.

Исходный интеграл примет вид:
.

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:

, получаем:

Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.

Тогда искомое разложение имеет вид:
.

=
.

б)
.

.

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:

.

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

.

в)
.

Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:

.

Приведя к общему знаменателю, получим:

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод частных значений. Придадим частные значения , при которых множители обращаются в нуль, т. е. подставим эти значения в последнее выражение и получим три уравнения:

;
;

;
;

;
.

Тогда искомое разложение имеет вид:

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Интегрирование по частям - метод, применяемый для решения определенных и неопределенных интегралов, когда одна из подынтегральных функций легко интегрируема, а другая дифференцируема. Достаточно распространенный метод нахождения интегралов как неопределенных, так и определенных. Главный признак, когда нужно использовать его - это состоящая из произведения двух функций некоторая функция, которую нельзя проинтегрировать в упор.

Формула

Для того, чтобы успешно использовать данный метод необходимо разобрать и выучить формулы.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$

Примеры решений

Рассмотрим на практике примеры решений интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.

Пример 1

Найти интеграл $ \int xe^xdx $

Решение

Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Пример 4

Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Решение

По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} $$ Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$ $$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$

Ответ

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$