Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Если известен угол треугольника, то можно воспользоваться специальным справочником и посмотреть там синус данного угла. Если же не известен угол, но то можно воспользоваться теоремой синусов. В частном случае, синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Давайте дадим определение, что же такое синус.

Синус угла (sin) в треугольнике это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Так что найти синус угла довольно таки просто, если есть значение катета и гипотенузы.

Чтобы найти синус угла в любом треугольнике, необходимо воспользоваться формулами. Вот на этом рисунке показаны основные формулы, позволяющие рассчитывать синус угла в треугольнике:

Воспользуйтесь этими формулами для рассчтеа.

Если величина угла неизвестна, то так: синус угла равен отношению длины противолежащей рассматриваемому углу стороны к диаметру описанной вокруг треугольника окружности. А как найти этот диаметр? Нужно найти центр описанной окружности. Для этого через середины любых двух сторон треугольника провести перпендикуляры. Точка пересечения этих перпендикуляров и есть центр описанной окружности. Расстояние от нее до любой вершины треугольника - радиус описанной окружности.

Чтобы ответить правильно на данный вопрос, нужно уточнить, синус угла в каком треугольнике нужно найти. Если этот треугольник произвольный , то это мы можем сделать только по теореме синусов (здесь см. исчерпывающий ответ Алекса).

Если же нужно найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике, то нужно воспользоваться определением синуса угла (как отношения противолежащего катета к гипотенузе). Тогда ответом будет: синус угла А = ВС/АВ, где ВС - противолежащий катет, АВ - гипотенуза.

Доброго времени суток.

Для нахождения синуса угла/углов прямоугольного треугольника можно воспользоваться двумя способами:

первый из них - это взять транспортир и найти угол треугольника (сколько градусов), а затем уже по таблице найти синус данного угла;
второй метод - это воспользоваться формулой нахождения синуса угла, который, как мы знаем, равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Можно найти синус угла двумя способами и сравнить значения.

Все довольно просто.

Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.

Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны и ещ величину угла, противолежащего этой последней стороне.

А затем нужно применить теорему синусов.

Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону a, другую известную сторону b, известный противолежащий этой стороне угол B.

По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B).

Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b ;

A = arcsina * sin(B)/b.

В случае прямоугольного треугольника задача на нахождение синуса любого угла сводится всего лишь к вычислению отношения противолежащего от угла катета к гипотенузе - полученное значение и будет синусом. В произвольном треугольнике найти синус угла уже сложнее, но также возможно. Для этого надо хоть что-то знать из параметров треугольника. Например если известны три стороны треугольника, то углы находятся по теореме косинусов, а потом при желании легко находится синус уже найденного угла.

Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.

Игры с линейкой и карандашом

Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону - гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.

Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.

В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.

Найти синус для угла больше 90°

Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.

Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.

Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс - функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.

Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.

Инструкция

Первый вариант - классический, с использованием бумаги, транспортира и карандаша (или ручки).По определению синус угла равен противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. То есть, чтобы вычислить значение, вам надо при помощи транспортира построить прямоугольный треугольник, один из углов которого равен тому, синус которого вас интересует. Затем измерить длину гипотенузы и противолежащего катета и разделить второе на первое с нужной точности.

Второй вариант - школьный. Со школы все помнят «таблицы Брадиса», содержащие тысячи значений тригонометрических от разных углов. Можно поискать как бумажное издание, так и его электронный аналог в формате pdf - они есть в сети. Найдя таблицы, найти значение синуса нужного угла не составит труда.

Третий вариант - оптимальный. Если есть доступ к , то можно воспользоваться стандартным калькулятором ОС Windows. Его следует переключить в расширенный режим. Для этого в разделе «Вид» меню выберите пункт «Инженерный». Вид калькулятора изменится - в нем появятся, в частности, кнопки для вычисления тригонометрических функций.Теперь введите значение угла , синус которого вам требуется вычислить. Можно сделать это как с клавиатуры, так и щелкая курсором мыши нужные клавиши калькулятора. А можно просто и вставить нужное вам значение (CTRL + C и CTRL + V). После этого выберите единицы измерения, в которых должен быть рассчитан - для тригонометрических функций это могут быть радианы, градусы или рады. Делается это выбором одного из трех значений переключателя, расположенного ниже поля ввода вычисляемого значения. Теперь, нажав кнопку с надписью "sin", получите ответ на свой вопрос.

Четвертый вариант - самый современный. В эру интернета в сети существуют , предлагающие чуть ли не каждую возникающую проблему. Он-лайн калькуляторы тригонометрических функций с удобным интерфейсом, более продвинутыми функциональными возможностями найти совсем не . Лучшие из них предлагают вычислить не только значения отдельной функции, но и достаточно сложных выражений из нескольких функций.

Функции синус и косинус относятся к области математики, которую называют тригонометрией, поэтому и сами функции называют тригонометрическими. Согласно самому старому из определений они выражают величину острого угла в прямоугольном треугольнике через отношения длин его сторон. Вычисление значений синус а при современном уровне развития электронной техники - довольно простая задача.

Вам понадобится

Калькулятор Windows.

Инструкция

Используйте для вычисления синус а угла - вычисление тригонометрических функций предусмотрено в большинстве из них. Учитывая наличие калькулятора во многих мобильных телефонах, некоторых наручных и других мобильных гаджетах, не говоря уже о компьютерах, это, пожалуй, доступный способ вычисления синус а. Если вы решите воспользоваться программным калькулятором компьютера, то ссылку на его запуск ищите в главном меню ОС. Если это Windows, нажмите кнопку Win, выберите в меню пункт «Все программы», перейдите в подраздел «Стандартные» и кликните по строчке «Калькулятор». Чтобы открыть в запустившемся приложении доступ к командам вычисления тригонометрических функций нажмите сочетание клавиш Alt + 2.

Если в исходных величина угла, синус которого требуется вычислить, дана в , убедитесь, что рядом с надписью « » в интерфейсе калькулятора

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и неразрывно связаны с определением угла. Владение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому у школьников и студентов тригонометрические вычисления нередко вызывают трудности. Чтобы побороть их, следует подробнее познакомиться с тригонометрическими функциями и формулами.

Понятия в тригонометрии

Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, навигации, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к вычислению соответствующих соотношений её параметров.

Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

Углы треугольника

В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

Единичная окружность

Единичная окружность в геометрии — окружность, радиус которой равен единице. Такая окружность строится в декартовой системе координат, при этом центр окружности совпадает с точкой начала координат, а начальное положение вектора радиуса определено по положительному направлению оси Х (оси абсцисс). Каждая точка окружности имеет две координаты: ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G. Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.

Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

Вычисления и основные формулы

Значения тригонометрических функций

Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов. Значения перечислены в таблице ниже.

Простейшие тригонометрические тождества

Уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции присутствует неизвестное значение, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:

sin х = 0, х = πk.
2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
sin х = -1, х = -π/2 + 2πk.
sin х = а, |a| > 1, нет решений.
sin х = а, |a| ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:

cos х = 0, х = π/2 + πk.
cos х = 1, х = 2πk.
cos х = -1, х = π + 2πk.
cos х = а, |a| > 1, нет решений.
cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:

tg х = 0, х = π/2 + πk.
tg х = а, х = arctg α + πk.

Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:

ctg х = 0, х = π/2 + πk.
ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формулы приведения

Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.

Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:

sin(900 — α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 — α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 — α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 — α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса угла:

cos(900 — α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 — α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 — α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 — α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:

с sin на cos;
с cos на sin;
с tg на ctg;
с ctg на tg.

Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.

Формулы сложения

Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Обычно углы обозначаются как α и β.

Формулы имеют такой вид:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эти формулы справедливы для любых величин углов α и β.

Формулы двойного и тройного угла

Тригонометрические формулы двойного и тройного угла — это формулы, которые связывают функции углов 2α и 3α соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. Выводятся из формул сложения:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 — 2sin^2 α.
tg2α = 2tgα / (1 — tg^2 α).
sin3α = 3sinα — 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α — 3cosα.
tg3α = (3tgα — tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Переход от суммы к произведению

Учитывая, что 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), упростив эту формулу, получаем тождество sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогично sinα — sinβ = 2sin(α — β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα — tgβ = sin(α — β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Переход от произведения к сумме

Эти формулы следуют из тождеств перехода суммы в произведение:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Формулы понижения степени

В этих тождествах квадратную и кубическую степени синуса и косинуса можно выразить через синус и косинус первой степени кратного угла:

sin^2 α = (1 — cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα — sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 — 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Универсальная подстановка

Формулы универсальной тригонометрической подстановки выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при этом х = π + 2πn;
cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 — tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
ctg x = (1 — tg^2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π + 2πn.

Частные случаи

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

Частные для синуса:

Значение sin x	Значение x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk

Частные для косинуса:

Значение cos x	Значение х
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Частные для тангенса:

Значение tg x	Значение х
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Частные для котангенса:

Значение ctg x	Значение x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теоремы

Теорема синусов

Существует два варианта теоремы — простой и расширенный. Простая теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При этом, a, b, c — стороны треугольника, и α, β, γ — соответственно, противолежащие углы.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В этом тождестве R обозначает радиус круга, в который вписан заданный треугольник.

Теорема косинусов

Тождество отображается таким образом: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.

Теорема тангенсов

Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a+b) = tg((α — β)/2) / tg((α + β)/2).

Теорема котангенсов

Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладное применение

Тригонометрия — не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, и многие другие.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные понятия тригонометрии, с помощью которых математически можно выразить соотношения между углами и длинами сторон в треугольнике, и найти искомые величины через тождества, теоремы и правила.