Найти ранг матрицы: способы и примеры.

Рангом билинейной (а также рангом квадратичной) формы называется ранг ее матрицы. Одна и та же билинейная (квадратичная) функция в пространстве представляется, в зависимости от выбора того или иного базиса, различными билинейными (соответственно квадратичными) формами, матрицы которых связаны формулой (6) § 3. Однако имеет место замечательный факт: у всех этих матриц ранг один и тот же. Итак, имеет место

Теорема 4. Все билинейные (все квадратичные) формы, представляющие в различных базисах пространства одну и ту же билинейную (соответственно квадратичную) функцию, определенную в этом пространстве, имеют один и тот же ранг. Его естественно назвать рангом соответствующей функции.

Для доказательства этой теоремы достаточно убедиться в том, что матрицы, образующие левую и правую части равенства (6) § 3, имеют один и тот же ранг. Так как при этом С и суть невырождающиеся матрицы, то достаточно доказать следующее вспомогательное предложение:

Теорема 5. Умножая произвольную матрицу А (слева или справа) на невырожденную квадратную матрицу Q, мы не меняем ее ранга.

Доказательство этой теоремы, как мы увидим, опирается на следующее предложение, с доказательства которого мы и начнем.

Теорема 6. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой из перемножаемых матриц.

Теорему 6 достаточно доказать для произведения двух матриц. Итак, пусть

Записывая это равенство для данного k и любого , видим, что столбец матрицы С есть линейная комбинация всех столбцов матрицы А (с коэффициентами ).

Это верно для каждого k, так что столбцы матрицы С являются линейными комбинациями столбцов матрицы А.

Так как ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов, то из только что сказанного и из теоремы 5 главы XII сразу вытекает, что ранг матрицы С не превосходит ранга матрицы А.

Аналогично (опираясь все на то же равенство ) мы доказали бы, что ранг С не превосходит и ранга В. Теорема 6 доказана.

Теорема 5 является легким следствием теоремы 6. В самом деле, пусть А - матрица ранга , состоящая из строк и столбцов. Пусть - невырожденная матрица порядка , - невырожденная матрица порядка т. Тогда определены матрицы докажем, что их ранги совпадают с рангом матрицы А. Прежде всего, по теореме 6 имеем

Корабль 4-го ранга - это самоходный корабль водоизмещением до 500 тонн включительно, для несения службы на рейдах, в зоне Военно-Морских Баз(ВМБ) и прибрежной морской зоне.

В Российском Императорском флоте до 1917 года военные корабли делились на 3 ранга и все корабли менее 500 тонн относились к 3 рангу. Чин капитан 3 ранга в Российском Императорском флоте отсутствовал, так как в табели о рангах с 1890-1917 годах, капитан 2 ранга следовал сразу за чином старшего лейтенанта.

Морской Устав Русского Флота 1720 года, являлся основополагающим документом, который регламентировал все стороны флотской жизни на протяжении всего XVIII века. Устав разделял все чины на три основные категории - рядовые служители, офицеры, флагманы. Деления на обер-офицеров и штаб-офицеров в Уставе не было. Это деление появилось два года спустя в Табели о рангах. Флагманами в Уставе именовались категории, которые Табелью о рангах будут названы "генеральские чины". Наименования - матрос, штурман, шкипер, лейтенант, капитан, адмирал и другие в Уставе 1720 года рассматриваются в иной плоскости, нежели мы привыкли понимать. Здесь это не воинские звания, а должности. Званиями они будут становиться постепенно. Если сейчас мы пишем так - "командир крейсера капитан 1 ранга Петров", понимая, что это офицер в звании капитан 1 ранга, командующий крейсером, то для человека XVIII века такое словосочетание вызвало бы недоумение. Для них слова капитан было достаточно, чтобы понимать, что Петров командует крупным кораблем. Они написали бы "капитан 1 ранга Петров". Если перевести это на современный язык, то оно будет звучать так " Командир корабля 1 ранга Петров".

Современный Устав внутренней службы Вооруженных Сил Российской Федерации гласит:

138. Командир роты (корабля 4 ранга) в мирное и военное время отвечает: за боевую готовность и успешное выполнение боевых задач ротой (кораблем 4 ранга); за боевую подготовку, воспитание, воинскую дисциплину и морально-психологическое состояние личного состава; за поддержание внутреннего порядка в роте (на корабле 4 ранга); за сохранность и состояние вооружения, военной техники и другого имущества; за ведение ротного (корабельного) хозяйства. Командир роты (корабля 4 ранга) подчиняется командиру батальона (дивизиона кораблей) и является прямым начальником всего личного состава роты (корабля 4 ранга).

139. Командир роты (корабля 4 ранга) является непосредственным организатором обучения и повседневного воспитания личного состава. Он обязан:
- организовывать в роте (на корабле 4 ранга) боевую подготовку, составлять расписание занятий на неделю, проводить занятия с офицерами, прапорщиками (мичманами) и сержантами (старшинами), а также с личным составом роты (корабля 4 ранга); при выполнении боевых задач умело управлять ротой (кораблем 4 ранга);
- проверять знания и практические навыки солдат (матросов), сержантов, (старшин), прапорщиков (мичманов) и офицеров роты (корабля 4 ранга);
- знать воинское звание, фамилию, национальность, срок службы, занимаемую должность и специальность, семейное положение, деловые и морально-психологические качества каждого военнослужащего роты (корабля 4 ранга), постоянно проводить с ними индивидуальную работу по воинскому воспитанию;
- осуществлять отбор кандидатов для приема на военную службу, а также для поступления в военные образовательные учреждения профессионального образования;
- представлять солдат (матросов) и сержантов (старшин) к присвоению очередных воинских званий, выдвигать достойных для замещения вакантных должностей;
- организовывать размещение личного состава, поддерживать внутренний порядок, воинскую дисциплину в роте (на корабле 4 ранга); следить за внешним видом и выправкой подчиненных ему военнослужащих, за выполнением ими правил ношения военной формы одежды, за правильной подгонкой снаряжения, обмундирования и обуви;
- организовывать подготовку личного состава суточного (корабельного) наряда, назначаемого от роты (корабля 4 ранга), и контролировать несение им службы;
- еженедельно подводить итоги состояния боевой подготовки, воинской дисциплины и внутреннего порядка;
- периодически присутствовать на подъеме и вечерней поверке в роте (на корабле 4 ранга);
- знать материальную часть, правила эксплуатации вооружения и военной техники роты (корабля 4 ранга);
- организовывать своевременное получение, правильную эксплуатацию и ремонт вооружения, военной техники и других материальных средств роты (корабля 4 ранга); проверять не реже одного раза в месяц их наличие, состояние и учет (командиру корабля - не реже одного раза в месяц проводить смотр корабля, осмотр его вооружения, боеприпасов, технических средств и производить ежедневный обход корабля); результаты осмотра (проверки) вооружения, военной техники и боеприпасов заносить в книгу осмотра (проверки) вооружения, военной техники и боеприпасов (приложение 12);
- проверять подготовку вооружения и военной техники роты (корабля 4 ранга) перед каждым выходом на учения или занятия, а также их наличие по возвращении с учений или занятий; принимать меры по предупреждению катастроф, аварий и поломок вооружения и военной техники (командиру корабля, кроме того, - обеспечивать живучесть корабля и безопасность его плавания); обеспечивать выполнение личным составом требований безопасности при проведении занятий, стрельб, учений и работ;
- своевременно обеспечивать военнослужащих роты (корабля 4 ранга) положенным довольствием, заботиться о быте своих подчиненных и вникать в их нужды, следить за соблюдением ими правил личной гигиены;
- следить за содержанием и правильной эксплуатацией всех помещений, отведенных для роты, за поддержанием в чистоте участка территории, закрепленного за ротой (на корабле - осматривать жилые и служебные помещения, постоянно следить за исправным состоянием корпуса корабля), а также за проведением противопожарных мероприятий в роте (на корабле 4 ранга);
- вести учет личного состава роты (корабля 4 ранга), всегда точно знать его численность по списку, налицо и в расходе, наличие, состояние вооружения, военной техники и других материальных средств; сличать один раз в месяц данные ротного (корабельного) учета личного состава, а также материальных средств с учетными данными полка (бригады кораблей);
- руководить ротным (корабельным) хозяйством.

Корабли 4-го ранга не имеют гюйса.

Командуют кораблями 4-го ранга младшие офицеры (лейтенант, старший лейтенант, капитан-лейтенант) или мичман (старший мичман).

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям , а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r +1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r -го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы . Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r -го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r .

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

Если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

Возьмём минор

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1 ).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2 ).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2 ).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

,

,

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2 ).

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .

-1717 годов . Было введено Петром I предположительно для командиров малых кораблей, главным образом гребных . В дальнейшем его предполагалось присваивать командирам кораблей 4-го ранга , но петровским Морским уставом 1720 года (который и вводил данный ранг кораблей) оно уже не предусматривалось.

По статусу звание капитана 4 ранга было выше капитан-лейтенанта и ниже капитана 3-го ранга .

Переаттестация офицеров этого звания шла в период 1717-1719 годов , большинство из них были произведены в капитаны 3-го ранга, но некоторые сразу производились в капитаны 1-го ранга .

Напишите отзыв о статье "Капитан 4-го ранга"

Примечания

Литература

• Дыгало В. А. Откуда и что на флоте пошло// Издательство: Крафт +. : Москва, 2000, ISBN 5-93675-013-2

Отрывок, характеризующий Капитан 4-го ранга

– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]