Приближенное графическое решение уравнений. Приближенное решение алгебраических уравнений

Главная > Урок

Учитель: Касаткина Ольга Александровна,Образовательное учреждение: МОУ СОШ №81 города НовосибирскаПредмет : алгебра и информатикаКласс: 11 класс с углубленным изучением математики.Тема: Приближенные методы решения уравненийЦель урока: Изучение приближенных методов решения уравнений, изучение возможности приближенного решения уравнений с помощью компьютера.Задачи урока: продолжить изучение приближенных методов решения уравнений, познакомить учащихся с методом половинного деления, составить алгоритм решения уравнений методом половинного деления на алгоритмическом языке, познакомить учащихся с приближенным методом решения уравнений с помощью электронных таблиц Excel, сформировать у учащихся умение приближенно решать уравнения с помощью электронных таблиц Excel, формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач математики, развивать межпредметные связи.Тип урока : урок изучения нового материала.Оборудование: компьютерный класс, оборудованный компьютерами Pentium I и выше, лицензионное ПО: операционная система Windows 97/2000/XP, MS Office 2000 и выше, среда программирования Visual Basic, интерактивная доска, проектор.

Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.

Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала:

интерактивную доску

«график»

поиск решения

Изучение нового материала.

Проблемная лекция-беседа «Методы приближенного решения уравнений». План лекции. Решение уравнений методом половинного деления . Для приближенного решения уравнения f(x)=0 методом половинного деления предполагают, что функция f(x) определена на отрезке , непрерывна и имеет на концах отрезка разные знаки: f(a)·f(b)<0. Задача: приближенно решить уравнение f(x)=0.

Дано : - область определения, е – точность приближения.

Требуется найти : с – приближенное решение, |f(c)|

метод поиска приближений построен на вычислении середины отрезка с=(а+b)/2 и анализе значения функции f(c) в этой точке. Если значение функции в этой точке меньше заданного е, то приближенное решение найдено. Если же значение функции в середине отрезка больше е, то из отрезков и [с; b] выбирается тот, на котором функция f(х) имеет разные знаки на концах, и решение ищется на этом отрезке.

Составление алгоритма решения уравнений методом половинного деления. выполняется при активном участии учащихся. Алгоритм по мере составления выводится на интерактивную доску или может быть записан на обычной доске. Алгоритм , соответствующий методу половинного деления, имеет вид:

если f(а)·f(b)≤0

то с=(а+b)/2

пока |f(c)|>e

нц если f(а)·f(b)<0

то b=c

иначе а=с

конец ветвления

Демонстрация работы программы, написанной на языке программированияVisual Basic , реализующей метод половинного деления (программа проецируются на интерактивную доску, программа составлена учителем или учениками, интересующимися программированием заранее). (программа в папке Касаткина_уравнения ) Приближенное решение уравнений с помощью электронных таблиц Excel. Задача : решить уравнение x 3 /10=sinx (использовать файл «график» ) Чтобы решить уравнение графически, введем функцию у=x 3 /10- sinx На интерактивной доске демонстрируется таблица значений функции на промежутке (-2,5; 2,5) с шагом 0,5 (заготовлена заранее). Построим график этой функции. На промежутке (-2,5; 2,5) график имеет три точки пересечения с осью абсцисс, значит, на этом промежутке уравнение имеет три корня. Вопрос учащимся: как найти приближенное решение уравнения? Предполагаемый ответ : Среди значений функции в таблице выбираем наиболее близкое к нулю, то значение х, которое соответствует этому значению функции, будет приближенным решение уравнения. Вопрос учащимся: как средствами Excel найти более точное значение корня? Предполагаемый ответ: с помощью функции поиск решения задаем ячейке таблицы, значение в которой наиболее близко к 0 значение 0, и Excel находит значение требуемое значение х.

Закрепление материала. Проверка качества усвоения материала.

Работа на компьютерах. На каждый компьютер заранее установлена программа решения уравнений методом половинного деления. Учащиеся получают на карточках задание решить уравнения в Excel и проверить правильность выполнения задания, используя эту программу. Поскольку этот урок – урок изучения нового материала, на каждом рабочем месте лежит инструкция по приближенному решению уравнений на компьютере в Excel. Примеры карточек-заданий, предлагаемых для решения: tgx+x 2 =0, x 3 +x=-1, log(x 2 -x)=x. По итогам выполнения работы можно судить о качестве усвоения материала учащимися.

Домашнее задание.

Составить программу на языке VB, реализующую алгоритм решения уравнений методом половинного деления. Используя программу, решить уравнения из №323 учебника (задание дается с учетом того, что все учащиеся класса имеют возможность работать на компьютерах в кабинете информатики школы или дома). Инструкция Графическое решение уравнения Задание : решить уравнение х 3 /10 = sin x графическим методом.

= х

/10

sin

График с маркерами

Задание: решить уравнение х 3 /10 = sin x методом подбора параметра. При подборе параметра изменяется значение в ячейке аргумента функции до тех пор, пока число в ячейке значения функции не станет равным заданному. Точность подбора зависит от заданной точности представления чисел в ячейках таблицы.

= х

/10 -

sin

Сервис/ Подбор параметра

Подбор параметра

Значение

Изменяя значение ячейки

Результат подбора параметра

Ок

Приложение

график.xls

Например:

Поставим задачу отыскать действительные корни данного уравнения.

А таковые точно есть! – из статей о графиках функций и уравнениях высшей математики вы хорошо знаете, что график функции-многочлена нечётной степени хотя бы один раз пересекает ось , следовательно, наше уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Один. Или два. Или три.

Сначала напрашивается проверить, наличие рациональных корней. Согласно соответствующей теореме , на это «звание» могут претендовать лишь числа 1, –1, 3, –3, и прямой подстановкой легко убедиться, что ни одно из них «не подходит». Таким образом, остаются иррациональные значения. Иррациональный корень (корни) многочлена 3-й степени можно найти точно (выразить через радикалы) с помощью так называемых формул Кардано , однако этот метод достаточно громоздок. А для многочленов 5-й и бОльших степеней общего аналитического метода не существует вовсе, и, кроме того, на практике встречается множество других уравнений, в которых точные значения действительных корней получить невозможно (хотя они существуют).

Однако в прикладных (например, инженерных) задачах более чем допустимо использовать приближённые значения, вычисленные с определённой точностью .

Зададим для нашего примера точность . Что это значит? Это значит, что нам нужно отыскать ТАКОЕ приближённое значение корня (корней) , в котором мы гарантированно ошибаемся, не более чем на 0,001 (одну тысячную) .

Совершенно понятно, что решение нельзя начинать «наобум» и поэтому на первом шаге корни отделяют . Отделить корень – это значит найти достаточно малый (как правило, единичный) отрезок, которому этот корень принадлежит, и на котором нет других корней. Наиболее прост и доступен графический метод отделения корней . Построим поточечно график функции :

Из чертежа следует, что уравнение , судя по всему, имеет единственный действительный корень , принадлежащий отрезку . На концах данного промежутка функция принимает значения разных знаков: , и из факта непрерывности функции на отрезке сразу виден элементарный способ уточнения корня: делим промежуток пополам и выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает разные знаки. В данном случае это, очевидно, отрезок . Делим полученный промежуток пополам и снова выбираем «разнознаковый» отрезок. И так далее. Подобные последовательные действия называют итерациями . В данном случае их следует проводить до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности вычислений , и за приближённое значение корня следует выбрать середину последнего «разнознакового» отрезка.

Рассмотренная схема получила естественное название – метод половинного деления . И недостаток этого метода состоит в скорости. Медленно. Очень медленно. Слишком много итераций придётся совершить, прежде чем мы достигнем требуемой точности. С развитием вычислительной техники это, конечно, не проблема, но математика – на то и математика, чтобы искать наиболее рациональные пути решения.

И одним из более эффективных способов нахождения приближённого значения корня как раз и является метод касательных . Краткая геометрическая суть метода состоит в следующем: сначала с помощью специального критерия (о котором чуть позже) выбирается один из концов отрезка. Этот конец называют начальным приближением корня, в нашем примере: . Теперь проводим касательную к графику функции в точке с абсциссой (синяя точка и фиолетовая касательная) :

Данная касательная пересекла ось абсцисс в жёлтой точке, и обратите внимание, что на первом шаге мы уже почти «попали в корень»! Это будет первое приближение корня . Далее опускаем жёлтый перпендикуляр к графику функции и «попадаем» в оранжевую точку. Через оранжевую точку снова проводим касательную, которая пересечёт ось ещё ближе к корню! И так далее. Нетрудно понять, что, используя метод касательных, мы приближаемся к цели семимильными шагами, и для достижения точности потребуется буквально несколько итераций.

Поскольку касательная определяется через производную функции , то этот урок попал в раздел «Производные» в качестве одного из её приложений. И, не вдаваясь в подробное теоретическое обоснование метода , я рассмотрю техническую сторону вопроса. На практике описанная выше задача встречается примерно в такой формулировке:

Пример 1

С помощью графического метода найти промежуток , на котором находится действительный корень уравнения . Пользуясь методом Ньютона, получить приближенное значение корня с точностью до 0,001

Перед вами «щадящая версия» задания, в которой сразу констатируется наличие единственного действительного корня.

Решение : на первом шаге следует отделить корень графически. Это можно сделать путём построения графика (см. иллюстрации выше) , но такой подход обладает рядом недостатков. Во-первых, не факт, что график прост (мы же заранее не знаем) , а программное обеспечение – оно далеко не всегда под рукой. И, во-вторых (следствие из 1-го) , с немалой вероятностью получится даже не схематичный чертёж, а грубый рисунок, что, разумеется, не есть хорошо.

Ну а зачем нам лишние трудности? Представим уравнение в виде , АККУРАТНО построим графики и отметим на чертеже корень («иксовую» координату точки пересечения графиков) :

Очевидное преимущество этого способа состоит в том, что графики данных функций строятся от руки значительно точнее и намного быстрее. Кстати, заметьте, что прямая пересекла кубическую параболу в единственной точке, а значит, предложенное уравнение и в самом деле имеет только один действительный корень. Доверяйте, но проверяйте;-)

Итак, наш «клиент» принадлежит отрезку и «на глазок» примерно равен 0,65-0,7.

На втором шаге нужно выбрать начальное приближение корня. Обычно это один из концов отрезка. Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию:

Найдём первую и вторую производные функции :

и проверим левый конец отрезка:

Таким образом, ноль «не подошёл».

Проверяем правый конец отрезка:

– всё хорошо! В качестве начального приближения выбираем .

На третьем шаге нас ожидает дорога к корню. Каждое последующее приближение корня рассчитывается на основании предшествующих данных с помощью следующей рекуррентной формулы:

Процесс завершается при выполнении условия , где – заранее заданная точность вычислений. В результате за приближённое значение корня принимается «энное» приближение: .

На очереди рутинные расчёты:

(округление обычно проводят до 5-6 знаков после запятой)

Поскольку полученное значение больше , то переходим к 1-му приближению корня:

Вычисляем:

, поэтому возникает потребность перейти ко 2-му приближению:

Заходим на следующий круг:

, таким образом, итерации закончены, и в качестве приближённого значения корня следует взять 2-е приближение, которое в соответствии с заданной точностью нужно округлить до одной тысячной:

На практике результаты вычислений удобно заносить в таблицу, при этом, чтобы несколько сократить запись, дробь часто обозначают через :

Сами же вычисления по возможности лучше провестив Экселе – это намного удобнее и быстрее:

Ответ : с точностью до 0,001

Напоминаю, что эта фраза подразумевает тот факт, что мы ошиблись в оценке истинного значения корня не более чем на 0,001. Сомневающиеся могут взять в руки микрокалькулятор и ещё раз подставить приближенное значение 0,674 в левую часть уравнения .

А теперь «просканируем» правый столбец таблицы сверху вниз и обратим внимание, что значения неуклонно убывают по модулю. Этот эффект называют сходимостью метода, которая позволяет нам вычислить корень со сколь угодно высокой точностью. Но сходимость имеет место далеко не всегда – она обеспечивается рядом условий , о которых я умолчал. В частности, отрезок, на котором изолируется корень, должен быть достаточно мал – в противном случае значения будут меняться беспорядочным образом, и мы не сможем завершить алгоритм.

Что делать в таких случаях? Проверить выполнение указанных условий (см. выше по ссылке) , и при необходимости уменьшить отрезок. Так, условно говоря, если бы в разобранном примере нам не подошёл промежуток , то следовало бы рассмотреть, например, отрезок . На практике мне такие случаи встречались , и этот приём реально помогает! То же самое нужно сделать, если оба конца «широкого» отрезка не удовлетворяют условию (т.е. ни один из них не годится на роль начального приближения) .

Но обычно всё работает, как часы, хотя и не без подводных камней:

Пример 2

Определить графически количество действительных корней уравнения , отделить эти корни и применяя способ Ньютона, найти приближенные значения корней с точностью

Условие задачи заметно ужесточилось: во-первых, в нём содержится толстый намёк на то, что уравнение имеет не единственный корень, во-вторых, повысилось требование к точности, и, в-третьих, с графиком функции совладать значительно труднее.

А поэтому решение начинаем со спасительного трюка: представим уравнение в виде и изобразим графики :

Из чертежа следует, что наше уравнение имеет два действительных корня:

Алгоритм, как вы понимаете, нужно «провернуть» дважды. Но это ещё на самый тяжелый случай, бывает, исследовать приходится 3-4 корня.

1) С помощью критерия выясним, какой из концов отрезка выбрать в качестве начального приближения первого корня. Находим производные функции :

Тестируем левый конец отрезка:

– подошёл!

Таким образом, – начальное приближение.

Уточнение корня проведем методом Ньютона, используя рекуррентную формулу:
– до тех пор, пока дробь по модулю не станет меньше требуемой точности:

И здесь слово «модуль» приобретает неиллюзорную важность, поскольку значения получаются отрицательными:

По этой же причине следует проявить повышенное внимание при переходе к каждому следующему приближению:

Несмотря на достаточно высокое требование к точности, процесс опять завершился на 2-м приближении: , следовательно:

С точностью до 0,0001

2) Найдем приближённое значение корня .

Проверяем на «вшивость» левый конец отрезка:

, следовательно, он не годится в качестве начального приближения.

Отделение корней
Пусть дано уравнение f(x)=0, (1)
где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a≤x≤b.
Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Число ξ называется корнем k-ой кратности, если при x= ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно
f(ξ) = f’(ξ) = … = f k -1 (ξ) = 0
Однократный корень называется простым.

Приближенное нахождение корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α i ,β i ], в которых содержится один корень уравнения (1).
2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

Для отделения корней полезна след. теорема:
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , то есть f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, то есть найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ)=0.
Корень заведомо единственный, если f ‘(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .
Доказательство: Пусть для определенности f(a)<0, f(b)>0. Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка ξ в интервале (ξ 1 , ξ 2) (a< ξ 1 < ξ< ξ 2 f(ξ 1)<0, f(ξ 2)>0. (2)
В силу непрерывности функции для каждого сколь угодно малого δ>0 всегда найдется число ε>0 такое, что при | ξ 1 - ξ 2 |<ε выполняется |f 1 – f 2 |<δ, где f i =f(ξ i); i=1,2. Из условия (3.2) и условия |f 1 – f 2 |<δ следует, что |f 1 |<δ и |f 2 |<δ. Поскольку f 1 <0, а f 2 >0 и f(x) непрерывна, то следовательно существует предел или f(ξ)=0 и таким образом, первая часть теоремы доказана.
Далее, если f ‘(x) сохраняет знак на то она будет монотонна, то есть для любых x 1 0) либо f(x 1) > f(x 2) (если f ‘(x)<0). В силу условия f(a)f(b)<0, монотонности и непрерывности корень будет единственный. Доказательство закончено.
Рассмотрим графический или табличный способ отделения корней. В заданном интервале задается сетка a=x 1 , то точность нахождения корня будет равна половине интервала . Нужно еще убедится, является ли найденный корень единственным. Для этого достаточно провести процесс половинного деления, деля интервал на две, четыре и т.д. равных частей и определить знаки функции f(x) в точках деления. При делении мы повышаем точность определения корня.

Пример №1 . Определить корни уравнения f(x) = x 3 – 6x +2 = 0
Решение: Составляем приблизительную схему.

x	-∞	-3	-1	0	1	3	∞
f(x)	-	-	+	+	-	+	+

Следовательно, уравнение (3.3) имеет три действительных корня лежащих в интервалах (-3,-1), (0,1) и (1,3).
Для графического решения уравнения (3.3) удобно заменить (3.3) эквивалентным уравнением
f 1 (x) = f 2 (x) или x 3 = 6x-2, то есть
f(x 1) = x 3 ,
f 2 (x) = 6x-2.
То значение x=ξ, при которых f 1 (ξ) = f 2 (ξ) и будет являться корнем уравнения (3.3).

Пример №2 . x*lg(x)=1.
Решение: ,
ξ ≈ 2.5.

Итак, мы выделили интервалы, в которых содержится единственный корень. Рассмотрим теперь методы уточнения корней.
Прежде чем перейти к методам уточнения корней, дадим определение сходимости последовательности чисел (или сходимости итерационного процесса).
Определение 1. Если выполняется неравенство
, (4)
то говорят, что последовательность {x k } линейно сходится к пределу ξ. Здесь α - коэффициент сходимости. Если α → 0, то имеем суперлинейную сходимость.

Определение 2. Если существует такое r>1 (r=2,3,…), что , (5)
то последовательность {x k } имеет сходимость порядка r . Здесь c = const .
Максимум в (4) и (5) берется по всем последовательностям {x k }.

Пример №3 . Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методами бисекций, Ньютона или простых итераций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.

Действительные корни уравнения f(x)=0 (как алгебраического, так и трансцендентного) можно приближенно найти графически или посредством отделения корней. Для графического решения уравнения f(x)=0 строят график функции у=f(x); абсциссы точек пересечения и точек касания графика с осью абсцисс являются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что находят таких два числа a и b, при которых функция f(x), предполагаемая непрерывной, имеет различные знаки - в этом случае между а и b заключен, по крайней мере, один корень; если производная f"(x) сохраняет знак в интервале от а до b, значит, f(x) - монотонная функция, то этот корень единственный (рис. 1).

Рисунок 1.

Более совершенными приемами, позволяющими найти корень с любой точностью, являются следующие. Пусть найдены такие два значения аргумента х=а, x=b (а

По способу хорд: значение корня х 1 уравнения f(х) = 0 в интервале [а, b] в первом приближении находится по формуле

Затем выбирается тот из интервалов , , на концах которого значения f(x) имеют различные знаки и находится корень х 2 во втором приближении по той же формуле, но с заменой числа х 1 на х 2 , а числа b или а на x 1 (в зависимости от того, взят ли интервал или [х 1 , b]). Аналогично находятся последующие приближения (рис. 2).

Рисунок 2.

По способу касательных (или способу Ньютона) рассматривают тот из концов интервала [а, b], где f(x) и f""(х) имеют одинаковые знаки (рис. 3).

Рисунок 3.

В зависимости от того, выполняется ли это условие на конце х=а или на конце х=b, значение корня x 1 в первом приближении определяется по одной из формул

Затем рассматривается интервал (если была использована первая из указанных формул) или (если была использована вторая формула) и аналогичным путем находится значение корня x 2 по второму приближению и т. д.

Совместное применение способа хорд и способа касательных заключается в следующем. Устанавливают, на каком конце интервала [а, b] величины f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала применяют соответственно одну из формул способа касательных, получая значение x 1 . Применяя для одного из интервалов , формулу по способу хорд, получают значение x 2 . Затем таким же образом проводят вычисления для интервала и т. д.

Пример 1: y=f(х)=х 3 +2х-6=0. Путем проб находим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375.
Первое приближение:

Повторяем операцию, заменяя значения а, f(a) на x 1 =1,455; f(x 1)=-0,010.

Второе приближение:

Пример 2: x-1,5 cos x=0. Первое приближение находим с помощью табл. 1.35 : если задаться x 1 =0,92, то cos x 1 =0,60582 и 0,92≈1,5?0,61. Уточняем корень по способу касательных: y"=1+1,5 sin x; y""=1,5 cos x. По той же таблице имеем:

Окончательно

К приближенным приемам решения уравнений относится также способ итераций. Он состоит в том, что каким-либо способом уравнение приводится к виду x=φ(x). Найдя приближенно х 1 , подставляют найденное значение в правую часть уравнения и находят уточненные приближенные значения x 2 =φ(x 1), x 3 =φ(x 2) и т.д.; числа х 2 , х 3 , … приближаются к искомому корню (процесс сходится), если?φ?(х)?<1.