Метод конечных объемов в аэродинамике. Метод конечных объемов

алгоритм программа моделирование

Отправной точкой метода конечных объёмов (МКО) является интегральная формулировка законов сохранения массы, импульса, энергии и др. Балансовые соотношения записываются для небольшого контрольного объема; их дискретный аналог получается суммированием по всем граням выделенного объема потоков массы, импульса и т.д., вычисленных по каким - либо квадратурным формулам. Поскольку интегральная формулировка законов сохранения не накладывает ограничений на форму контрольного объема, МКО пригоден для дискретизации уравнений гидрогазодинамики как на структурированных, так и на неструктурированных сетках с различной формой ячеек, что, в принципе, полностью решает проблему сложной геометрии расчетной области.

Следует заметить, однако, что использование неструктурированных сеток является довольно сложным в алгоритмическом отношении, трудоемким при реализации и ресурсоемким при проведении расчетов, в особенности при решении трехмерных задач. Это связано как с многообразием возможных форм ячеек расчетной сетки, так и с необходимостью применения более сложных методов для решения системы алгебраических уравнений, не имеющей определенной структуры. Практика последних лет показывает, что развитые разработки вычислительных средств, базирующихся на использовании неструктурированных сеток, по силам лишь достаточно крупным компаниям, имеющим соответствующие людские и финансовые ресурсы. Гораздо более экономичным оказывается использование блочно-структурированных сеток, предполагающее разбиение области течения на несколько подобластей (блоков) относительно простой формы, в каждой из которых строится своя расчетная сетка. В целом такая составная сетка не является структурированной, однако внутри каждого блока сохраняется обычная индексная нумерация узлов, что позволяет использовать эффективные алгоритмы, разработанные для структурированных сеток. Фактически, для перехода от одноблочной сетки к многоблочной необходимо лишь организовать стыковку блоков, т.е. обмен данными между соприкасающимися подобластями для учета их взаимного влияния. Заметим также, что разбиение задачи на отдельные относительно независимые блоки естественным образом вписывается в концепцию параллельных вычислений на кластерных системах с обработкой отдельных блоков на разных процессорах (компьютерах). Все это делает использование блочно-структурированных сеток в сочетании с МКО сравнительно простым, но чрезвычайно эффективным средством расширения геометрии решаемых задач, что исключительно важно для небольших университетских групп, разрабатывающих собственные программы в области гидрогазодинамики.

Отмеченные выше достоинства МКО послужили основанием к тому, что в начале 1990-х гг. именно этот подход с ориентацией на использование блочно-структурированных сеток был выбран авторами в качестве основы для разработки собственного пакета программ широкого профиля для задач гидрогазодинамики и конвективного теплообмена.

Ранее поминался метод подобластей, послуживший отправной точкой для ряда численных методов. Одним из таких методов является метод конечных объемов. Этот же метод является представителем еще одного широко распространившегося класса – интегральных методов. От классической формы записи метода подобластей взято разбиение расчетной области на подобласти и интегрирование невязки по подобласти. Отличием является отсутствие явной записи аппроксимирующей (пробной) функции. Но, по-прежнему, пытаемся «точно» решить уравнение в каждой подобласти. Поэтому по подобласти интегрируется исходное уравнение. Интегральные методы характеризуются тем, что сначала берется интеграл от дифференциального уравнения, получается интегральная форма записи уравнения. Затем уравнение в этой форме применяют к отдельным ячейкам сетки. В данном случае ячейки и подобласти – это одно и то же.

На самом деле, интегральная форма записи уравнений имеет (с точки зрения физики) даже более широкую область применения, чем дифференциальная. Дело в том, что при наличии разрывов функции, дифференциальные уравнения неприменимы, а их интегральные аналоги продолжают работать, работать и работать…. К сожалению, при их численной реализации это преимущество иногда утрачивается.

Как правило, интегралы от уравнений имеют простой и понятный физический смысл. Для примера рассмотрим уравнение неразрывности. Исходное дифференциальное уравнение записывается

проинтегрируем его по объему V, имеющему поверхность S, и по времени в интервале от t 0 до t 1 . При интегрировании производных воспользуемся формулой Стокса (частные случаи ее носят названия формул Грина и Остроградского-Гаусса). В результате получаем

В этой записи разность между первыми двумя интегралами означает изменение массы в заданном объеме за рассматриваемый интервал времени. А двойной интеграл показывает массу, втекающую в данный объем через ограничивающую его поверхность за тот же промежуток времени. Естественно, раз речь идет о численных методах, то эти интегралы считаются приближенно. И здесь начинаются вопросы аппроксимации, аналогичные тем, что рассматривались в методе конечных разностей.

Рассмотрим один из простейших случаев – двумерная прямоугольная равномерная сетка. В методе конечных объемов обычно значения функций определяются не в узлах сетки, а в центрах ячеек. Индексируются, соответственно, тоже не линии сетки в каждом направлении, а слои ячеек (см. рис.).

j-1

j

j+1

k-1

k

k+1

A

B

C

D

Для данного случая интегральная форма уравнения запишется так

Как видим, в данном случае мы получили обычное уравнение, какое могли написать и с помощью метода конечных разностей. Значит, к нему можно применять и те же методы исследования устойчивости. (Вопрос «на засыпку»: а устойчива ли данная схема?)

Но если мы получили то же самое, то стоило ли городить весь этот огород? В простейших случаях действительно никаких преимуществ мы не получаем. Но в ситуациях посложнее преимущества проявляются. Во-первых, как отмечалось выше, такие методы (даже в такой простейшей реализации) гораздо лучше описывают разрывы и области с высокими градиентами. При этом гарантируется выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, так как они соблюдаются в каждой ячейке. Во-вторых, эти методы выдерживают самые разнообразные издевательства над сеткой. Даже криволинейные, неравномерные и нерегулярные сетки не выбивают эти методы из колеи. Особенно часто эти преимущества ощущаются при задании граничных условий.

j-1

j

j+1

k-1

k

k+1

A

B

C

D

E

Например, для случая показанного на рисунке интегральная форма уравнения будет иметь вид

то есть просто там, где интеграл брали по площади полной ячейки, теперь берем по площади «обрезанной», там, где брали интеграл по полному ребру, теперь берем по оставшейся его части. Добавился интеграл по участку границы. Но он легко находится из граничных условий. В частности, если через стенку не подается массовый расход (а также не уносится масса с поверхности и/или пренебрегаем массовым потоком ионов, теряющих заряд на стенке), то такой интеграл просто равен нулю. В аналогичной записи уравнения энергии поток через стенку, как правило, приходится учитывать. Но его тоже нетрудно найти из граничных условий (если они правильно поставлены).

Для закрепления распишем, как будет выглядеть применение метода конечных объемов к одному из уравнений сохранения импульса. Возьмем плоский стационарный случай для однозарядных ионов. Пренебрежем вязкостью и упругими столкновениями. Получаем уравнение

Для прямоугольной сетки (см рис. выше) получаем

Простейшая аппроксимация такого уравнения запишется так

после сокращений получаем формулу

Использование метода конечных (контрольных) объемов продемонстрируем на примере двумерного стационарного уравнения теплопроводности:

Рис. 13. Расчетная сетка, используемая для решения уравнения (31)

методом конечных объемов

Используя теорему о среднем можно записать

,

где Δх, Δу – длины граней ячейки, x W – абсцисса левой ("западной") границы ячейки А, x Е – абсцисса правой ("восточной") границы, у N – ордината верхней ("северной") границы, у S – ордината нижней ("южной") границы, S * – средняя по ячейке скорость тепловыделения. Индекс у производных (*), в левой части (32), указывает на то, что их следует рассматривать как средние значения, определенные таким образом, чтобы правильно представить тепловые потоки на каждой из границ. С учетом данного обстоятельства, дискретный аналог (32) может быть получен без затруднений [Патанкар].

Таким образом, уравнение (32) описывает баланс тепла (закон сохранения энергии) в пределах ячейки А. При условии правильного описания тепловых потоков между ячейками, система, составленная из уравнений вида (32), примененных к каждому контрольному объему, будет верно описывать баланс тепла во всей расчетной области.

В завершение параграфа следует отметить, что в частных случаях расчетные формулы, полученные описанными выше способами, могут совпадать, а наиболее существенные отличия проявляются при использовании криволинейных неортогональных расчетных сеток.

5. Свойства дискретных схем

5.1 Точность

Точность характеризует приемлемость численной схемы для её практического использования. Оценка точности дискретной схемы представляется весьма сложной задачей, поскольку оказывается практически невозможно отделить ошибки, возникшие вследствие свойств схемы, от ошибок, возникших вследствие прочих факторов (таких как ошибки округления, неточность задания граничных и начальных условий и др.).

Когда говорят о точности дискретной схемы, обычно имеют в виду погрешность аппроксимации производных 27 . В частности, если погрешность аппроксимации сопоставима со второй степенью шага расчетной сетки, то говорят, что дискретная схема имеет второй порядок точности. Более подробно этот вопрос рассматривался в § 3.

5.2 Согласованность

Дискретная схема называется согласованной с исходным дифференциальным уравнением, если при измельчении расчетной сетки погрешность аппроксимации (см. § 3) стремится к нулю,

Известны расчетные схемы, у которых для достижения согласованности необходимо выполнение дополнительных условий, [Андерсон и К]. Поскольку проверка согласованности расчетных схем является задачей разработчиков (а не пользователей) программного обеспечения более подробно этот вопрос здесь обсуждаться не будет.

Преимущество этого метода заключается в том, что в его основе лежат законы сохранения. Поэтому, в отличие от метода конечных разностей, метод контрольного объема обеспечивает консервативность численной схемы, что позволяет даже на относительно грубых сетках получать приемлемые по точности решения .

Основная идея метода достаточно проста и легко поддается физической интерпретации. При дискретизации уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу, расчетная область разбивается на большое количество непересекающихся элементарных объемов, таким образом, чтобы каждый объем содержал только одну расчетную (узловую) точку. Совокупность элементарных объемов называется расчетной сеткой. Ячейки сетки могут иметь различную форму. Наиболее часто используются шестигранники (гексаэдры) и четырехгранники (тетраэдры). Метод контрольного объема позволяет использовать ячейки с произвольным числом граней (пирамиды, призмы, сложные многогранники и т. п.).

Решение системы уравнений (1)–(18) представляется в виде набора значений искомых параметров в центрах этих объемов. Например, если разбить объем помещения на 1000 отдельных элементарных объемов (ячеек), то в результате решения мы будем иметь 1000 значений температуры, скорости, давления и т. д. На рис. 2 представлен фрагмент расчетной области. Ячейки пронумерованы индексами i, j, k .

Рис. 2. Фрагмент расчетной области

Интегрирование дифференциальных уравнений производится по каждому элементарному объему. Интегралы вычисляются с использованием интерполяционных формул, при помощи которых определяют значения искомых переменных между расчетными точками. В результате получают дискретный аналог исходных уравнений в узловых точках, который отражает закон сохранения изучаемых переменных в каждом конечном объеме.

Следует отметить, что в большинстве современных расчетных гидродинамических пакетах таких как «STAR-CD», «FLUENT», «CFX» и многих других для дискретизации уравнений модели реализован метод контрольного объема.

Расчетные сетки

Процесс построения сетки относится к ключевым моментам проведения численного эксперимента. Выбор и построение адекватной для рассматриваемой задачи расчетной сетки является достаточно сложной и трудоемкой процедурой. Рациональный выбор сетки может значительно упростить численное решение задачи.

Рис. 3. Конфигурации ячеек сеток

Ячейки сетки могут иметь разную форму (рис. 3) и размеры, наилучшим образом подходящие для решения конкретной задачи. Наиболее простой вид сетки, когда ячейки одинаковы и имеют кубическую форму.

Как правило, вблизи твердых поверхностей сетка сгущается, т. е. ячейки имеют меньший размер по нормали к поверхности. Это делается для повышения точности расчетов в тех областях, где градиенты потоков изучаемых параметров изменяются быстрее, например, в пограничном слое.

Повысить точность расчетов и уменьшить ошибку аппроксимации можно 2 способами:

· повышением порядка точности дискретизации;

· уменьшением шага по сетке .

При решении нестационарных задач размеры ячеек Δx и шаг интегрирования по времени Δt связанны условием КФЛ (Куранта-Фридрихса-Леви): , u – скорость.

Универсальные вычислительные программы, применяемые в настоящее время в инженерной практике, позволяют работать на произвольных неструктурированных сетках с использованием сильно скошенных элементов. При этом порядок точности дискретизации, как правило, не превышает второго. Для получения качественного решения необходимо строить расчетные сетки с малым шагом.

В пакете STAR-CCM осуществлен переход на использование полиэдральных ячеек (похожих на футбольный мяч), что позволяет за счет объединения ячеек исключить появление сильно скошенных ячеек.

Основное преимущество неструктурированных сеток по сравнению с регулярными – заключается в большей гибкости при дискретизации физической области сложной формы. При этом ячейки сетки должны иметь соизмеримые объемы или площади и не должны пересекаться. Однако к недостаткам такого типа сеток относится увеличение размерности сетки. Как показывает практика, для одного и того же объекта неструктурированная сетка при ее правильном построении имеет примерно в два раза больше ячеек, чем структурированная, что естественно приводит к увеличению времени счета по отношению к регулярным сеткам. Однако во многих случаях неструктурированные сетки являются единственно возможным вариантом построения из-за сложности геометрии объекта. Кроме того, при рациональном выборе алгоритма построения сетки время, затрачиваемое на построение неструктурированной сетки, оказывается существенно меньше, чем время построения структурированной (блочно-структурированной) сетки. В результате суммарное время, затраченное на решение задачи (включая время построения сетки и время счета), может при использовании неструктурированных сеток оказаться намного меньше, чем в случае структурированных.

Определение требуемой размерности сетки, само по себе, является весьма сложной задачей. Универсальный способ, которым следует руководствоваться при выборе размерности сетки, сводится к тому, что получаемое решение не должно изменяться при увеличении количества ячеек (сеточная сходимость).

Для типовых задач проведение исследования сеточной сходимости не является обязательным, так как можно ориентироваться на полученные ранее результаты. При переходе к изучению нового типа задач следует в обязательном порядке выполнить исследование сеточной сходимости и определелить требования к расчетной сетке.

Отметим, что при решении реальных задач вентиляции и кондиционирования воздуха характерное количество ячеек составляет, как правило, от 500 тысяч до 3 – 4 млн. в зависимости от геометрической сложности объекта, набора искомых параметров и специфики задачи. При этом время счета на кластере, состоящем, например из 24 ядер, может доходить до недели, а при решении нестационарных задач – до нескольких недель.

Пакет STAR-CCM+ включает в себя модуль для построения расчетных сеток. Существуют также отдельные пакеты для построения сеток, например, широко используемая – ANSYS, ICEM CFD (ICEM). Построенные во внешних пакетах сетки могут быть импортированы в пакет STAR-CCM+.