Обратная теорема пифагора если в треугольнике сумма. Урок "теорема, обратная теореме пифагора"

Формальный заряд атома в соединениях — вспомогательная величина, обычно ее используют в описаниях свойств элементов в химии. Этот условный электрический заряд и есть степень окисления. Его значение изменяется в результате многих химических процессов. Хотя заряд является формальным, он ярко характеризует свойства и поведение атомов в окислительно-восстановительных реакциях (ОВР).

Окисление и восстановление

В прошлом химики использовали термин «окисление», чтобы описать взаимодействие кислорода с другими элементами. Название реакций произошло от латинского наименования кислорода - Oxygenium. Позже выяснилось, что другие элементы тоже окисляют. В этом случае они восстанавливаются — присоединяют электроны. Каждый атом при образовании молекулы изменяет строение своей валентной электронной оболочки. В этом случае появляется формальный заряд, величина которого зависит от количества условно отданных или принятых электронов. Для характеристики этой величины ранее применяли английский химический термин "oxidation number", который в переводе означает «окислительное число». При его использовании исходят из допущения, что связывающие электроны в молекулах или ионах принадлежат атому, обладающему более высоким значением электроотрицательности (ЭО). Способность удерживать свои электроны и притягивать их от других атомов хорошо выражена у сильных неметаллов (галогенов, кислорода). Противоположными свойствами обладают сильные металлы (натрий, калий, литий, кальций, другие щелочные и щелочноземельные элементы).

Определение степени окисления

Степенью окисления называют заряд, который атом приобрел бы в том случае, если бы принимающие участие в образовании связи электроны полностью сместились к более электроотрицательному элементу. Есть вещества, не имеющие молекулярного строения (галогениды щелочных металлов и другие соединения). В этих случаях степень окисления совпадает с зарядом иона. Условный или реальный заряд показывает, какой процесс произошел до того, как атомы приобрели свое нынешнее состояние. Положительное значение степени окисления — это общее количество электронов, которые были удалены из атомов. Отрицательное значение степени окисления равно числу приобретенных электронов. По изменению состояния окисления химического элемента судят о том, что происходит с его атомами в ходе реакции (и наоборот). По цвету вещества определяют, какие произошли перемены в состоянии окисления. Соединения хрома, железа и ряда других элементов, в которых они проявляют разную валентность, окрашены неодинаково.

Отрицательное, нулевое и положительное значения степени окисления

Простые вещества образованы химическими элементами с одинаковым значением ЭО. В этом случае связывающие электроны принадлежат всем структурным частицам в равной степени. Следовательно, в простых веществах элементам несвойственно состояние окисления (Н 0 2 , О 0 2 , С 0). Когда атомы принимают электроны или общее облако смещается в их сторону, заряды принято писать со знаком "минус". Например, F -1 ,О -2 , С -4 . Отдавая электроны, атомы приобретают реальный или формальный положительный заряд. В оксиде OF 2 атом кислорода отдает по одному электрону двум атомам фтора и находится в состоянии окисления О +2 . Считают, что в молекуле или многоатомном ионе более электроотрицательные атомы получают все связывающие электроны.

Сера — элемент, проявляющий разные валентность и степени окисления

Химические элементы главных подгрупп зачастую проявляют низшую валентность равную VIII. Например, валентность серы в сероводороде и сульфидах металлов — II. Для элемента характерны промежуточные и высшая валентность в возбужденном состоянии, когда атом отдает один, два, четыре или все шесть электронов и проявляет соответственно валентности I, II, IV, VI. Такие же значения, только со знаком "минус" или "плюс", имеют степени окисления серы:

в сульфиде фтора отдает один электрон: -1;
в сероводороде низшее значение: -2;
в диоксиде промежуточное состояние: +4;
в триоксиде, серной кислоте и сульфатах: +6.

В своем высшем состоянии окисления сера только принимает электроны, в низшей степени — проявляет сильные восстановительные свойства. Атомы S +4 могут проявлять в соединениях функции восстановителей или окислителей в зависимости от условий.

Переход электронов в химических реакциях

При образовании кристалла поваренной соли натрий отдает электроны более электроотрицательному хлору. Степени окисления элементов совпадают с зарядами ионов: Na +1 Cl -1 . Для молекул, созданных путем обобществления и смещения электронных пар к более электроотрицательному атому, применимы только представления о формальном заряде. Но можно предположить, что все соединения состоят из ионов. Тогда атомы, притягивая электроны, приобретают условный отрицательный заряд, а отдавая, — положительный. В реакциях указывают, какое число электронов смещается. Например, в молекуле диоксида углерода С +4 О - 2 2 указанный в верхнем правом углу индекс при химическом символе углерода отображает количество электронов, удаленных из атома. Для кислорода в этом веществе характерно состояние окисления -2. Соответствующий индекс при химическом знаке О — количество добавленных электронов в атоме.

Как подсчитать степени окисления

Подсчет количества отданных и присоединенных атомами электронов может отнять много времени. Облегчают эту задачу следующие правила:

В простых веществах степени окисления равны нулю.
Сумма окисления всех атомов или ионов в нейтральном веществе равна нулю.
В сложном ионе сумма степеней окисления всех элементов должна соответствовать заряду всей частицы.
Более электроотрицательный атом приобретает отрицательное состояние окисления, которое записывают со знаком "минус".
Менее электроотрицательные элементы получают положительные степени окисления, их записывают со знаком "плюс".
Кислород в основном проявляет степень окисления, равную -2.
Для водорода характерное значение: +1, в гидридах металлов встречается: Н-1.
Фтор — наиболее электроотрицательный из всех элементов, его состояние окисления всегда равно -4.
Для большинства металлов окислительные числа и валентности совпадают.

Степень окисления и валентность

Большинство соединений образуются в результате окислительно-восстановительных процессов. Переход или смещение электронов от одних элементов к другим приводит к изменению их состояния окисления и валентности. Зачастую эти величины совпадают. В качестве синонима к термину «степень окисления» можно использовать словосочетание «электрохимическая валентность». Но есть исключения, например, в ионе аммония азот четырехвалентен. Одновременно атом этого элемента находится в состоянии окисления -3. В органических веществах углерод всегда четырехвалентен, но состояния окисления атома С в метане СН 4 , муравьином спирте СН 3 ОН и кислоте НСООН имеют другие значения: -4, -2 и +2.

Окислительно-восстановительные реакции

К окислительно-восстановительным относятся многие важнейшие процессы в промышленности, технике, живой и неживой природе: горение, коррозия, брожение, внутриклеточное дыхание, фотосинтез и другие явления.

При составлении уравнений ОВР подбирают коэффициенты, используя метод электронного баланса, в котором оперируют следующими категориями:

степени окисления;
восстановитель отдает электроны и окисляется;
окислитель принимает электроны и восстанавливается;
число отданных электронов должно быть равно числу присоединенных.

Приобретение электронов атомом приводит к понижению его степени окисления (восстановлению). Утрата атомом одного или нескольких электронов сопровождается повышением окислительного числа элемента в результате реакций. Для ОВР, протекающих между ионами сильных электролитов в водных растворах, чаще используют не электронный баланс, а метод полуреакций.

Решение задачи:

252 = 242 + 72, значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е. S = hс * с: 2, где с - гипотенуза, hс - высота, проведённая к гипотенузе, тогда hс = = = 6,72 (см)

Ответ: 6,72 см.

Цель этапа:

Слайд № 4

«4» - 1 неверный ответ

«3» - ответы неверные.

Предлагаю выполнить:

Слайд № 5

Цель этапа:

В заключении урока:

На доске записаны фразы:

Урок полезен, все понятно.

Еще придется потрудиться.

Да, трудно все-таки учиться!

Просмотр содержимого документа
«Проект урока математики "Теорема, обратная теореме Пифагора" »

Проект урока «Теорема, обратная теореме Пифагора»

Урок «открытия» новых знаний

Цели урока:

деятельностная: формирование у обучающихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия на основе метода рефлексивной самоорганизации;

образовательная: расширение понятийной базы за счёт включения в неё новых элементов.

Этап мотивации учебной деятельности (5 мин)

Взаимное приветствие учителя и обучающихся, проверка подготовленности к уроку, организация внимания и внутренней готовности, быстрое включение учеников в деловой ритм посредством решения задач по готовым чертежам:

Найти ВС, если АВСД – ромб.

АВСД – прямоугольник. АВ:АД = 3:4. Найти АД.

Найти АД.

Найти АВ.

Найти ВС.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

1.ВС = 3; 2.АД = 4см; 3.АВ = 3√2см.

Этап «открытия» новых знаний и способов действия (15 мин)

Цель этапа: формулировка темы и целей урока с помощью подводящего диалога (приём «проблемная ситуация»).

Сформулировать утверждения, обратные данным и выяснить, верны ли они: слайд № 1

В последнем случае ученики могут сформулировать утверждение, обратное данному.

Инструктаж к работе в парах по изучению доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора.

Я инструктирую обучающихся о способе деятельности, о месте нахождения материала.

Задание парам: слайд № 2

Самостоятельная работа в парах по изучению доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора. Публичная защита доказательства.

Одна из пар начинает своё выступление с формулировки теоремы. Идёт активное обсуждение доказательства, в ходе которого с помощью вопросов учителя и учеников обосновывается тот или иной вариант.

Сравнение доказательства теоремы с доказательством учителя

Учитель работает у доски, обращаясь к ученикам, которые работают в тетради.

Дано: АВС – треугольник, АВ 2 = АС 2 + ВС 2

Выяснить, является ли АВС прямоугольным. Доказательство:

Рассмотрим А 1 В 1 С 1 такой, что ˂С = 90 0 , А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС. Тогда по теореме Пифагора А 1 В 1 2 = А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 .

Так как А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС, то: А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 = АС 2 + ВС 2 = АВ 2 , следовательно, АВ 2 = А 1 В 1 2 и АВ = А 1 В 1 .

А 1 В 1 С 1 = АВС по трём сторонам, откуда ˂С = ˂С 1 = 90 0 , то есть АВС – прямоугольный. Итак, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Данное утверждение называют теоремой, обратной теореме Пифагора.

Публичное выступление одного из обучающихся о Пифагоровых треугольниках (заранее подготовленная информация).

Слайд № 3

После информации задаю ученикам несколько вопросов.

Являются ли пифагорывыми треугольниками треугольники:

с гипотенузой 25 и катетом 15;

с катетами 5 и 4?

Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи (10 мин)

Цель этапа: продемонстрировать применение теоремы, обратной теореме Пифагора в процессе решения задач.

Предлагаю решить задачу № 499 а) из учебника. Один из обучающихся приглашается к доске, прорешивает задачу с помощью учителя и учеников, проговаривая решение во внешней речи. В процессе выступления приглашённого ученика, я задаю несколько вопросов:

Как проверить, является ли треугольник прямоугольным?

К какой из сторон будет проведена меньшая высота треугольника?

Какой способ вычисления высоты треугольника часто используют в геометрии?

Используя формулу для вычисления площади треугольника, найдите нужную высоту.

Решение задачи:

25 2 = 24 2 + 7 2 , значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е. S = h с * с: 2, где с – гипотенуза, h с – высота, проведённая к гипотенузе, тогда h с = = = 6,72 (см)

Ответ: 6,72 см.

Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону (10 мин)

Цель этапа: совершенствовать самостоятельную деятельность на уроке, осуществляя самопроверку, учить давать оценку деятельности, анализировать, делать выводы.

Предлагается самостоятельная работа с предложением адекватно оценить свою работу и поставить соответствующую оценку.

Слайд № 4

Критерии выставления оценки: «5» - все ответы верные

«4» - 1 неверный ответ

«3» - ответы неверные.

Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (3 мин).

Сообщаю обучающимся о домашнем задании, разъясняю методику его выполнения, проверяю понимание содержания работы.

Предлагаю выполнить:

Слайд № 5

Этап рефлексии учебной деятельности на уроке (2мин)

Цель этапа: учить обучающихся оценивать свою готовность обнаруживать незнания, находить причины затруднений, определять результат своей деятельности.

На этом этапе я предлагаю каждому ученику выбрать только одного из ребят, кому хочется сказать спасибо за сотрудничество и пояснить, в чем именно это сотрудничество проявилось.

Благодарственное слово учителя является завершающим. При этом я выбираю тех, кому досталось наименьшее количество комплиментов.

В заключении урока:

На доске записаны фразы:

Урок полезен, все понятно.

Лишь кое-что чуть-чуть неясно.

Еще придется потрудиться.

Да, трудно все-таки учиться!

Дети подходят и ставят знак (галочку) у тех слов, которые им больше всего подходят по окончании урока.

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a 2 + b 2 = c 2 ,

a и b – катеты, образующие прямой угол.
с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c) ,
r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c , такой, что

a 2 + b 2 = c 2 ,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

Дополнительный материал:

Рассмотрение тем школьной программы с помощью видеоуроков является удобным способом изучения и усвоения материала. Видео помогает сконцентрировать внимание учащихся на основных теоретических положениях и не упускать важных деталей. При необходимости школьники всегда могут прослушать видеоурок повторно или вернуться на несколько тем назад.

Данный видеоурок для 8-го класса поможет учащимся изучить новую тему по геометрии.

В предыдущей теме мы изучили теорему Пифагора и разобрали ее доказательство.

Существует также теорема, которая известна как обратная теорема Пифагора. Рассмотрим ее подробнее.

Теорема. Треугольник является прямоугольным, если в нем выполняется равенство: значение одной стороны треугольника, возведенной в квадрат, такое же, как сумма возведенных в квадрат двух других сторон.

Доказательство. Допустим, нам дан треугольник ABC, в котором выполняется равенство AB 2 = CA 2 + CB 2 . Необходимо доказать, что угол С равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник A 1 B 1 C 1 , в котором угол С 1 равен 90 градусов, сторона C 1 A 1 равна CA и сторона B 1 C 1 равна BС.

Применяя теорему Пифагора, запишем отношение сторон в треугольнике A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Произведя замену в выражении на равные стороны, получим A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Из условий теоремы мы знаем, что AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тогда можем записать A 1 B 1 2 = AB 2 , из чего следует, что A 1 B 1 = AB.

Мы нашли, что в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны три стороны: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Значит, эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что угол С равен углу С 1 и соответственно равен 90 градусов. Мы определили, что треугольник ABC прямоугольный и его угол С равен 90 градусов. Мы доказали данную теорему.

Далее автор приводит пример. Допустим, дан произвольный треугольник. Известны размеры его сторон: 5, 4 и 3 единиц. Проверим утверждение из теоремы, обратной теореме Пифагора: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Утверждение верно, значит данный треугольник прямоугольный.

В следующих примерах треугольники также будут прямоугольными, если их стороны равны:

5, 12, 13 единиц; равенство 13 2 = 5 2 + 12 2 является верным;

8, 15, 17 единиц; равенство 17 2 = 8 2 + 15 2 является верным;

7, 24, 25 единиц; равенство 25 2 = 7 2 + 24 2 является верным.

Известно понятие пифагорового треугольника. Это прямоугольный треугольник, у которого значения сторон равны целым числам. Если катеты пифагорового треугольника обозначить через a и c, а гипотенузу b, то значения сторон этого треугольника можно записать с помощью следующих формул:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

где m, n, k- любые натуральные числа, причем значение m больше значения n.

Интересный факт: треугольник со сторонами 5, 4 и 3 называют также египетским треугольником, такой треугольник был известен еще в Древнем Египте.

В данном видеоуроке мы ознакомились с теоремой, обратной теореме Пифагора. Подробно рассмотрели доказательство. Также учащиеся узнали, какие треугольники называют пифагоровыми.

Учащиеся с легкостью могут ознакомиться с темой «Теорема, обратная теореме Пифагора» самостоятельно с помощью данного видеоурока.