Метод гаусса задания. Обратный ход метода гаусса
Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.
О методе
При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.
- Записываем расширенную матрицу.
- Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
- Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.
Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть нам требуется найти решение системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .
Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а 
.
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а 
. Таким образом, переменная x 2
исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.
Пример.
Решите систему линейных уравнений 
методом Гаусса.
Карл Фридрих Гаусс, величайший математик долгое время колебался, выбирая между философией и математикой. Возможно, именно такой склад ума позволил ему столь заметно "наследить" в мировой науке. В частности, создав "Метод Гаусса" ...
Почти 4 года статьи этого сайта касались школьного образования, в основном, со стороны философии, принципов (не)понимания, внедряемых в сознание детей. Приходит время бОльшей конкретики, примеров и методов... Я верю, что именно такой подход к привычным, запутанным и важным областям жизни дает лучшие результаты.
Мы, люди так устроены, что сколько ни говори об абстрактном мышлении , но понимание всегда происходит через примеры . Если примеры отсутствуют, то принципы уловить невозможно... Как невозможно оказаться на вершине горы иначе, как пройдя весь ее склон от подножия.
Тоже и со школой: пока живых историй недостаточно мы инстинктивно продолжаем считать ее местом, где детей учат понимать.
Например, обучая методу Гаусса...
Метод Гаусса в 5 классе школы
Оговорюсь сразу: метод Гаусса имеет гораздо более широкое применение, например, при решении систем линейных уравнений . То, о чем мы будем говорить, проходят в 5 классе. Это начала , уяснив которые, гораздо легче разобраться в более "продвинутых вариантах". В этой статье мы говорим о методе (способе) Гаусса при нахождении суммы ряда
Вот пример, который принес из школы мой младший сын, посещающий 5 класс московской гимназии.
Школьная демонстрация метода Гаусса
Учитель математики с использованием интерактивной доски (современные методы обучения ) показал детям презентацию истории "создания метода" маленьким Гауссом.
Школьный учитель выпорол маленького Карла (устаревший метод, нынче в школах не применяется) за то, что тот,
вместо того, чтобы последовательно складывая числа от 1 до 100 найти их сумму заметил , что пары чисел, равно отстоящие от краев арифметической прогрессии, в сумме дают одно и то же число. например, 100 и 1, 99 и 2. Посчитав количество таких пар, маленький Гаусс почти моментально решил предложенную учителем задачу. За что и был подвергнут экзекуции на глазах изумленной публики. Чтобы остальным думать было неповадно.
Что сделал маленький Гаусс, развивший чувство числа ? Заметил некоторую особенность числового ряда с постоянным шагом (арифметической прогрессии). И именно это сделало его впоследствии великим ученым, умеющим замечать , обладающим чувством, инстинктом понимания .
Этим и ценна математика, развивающая способность видеть общее в частном - абстрактное мышление . Поэтому большинство родителей и работодателей инстинктивно считают математику важной дисциплиной ...
"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
М.В.Ломоносов".
Однако, последователи тех, кто порол розгами будущих гениев, превратили Метод в нечто противоположное. Как 35 лет назад говорил мой научный руководитель: "Занаучили вопрос". Или как сказал вчера о методе Гаусса мой младший сын: "Может не стоит из этого большую науку делать-то, а?"
Последствия творчества "ученых" видны по уровню нынешней школьной математики, уровню ее преподавания и понимания "Царицы наук" большинством.
Однако, продолжим...
Методы объяснения метода Гаусса в 5 классе школы
Учитель математики московской гимназии, объясняя метод Гаусса по-Виленкину, усложнил задание.
Что, если разность (шаг) арифметической прогрессии будет не единица, а другое число? Например, 20.
Задача, которую он дал пятиклассникам:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Прежде, чем познакомиться с гимназическим методом, заглянем в Сеть: как это делают школьные учителя - репетиторы по математике?..
Метод Гаусса: объяснение №1
Известный репетитор на своем канале YOUTUBE приводит следующие рассуждения:
"запишем числа от 1 до 100 следующим образом:
сначала ряд чисел от 1 до 50, а строго под ним другой ряд чисел от 50 до 100, но в обратной последовательности"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Обратите внимание: сумма каждой пары чисел из верхнего и нижнего рядов одинакова и равняется 101 ! Посчитаем количество пар, оно составляет 50 и умножим сумму одной пары на количество пар! Вуаля: Ответ готов!".
"Если вы не смогли понять - не расстраивайтесь!", - три раза в процессе объяснения повторил учитель. "Этот метод вы будете проходить в 9 классе!"
Метод Гаусса: объяснение №2
Другой репетитор, менее известный (судя по числу просмотров) использует более научный подход, предлагая алгоритм решения из 5 пунктов, которые необходимо выполнить последовательно.
Для непосвященных: 5 это одно из чисел Фибоначчи, традиционно считающееся магическим. Метод из 5 шагов всегда более научен, чем метод, например, из 6 шагов. ... И это вряд ли случайность, скорее всего, Автор - скрытый приверженец теории Фибоначчи
Дана арифметическая прогрессия: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Алгоритм нахождения суммы чисел ряда методом Гаусса:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
При этом нужно помнить о правиле "Плюс один" : к полученному частному необходимо прибавить единицу: иначе мы получим результат, меньший на единицу, чем истинное число пар: 42 + 1 = 43.
Это и есть искомая сумма арифметической прогрессии от 4 до 256 с разницей 6 !
Метод Гаусса: объяснение в 5 классе московской гимназии
А вот как требовалось решить задачу нахождения суммы ряда:
20+40+60+ ... +460+480+500
в 5 классе московской гимназии, учебник Виленкина (со слов моего сына).
Показав презентацию, учительница математики показала пару примеров по методу Гаусса и дала классу задачу по нахождению суммы чисел ряда с шагом 20.
При этом требовалось следующее:
Как видим, это более компактная и эффективная методика: число 3 - также член последовательности Фибоначчи
Мои комментарии к школьной версии метода Гаусса
Великий математик определенно выбрал бы философию, если бы предвидел, во что превратят его "метод" последователи немецкого учителя , выпоровшего Карла розгами. Он узрел бы и символизм, и диалектическую спираль и неумирающую глупость "учителей", пытающихся измерить алгеброй непонимания гармонию живой математической мысли ....
Между прочим: знаете ли вы. что наша система образования уходит корнями в немецкую школу 18 - 19 веков?
Но Гаусс выбрал математику.
В чем суть его метода?
В упрощении . В наблюдении и схватывании простых закономерностей чисел. В превращении сухой школьной арифметики в интересное и увлекательное занятие , активизирующее в мозге желание продолжать, а не блокирующее высокозатратную умственную деятельность.
Разве возможно одной из приведенных "модификаций метода" Гаусса посчитать сумму чисел арифметической прогрессии почти моментально ? По "алгоритмам" маленький Карл гарантированно избежал бы порки, воспитал отвращение к математике и подавил на корню свои творческие импульсы.
Почему репетитор так настойчиво советовал пятиклассникам "не бояться непонимания" метода, убеждая, что "такие" задачи они будут решать аж в 9 классе? Психологически безграмотное действие . Удачным приемом было отметить : "Видите? Вы уже в 5 классе можете решать задачи, которые будете проходить только через 4 года! Какие вы молодцы!".
Для использования метода Гаусса достаточно уровня 3 класса , когда нормальные дети уже умеют складывать, умножать и делить 2 -3 значные числа. Проблемы возникают из-за неспособности взрослых учителей, "не въезжающих", как объяснить простейшие вещи нормальным человеческим языком, не то что математическим... Не способных заинтересовать математикой и напрочь отбивающих охоту даже у "способных".
Или, как прокомментировал мой сын: "делающих из этого большую науку".
Метод Гаусса, мои объяснения
Нашему ребенку мы с супругой объясняли этот "метод", кажется, еще до школы...
Простота вместо усложнения или игра в вопросы - ответы
""Посмотри, вот числа от 1 до 100. Что ты видишь?"
Дело не в том, что именно увидит ребенок. Фокус в том, чтобы он стал смотреть.
"Как можно их сложить?" Сын уловил, что такие вопросы не задаются "просто так" и нужно взглянуть на вопрос "как-то по-другому, иначе, чем он делает обычно"
Не важно, увидит ли ребенок решение сразу, это маловероятно. Важно, чтобы он перестал бояться смотреть, или как я говорю: "шевелил задачу" . Это начало пути к пониманию
"Что легче: сложить, например, 5 и 6 или 5 и 95?" Наводящий вопрос... Но ведь любое обучение и сводится к "наведению" человека на "ответ" - любым приемлемым для него способом.
На этом этапе уже могут возникнуть догадки о том, как "сэкономить" на вычислениях.
Все, что мы сделали - намекнули: "лобовой, линейный" метод счета - не единственно возможный. Если ребенок это усек, то впоследствии он выдумает еще много таких методов, ведь это интересно!!! И он точно избежит "непонимания" математики, не будет испытывать к ней отвращение. Он получил победу!
Если ребенок обнаружил , что сложение пар чисел, дающих в сумме сотню, плевое занятие, то "арифметическая прогрессия с разницей 1" - довольно муторная и неинтересная для ребенка вещь - вдруг для него обрела жизнь . Из хаоса возник порядок, а это всегда вызывает энтузиазм: так мы устроены !
Вопрос на засыпку: зачем после полученного ребенком озарения вновь загонять его в рамки сухих алгоритмов, к тому же функционально бесполезных в этом случае?!
Зачем заставлять тупо переписывать числа последовательности в тетрадь: чтобы даже у способных не возникло и единого шанса на понимание? Статистически, конечно, а ведь массовое образование заточено на "статистику" ...
Куда делся ноль?
И все-таки складывать числа, дающие в сумме 100 для ума гораздо более приемлемо, чем дающие 101 ...
"Школьный метод Гаусса" требует именно этого: бездумно складывать равноотстоящие от центра прогрессии пары чисел, несмотря ни на что .
А если посмотреть?
Все-таки ноль - величайшее изобретение человечества, которому более 2 000 лет. А учителя математики продолжают его игнорировать.
Гораздо проще преобразовать ряд чисел, начинающийся с 1, в ряд, начинающийся с 0. Сумма ведь не изменится, не правда ли? Нужно перестать "думать учебниками" и начать смотреть... И увидеть, что пары с суммой 101 вполне можно заменить парами с суммой 100 !
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Как упразднить "правило плюс 1"?
Если честно, то я о таком правиле впервые услышал от того ютубовского репетитора...
Как я до сих пор поступаю, когда требуется определить количество членов какого-нибудь ряда?
Смотрю на последовательность:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
а когда совсем устал, то на более простой ряд:
1, 2, 3, 4, 5
и прикидываю: если вычесть из 5 единицу, то получится 4, но я совершенно ясно вижу 5 чисел! Следовательно, нужно прибавить единицу! Чувство числа, развитое в начальной школе, подсказывает: даже если членов ряда будет целый гугл (10 в сотой степени), закономерность останется той же.
На фиг правила?..
Чтобы через пару - тройку лет заполнить все пространство между лбом и затылком и перестать соображать? А зарабатывать на хлеб с маслом как? Ведь мы ровными шеренгами движемся в эпоху цифровой экономики!
Еще о школьном методе Гаусса: "зачем науку-то из этого делать?.."
Я не зря разместил скриншот из тетрадки сына...
"Что там было, на уроке?"
"Ну, я сосчитал сразу, поднял руку, но она не спросила. Поэтому, пока остальные считали я стал делать ДЗ по русскому языку, чтобы не тратить время. Потом, когда остальные дописали (???), она вызвала меня к доске. Я сказал ответ."
"Правильно, покажи, как ты решал", - сказала учительница. Я показал. Она сказала: "Неправильно, нужно считать так, как я показала!"
"Хорошо, что двойку не поставила. И заставила написать в тетради "ход решения" по-ихнему. Зачем науку-то большую из этого делать?.."
Главное преступление учителя математики
Вряд ли после того случая Карл Гаусс испытал высокое чувство уважения по отношению к школьному учителю математики. Но если бы он знал, как последователи того учителя извратят самую суть метода ... он взревел бы от негодования и через Всемирную организацию интеллектуальной собственности ВОИС добился запрета на использование своего честного имени в школьных учебниках!..
В чем главная ошибка школьного подхода ? Или, как я выразился - преступление школьных учителей математики против детей?
Алгоритм непонимания
Что делают школьные методисты, абсолютное большинство которых думать не умеет ни фига?
Создают методики и алгоритмы (см. ). Это защитная реакция, предохраняющая учителей от критики ("Все делается согласно..."), а детей - от понимания. И таким образом - от желания критиковать учителей! (Вторая производная чиновничьей "мудрости", научный подход к проблеме ). Человек не улавливая смысл скорее будет пенять на собственное непонимание, а не на тупость школьной системы.
Что и происходит: родители пеняют на детей, а учителя... то же на детей, "не понимающих математику!..
Смекаете?
Что сделал маленький Карл?
Абсолютно нешаблонно подошел к шаблонной задаче . Это квинтэссенция Его подхода. Это главное, чему следует учить в школе: думать не учебниками, а головой . Конечно, есть и инструментальная составляющая, которую вполне можно использовать... в поисках более простых и эффективных методов счета .
Метод Гаусса по-Виленкину
В школе учат, что метод Гаусса состоит в том, чтобы
что, если число элементов ряда окажется нечетным , как в задаче, которую задали сыну?..
"Подвох" состоит в том, что в этом случае следует обнаружить "лишнее" число ряда и прибавить его к сумме пар. В нашем примере это число 260 .
Как обнаружить? Переписывая все пары чисел в тетрадь! (Именно почему учительница заставила детей делать эту тупую работу, пытаясь научить "творчеству" методом Гаусса... И именно поэтому такой "метод" практически неприменим к большим рядам данных, И именно поэтому он не является методом Гаусса).
Немного творчества в школьной рутине...
Сын же поступил иначе.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Несложно, правда?
А практически делается еще легче, что и позволяет выкроить 2-3 минуты на ДЗ по русскому, пока остальные "считают". К тому же сохраняет количество шагов методики: 5, что не позволяет критиковать подход за антинаучность.
Явно этот подход проще, быстрее и универсальнее, в стиле Метода. Но... учительница не то, что не похвалила, но и заставила переписать "правильным образом" (см. скриншот). То есть предприняла отчаянную попытку задушить творческий импульс и способность понимать математику на корню! Видимо, чтобы потом наняться репетитором... Не на того напала...
Все, что я так долго и нудно описал можно объяснить нормальному ребенку максимум за полчаса. Вместе с примерами.
Причем так, что он это никогда не забудет.
И это будет шаг к пониманию ... не только математики.
Признайтесь: сколько раз в жизни вы складывали методом Гаусса? И я ни разу!
Но инстинкт понимания , который развивается (или гасится) в процессе изучения математических методов в школе... О!.. Это поистине незаменимая вещь!
Особенно в век всеобщей цифровизации, в который мы незаметно вошли под чутким руководством Партии и Правительства.
Несколько слов в защиту учителей...
Несправедливо и неправильно всю ответственность за такой стиль обучения сваливать исключительно на школьных учителей. Действует система.
Некоторые учителя понимают абсурдность происходящего, но что делать? Закон об образовании, ФГОСы, методики, технологические карты уроков... Все должно делаться "в соответствии и на основании" и все должно быть задокументировано. Шаг в сторону - встал в очередь на увольнение. Не будем ханжами: зарплата московских учителей ну очень неплохая... Уволят - куда идти?..
Поэтому сайт этот не об образовании . Он об индивидуальном образовании , единственно возможном способе выбраться из толпы поколения Z ...
Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.
Элементарные преобразования системы уравнений - это:
- Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
- Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
- Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.
Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.
Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.
Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.
Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:
- Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
- Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
- Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
- Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.
В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
- Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
- Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.
Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:
Задача. Решить систему уравнений:
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
- Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
- Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
- Получили разрешенную систему, записываем ответ.
Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.
Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:
- После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
- После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.
Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.
Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.
Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
- Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
- Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.
Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).
Самые разрушительные цунами современности
Инопланетянин, родившийся на земле
Основатель франции. Конституция франции. Энергетика и добыча полезных ископаемых