Школьная энциклопедия. Уравнение менделеева-клапейрона

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре T 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис. 63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 - 1¢, 2) изохорного (изохора 1¢ - 2).

В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:

Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) p¢ 1 , получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.

Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная B будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева.

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 = 1,013×10 5 Па, T 0 = 273,15 К, V m = 22,41×10 -3 м э /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).

От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем V= (т/М)× V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа

где v=m/M - количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:

Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде

где N A /V m = n- концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмндта*:

Основное уравнение

Молекулярно-кинетической теории

Идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одно атомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m 0 v - (- т 0 ) = 2т 0 v, где m 0 - масса молекулы, v - ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt (рис. 64). Число этих молекул равно nDSvDt (n- концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул - 1/6 - движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет

l / 6 nDSvDt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v 1 ,v 2 , ..., v n , то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

характеризующую всю совокупность молекул таза. Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид

Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетнческой теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что n=N/V, получим

где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m=Nm 0 , то уравнение (43.4) можно переписать в виде

Для одного моля газа т = М (М - молярная масса), поэтому

где F m - молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pV m = RT. Таким образом,

Так как M = m 0 N A - масса одной молекулы, а N А - постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что

где k=R/N A - постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода - 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа

(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=0 = 0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

Уравнение Менделеева Клапейрона берет свое начало от французского инженера Клапейрона Б. жившего с 1799 по 1864 годы. Так как у параметров состояния идеального газа есть связь, он соединил имеющиеся экспериментальные законы газов и выявил связь в параметрах.

pW/T = const

А Менделеев Д.И. наш русский ученый живший с 1834 по 1907 года, соединил его с законом Авогадро. Из данного закона следует что, если Р и Т одинаковы то моль какого бы ни было газа занимает равный молярный объем. Wm=22.4л. Из чего и следует вывод Менделеева - постоянное значение в правой части уравнения, одинаково для любого газа. Обозначение пишется как R, а называется - универсальная газовая постоянная.

Цифровое выражение R вычисляем путем подстановки. Уравнение Менделеева Клапейрона выглядит как:

PW = nRT

в нем:
Р - газовое давление, W - литровый объем, T - температура, измеряется в кельвинах, n - число молей, R - УГП.

К примеру: Кислород находится в емкости на 2,6 литра, под давлением 2,3атм и 26 градусах С. Неизвестно сколько в емкости содержится молей О 2 ?

По закону газа находим сколько молей n

n = PW/RT из чего: n = (2.3 атм*2,6л)/(0,0821 л*атм/моль*К*299К) = 0,24 моль О 2

Температуру нужно обязательно переводить в кельвины (273 0 С + 26 0 С) = 299К. Во избежание ошибок при решении уравнений, надо обращать внимание на величины в которых даются данные для уравнения Менделеева-Клапейрона Давление может быть в мм рт.столба - переводим в атмосферы (1 атм = 760мм р/с). Если же в паскалях при переводе в атмосферы, важно помнить что 101325 Па = 1атм.

Если производить расчеты где единицы измерения в м 3 и Па. Здесь нужно использовать R = 8,314 Дж/К*моль (постоянная газовая).

Рассмотрим на примере:
Дано: Объем Гелия 16,5 литров, температура - 78 0 С, давление 45,6атм. Какой будет его объем в нормальных условиях? Количество молей? Мы можем быстро выяснить сколько молей n в нем содержится, с помощью Уравнения Менделеева-Клапейрона, но как быть если забылось значение R. В нормальных условиях 1 моль (1атм и 273К) заполняет 22,4 литра. То есть

PW = nRT, из этого следует, R = PW/nT = (1атм*22,4л)/(1 моль*273К) = 0,082

Если сделать так, что бы R сократилась. Получим следующий вариант решения.
Начальные данные: Р 1 = 45,6атм, W 1 = 16.5л, Т 1 =351К.
Конечные данные: Р 2 = 1атм, W 2 = ?, Т 2 =273К.

Мы видим что уравнение ровно справедливо и для исходных и для конечных данных
P 1 W 1 = nRT 1
P 2 W 2 = nRT 2

Для того чтобы узнать объем газа, поделим значения в уравнении
P 1 W 1 /P 2 W 2 = T 1 /T 2 ,
вставим известные нам значения
W 2 = 45.6 * 16.5 * 273 / 351 = 585 литров

Значит в нормальных условиях объем гелия будет 585 литров. Делим 585 на молярный газовый объем в норм. условиях (22,4 л/*моль) получим сколько молей в гелии 585 / 22,4 = 26,1м.

Заметка: Если у Вас проблемы связанные с прокладкой коммуникаций бестраншейным способом, зайдите по ссылке - прокол под газопровод (http://www.prokolgnb.ru) и узнайте как их решить.

1. Идеальным газом называется газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. С достаточной степенью точности газы можно считать идеальными в тех случаях, когда рассматриваются их состояния, далекие от областей фазовых превращений.
2. Для идеальных газов справедливы следующие законы:

а) Закон Бойля - Mаpuomma: при неизменных температуре и массе произведение численных значений давления и объема газа постоянно:
pV = const

Графически этот закон в координатах РV изображается линией, называемой изотермой (рис.1).

б) Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:
V = V0(1 + at)

где V - объем газа при температуре t, °С; V0 - его объем при 0°С. Величина a называется температурным коэффициентом объемного расширения. Для всех газов a = (1/273°С-1). Следовательно,
V = V0(1 +(1/273)t)

Графически зависимость объема от температуры изображается прямой линией - изобарой (рис. 2). При очень низких температурах (близких к -273°С) закон Гей-Люссака не выполняется, поэтому сплошная линия на графике заменена пунктиром.

в) Закон Шарля: при постоянном объеме давление данной массы газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
p = p0(1+gt)

где р0 - давление газа при температуре t = 273,15 К.
Величина g называется температурным коэффициентом давления. Ее значение не зависит от природы газа; для всех газов = 1/273 °С-1. Таким образом,
p = p0(1 +(1/273)t)

Графическая зависимость давления от температуры изображается прямой линией - изохорой (Рис. 3).

г) Закон Авогадро: при одинаковых давлениях и одинаковых температурах и равных объемах различных идеальных газов содержится одинаковое число молекул; или, что то же самое: при одинаковых давлениях и одинаковых температурах грамм-молекулы различных идеальных газов занимают одинаковые объемы.
Так, например, при нормальных условиях (t = 0°C и p = 1 атм = 760 мм рт. ст.) грамм-молекулы всех идеальных газов занимают объем Vm = 22,414 л.· Число молекул, находящихся в 1 см3 идеального газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта; оно равно 2,687*1019> 1/см3
3. Уравнение состояния идеального газа имеет вид:
pVm = RT

где р, Vm и Т - давление, молярный объем и абсолютная температура газа, а R - универсальная газовая постоянная, численно равная работе, совершаемой 1 молем идеального газа при изобарном нагревании на один градус:
R = 8.31*103 Дж/(кмоль*град)

Для произвольной массы M газа объем составит V = (M/m)*Vm и уравнение состояния имеет вид:
pV = (M/m) RT

Это уравнение называется уравнением Менделеева - Клапейрона.
4. Из уравнения Менделеева - Клапейрона следует, чти число n0 молекул, содержащихся в единице объема идеального газа, равно
n0 = NA/Vm = p*NA /(R*T) = p/(kT)

где k = R/NA = 1/38*1023 Дж/град - постоянная Больцмана, NA - число Авогадро.

Между параметрами состояния идеального газа существует связь, называемая уравнением состояния. Французский инженер Б. Клапейрон (1799–1864) обобщил экспериментальные газовые законы и установил связь между параметрами (уравнение Клапейрона ):

Русский ученый Д.И. Менделеев (1834–1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Согласно закону Авогадро , при одинаковых и моль любого газа занимает одинаковый молярный объем , поэтому Менделеев сделал вывод, что постоянная в правой части равенства будет одинакова для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается и называется универсальной газовой постоянной .

Числовое значение можно определить, подставив в формулу значения параметров при НУ . Согласно расчетам, .

Перейдем к произвольной массе газа . При тех же условиях она будет занимать объем . Тогда

Это уравнение является уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона – Менделеева ).

Введем постоянную , называемую постоянной Больцмана . Тогда

где концентрация молекул. Следовательно, из 7.4.2 следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул, а плотность обратно пропорциональна температуре.

В системе СИ давление измеряется в Паскалях . Кроме того, для измерения давления используется ряд величин:

Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта: .

Пример 7.4.1. В баллоне объемом находится гелий под давлением и при температуре . После того, как из баллона было взято гелия, температура в баллоне понизилась до . Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Решение:

Для начального состояния уравнение Менделеева – Клапейрона имеет вид:. Поскольку объем гелия в конечном состоянии будет таким же (ограничен объемом сосуда), то для конечного состояния . Из этих уравнений найдем массы: и .

Учитывая, что , получим .

Выразим искомое давление:

Ответ: .

Пример 7.4.2. Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит (по массе) из одной части кислорода и трех частей азота.

Решение:

Свойствами идеального газа могут обладать не только химически однородные газы, но и газовые смеси. Чтобы применить уравнение состояния для газовой смеси, ей необходимо приписать некоторую, хотя и лишенную химического смысла, молярную массу . Величину выбирают такой, чтобы она удовлетворяла уравнению состояния идеального газа, записанному для смеси: . Откуда давление смеси.

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для каждой из компонент смеси: и . Выразим парциальные давления газов, входящих в смесь: и . По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме

их парциальных давлений: . Следовательно, .

Учитывая, что масса смеси , получим .

Искомая молярная масса смеси равна

Ответ: .

Пример 7.4.3. Плотность смеси азота и водорода при температуре и давлении равна . Найти концентрацию молекул азота и водорода в смеси.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа для смеси газов: . Учтем, что молярная масса смеси (см. пример 7.4.2), поскольку и , то .

Подставим значения молярной массы смеси в уравнение Клапейрона – Менделеева.

Тогда или (1), где – плотность смеси .

С другой стороны, давление смеси газов равно (2). Решая совместно (1) и (2), найдем (м -3) и (м -3).

Ответ: , .

7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Применим статистический метод для расчета давления газа на стенки сосуда, в котором он находится. Давление газа на любую стенку равно отношению силы, с которой молекулы газа действуют на эту стенку, к площади ее поверхности:

Пусть газ находится в сосуде кубической формы с ребром (рис. 7.5.1, а). Рассмотрим стенку, перпендикулярную оси Ox (рис. 7.5.1, б). Найдем силу, с которой на нее будет действовать одна молекула газа. Обозначим массу одной молекулы, скорость молекулы. Молекулы газа могут менять направление скорости только при ударе о стенки (считаем, что взаимные столкновения к этому не приводят). Изменение импульса молекулы при ударе равно . С другой стороны, изменение импульса молекулы равно импульсу силы, действующей на нее со стороны стенки. Обозначим силу, действующую на стенку сосуда со стороны молекулы . Тогда по третьему закону Ньютона сила, с которой стенка будет действовать на молекулу, равна . Следовательно, , где .

Давление, производимое газом на эту стенку:

где объем сосуда.

Так как давление газа на все стенки сосуда одинаково (закон Паскаля), то

С учетом того, что , (суммарная кинетическая энергия молекул газа),

Это уравнение называется основным уравнением МКТ : произведение давления идеального газа на его объем равно двум третьим величины кинетической энергии поступательного движения всех его молекул.

Глава 8. Статистические распределения

Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа, его температура и давление, объем… список параметров и определений, которыми оперируют в соответствующем разделе физики, можно продолжать достаточно долго. Сегодня мы поговорим как раз на эту тему.

Что рассматривается в молекулярной физике?

Основным объектом, который рассматривается в этом разделе, является идеальный газ. идеального газа было получено с учетом нормальных условий окружающей среды, и об этом мы поговорим немного позднее. Сейчас давайте подойдем к этой “проблеме” издалека.

Допустим, у нас есть некоторая масса газа. Ее состояние можно определить при помощи трех характера. Это, конечно же, давление, объем и температура. Уравнением состояния системы в этом случае будет формула связи между соответствующими параметрами. Она выглядит таким образом: F (p, V, T) = 0.

Вот здесь мы впервые потихоньку подбираемся к появлению такого понятия, как идеальный газ. Им называется газ, в котором взаимодействия между молекулами пренебрежимо малы. Вообще в природе такого не существует. Однако любой сильно близок к нему. От идеального мало чем отличаются азот, кислород и воздух, находящиеся в нормальных условиях. Чтобы записать уравнение состояния идеального газа, мы можем использовать объединенный Получим: pV/T = const.

Связанное понятие № 1: закон Авогадро

Он может рассказать нам о том, что если мы возьмем одинаковое количество молей абсолютно любого случайного газа и поставим их в одинаковые условия, среди которых температура и давление, то газы займут одинаковый объем. В частности, опыт проводился при нормальных условиях. Это означает, что температура была равна 273,15 Кельвинам, давление - одной атмосфере (760 миллиметров ртутного столба или же 101325 Паскалей). При таких параметрах газ занял объем равный 22,4 литра. Следовательно, мы можем говорить о том, что для одного моля любого газа соотношение числовых параметров будет величиной постоянной. Именно поэтому было принято решение этой цифре дать обозначение буквой R и назвать ее универсальной газовой постоянной. Таким образом, она равняется 8,31. Размерность Дж/моль*К.

Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа и манипуляции с ним

Давайте попробуем переписать формулу. Для этого запишем его в таком виде: pV = RT. Далее совершим нехитрое действие, умножим обе части уравнения на произвольное количество молей. Получим pVu = uRT. Примем во внимание тот факт, что произведение молярного объема на количество вещества есть просто объем. Но ведь количество молей одновременно будет равняться частному массы и молярной массы. Именно так выглядит Оно дает четкое понятие о том, какую систему образует идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа примет вид: pV = mRT/M.

Выведем формулу для давления

Давайте проведем еще некоторые манипуляции с полученными выражениями. Для этого правую часть уравнения Менделеева-Клапейрона умножим и разделим на число Авогадро. Теперь внимательно смотрим на произведение количества вещества на Это есть не что иное, как общее число молекул в газе. Но в то же время отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро будет равно постоянной Больцмана. Следовательно, формулы для давления можно записать таким образом: p = NkT/V или p = nkT. Здесь обозначение n это концентрация частиц.

Процессы идеального газа

В молекулярной физике существует такое понятие, как изопроцессы. Это которые имеют место в системе при одном из постоянных параметров. При этом масса вещества также должна оставаться постоянной. Давайте рассмотрим их более конкретно. Итак, законы идеального газа.

Постоянным остается давление

Это закон Гей-Люссака. Выглядит он так: V/T = const. Его можно переписать и по-другому: V = Vo (1+at). Здесь a равняется 1/273,15 К^-1 и носит название "коэффициент объемного расширения". Мы можем подставить температуру как по шкале Цельсия, так и по шкале Кельвина. В последнем случае получим формулу V = Voat.

Постоянным остается объем

Это второй закон Гей-Люссака, более часто называемый законом Шарля. Выглядит он так: p/T = const. Есть и другая формулировка: p = po (1 + at). Преобразования могут быть проведены в соответствии с предыдущим примером. Как можно видеть, законы идеального газа иногда бывают достаточно похожими друг на друга.

Постоянным остается температура

Если температура идеального газа остается величиной постоянной, то мы можем получить закон Бойля-Мариотта. Он может быть записан таким образом: pV = const.

Связанное понятие № 2: парциальное давление

Допустим, у нас имеется сосуд с газами. Это будет смесь. Система находится в состоянии теплового равновесия, а сами газы между собой не реагируют. Здесь N будет обозначать общее количество молекул. N1, N2 и так далее, соответственно, количество молекул в каждом из компонентов имеющейся смеси. Возьмем формулу давления p = nkT = NkT/V. Ее можно раскрыть для конкретного случая. Для двухкомпонентной смеси формула примет вид: p = (N1 + N2) kT/V. Но тогда получится, что общее давление будет суммироваться из частных давлений каждой смеси. А значит, оно будет иметь вид p1 + p2 и так далее. Это и будут парциальные давления.

Для чего это нужно?

Полученная нами формула указывает на то, что давление в системе оказывается со стороны каждой группы молекул. Оно, кстати, не зависит от других. Этим воспользовался Дальтон при формулировании закона, названного впоследствии в его честь: в смеси, где газы не реагируют между собой химически, общее давление будет равно сумме парциальных давлений.