Как выразить число из экспоненты. Экстремумы, возрастание, убывание

Функция EXP в Excel используется для возведения числа Эйлера (константа e, которая примерно равна 2,718) в указанную степень и возвращает соответствующее числовое значение.

Примеры использования функции EXP в Excel

Вкладчику банка предложили два варианта вклада:

Вклад с годовой ставкой 16% и ежемесячной капитализацией.
Вклад с непрерывной капитализацией (число периодов капитализации – бесконечное множество за время действия депозитного договора) с годовой ставкой 16%.

Какое предложение является более выгодным? Сумма вклада – 50000 рублей, срок действия договора – 5 лет.

Вид исходной таблицы данных:

Формула для расчета будущей стоимости вклада для первого варианта депозитного договора:

БС(B3/B4;B4*B5;0;-B6)

Во втором случае капитализация происходит непрерывно, поэтому можно воспользоваться следующей функцией:

Описание аргументов:

C3 – годовая ставка;
C5 – срок действия договора;
C6 – начальная сумма вклада.

Полученные результаты:

Вариант с непрерывным ростом капитализации является более выгодным.

Расчет скорости деления клеток ткани в Excel

В начальный момент времени была только одна клетка живой материи. Каждые 5 минут такая клетка делится на 2 идентичные клетки. Определить, сколько клеток ткани образуется за 0,5 часа, 1,5 часа, сутки?

Исходная таблица имеет следующий вид:

Для расчета используем формулу массива:

EXP(A3*C3:C5/B3)

Описание аргументов:

A3 – прирост количества клеток (100%, то есть результатом деления одной клетки являются две новые клетки);
C3:C5/B3 – указанные по условию периоды, деленные на время жизни клетки до окончания процесса деления.

Полученные результаты:

Значение 1,E+125 эквивалентно 10 25 .

Скорость уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени

Количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое за полгода. Сколько будет весить вещество спустя 2 года, если начальная масса составляла 18 кг.

Вид исходной таблицы:

Формула для расчета:

B5*EXP(B2*B4/B3)

Описание аргументов:

B5 – начальная масса вещества;
B2 – прирост (отрицательное значение, поскольку количество вещества уменьшается);
B4/B3 – количество периодов, за которые происходит полураспад.

Результат вычислений:

Спустя 2 года от 18 кг останется всего примерно 330 г.

Особенности использования функции EXP в Excel

Функция EXP имеет следующую синтаксическую запись:

EXP(число )

Единственным и обязательным для заполнения аргументом является число , которое характеризует числовое значение показателя степени, в которую необходимо возвести константу e.

Примечания 1:

Функции LN и EXP являются противоположными друг другу по возвращаемому результату. Логарифм указывает, в какую степень необходимо возвести основание (в случае натурального логарифма lnx показатель равен примерно 2,718), чтобы получить показатель x. Функция EXP определяет показатель x.
Аргумент число может быть задан любым числом из диапазона действительных чисел (целые и дробные отрицательные, положительные значения и 0). Результат выполнения =EXP(0) равен 1.
В качестве аргумента EXP могут быть переданы логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые будут автоматически преобразованы к числовым значениям 1 и 0 соответственно.
Если в качестве аргумента число были переданы не преобразуемые к числовому значению имя или текстовая строка, функция EXP вернет код ошибки #ЗНАЧ!.
Функцию можно использовать в качестве формулы массива.

Примечания 2:

Как известно, число e является показателем степени натурального логарифма, который записывается, например, так: ln10, то есть, логарифм с основанием 2,718 из 10. Само число e является показателем роста для любого процесса, зависимые величины которого изменяются непрерывно с изменением независимых. В качестве примеров могут служить такие процессы, как деление живых клеток организма (через определенный период времени одна клетки делится на две, затем каждая из этих двух делится еще на две и так далее) или распад радиоактивных веществ (зная коэффициент распада можно узнать, сколько радиоактивного вещества уже распалось на более простые элементы).
Число e используется для аппроксимации (создания упрощенной модели) систем, величины которых изменяются неравномерно.
Чтобы понять физический смысл числа e, рассмотрим процесс роста капиталовложений в банке. Например, банк предложил 100%-е увеличение капитала по истечению определенного периода, например, 12 месяцев. То есть, прибыль вкладчика удвоится. Предположим, что процесс роста капитала является непрерывным на протяжении года. Тогда для расчета суммы капитала по истечению 6 месяцев можно использовать формулу R=(1+100%/2) 2 , где R – рост капитала, 2 – количество полупериодов роста. Если мы решим определить рост за 4 месяца, формула примет вид R=(1+100%/3) 3 , за 3 месяца - R=(1+100%/4) 4 и т. д. В общем случае имеем формулу R=(1+100%/x) x . Если x→∞ (стремится к бесконечности) R (рост) примет значение 2,718. Из этого следует, что максимально возможный 100%-й рост за мельчайший период времени не может превысить значение 2,718, которое и является числом e (числом Эйлера). В общем случае любой рост может быть выражен формулой R=e p*t , где p – прирост величины (например, не 100%, как в рассмотренном выше примеров, а 30%, то есть 0,3), а t – время (например, если депозитный договор рассчитан на 5 лет, то t=5). Тогда для расчета в Excel достаточно ввести формулу =EXP(0,3*5).

Инженерный калькулятор онлайн

Спешим представить всем желающим бесплатный инженерный калькулятор. С его помощью любой учащийся может быстро и, что самое главное, легко выполнять различного рода математические вычисления онлайн.

Калькулятор взят с сайта - web 2.0 scientific calculator

Простой и удобный в использовании инженерный калькулятор с ненавязчивым и понятным интерфейсом поистине будет полезен широчайшему кругу пользователей сети Интернет. Теперь, когда вам будет необходим калькулятор, заходите на наш сайт и пользуйтесь бесплатным инженерным калькулятором.

Инженерному калькулятору под силу выполнить как простые арифметические действия, так и довольно сложные математические расчеты.

Web20calc - инженерный калькулятор, который имеет огромное количество функций, к примеру, как вычисление всех элементарных функций. Также калькулятор поддерживает тригонометрические функции, матрицы, логарифмы и даже построение графиков.

Несомненно, Web20calc будет интересен той группе людей, которая в поиске простых решений набирает в поисковых системах запрос: математический онлайн калькулятор. Бесплатное веб-приложение поможет сиюминутно посчитать результат какого-нибудь математического выражения, к примеру, вычесть, сложить, поделить, извлечь корень, возвести в степень и т.д.

В выражении можно воспользоваться операциями возведения в степень, сложения, вычитания, умножения, деления, процентом, константой ПИ. Для сложных вычислений следует указывать скобки.

Возможности инжинерного калькулятора:

1. основные арифметические действия;
2. работа с цифрами в стандартном виде;
3. вычисление тригонометрических корней, функций, логарифмов, возведение в степень;
4. статистические расчеты: сложение, среднее арифметическое или среднеквадратическое отклонение;
5. применение ячейки памяти и пользовательских функций 2-х переменных;
6. работа с углами в радианной и градусной мерах.

Инженерный калькулятор допускает использование разнообразных математических функций:

Извлечение корней (корень квадратный, кубический, а также корень n-ой степени);
ex (e в x степени), экспонента;
тригонометрические функции: синус - sin, косинус - cos, тангенс - tan;
обратные тригонометрические функции: арксинус - sin-1, арккосинус - cos-1, арктангенс - tan-1;
гиперболические функции: синус - sinh, косинус - cosh, тангенс - tanh;
логарифмы: двоичный логарифм по основанию два - log2x, десятичный логарифм по основанию десять - log, натуральный логарифм – ln.

В этот инженерный калькулятор также включён калькулятор величин с возможностью конвертирования физических величин для различных систем измерений – компьютерные единицы, расстояние, вес, время и т.д. С помощью данной функции можно моментально произвести перевод миль в километры, фунтов в килограммы, секунд в часы и т.д.

Чтобы произвести математические расчеты, для начала введите последовательность математические выражения в соответствующее поле, затем нажмите на знак равенства и лицезрейте результат. Можно вводить значения прямо с клавиатуры (для этого область калькулятора должна быть активна, следовательно, нелишним будет поставить курсор в поле ввода). Помимо прочего, данные можно вносить при помощи кнопок самого калькулятора.

Для построения графиков в поле ввода следует записать функцию так, как указанно в поле с примерами или воспользуйтесь специально предназначенной для этого панелью инструментов (чтобы в нее перейти нажмите на кнопку с иконкой в виде графика). Для конвертации величин нажмите Unit, для проведения работ с матрицами – Matrix.

Экспонента (число e) - иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Число e играет большую роль в дифференциальном и интегральном исчислениях и используется практически во всех научных сферах. Столь сухое математическое определение совершенно не раскрывает сути о физическом смысле экспоненты. Рассмотрим подробнее.

Смысл числа e

Число Пи представляет собой не просто иррациональное число, равное 3,1415, а одинаковое для всех случаев соотношение длины окружности к диаметру. Точно так же и число e имеет свой собственный смысл.

Экспонента - это базовое соотношение роста для всех растущих процессов. Любое число можно рассматривать как увеличенную единицу, любой квадрат - как масштабированный единичный квадрат, любой равносторонний треугольник - как увеличенный или уменьшенный правильный треугольник, ну а любой коэффициент роста можно представить в виде масштабированного коэффициента е.

Именно операции с числом e дадут вам возможность определить темпы роста в таких ситуациях, как прирост населения, начисление процентов по депозиту или объем полураспада радиоактивного вещества.

Дискретный рост

В качестве базового примера системы непрерывного удвоения можно привести размножение бактерий, которые удваиваются каждые сутки. Если удвоение происходит один раз, то математически мы получаем 2 в первой степени, то есть просто 2. Если удвоений x раз, то в итоге мы получаем 2 в степени x бактерий, денег или любого другого добра.

Однако система может изменяться не в 2 раза, а например на 20% или 120%. В этом случае мы можем представить удвоение не как двойку, а как 1+1 или 1+100%. В такой записи мы можем подставить любой коэффициент прироста и получить формулу роста как:

Рост = (1 + прирост) x ,

где x - это количество циклов прироста.

Благодаря этой формуле мы можем узнать, сколько бактерий мы получим из одной клетки через 30 дней. Однако бактерии делятся дискретно, то есть пока новая клетка не сформируется в течение суток, она не сможет производить новые организмы. Применяя эту формулу к деньгам, мы получим совсем другой результат.

Непрерывный рост

При начислении процентов на деньги происходит не дискретный, а непрерывный рост. Как только по депозиту начисляется прибыль в размере пары пенни, эти деньги начинают приносить уже свою прибыль. Нет нужды ждать, пока «родится» целый доллар, который начнет делиться по подобию бактерий. Достаточно сформироваться центу, который начнет генерировать свою микроприбыль.

Представим, что мы вложили $1 в бизнес, который обещает нам 100% прибыли через год. Это значит, что мы получим прирост:

Доход = (1 + 1) 1 = 2

Всего $2 - негусто. Однако если мы разобьем год на два полугодия, то мы получим по 50 центов за каждые полгода. Полученные центы уже могут самостоятельно генерировать прибыль, и тогда формула изменится.

Доход = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Так как у нас теперь два периода удвоения, мы возвели прирост в квадрат и получили дополнительные 25 центов дохода. Если разбить нашу прибыль на 5 частей по 20 центов, то получится еще привлекательнее:

Доход = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Может быть, мы сможем разделить прибыль на бесконечно большое количество мелких частей и получим бесконечную прибыль? Увы, нет. Даже если мы разделим наш доллар на 100 000 частей, доход составит:

Доход= (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

При бесконечном дроблении доллара прибыль будет увеличиваться на стотысячные знаки после запятой. Наши 2,71826 доллара прибыли будут стремиться к значению 2,718281828, что есть ничто иное как число Е.

И что все это значит

Экспонента - это наибольший возможный результат стопроцентного непрерывного роста за конкретный период времени. Да, изначально нам обещают 100% прибыли, то есть всего $2, но каждый цент приносит свои дивиденды и по итогам у нас оказывается ровно $2,71828 прибыли. Число е – это максимум, который мы можем получить при разбиении прибыли на суммы бесконечно малых величин.

Это означает, что если при потенциальной стопроцентной прибыли мы вложим в бизнес $1, то получим $2,718 чистой прибыли. Если $2, то мы получим 2е чистой прибыли, а если $100, то наш профит составит 100е. Таким образом, e - это предельная константа, которая ограничивает процессы роста точно так же, как скорость света ограничивает передвижение информации в пространстве. Число е – это максимально возможный результат, труднодостижимый на практике, поэтому в реальности многие процессы описываются с использованием частей экспоненты.

Использование экспоненты на практике

На первый взгляд рост изображается в виде прибавления 1%, однако, математически такая прибавка выражается как умножение на 1,01. Таким образом, при операциях с числом e мы используем степени или корни. Или натуральные логарифмы, если нам необходима обратная операция. Какой бы коэффициент прироста мы не взяли, он будет означать степень для числа е. К примеру, если мы знаем, что в течение 3 лет получим прибыль в размере 200%, то мы просто умножаем прирост (e 2) на 3 периода и получаем:

Рост = (е 3) 2 = e 6

Для лучшего понимания рассмотрим примеры.

Депозит в банке

Допустим, мы положили на депозит в банке $100 под годовую ставку в размере 8%. Выбранный банк предлагает нам полную капитализацию процентов, какую же прибыль мы получим через 5 лет? Так как банк обеспечивает нам непрерывный рост денег, через 5 лет на нашем счету уже будет:

Прибыль = 100 × е (0,08 × 5) = 149,1

Потрясающе, правда? К сожалению, реальные банки редко используют сложные проценты, а если и рассчитывают капитализацию, то по своим формулам, которые несколько отличаются от классической экспоненты.

Период полураспада

Представьте, что у вас есть 5 кг радиоактивного урана, который распадается со скоростью 100% в год. Сколько урана у вас останется через 2 года? По идее, весь уран должен распасться за первый же год, однако это не так. Через 6 месяцев у вас останется только 2,5 кг урана, который в свою очередь начнет распадаться со скоростью всего 2,5 кг в год. Еще через пару месяцев в вашем хранилище останется 1 кг урана, но и он будет распадаться с еще меньшей скоростью на уровне 1 кг в год. С течением времени вы теряете радиоактивное топливо, при этом снижается и скорость распада. Таким образом, через 2 года у вас останется:

Радиоактивный остаток = 5 × e −2 = 0,676

Заключение

Экспонента находит широкое применение в ситуациях, где что-либо непрерывно или дискретно растет. Вы можете использовать калькулятор возведения числа e в степень для подсчета результатов роста любых непрерывных процессов.

y(x) = e x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.