Применение интегрального исчисления в профессиональной деятельности. Конспект урока "применение интеграла"

«Омская государственная медицинская академия»

Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации

на тему: применение определенного интеграла

в медицине

выполнила студент 1 курса

отделения Лечебное дело

группа 102Ф

Глушнева Н.А.

Введение

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564-1642) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Кант (1742-1804) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862-1943) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Леонардо Да Винчи говорил: «Пусть не читает меня в основах моих тот, кто не математик». Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия.

Математика всем нужна. И медикам тоже. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя быть докой в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии... Ведь современная медицина не может обходиться без сложнейшей техники.

На сегодня невозможно изучение гемодинамики- движения крови по сосудам без применения интеграла.

В течение длительного времени катетеризация правых отделов сердца являлась единственным методом исследования, позволявшим оценивать состояния правых отделов сердца, получать характеристики внутрисердечного кровотока, определять давление в правых отделах сердца и легочной артерии.
Основное преимущество эхокардиографического исследования (ЭхоКГ) заключается в том, что неинвазивно в реальном режиме времени можно оценить размеры и движение сердечных структур, получить характеристики внутрисердечной гемодинамики, определить давление в камерах сердца и легочной артерии. Доказана хорошая сопоставимость результатов ЭхоКГ-исследования с данными, полученными при катетеризации сердца.
ЭхоКГ-исследование позволяет не только выявить наличие легочной гипертензии, но и исключить ряд заболеваний, которые являются причиной вторичной легочной гипертензии: пороки митрального клапана, врожденные пороки сердца, дилатационная кардиомиопатия, хронический миокардит.

Однако, ближе к практике. Для начала найдем линейную скорость кровотока

Изменение линейной скорости кровотока в различных сосудах

Это путь, проходимый в единицу времени частицей крови в сосуде. Линейная скорость в сосудах разного типа различна (см. рисунок) и зависит от объемной скорости кровотока и площади поперечного сечения сосудов. В практической медицине линейную скорость кровотока измеряют с помощью ультразвукового и индикаторного методов, чаще определяют время полного кругооборота крови, которое равно 21-23 с.

Для его определения в локтевую вену вводят индикатор (эритроциты, меченные радиоактивным изотопом, раствор метиленового синего и др.) и отмечают время его первого появления в венозной крови этого же сосуда в другой конечности.

Для начала вспомним, что интеграл- это математический объект, который возник исторически на основе потребности решения различных прикладных задач физики и техники. Это и физические приложения определенного интеграла: вычисление пути материальной точки, движущейся по прямолинейной или криволинейной траектории по скорости ее движения.

Те физические величины, которые определяются с помощью интеграла - как правило, называются интегральными, а те величины, через которые выражаются интегральные величины - дифференциальными. Например, скорость тела в точке - это дифференциальная характеристика тела, а масса тела - интегральная.

Дифференциальные характеристики определяются значением в точке и как правило различны в различных точках пространства.

Интегральные характеристики всегда выражают свойства объектов, относящиеся к целой области пространства. Например, масса характеризует тело целиком как некоторый объект занимающий область пространства. Путь, пройденный телом - это тоже интегральная характеристика, поскольку она характеризует целую траекторию, состоящую из множества точек, а скорость различна в каждой точке траектории и характеризует каждую точку в отдельности.

Возникает вопрос - как же вычислить интегральную скорость для целого сосуда (артерии или вены) , зная линейную скорость кровотока. Очень просто: нужно

• разбить всю область пространства на отдельные достаточно малые части (например взаимно перпендикулярными плоскостями). В этом случае мы получим внутри тела множество мелких кубиков, внутри которых дифференциальную характеристику условно считаем неизменной, постоянной.
• умножить значение дифференциальной характеристики внутри каждого кубика на значение объема этого кубика и просуммировать такие произведения. На этом этапе мы получаем интегральную сумму. Интегральная сумма не равна интегралу в точности, но может служить его приближенным значением.
• перейти к пределу интегральной суммы, когда объем кубиков разбиения тела стремится к нулю. На этом этапе мы получаем точное значение интеграла линейной скорости.

Ниже приведены расчеты ударного объема (ударный объём сердца (син.: систолический объем крови, систолический объем сердца, ударный объем крови) - объем крови (в мл), выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу)- одной из основных величин в ЭХОкг, рассчитываемых при помощи интеграла линейной скорости кровотока.

а - Схемы расчета ударного объема, а - с использованием уравнения непрерывности потока, б - с использованием уравнения непрерывности потока при наличии значительной митральной регургитации.

VTI = V cp ЕТ,

где CSA - площадь поперечного сечения, VTI - интеграл линейной скорости потока, V cp - средняя скорость потока в выносящем тракте левого желудочка, ЕТ - время выброса.

В том случае, когда присутствует гемодинамически значимая митральная регургитация (более 2-й степени), тотальный ударный объем левого желудочка рассчитывается по формуле:

TSV = FSV + RSV,

[Интеграл линейной скорости (FVI, или VTI)] = [Время кровотока (ET)] х [Средняя скорость кровотока (Vmean)];

Сердечный выброс может быть определен по интегралу линейной скорости аортального и легочного потока.

В завершении хочу добавить, что моя работа рассчитана не на математика, от и до разбирающегося в интегрировании, а на любого человека, проявившего интерес к применению интеграла в медицине. Поэтому я старалась сделать ее максимально доступной для восприятия и интересной даже ребенку.

Список литературы:

1. Болезни сердца и сосудов http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Гемодинамика http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Знак интеграла http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Медицинский консилиум http://www.consilium-medicum. com/article/7144
5. Основные уравнения - Сердце http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Практическое руководство по ультразвуковой диагностике http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский

Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.

Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.

План урока:

1. Защита проекта:

1. из истории интегрального исчисления;
2. свойства интеграла;
3. применение интеграла в математике;
4. применение интеграла в физике;

2. Решение упражнений.

Ход урока

Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.

2 ученик: Свойства интеграла

3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).

4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b , f(х) 0 вычисляется по формуле см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу , то её площадь вычисляется по формуле , см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис. ) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис. ). Площадь находится по формуле . в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = (х) (рис. )

5 ученик: Решим задачу

х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0

7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F - сила Н; х -абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F , а k -коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис.) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) - непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b-значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле

(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х" равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 < ... <х n = b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х k - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна

Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m k , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Теперь осталось заметить, что при n -> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)

Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла Вариант 1 Вариант 2 Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.

Интегральное исчисление возникло в связи с решением задач определения площадей и объёмов. За 2000 лет до н.э. жители Египта и Вавилона уже умели определять приближённо площадь круга и знали правило для вычисления объёма усечённой пирамиды. Теоретическое обоснование правил вычисления площадей и объёмов впервые появились у древних греков. Философ-материалист Демокрит в V веке до н.э. рассматривает тела, как состоящие из большого числа малых частиц. То есть конус представляет собой множество весьма тонких цилиндрических дисков разных радиусов. Огромную роль в истории интегрального исчисления сыграла задача о квадратуре круга (квадратура круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга) . Точную квадратуру нескольких криволинейных фигур нашёл Гиппократ (середина V века).

Первым известным методом для вычисления интеграла является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.). Он пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, использовался для расчета площадей парабол и приближенного расчета площади круга. В своем сочинении «Квадратура параболы» Архимед пользуется методом исчерпывания для вычисления площади сектора пара­болы. Т.е. Архимед впервые составляет суммы, которые в наше время называются интегральными суммами. Первые значимые попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом, были предприняты в XVII веке, когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой стороны – всё более интенсивно развивались экономика, техника, естествознание, а там требовались обширные и глубокие методы изучения и вычисления величин.

При вычислении площади криволинейной трапеции Ньютон и Лейбниц приходят к понятию первообразной (или примитивной) функции для данной производной функции f (х), где С могло быть любым. Та к называемая сегодня формула Ньютона-Лейбница позволяет сводить довольно сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение пределов интегральных сумм, к сравнительно простой операции отыскания первообразных. Лейбницу принадлежит символ дифференциала а п озже появился и символ интеграла Символ определённого интеграла ввёл Ж. Фурье, а термин «интеграл» (от латинского integer - целый) был предложен И. Бернулли.

Работы по исследованию основ дифференциального и интегрального исчислений начинаются в XIX веке трудами О. Коши и Б. Больцано. Тогда же в развитие интегрального исчисления внесли значительный вклад русские учёные-математики М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский, В.Я. Чебышев. Это было время, когда современный математический анализ только создавался. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, а Эйлер объединил обширный, но разрозненный материал нового анализа в цельную науку.

Со временем, человек приобретал все большую власть над природой, но мечта о полете к звездам оставалась все такой же несбыточной. Писатели-фантасты упоминали ракеты для осуществления космического полета. Однако эти ракеты были технически необоснованной мечтой. Честь открыть людям дорогу к звёздам выпала на долю нашего соотечественника К. Э. Циолковского. Над задачами по созданию искусственного спутника Земли, расчётов траектории выхода их на орбиту работала целая плеяда ученых, во главе с С.П. Королёвым.

Особенно интересны задачи, являющиеся прообразом задач на расчёты траекторий выхода космических аппаратов на заданную орбиту, на нахождение высоты и скорости подъёма или спуска тела и некоторые другие задачи с использованием интегрального исчисления.

Задача 1 . Скорость прямолинейного движения тела задана

уравнением . Найти уравнение пути S, если за время t = 2сек тело прошло 20м.

Решение : откудаИнтегрируем: откуда Используя данные найдём С = 4. Т.е. уравнение движения тела имеет вид .

При полете в космос, надо учесть все факторы окружающей нас среды, и чтобы попасть куда нужно, требуется рассчитать траекторию движения, используя исходные данные. Всё это нужно сделать перед тем, как совершится полёт. В 2016 году исполняется 55 лет со дня полёта на орбиту первого космонавта Юрия Алексеевича Гагарина. При расчётах приходилось решать и такие задачи.

Задача 2 . Необходимо запустить ракету весом Р = 2·10 4 Н(Т) с поверхности Земли на высоту h = 1500 км. Вычислить работу необходимую для её запуска.

Решение. f – сила притяжения тела Землёй есть функция от его расстояния х до центра Земли: , где На поверхности Земли где сила притяжения равна весу тела Р , а х = R - радиус Земли, поэтомуи При подъёме ракеты с поверхности Земли на высоту h переменная х изменяется от x = R до x = R + h . Искомую работу находим по формуле: Тогда получаем: работа для запуска ракеты равна

Задача 3 . Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см . Какую работу она

совершает при этом?

Решение . По закону Гука, сила F , растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = кх. Из условия задачи

к= 10/0,02(Н/м), то F = 500х . Работа: .

Задача 4 . Из шахты глубиной l = 100 м надо поднять равномерно клеть весом Р 1 = 10 4 Н , которая висит на канате, намотанном на барабан. Вычислить полную работу А полн , необходимую для поднятия клети, если вес одного погонного метра каната Р 2 = 20 Н .

Решение . Работа по поднятию клети: а по поднятию каната пропорциональна весу каната, т.е. Следовательно, полная работа полна:

Задача 5 . Рессора прогибается под действием силы 1,5·10 4 Н на 1см. Какую работу надо затратить для деформации рессоры на 3 см? (Деформирующая сила пропорциональна прогибу рессоры.)

Решение . F =кх, где х - прогиб рессоры. При х = 0,01м имеем: . Тогда работа для деформации равна:

Сложен и небезопасен подъём в космическое пространство, но не менее трудностей таит возвращение на Землю, когда аппарат космического корабля должен приземлиться со скоростью не более 2 м/с. Только в этом случае аппарат, приборы в нём, а главное, члены экипажа, не испытают резкого жёсткого удара. Константин Эдуардович Циолковский решил использовать торможение космического корабля воздушной оболочкой Земли. Двигаясь со скоростью 8 м/с, космический аппарат не падает на Землю. Первая стадия спуска - включение на короткое время тормозного двигателя. Скорость уменьшается на 0,2 км/с, и сразу начинается спуск. Рассмотрим пример решения задачи на составление закона движения при заданных условиях.

Задача 6 . Найти закон движения свободно падающего тела при постоянном ускорении g, если в момент движения тело находилось в покое.

Решение: Известно, что ускорение прямолинейно движущегося тела есть вторая производная пути S по времени t , или производная от скорости по времени t : , но , следовательно, , откуда . Интегрируем: , и Из условия: , откуда найдём и скорость движения: . Найдём закон движения тела: , или . Интегрируем: , . По начальным условиям: , откуда найдём Имеем уравнение движения падающего тела: - это знакомая формула физики .

Задача 7 . Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

Найти уравнение движения этого тела (сопротивлением воздуха пренебречь).

Решение: Примем: направление по вертикали вверх - за положительное, а ускорение силы тяжести, как направленное вниз, - за отрицательное. Имеем: , откуда . Интегрируем: то . Т.к. и то С 1: и Уравнение скорости: Находим закон движения тела: т.к. и тогда откуда .Интегрируем: или При и найдём , и Имеем уравнение движения тела: или .

Следующий пример показывает расчет траектории сброса отработанных секций, ненужных приборов, материалов. В этом случае их отправляют на Землю, рассчитав орбиту так, чтобы при прохождении через атмосферные слои они сгорели, а несгоревшие остатки упали на Землю (чаще всего - в океан), не причинив при этом вред.

Задача 8 . Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3) и имеющую касательную с угловым коэффициентом .

Решение: В условии задачи дано: или Интегрируя, имеем: При х = 2 и у = -3, С = - 5 , а траектория движения имеет вид: .

Строителям иногда приходится решать задачи по вычислению площадей необычных фигур, для которых нет общеизвестных формул. В этом случае снова выручают интегралы.

Задача 9 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и

Решение : Выполним построение чертежа (рис. 1), для чего решим систему уравнений. Найдём точки пересечения линий: А(-2;4 ) и В(4;16) . Искомая площадь представляет собой разность площадей с пределами интегрирования, а = х 1 = -2 и в = х 2 = 4. Тогда имеем площадь:

.

Космонавты и ученые, работая на орбитальной станции, для чистоты эксперимента решают и исследуют многие вопросы астрономии, физики, химии, медицины, биологии и т.д. Сопроводим следующую задачу литературным примером. В известном фантастическом романе Герберта Уэллса «Война миров» описывается нападение марсиан на планету Земля, которые решили расширить свои перенаселённые территории за счёт захвата наших, т.к. климатические условия Земли были подходящими. Начался захват территории и уничтожение землян, которые получили помощь оттуда, откуда совсем не ожидали. Наши «родные» бактерии, с которыми мы уже научились бороться, попав в организм марсиан с воздухом, пищей, водой, нашли в нём благоприятную среду для своего развития и размножения, быстренько адаптировались и, уничтожив марсиан, избавили Землю от захватчиков. Рассмотрим решение задачи, дающей понятие об этом.

Задача 10. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5ч. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Решение: Пусть x (t ) есть количество бактерий в момент времени t, а в начальный момент тогда скорость их размножения. По условию имеем: или след.: Найдём С: и функция Известно, чтот.е. или откуда коэффициент пропорциональности равен: а функция имеет вид: .

В знаменитом романе А.Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» хотелось бы почувствовать, ощутить, что же это такое – гиперболоид? Какие у него размеры, форма, поверхность, объём? Следующая задача – об этом.

Задача 11. Гипербола , ограниченная линиями: у = 0, х = a , х = 2а вращается вокруг оси ОХ. Найти объём полученного гиперболоида (рис.2).

Решение. Используем формулу для вычисления объёма тел вращения вокруг оси ОХ с помощью определённого интеграла:

Учёные-уфологи занимаются изучением фактов, которые приводят «очевидцы», рассказывая о том, что видели летящий космический корабль в виде огромного светящегося диска («тарелки»), примерно такой формы как на рисунке 3. Рассмотрим решение задачи по определению объёма такой «тарелки».

Задача 12 . Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ площади, ограниченной линиями у = х 2 - 9 и у = 0 .

Решение : При выполнении чертежа параболоида (рис.3) имеем пределы интегрирования от х = -3 до х = 3 . Заменим пределы интегрирования в силу симметричности фигуры относительно оси ОУ на х = 0 и х = 3 , а результат удвоим. Следовательно, объём диска равен:

Экономический смысл определённого интеграла выражает объём произведённой продукции при известной функции f (t ) - производительности труда в момент t . Тогда объём выпускаемой продукции за промежуток вычисляется по формуле Рассмотрим пример для предприятия.

Задача 13 . Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид

Решение . Объём произведённой предприятием продукции равен:

Подводя итоги можно сделать вывод, что применение интеграла раскрывает большие возможности. При изучении геометрии рассматривают вычисление площадей плоских фигур ограниченных отрезками прямых (треугольников, параллелограммов, трапеций, многоугольников), и объёмов тел, полученных при их вращении. Определённый интеграл позволяет вычислять площади сложных фигур, ограниченных любыми кривыми линиями, а также находить объёмы тел, получаемых при вращении криволинейных трапеций вокруг любой оси.

Также хочется отметить, что применение определенного интеграла не ограничивается только вычислением различных геометрических величин, но используется и при решении задач из различных областей физики, аэродинамики, астрономии, химии и медицины, космонавтики, а также, экономических задач.

Список литературы :

1. Апанасов, П.Т. Сборник задач по математике: учеб. пособие/ П.Т. Апанасов, М.И. Орлов. - М.: Высшая школа, 1987.- 303 с.
2. Беденко, Н.К. Уроки по алгебре и началам анализа: методическое пособие/ Н.К. Беденко, Л.О. Денищева. - М.: Высшая школа, 1988. - 239 с.
3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по высшей математике: учеб. пособие/ Н.В. Богомолов. - М.: Высшая школа, 1973.- 348 с.
4. Высшая математика для экономистов: учебник/ под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 479 с.
5. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учеб. пособие/ Г.И. Запорожец.- М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

Просмотр содержимого документа
«МР комбинированного занятия для преподавателя "Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл".»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ

«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

комбинированного занятия для преподавателя

ДИСЦИПЛИНА "МАТЕМАТИКА"

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.6. Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл

Специальность

060101 Лечебное дело

Курс – первый

Методический лист

Формирование требований ГОС при изучении темы

« Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл»

должен знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основные математические методы решения прикладных задач;

основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате изучения темы обучающийся должен уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

Цели занятия:

Образовательные цели: повторить и закрепить навыки вычисления неопределенного и определенного интеграла, рассмотреть методы вычисления определенных интегралов, закрепить навык нахождения определённого интеграла

Воспитательные цели : содействовать формированию культуры общения, внимания, интереса к предмету, способствовать пониманию студентом сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявления к ней устойчивого интереса.

Развивающие цели:

способствовать

формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Вид занятия : комбинированное занятие

Продолжительность занятия : 90 минут

Межпредметные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат

Литература:

Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410, с. – (Медицина)

Математика: учеб. пособие / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).

Оснащение занятия:

Раздаточный материал

Ход занятия

№ п/п	Этап урока	Время (мин)	Методические указания
	Организационная часть		Проверка посещаемости и внешнего вида студентов. Сообщение темы, цели и плана занятия.
	Мотивация		Понятие интеграла является одним из основных в математике. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики. Необходимость полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления связана с огромной значимостью и важностью этого материала при освоении профессиональной образовательной программы. В дальнейшем вам пригодятся знание определённого интеграла при нахождении решения уравнений определяющих скорость радиоактивного распада, размножения бактерий, сокращении мышцы, растворении лекарственного вещества в таблетке и многих других задач дифференциального исчисления применяемых в медицинской практике.
	Актуализация опорных знаний		Необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов (Приложение 1)
	Изложение нового материала		План изложения (Приложение 2) Определённый интеграл Свойства определённого интеграла Формула Ньютона-Лейбница Вычисление определенных интегралов различными методами Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Вычисление площади плоской фигуры
	Практическая часть Выполнение упражнений для закрепления материала темы		(Приложение 3) Первичное закрепление полученных знаний и умений Осмысление полученных знаний и умений
	Подведение итогов занятия		Выставление оценок, комментируя ошибки, сделанные в ходе работы
	Домашнее задание		Подготовить теоретический материал к практическому занятию и выполнить задачи раздела «Самоконтроль» (Приложение 4)

Приложение 1

Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант

I .

II .

2 вариант

I. Вычислить неопределённые интегралы

II . Назвать метод вычисления интегралов

Приложение 2

Информационно-справочный материал

Определённый интеграл

Понятие интеграла связано с обратной задачей дифференцирования функции. Понятие определенного интеграла удобно рассматривать на решении задачи о вычислении площади криволинейной трапеции.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной с двух сторон перпендикулярами, восстановленными в точках а и b , сверху непрерывной кривой у = f (х) и снизу осью Ох , разобьем отрезок [а, b ] на небольшие отрезки:

a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b .

Восстановим перпендикуляры из этих точек до пересечения с кривой у = f (х) . Тогда площадь всей фигуры будет примерно равна сумме элементарных прямоугольников, имеющих основание, равное  х i = х i -х i -1 , а высоту, равную значению функции f (х) внутри каждого прямоугольника. Чем меньше величина  х i , тем точнее будет определяться площадь фигуры S . Следовательно:

Определение. Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b ] и выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а, b ] и обозначают:

где f (x ) ‑ подынтегральная функция, х ‑ переменная интегрирования, а и b - пределы интегрирования (читается: определенный интеграл от a д o b эф от икс де икс).

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла связан с определением площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией у = f (х) , снизу осью Ох , а по бокам ‑ перпендикулярами, восстановленными в точках а и b .

Процесс вычисления определенного интеграла называют интегрированием. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Если пределы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю:



Если переставить пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:



Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:



Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f 1 (x ), f 2 (x )... f n (x ), заданных на отрезке [а, b ], равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:



Если функция всегда положительна, либо всегда отрицательна на отрезке [а, b ], то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция:

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Теорема. Величина определенного интеграла от функции f (х) на отрезке [а, b ] равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

Из этой теоремы следует, что определенный интеграл есть число, в то время как неопределенный ‑ совокупность первообразных функций. Таким образом, согласно формуле для нахождения определенного интеграла необходимо:

1. Найти неопределенный интеграл от данной функции, положив С = 0.

2. Подставить в выражение первообразной вместо аргумента х сначала верхний предел b , затем нижний предел а, и вычесть из первого результата второй.

Вычисление определенных интегралов различными методами

При вычислении определенных интегралов используют методы, рассмотренные для нахождения неопределенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод основан на использовании табличных интегралов и основных свойств определенного интеграла.

ПРИМЕРЫ:

1) Найти

Решение:

2) Найти

Решение:

3) Найти

Решение:

Метод замены переменной интегрирования

ПРИМЕР:

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную

u =3 x ‑ 1 , тогда du = 3 dx , dx = . При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен и b = 32 ‑ 1 = 5 , нижний ‑ и а =31 ‑ 1 = 2 . Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

ПРИМЕР:

1) Найти

Решение:

Пусть u = ln x , dv = xdx , тогда

Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Вычисление площади плоской фигуры

Ранее было показано, что определенный интеграл можно использовать для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком функции у = f (x ), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b .

Если функция у = f (x ) находится ниже линии абсцисс, т.е. f (x )

Если функция у = f (x ) несколько раз пересекает ось Ох , то необходимо отдельно найти площади для участков, когда f (x ) 0, и сложить их с абсолютными величинами площадей, когда функция f (x )

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью Ох на участке 0  х  2.

Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:

S = S 1 + | S 2 |,

где S 1 - ; площадь при у 0 ; S 2 - площадь при у 0.

S=2 + 2 = 4 кв.ед.

ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = х 2 , осью Ох и прямыми х = 0, х = 2.

Решение. Построим графики функций у = х 2 и х = 2.

Заштрихованная площадь и будет искомой площадью фигуры. Так как f (x ) 0,то

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая у = f (х) на отрезке [а, b ] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой находится по формуле:

ПРИМЕР

Найти длину дуги кривой y 2 = x 3 на отрезке (y0)

Решение

Уравнение кривой y = x 3/2 , тогда y’ = 1,5 x 1/2 .

Сделав замену 1+получим:

Вернёмся к первоначальной переменной:

Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f (x ) и прямыми х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох , то объём вращения вычисляется по формуле:

ПРИМЕР

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох полуволной синусоиды
y = sin x , при 0≤ х≤ .

Решение

Согласно формуле имеем:

Для вычисления этого интеграла сделаем следующие преобразования:

Приложение 3

Первичное закрепление изученного материала

1. Вычисление определённых интегралов

2. Приложения определённого интеграла

Площадь фигуры

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Путь, пройденный телом (точкой) при прямолинейном движении за промежуток времени от t 1 до t 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за 10с от начала движения.

Скорость движения точки изменяется по закону v =6 t 2 +4 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.

Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v =6 t 2 +2 t (м/с), второе
v =4 t +5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

Приложение 4

Самоконтроль по теме

«Определённый интеграл и его применение»

1 вариант 1. Вычислите интегралы 2. y = - x 2 + x + 6 и y = 0 3. Скорость движения точки изменяется по закону v =9 t 2 -8 t (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за четвёртую секунду от начала движения.

2 вариант 1. Вычислите интегралы 2. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y = - x 2 + 2 x + 3 и y = 0 3. Скорость движения точки изменяется по закону v = 8 t - 3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за пять секунд от начала движения.

I. В физике

Работа силы

(A=FScos, cos 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины

Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна

Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке --

f(xn-1)(b-xn-1).

Следовательно работа на равна:

А An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n

А = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (по определению)

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой -F(s) упругость пружины при её сжатии, то

Eп = A= - (-F(s)) dx

Из курса механики известно, что

Отсюда находим

Еп= - (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Ответ: Cl2/8.

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.

Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна

Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда

Ответ: A=0,08 Дж

С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.

Высота тетраэдра

объем тетраэдра

Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен

Теперь найдем работу Ai при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна, а вес тетраэдра:

Следовательно,

Отсюда A=A0+A1=7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж

Ответ: A=9,31 (Дж).

Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом б и ее большая сторона находится на глубине h?

Координаты центра масс

Центр масс - точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |axb; 0yf(x)} и функция

непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Ответ: M(0; 4R/3).

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.

В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от р/2 до 0, поэтому

Воспользовавшись формулой площади эллипса S=рab, получим

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью =(t) и за время

T= t2-t1 (t2>t1)

прошла путь S, то

В геометрии

Объём -- количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле -- объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём -- это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n называется интегралом

где S(x) - сечение плоскости, проходящей через выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

• 1) Выбрать удобным способом ось ОХ.
• 2) Определить границы расположения этого тела относительно оси.
• 3) Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.
• 4) Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.
• 5) Составить интеграл.
• 6) Вычислив интеграл, найти объем.

Найти объем трехосного эллипса

Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс