Определение 1. Точка М(x 0 ; у 0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая функция z = f(x; y) достигает экстремума в точке М(x 0 ; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.
;

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными иликритическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция z = f(x; y):

а) определена в некоторой окрестности точки (x 0 ; y 0), в которой
и
;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

Тогда, если  = АС  B 2 > 0, то в точке (x 0 ; y 0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае  = АС  В 2 < 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Найти экстремум функции z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.

Решение . Найдем частные производные первого порядка:

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:

Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).

Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.

А =
= 2; С =
= 2;

В =
.

Составим дискриминант  = АС  В 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке z min = 9.

Найти экстремумы функций

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
в круге x 2 + y 2  1.

Решение . Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.

откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.

Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.

Найдем критические точки на границе области  окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = 1. Подставляя у 2 = 1  x 2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной

z =
;

причем x[1; 1].

Вычислив производную
и приравняв ее нулю, получим критические точки на границе области x 1 = 0, x 2 =, x 3 =

Найдем значение функции z(x) =
в критических точках и на концах отрезка [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.

Итак, z наиб. = z(0; 0) = 2

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции . Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной , которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной, являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной . Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче !

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции . Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ , как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности) .

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума . Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная - окрестность:

Собственно, определения:

Точка называется точкой строгого максимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .

Точка называется точкой строгого минимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».

Примечание : требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!) :

Точка называется точкой максимума , если существует её окрестность, такая, что для всех
Точка называется точкой минимума , если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё , направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .

Да, кстати, о королевских особах:
– значение называют максимумом функции;
– значение называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание : иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума , а экстремумы – локальными экстремумами . Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум . Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-)

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной .

Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения .

С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: .
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные , напоминаю, следуют непосредственно из определения производной .

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции : где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции :

Пример 1

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение :

1) На первом шаге нужно найти область определения функции , а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует .

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно , и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции . Поэтому повысим степень:

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение :

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-)

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент : точки не считаются критическими – в них функция не определена . Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ : функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:

Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается....
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ - точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)> f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.

Точки максимума и минимума часто называют общим термином - точки экстремума.

Если $(x_0,y_0)$ - точка максимума, то значение функции $f(x_0,y_0)$ в этой точке называют максимумом функции $z=f(x,y)$. Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции $z=f(x,y)$. Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином - экстремумы функции.

Алгоритм исследования функции $z=f(x,y)$ на экстремум

1. Найти частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$. Составить и решить систему уравнений $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{aligned} \right.$. Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.
2. Найти $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$, $\frac{\partial^2z}{\partial y^2}$ и вычислить значение $\Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2$ в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:
   1. Если $\Delta > 0$ и $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} > 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} > 0$), то в исследуемая точка есть точкой минимума.
   2. Если $\Delta > 0$ и $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} < 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Если $\Delta < 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Если $\Delta = 0$, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Если $\Delta > 0$, то $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2 > 0$. А отсюда следует, что $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2} > \left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2 ≥ 0$. Т.е. $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2} > 0$. Если произведение неких величин больше нуля, то эти величины одного знака. Т.е., например, если $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} > 0$, то и $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} > 0$. Короче говоря, если $\Delta > 0$ то знаки $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}$ и $\frac{\partial^2z}{\partial y^2}$ совпадают.

Пример №1

Исследовать на экстремум функцию $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$.

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=8x-6y-34; \frac{\partial z}{\partial y}=-6x+10y+42. $$

$$ \left \{ \begin{aligned} & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end{aligned} \right. $$

Сократим каждое уравнение этой системы на $2$ и перенесём числа в правые части уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end{aligned} \right. $$

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений . Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.

$$ \begin{aligned} & \Delta=\left| \begin{array} {cc} 4 & -3\\ -3 & 5 \end{array}\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\\ & \Delta_x=\left| \begin{array} {cc} 17 & -3\\ -21 & 5 \end{array}\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\\ & \Delta_y=\left| \begin{array} {cc} 4 & 17\\ -3 & -21 \end{array}\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33.\end{aligned} \\ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}=\frac{22}{11}=2; \; y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}=\frac{-33}{11}=-3. $$

Значения $x=2$, $y=-3$ - это координаты стационарной точки $(2;-3)$.

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=8; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=10; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=-6. $$

Вычислим значение $\Delta$:

$$ \Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Так как $\Delta > 0$ и $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0$, то согласно точка $(2;-3)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $(2;-3)$:

$$ z_{min}=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\cdot (-3)+7=-90. $$

Ответ : $(2;-3)$ - точка минимума; $z_{min}=-90$.

Пример №2

Исследовать на экстремум функцию $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$.

Будем следовать указанному выше . Для начала найдём частные производные первого порядка:

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=3x^2+3y^2-15; \frac{\partial z}{\partial y}=6xy-12. $$

Составим систему уравнений $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{aligned} \right.$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end{aligned} \right. $$

Сократим первое уравнение на 3, а второе - на 6.

$$ \left \{ \begin{aligned} & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end{aligned} \right. $$

Если $x=0$, то второе уравнение приведёт нас к противоречию: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Отсюда вывод: $x\neq 0$. Тогда из второго уравнения имеем: $xy=2$, $y=\frac{2}{x}$. Подставляя $y=\frac{2}{x}$ в первое уравнение, будем иметь:

$$ x^2+\left(\frac{2}{x} \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac{4}{x^2}-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Получили биквадратное уравнение. Делаем замену $t=x^2$ (при этом имеем в виду, что $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2}=\frac{5-3}{2}=1;\\ & t_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2}=\frac{5+3}{2}=4.\end{aligned} $$

Если $t=1$, то $x^2=1$. Отсюда имеем два значения $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $t=4$, то $x^2=4$, т.е. $x_3=2$, $x_4=-2$. Вспоминая, что $y=\frac{2}{x}$, получим:

\begin{aligned} & y_1=\frac{2}{x_1}=\frac{2}{1}=2;\\ & y_2=\frac{2}{x_2}=\frac{2}{-1}=-2;\\ & y_3=\frac{2}{x_3}=\frac{2}{2}=1;\\ & y_4=\frac{2}{x_4}=\frac{2}{-2}=-1. \end{aligned}

Итак, у нас есть четыре стационарные точки: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. На этом первый шаг алгоритма закончен.

Теперь приступим ко алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=6x; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=6x; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=6y. $$

Найдём $\Delta$:

$$ \Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(1;2)$. В этой точке имеем: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Так как $\Delta(M_1) < 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Исследуем точку $M_2(-1;-2)$. В этой точке имеем: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Так как $\Delta(M_2) < 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Исследуем точку $M_3(2;1)$. В этой точке получим:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3}=6\cdot 2=12. $$

Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3} > 0$, то согласно $M_3(2;1)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

$$ z_{min}=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Осталось исследовать точку $M_4(-2;-1)$. В этой точке получим:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_4}=6\cdot (-2)=-12. $$

Так как $\Delta(M_4) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_4} < 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_{max}=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Исследование на экстремум завершено. Осталось лишь записать ответ.

Ответ :

• $(2;1)$ - точка минимума, $z_{min}=-27$;
• $(-2;-1)$ - точка максимума, $z_{max}=29$.

Примечание

Вычислять значение $\Delta$ в общем случае нет необходимости, потому что нас интересует лишь знак, а не конкретное значение данного параметра. Например, для рассмотренного выше примера №2 в точке $M_3(2;1)$ имеем $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Здесь очевидно, что $\Delta > 0$ (так как оба сомножителя $36$ и $(2^2-1^2)$ положительны) и можно не находить конкретное значение $\Delta$. Правда, для типовых расчётов это замечание бесполезно, - там требуют довести вычисления до числа:)

Пример №3

Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.

Будем следовать . Для начала найдём частные производные первого порядка:

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=4x^3-4x+4y; \frac{\partial z}{\partial y}=4y^3+4x-4y. $$

Составим систему уравнений $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{aligned} \right.$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end{aligned} \right. $$

Сократим оба уравнения на $4$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end{aligned} \right. $$

Добавим к второму уравнению первое и выразим $y$ через $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Подставляя $y=-x$ в первое уравнение системы, будем иметь:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Из полученного уравнения имеем: $x=0$ или $x^2-2=0$. Из уравнения $x^2-2=0$ следует, что $x=-\sqrt{2}$ или $x=\sqrt{2}$. Итак, найдены три значения $x$, а именно: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt{2}$, $x_3=\sqrt{2}$. Так как $y=-x$, то $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt{2}$, $y_3=-x_3=-\sqrt{2}$.

Первый шаг решения окончен. Мы получили три стационарные точки: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt{2},\sqrt{2})$, $M_3(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.

Теперь приступим ко алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=12x^2-4; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=12y^2-4; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=4. $$

Найдём $\Delta$:

$$ \Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2-1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(0;0)$. В этой точке имеем: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Так как $\Delta(M_1) = 0$, то согласно требуется дополнительное исследование, ибо ничего определённого про наличие экстремума в рассматриваемой точке сказать нельзя. Оставим покамест эту точку в покое и перейдём в иным точкам.

Исследуем точку $M_2(-\sqrt{2},\sqrt{2})$. В этой точке получим:

\begin{aligned} & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt{2})^2-1)(3\cdot (\sqrt{2})^2-1)-1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_2}=12\cdot (-\sqrt{2})^2-4=24-4=20. \end{aligned}

Так как $\Delta(M_2) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_2} > 0$, то согласно $M_2(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_2$:

$$ z_{min}=z(-\sqrt{2},\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^4+(\sqrt{2})^4-2(-\sqrt{2})^2+4\cdot (-\sqrt{2})\sqrt{2}-2(\sqrt{2})^2+3=-5. $$

Аналогично предыдущему пункту исследуем точку $M_3(\sqrt{2},-\sqrt{2})$. В этой точке получим:

\begin{aligned} & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt{2})^2-1)(3\cdot (-\sqrt{2})^2-1)-1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3}=12\cdot (\sqrt{2})^2-4=24-4=20. \end{aligned}

Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3} > 0$, то согласно $M_3(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

$$ z_{min}=z(\sqrt{2},-\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4+(-\sqrt{2})^4-2(\sqrt{2})^2+4\cdot \sqrt{2}(-\sqrt{2})-2(-\sqrt{2})^2+3=-5. $$

Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $\Delta(M_1) = 0$. Согласно требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается "делайте, что хотите" :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, - и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $\Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ - точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) < 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=0$, т.е. точки вида $(x,0)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x^2-2)+3. $$

В всех достаточно малых окрестностях $M_1(0;0)$ имеем $x^2-2 < 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Но, может быть, точка $M_1(0;0)$ - точка максимума? Если это так, то для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) < z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) > 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.е. точки вида $(x,x)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Так как в любой окрестности точки $M_1(0;0)$ имеем $2x^4 > 0$, то $2x^4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.

Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.

Ответ : $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$, $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ - точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_{min}=-5$.

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y =

на отрезке [ ;]

Включать теорию

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

В чем состоят особенности схемы построения деятельности бизнес-инкубатора
Бизнес-инкубаторы рассматриваются, прежде всего, как часть инфраструктуры поддержки малого предпринимательства, но одновременно они являются инструментом экономической, социальной, структурной и инновационной политики. Технологические инкубаторы - это один из инструментов политики для формирования адаптивной, динамичной, конкурентоспособной национальной инновационной

Дракула (англ. Dracula) — персонаж литературных произведений и кинофильмов, вампир.Был придуман ирландским писателем Брэмом Стокером для романа «Дракула» (1897). По распространённому мнению, прототипом для этого персонажа послужила реальная историческая личность — Влад III Цепеш (Драку

Где найти информацию о телефоне Sony Ericsson K790
Информацию о телефоне Sony Ericsson K790 можно найти на следующих сайтах:www.mobiset.ru - информация о телефоне Sony Ericsson K790 на mobiset.ru ;www.mobidrive.ru - информация о телефоне Sony Ericsson K790 на mobid

Кто входит в состав группы "Мельница"
www.melnitsa.net — официальный сайт группы Мельница «Мельница» — российская фолк-рок группа из Москвы. Основана 15 октября 1999 года.Группа «Мельница» играет акустическую и электроакустическую музыку. Инструменты: виолончель, флей

Что такое лютня
Лютня — струнный щипковый музыкальный инструмент. В своей классической форме она имеет изящный корпус в форме половинки груши, шейку с ладами, колковую коробку, отогнутую назад под углом к шейке, звуковое отверстие в виде розетки и 11 струн (пять пар и одинарная дискантовая струна). Слово «лютня» употребляется также в самом общем смысле

Что такое томат (помидор)
Томат (помидор) — растение рода паслён, семейства Паслёновые, одно или многолетняя трава. Возделывается как овощная культура. Плоды томата известны под названием помидоры. Вид плода — ягода. ИсторияРодина — Южная Америка, где до сих пор встречаются дикие и полукультурные формы томата. В середине XVI века томат попал в Испанию, По

Где найти образец склонения субстантивированных существительных
Склонение имён существительных Склонение — это изменение имён существительных (и других именных частей речи) по падежам и числам. В русском языке два числа: единственное (окно, парта) и множественное (окна, парты); шесть падежей (по школьной программе). Падеж Вопросы падежей Именительный кто? что? Родительный кого? чего? Датель

Какие актрисы исполнили главные роли в сериале "Краткий курс счастливой жизни" на Первом канале
В российском телевизионном сериале «Краткий курс счастливой жизни», снятом в 2011 году режиссером Валерией Гай Германикой для Первого канала, главные роли исполнили 4 актрисы: Алиса Хазанова исполнила роль Любы; Светлана Ходченкова исполнила роль Саши; Анна Слю исполнила роль Ани; Ксения Громова исполнила роль Кати. Во второстепе

Чему равен синус 90 градусов
Синус — одна из тригонометрических функций, обозначется sin. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета), к гипотенузе.Значения синусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадра

Где в интернете есть платные аудиокурсы английского языка
Платные аудиокурсы английского языка можно найти под приведенными ниже ссылками: shop.iddk.ru — аудиокурсы английского языка на диске; london.ru — аудиокурсы на дисках, а так же книги; volxv.ru — аудио-видео курсы английского языка; ozon.ru — аудиокурсы на дисках

Информационно-рекрутинговые порталы Superjob.ru - рекрутинговый портал Superjob.ru работает на российском рынке онлайн-рекрутмента с 2000 года и является лидером среди ресурсов, предлагающих поиск работы и персонала. Ежедневно в базу данных сайта добавляется более 80 000 резюме специалистов и более 10 000 вакансий.