Последовательность задана рекуррентной формулой xn 2. Свойства числовых последовательностей
Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
Цели урока:
- формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;
- формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность;
- развитие умений применять ранее изученный материал;
- развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;
- воспитание умений работать в паре, оценивать себя.
Оборудование: кодоскоп, набор прозрачных пленок с заданиями, раздаточный материал, плакат со способами задания последовательностей.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Подготовка к восприятию новых знаний.
Учащимся предлагается устно решить 2 задачи:
Задача № 1: На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля на складе будет в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
Задача № 2: При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, и в каждую следующую на 9,8 м больше. Какое расстояние будет пройдено падающим телом за 1 сек? 2 сек? 3 сек? 4 сек? 5 сек?
Ответы учащихся записываются на доске: Зад.1: 500; 530; 560; 590; 620
Зад.2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44,1
Задаются вопросы к задачам:
к задаче 1: Сколько угля будет на складе на 35 дней?
к задаче 2: Какое расстояние будет пройдено телом за 35 сек?
Для решения поставленных проблем, рассматриваем ответы к задачам как последовательность чисел, то есть числовые последовательности .
Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.
Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.
Записывается тема урока
3. Изучение нового материала .
1. Введение определения числовой последовательности.
Вводятся обозначения: y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,y 5 ,… - члены последовательности; 1,2,3,4,5,… - порядковый номер члена последовательности; (y 2 ) – сама числовая последовательность
В ходе беседы определяем понятие числовой последовательности.
Наводящие вопросы: Зная номер члена последовательности, можем найти сам член последовательности? А наоборот? Как называются такие зависимости? Какой аргумент? Какое значение функции? Какая область определения?
Учащиеся записывают определение: Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел.
Устно решаем задания:
Определите, является ли указанное ниже соответствие последовательностью:
а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;
в) каждому натуральному четному числу ставится в соответствие его куб, а каждому натуральному числу, кратному 4 – число 9.
2. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью: (формулы записываются на доске)
а) y=2x-1, xI (0;+?) б)
в) y=2x-1, xI Z г) ?
Вывод: (формулируется совместно с детьми) Что главное в определении?
Числовая последовательность 1) функция 2) ее область определения – множество N.
2. Определение способов задания последовательностей.
Напоминается, что функция считается заданной, если определено правило, по которому любому аргументу ставится в соответствие значение функции.
Совместно формулируется (а затем, записывается) условие задания числовой последовательности: Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.
В ходе беседы вспоминаем способы задания функций (словесный, графический, формулой (сообщается, что он называется аналитический)), их суть.
На доску вывешивается схема:
А) Словесный способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.
Таблица №1 Способы задания числовой последовательности:
Способ | ||||
Пример |
Описать словами способ получения каждого члена последовательности или задать несколько первых членов последовательности.
В таблицу №1 записываются словесные задания двух последовательностей:
Последовательность 1. (y n ) – последовательность натуральных чисел, кратных 3.
Последовательность 2. (y n ) – последовательность четных натуральных чисел.
Задание: Записать первые 5 членов последовательности. (Наводящие вопросы: что такое кратные 3, какие числа считаются четными). (Вызываются к доске 2 ученика)
Приведите свои примеры (устно).
Построить множество точек (n; y n)
Задание: Задать графически Последовательность 1 и 2 (два ученика на доске на готовой координатной плоскости, остальные в таблице №1)
В) Аналитический способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.
Указать формулу n- го члена последовательности.
Задание: 1. Последовательность задана формулой: . Запишите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)
2. Задайте формулу n -го члена Последовательности 1 и 2 (Проговариваем устно, записывают в таблицу №1)
Г) Рекуррентный способ.
3. Задайте формулу n -го члена последовательности …, 74, 81, 88, 95, 102, …
А можно найти следующий член последовательности? А дальше? (Наводящий вопрос как из 74 получить 81, из 81 получить 88)
Вывод: Если будем знать n-1 член последовательности, то можно будет найти и n -ный.
Такой способ задания последовательности называется рекуррентным. (К схеме на доске добавляется запись рекуррентный )
В нашем примере y n =y n-1 + 7
Каких данных нам для этого не хватает? А если последовательность задана формулой
y n = y n-1 + y n-2 ?
Вывод: Для рекуррентного задания последовательности необходимо:
1) знать один или два первых члена последовательности
2) указать правило для вычисления следующих членов последовательности
На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.
Выразить каждый член последовательности, начиная со 2-го (или 3-го) через предыдущие.
Задание: 1. Последовательность задана рекуррентно y 1 = 2, y n =5y n-1 Укажите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)
2. Задайте рекуррентно Последовательности 1 и 2 (проговариваем устно, записывают в таблицу №1)
Промежуточный итог: Мы получили 4 способа задания числовых последовательностей. Они представлены на доске и в таблице №1. Наиболее ценными для решения практических задач являются 2 последних способа: аналитический и рекуррентный. И мы сейчас поработаем с этими способами.
4. Первичное осмысление и закрепление материала
Инструкция: Перед Вами таблицы 2 и 3.
Таблица № 2: Аналитический способ Задание: Заполнить таблицу
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 |
|||
x 1 = | x 4 = | ||
Таблица № 3: Рекуррентный способ Задание: Заполнить таблицу
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 |
х 1 , х 2 , х n |
||
x 1 = | x 4 = | ||
В таблице представлен аналитический способ, в таблице 3 – рекуррентный. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.
Это задание уже не тривиально, оно требует определенной смекалки.
Над заданиями учащиеся работают в парах.
Первым парам, выполнившим задание, раздаются прозрачные пленки с заданием, куда они вписывают свои ответы.
Проверяются решения с помощью кодоскопа.
5. Первичный контроль усвоения знаний (самостоятельная работа с последующей самопроверкой)
Инструкция: Возьмите листы с таблицей №5.
Таблица № 5: Самостоятельная работа Задание: Заполнить таблицу
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 |
Аналитический способ |
Рекуррентный способ |
|
x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = |
|||
x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = |
|||
500; 530; 560; 590; 620; … | |||
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; … |
Критерии оценки: 4 «+» оценка «5»; 3 «+» оценка «4»; 2 «+» оценка «3»
Подпишите их. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.
Задания выполняются самостоятельно. После выполнения, проверяем решения.
Проверяются решения с помощью кодоскопа (ответы записаны заранее).
Инструкция по проверке и оцениванию: Перед Вами ответы к заданиям. Сравните их с Вашими результатами. Если правильно, то поставьте «+», если нет, то «-». Затем посчитайте количество «+» и поставьте себе отметку в соответствии с теми критериями, которые у Вас записаны под таблицей. Если Вы хотите, чтобы полученная отметка была выставлена в журнал, то в скобках, рядом с оценкой запишите «в журнал».
6. Подведение итогов урока
Обращается внимание на последние 2 сточки в таблице5. Это последовательности к задачам начала урока. Напоминаются вопросы задач. Находим ответ на поставленные проблемы (спрашиваются 2 учащихся).
Фронтальным опросом вместе с учащимися делаются выводы урока :
- Что такое последовательность
- Какие существуют способы задания последовательностей? В чем их суть?
- Какой из способов позволяет определить член последовательности зная только его номер?
- Где применяются знания о числовых последовательностях?
Таблица № 4: Дополнительное задание: Заполнить таблицу
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 |
Аналитический способ |
||
x 1 = | x 4 = | ||
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 |
Рекуррентный способ |
||
x 1 = | x 4 = | ||
Рекуррентная последовательность. Из курса математики известно понятие рекуррентной последовательности. Это понятие вводится так: пусть известно k чисел a1, ..., аk. Эти числа являются первыми числами числовой последовательности. Следующие элементы данной последовательности вычисляются так:
Здесь F- функция от k аргументов. Формула вида
называется рекуррентной формулой. Величина k называется глубиной рекурсии.
Другими словами, можно сказать, что рекуррентная последовательность - это бесконечный ряд чисел, каждое из которых, за исключением k начальных, выражается через предыдущие.
Примерами рекуррентных последовательностей являются арифметическая (1) и геометрическая (2) прогрессии:
Рекуррентная формула для указанной арифметической прогрессии:
Рекуррентная формула для данной геометрической прогрессии:
Глубина рекурсии в обоих случаях равна единице (такую зависимость еще называют одношаговой рекурсией). В целом рекуррентная последовательность описывается совокупностью начальных значений и рекуррентной формулы. Все это можно объединить в одну ветвящуюся формулу. Для арифметической прогрессии:
Для геометрической прогрессии:
Следующая числовая последовательность известна в математике под названием чисел Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Начиная с третьего элемента каждое число равно сумме значений двух предыдущих, т. е. это рекуррентная последовательность с глубиной равной 2 (двухшаговая рекурсия). Опишем ее в ветвящейся форме:
Введение представления о рекуррентных последовательностях позволяет по-новому взглянуть на некоторые уже известные нам задачи. Например, факториал целого числа п! можно рассматривать как значение n-го элемента следующего ряда чисел:
Рекуррентное описание такой последовательности выглядит следующим образом:
Программирование вычислений рекуррентных последовательностей. С рекуррентными последовательностями связаны задачи такого рода:
1) вычислить заданный (n-й) элемент последовательности;
2) математически обработать определенную часть последовательности (например, вычислить сумму или произведение первых n членов);
4) определить номер первого элемента, удовлетворяющего определенному условию;
Данный перечень задач не претендует на полноту, но наиболее часто встречающиеся типы он охватывает. В четырех первых задачах не требуется одновременно хранить в памяти множество элементов числового ряда. В таком случае его элементы могут получаться последовательно в одной переменной, сменяя друг друга.
Пример 1. Вычислить n-й элемент арифметической прогрессии (1).
Var M,I: 0..Maxint;
For I: =2 To N Do
WriteLn("A(",N:l,")=",A:6:0)
Рекуррентная формула ai = ai-1 + 2 перешла в оператор А:= А + 2.
Пример 2. Просуммировать первые п элементов геометрической прогрессии (2) (не пользуясь формулой для суммы первых n членов прогрессии).
Var N,1: 0..Maxint;
Write("N="); ReadLn(N);
For I: =2 To N Do
WriteLn("Сумма равна",S:6:0)
При вычислении рекуррентной последовательности с глубиной 2 уже нельзя обойтись одной переменной. Это видно из следующего примера.
Пример 3. Вывести на печать первые п (п ≥ 3) чисел Фибоначчи. Подсчитать, сколько среди них четных чисел.
Var N,I,K,F,F1,F2: 0..Maxint;
WriteLn("F(l)=",Fl,"F(2)=",F2);
For I:=3 To N Do
WriteLn("F(",I:l,")=",F);
If Not Odd(F) Then K:=K+1;
WriteLn("Количество четных чисел в последовательности равно",К)
Понадобились три переменные для последовательного вычисления двухшаговой рекурсии, поскольку для нахождения очередного элемента необходимо помнить значения двух предыдущих.
Пример 4. Для заданного вещественного х и малой величины ε (например, ε = 0,000001) вычислить сумму ряда
включив в нее только слагаемые, превышающие ε. Известно, что сумма такого бесконечного ряда имеет конечное значение, равное еx, где е = 2,71828... - основание натурального логарифма. Поскольку элементы этого ряда представляют собой убывающую последовательность чисел, стремящуюся к нулю, то суммирование нужно производить до первого слагаемого, по абсолютной величине не превышающего ε.
Если слагаемые в этом выражении обозначить следующим образом:
то обобщенная формула для i-го элемента будет следующей:
Нетрудно увидеть, что между элементами данной последовательности имеется рекуррентная зависимость. Ее можно найти интуитивно, но можно и вывести формально. Правда, для этого нужно догадаться, что рекурсия - одношаговая, и что каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на некоторый множитель, т.е.
Используя обобщенную формулу, имеем:
Действительно:
Следовательно, данная рекуррентная последовательность может быть описана следующим образом:
И наконец, приведем программу, решающую поставленную задачу.
Var A,X,S,Eps: Real;
Write("X ="); ReadLn(X);
Write("Epsilon ="); ReadLn(Eps);
A:=l; S:=0; I:=0;
While Abs(A)>Eps Do
WriteLn("Сумма ряда равна", S:10:4)
Как и прежде, значения одношаговой рекуррентной последовательности вычисляются в одной переменной.
Каждое повторное выполнение цикла в этой программе приближает значение S к искомому (уточняет значащие цифры в его записи). Такой вычислительный процесс в математике называется итерационным процессом. Соответственно, циклы, реализующие итерационный вычислительный процесс, называются итерационными циклами. Для их организации используются операторы While или Repeat.
Пример 5. Для заданного натурального N и вещественного х (х > 0) вычислить значение выражения:
В этом случае рекуррентность не столь очевидна. Попробуем найти ее методом индукции. Будем считать, что искомое выражение есть N-й элемент последовательности следующего вида:
Отсюда видна связь:
Теперь поставленная задача решается очень просто:
Var A,X: Real; I,N: Integer;
Write("X="); ReadLn(X);
Write("N="); ReadLn(N);
For I:=2 To N Do
WriteLn("Ответ:",А)
К решению всех перечисленных выше задач можно подойти иначе.
Вспомним о рекурсивно определенных подпрограммах. Посмотрите на описание арифметической прогрессии в форме рекуррентной последовательности. Из него непосредственно вытекает способ определения функции для вычисления заданного элемента прогрессии.
Сделаем это для общего случая, определив арифметическую прогрессию с первым членом а0 и разностью d:
Соответствующая подпрограмма-функция выглядит так:
Function Progres(АО,D: Real;I: Integer): Real;
Then Progres:=AO
Else Progres:=Progres(A0,D,I-1)+D
Следующая программа выводит на экран первые 20 чисел Фибоначчи, значения которых вычисляет рекурсивная функция Fibon.
Function Fibon(N: Integer): Integer;
If (N=1) Or (N=2)
Else Fibon:=Fibon(N-1)+Fibon(N-2)
For K:=l To 20 Do WriteLn(Fibon(K))
Необходимо отметить, что использование рекурсивных функций ведет к замедлению счета. Кроме того, можно столкнуться с проблемой нехватки длины стека, в котором запоминается «маршрут» рекурсивных обращений.
Рекуррентные последовательности часто используются для решения разного рода эволюционных задач, т.е. задач, в которых прослеживается какой-то процесс, развивающийся во времени. Рассмотрим такую задачу.
Пример 6. В ходе лечебного голодания масса пациента за 30 дней снизилась с 96 до 70 кг. Было установлено, что ежедневные потери массы пропорциональны массе тела. Вычислить, чему была равна масса пациента через k дней после начала голодания для k = 1, 2, ..., 29.
Обозначим массу пациента в i-й день через рi (i = 0, 1, 2, ..., 30). Из условия задачи известно, что р0 = 96 кг, p30 = 70 кг.
Пусть К- коэффициент пропорциональности убывания массы за один день. Тогда
Получаем последовательность, описываемую следующей рекуррентной формулой:
Однако нам неизвестен коэффициент К. Его можно найти, используя условие p30 = 70.
Для этого будем делать обратные подстановки:
Var I: Byte; P,Q: Real;
Q:=Exp(l/30*Ln(70/96));
For I:=l To 29 Do
WriteLn(I,"-й день-",Р:5:3,"кг")