Как находить промежутки монотонности функции. b - конечное число
Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.
Определения
Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция f(x)
определена на некотором множестве действительных чисел X
.
Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
, если для всех x′, x′′ ∈
X
таких что x′ < x′′
выполняется неравенство:
f(x′)
< f(x′′)
( f(x′)
> f(x′′)
)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей)
, если для всех x′, x′′ ∈
X
таких что x′ < x′′
выполняется неравенство:
f(x′)
≤ f(x′′)
( f(x′)
≥ f(x′′)
)
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Определение монотонной функции
Функция называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая.
Для исследования монотонности функции на некотором множестве X , нужно найти разность ее значений в двух произвольных точках , принадлежащих этому множеству. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.
Если на некотором множестве функция положительна: , то для определения монотонности, можно исследовать частное от деления ее значений в двух произвольных точках этого множества. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.
Теорема
Пусть функция f(x)
не убывает на интервале (a, b)
,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный левый предел в точке b
:
.
Если f(x)
не ограничена сверху, то .
Если f(x)
ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный правый предел в точке a
:
.
Если f(x)
не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция f(x)
не убывает на интервале (a, b)
,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Следствие
Пусть функция является монотонной на интервале .
Тогда в любой точке из этого интервала, существуют односторонние конечные пределы функции :
и .
Доказательство теоремы
Функция не убывает
b - конечное число
Функция ограничена сверху
1.1.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
.
;
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда
при .
Преобразуем последнее неравенство:
;
;
.
Поскольку ,
то .
Тогда
при .
при .
«Определения односторонних пределов функции в конечной точке»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b
конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
.
при .
Обозначим .
Тогда для любого существует ,
так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).
b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда при .
Или
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует число ,
так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b
равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M
существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .
Итак, для любого существует число ,
так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).
Функция не возрастает
Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .
Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B
может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой .
Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B
существует такой аргумент ,
для которого
.
По условию теоремы, .
Поэтому .
Поскольку функция не возрастает, то при .
Поскольку ,
то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b
.
Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки ,
существует такая проколотая левая окрестность точки b
,
что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен :
(см. универсальное определение предела функции по Коши).
Предел в точке a
Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.
Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .
Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.
Теперь осталось показать, что если существует предел функции при ,
то существует предел функции при ,
и эти пределы равны:
.
Введем обозначение:
(1)
.
Выразим f
через g
:
.
Возьмем произвольное положительное число .
Пусть есть эпсилон окрестность точки A
.
Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A
(см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое ,
что
при .
Пусть a
- конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a
,
используя неравенства:
при .
Заменим x
на -x
и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a
.
Тогда
при .
Пусть a
- бесконечное число, .
Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует такое ,
что
при .
Это означает, что
.
Теорема доказана.
Мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).
Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, - чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике
. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.
Определение 1.
Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.
1. Линейная функция у = kx +m
Если k > 0, то функция возрастает на всей (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х 1 < х 2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx 1 < kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.
Если же х 1 < х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 > kx 2 , а согласно свойству 2, из kx 1 > kx 2 следует, что kx 1 + m> kx 2 + т.
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.
Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 - возрастающая
функция.
2. Функция у = х2
1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче . Возьмем два неположительных числа х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 > - х 2 . Так как числа - х 1 и - х 2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , т.е. Это значит, что f(х 1) >f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2).
Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- 00 , 0] (рис. 128).
1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) > f(x 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) > f(x 2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).
2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х 1 < х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 > - х 2 , причем обе части последнего неравенства - положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функция убывает на открытом луче (- 00 , 0)
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.
Решение.
1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).
2) Построим и выделим его часть на отрезке (рис. 131).
3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).
Прочитаем график функции у = f(x).
1. Область определения функции - вся числовая прямая.
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке , убывает на луче , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на луче Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\) . Тогда уравнение перепишется в виде: \ Исследуем функцию \(f(t)\) . \ Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\) . Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \ Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \
Ответ:
\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)
Задание 2 #2653
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при которых уравнение \
имеет два корня.
(Задача от подписчиков.)
Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тогда уравнение примет вид: \ Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тогда наше уравнение примет вид: \
Найдем производную \
Заметим, что при всех \(w\ne 0\)
производная \(f"(w)>0\)
, т.к. \(7^w>0\)
, \(w^6>0\)
. Заметим также, что сама функция \(f(w)\)
определена при всех \(w\)
. Т.к. к тому же \(f(w)\)
непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\)
возрастает на всем \(\mathbb{R}\)
.
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\)
возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\)
. Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:
\ Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:
\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Ответ:
\((-\infty;1)\cup(1;2)\)
Задание 3 #3921
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все положительные значения параметра \(a\) , при которых уравнение
имеет как минимум \(2\) решения.
Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\)
, влево, а содержащие \(x^2\)
– вправо, и рассмотрим функцию
\
Тогда исходное уравнение примет вид:
\
Найдем производную:
\
Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\) , то \(f"(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .
Причем \(f"(t)=0\) , если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\) . Следовательно, \(f"(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .
Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\) .
Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\) .
Уравнение \(x^2-ax=0\)
при \(a=0\)
имеет один корень \(x=0\)
, а при \(a\ne 0\)
имеет два различных корня \(x_1=0\)
и \(x_2=a\)
.
Нам нужно найти значения \(a\)
, при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\)
.
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\)
.
Ответ:
\((0;+\infty)\) .
Задание 4 #1232
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет единственное решение.
Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\) ) и перепишем уравнение в виде: \
Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\) ).
Производная \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\) .
Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\) , то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .
Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.
Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\) , где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\) . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\) .
Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\) , которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]
При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\) , которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\) .
Рассмотрим случай \(a\ne 0\) . Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\) . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\) ).
Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.
Значит, \(a\in \mathbb{R}\) .
Ответ:
\(a\in \mathbb{R}\) .
Задание 5 #1234
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\) .
Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\) . Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\) .
Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\)
при всех значениях \(x\)
и \(a\)
, причем равна \(0\)
только при \(x=a=1\)
. Но при \(a=1\)
:
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)
уравнение \(2(x-1)^3=0\)
имеет единственный корень \(x=1\)
, не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\)
не может быть равно \(1\)
.
Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:
Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\) , необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]
Таким образом, \(a\in [-2;0]\) .
Ответ:
\(a\in [-2;0]\) .
Задание 6 #2949
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]
имеет корни.
(Задача от подписчиков)
ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.
1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&\sin x=2a+2\\
&\sin x=3\\
\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]
Данное уравнение должно иметь корни на \(\)
. Рассмотрим окружность:
Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.
2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]
Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\)
. Найдем ее производную: \
На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\)
, который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\)
.
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\)
. Значит, схематично график \(f(x)\)
выглядит так:
Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \ . При этих \(x\) :
Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\) . Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).
Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.
Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) - значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\) . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.
При \(x\geqslant 1\)
\(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \
0
\\cup
Ответ:
\(a\in (-\infty;-1]\cup}