Производная и ее геометрический смысл формулы. Определение производной, её геометрический смысл

Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга»

Мартусевич Татьяны Олеговны

Дата: 29.12.2014.

Тема: Геометрический смысл производной.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.

Образовательные задачи:

Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи;

обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»;

создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

содействовать воспитанию интереса к математике;

воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ.

Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point .

Этап урока

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность учащегося

1. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока.

Тема: Геометрический смысл производной.

Цель урока.

Подготовка студентов к работе на занятии.

Подготовка к работе на занятии.

Осознание темы и цели урока.

Конспектирование.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла.

Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний.

Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций.

Нахождение производной данных функций по формулам.

Повторение свойств линейной функции.

Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя

3. Работа с новым материалом: объяснение.

Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента

Объяснение геометрического смысла производной.

Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией.

Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя.

Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.

Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление.

Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения.

Создание конспекта.

Формулирование геометрического смысла производной.

Рассмотрение трех случаев.

Конспектирование, выполнение рисунков.

4. Работа с новым материалом.

Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

В каких точках производная положительна?

Отрицательна?

Равна нулю?

Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику.

Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

Сообщение условия задачи.

Запись условия задачи.

Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения

6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.

Решите задачу самостоятельно:

Применение полученных знаний.

Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.

7. Работа с новым материалом: объяснение.

Вывод уравнения касательной к графику функции в точке.

Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся.

Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя.

Конспектирование, создание рисунка.

8. Работа с новым материалом: объяснение.

В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

Конспектирование.

Сообщение условия задачи.

Обучение применению полученных знаний.

Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением.

Запись условия задачи.

Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем.

Запись решения задачи и ответа.

9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.

Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости.

Проверка и объяснение решения с использованием презентации.

Применение полученных знаний.

10. Домашнее задание.

§48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками.

№ 860 (2,4,6,8),

Сообщение домашнего задания с комментариями.

Запись домашнего задания.

11. Подведение итогов.

Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции.

Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной.

Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке.

Корректировка и уточнение итогов урока.

Перечисление итогов урока.

12. Рефлексия.

1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно.

а) усвоил(а) полностью, могу применить;

б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении;

в) не усвоил(а).

3. Мультимедийная презентация на уроке:

а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала;

в) мешала усвоению материала.

Проведение рефлексии.

Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции и касательной к графику в определённой точке

*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?

Построим произвольный график некой функции y = f (x) на координатной плоскости, построим касательную в точке x о , обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)

Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:

То есть производная функции y = f (x ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной:

А угловой коэффициент в свою очередь равен тангенсу угла α (альфа), то есть:

Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.

Проиллюстрируем, два случая:

1. Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).

2. Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох ).

То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).

Ниже рассмотрим решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох ), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите!

Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).

Что ещё потребуется - это знание для тангенса тупого угла.

y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям. В данной задаче это точки (–5; –4), (1; 5).

Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катеты определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, ох . Значит

Ответ: 1,5

y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .

Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–5; –7), (3; 3).

Катеты также определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох . Значит

Ответ: 1,25

На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 .

Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–3; 3) и (5; 11). Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы получился внешний угол.

Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох. Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:

Значит

*Длины катетов считаем по количеству клеток.

Ответ: -1,75

На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 . х 0

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).

Для выяснения геометрического значения производной рассмотрим график функции y = f(x). Возьмем произвольную точку М с координатами (x, y) и близкую к ней точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведем ординаты $\overline{M_{1} M}$ и $\overline{N_{1} N}$, а из точки М -- параллельную оси ОХ прямую.

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ является тангенсом угла $\alpha $1, образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При стремлении $\Delta $х к нулю точка N будет приближаться к M, а предельным положением секущей MN станет касательная MT к кривой в точке M. Таким образом, производная f`(x) равна тангенсу угла $\alpha $, образованного касательной к кривой в точке M (х, y) с положительным направлением к оси ОХ -- угловому коэффициенту касательной (рис.1).

Рисунок 1. График функции

Вычисляя значения по формулам (1), важно не ошибиться в знаках, т.к. приращение может быть и отрицательным.

Точка N, лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. Так, если на рисунке 1, касательной придать противоположное направление, угол $\alpha $ изменится на величину $\pi $, что существенно повлияет на тангенс угла и соответственно угловой коэффициент.

Вывод

Следует вывод, что существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f(x), а угловой коэффициент -- tg $\alpha $ = f`(x) конечный. Поэтому касательная не должна быть параллельной оси OY, иначе $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс угла будет бесконечным.

В некоторых точках непрерывная кривая может не иметь касательной или иметь касательную параллельную оси OY (рис.2). Тогда в этих значениях функция не может иметь производную. Подобных точек может быть сколько угодно много на кривой функции.

Рисунок 2. Исключительные точки кривой

Рассмотрим рисунок 2. Пусть $\Delta $x стремится к нулю со стороны отрицательных или положительных значений:

\[\Delta x\to -0\begin{array}{cc} {} & {\Delta x\to +0} \end{array}\]

Если в данном случае отношения (1) имеют конечный придел, он обозначается как:

В первом случае -- производная слева, во втором -- производная справа.

Существование предела говорит о равносильности и равенстве левой и правой производной:

Если же левая и правая производные неравны, то в данной точке существуют касательные не параллельные OY (точка М1, рис.2). В точках М2, М3 отношения (1) стремятся к бесконечности.

Для точек N лежащих слева от M2, $\Delta $x $

Справа от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но выражение также f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Для точки $M_3$ слева $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. выражения (1) и слева, и справа положительны и стремятся к +$\infty $ как при приближении $\Delta $x к -0, так и к +0.

Случай отсутствия производной в конкретных точках прямой (x = c) представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. Отсутствие производных

Пример 1

На рисунке 4 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Найти значение производной функции в абсциссе.

Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-3,2) и C (-2.4).

Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Понятие о производной функции

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х 0 , а также величину функции в данной точке.

Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х 0 , а также точку (х 0 + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.

Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.

Разница значений функции в точке х 0 и (х 0 + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х 0 + ∆х) - f(х 0).

Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.

Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.

А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.

В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.

Геометрический смысл производной

Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.

То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.