Тригонометрические формулы окружность. Тригонометрическая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли

Что такое единичная окружность . Единичная окружность -- это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат. Вспомните, что уравнение окружности выглядит как x 2 +y 2 =1. Такая окружность может быть использована для нахождения некоторых "особых" тригонометрических соотношений, а также при построении графических изображений. С помощью нее и заключенной в ней линии можно оценивать и численные значения тригонометрических функций.

Запомните 6 тригонометрических соотношений. Помните, что

sinθ=противолежащий катет/гипотенуза
cosθ=прилежащий катет/гипотенуза
tgθ=противолежащий катет/прилежащий катет
cosecθ=1/sin
secθ=1/cos
ctgθ=1/tg.

Что такое радиан . Радиан -- одна из мер для определения величины угла. Один радиан -- это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса. Заметьте, что при этом величина и расположение окружности не играют никакой роли. Следует также знать, чему равно число радиан для полной окружности (360 градусов). Вспомните, что длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза. Поскольку по определению 1 радиан -- это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Умейте перевести радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

2π радиан=360 градусов
1 радиан=(360/2π) градусов
1 радиан=(180/π) градусов
360 градусов=2π радиан
1 градус=(2π/360) радиан
1 градус=(π/180) радиан

Выучите "особые" углы. Эти углы в радианах составляют π/6, π/3, π/4, π/2, π и произведения данных величин (например, 5π/6)

Изучите и запомните значения тригонометрических функций для особых углов. Для определения их величин вы должны взглянуть на единичную окружность. Вспомните об отрезке известной длины, заключенном в единичной окружности. Точка на окружности соответствует количеству радиан в образованном угле. Например, углу π/2 соответствует точка на окружности, радиус к которой образует с положительным горизонтальным радиусом угол величиной π/2. Для нахождения значения тригонометрической функции какого-либо угла определяются координаты точки, соответствующей этому углу. Гипотенуза всегда равна единице, поскольку она является радиусом круга, и так как любое число, поделенное на 1, равно самому себе, а противоположный катет равен длине вдоль оси Оy, отсюда следует, что значение синуса какого-либо угла -- это координата y соответствующей точки на окружности. Значение косинуса можно найти схожим образом. Косинус равен длине прилежащего катета, деленной на длину гипотенузы; поскольку последняя равна единице, а длина прилежащего катета равна координате x точки на окружности, отсюда следует, что косинус равен значению этой координаты. Найти тангенс немного сложнее. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащему катету, деленному на прилежащий. В данном случае, в отличие от предыдущих, частное не является константой, поэтому вычисления несколько усложняются. Вспомним, что длина противолежащего катета равна координате y, а прилежащего -- координате x точки на единичной окружности; подставив эти значения, получим, что тангенс равен y/x. Поделив 1 на найденные выше значения, можно легко найти соответствующие обратные тригонометрические функции. Таким образом, можно рассчитать все основные тригонометрические функции:

sinθ=y
cosθ=x
tgθ=y/x
cosec=1/y
sec=1/x
ctg=x/y

Найдите и запомните значения шести тригонометрических функций для углов, лежащих на координатных осях , то есть углов, кратных π/2, таких как 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т. д. Для точек круга, находящихся на координатных осях, это не представляет никаких проблем. Если точка лежит на оси Оx, синус равен нулю, а косинус -- 1 или -1, в зависимости от направления. Если же точка лежит на оси Оy, синус будет равняться 1 или -1, а косинус -- 0.

Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/6. Нанесите угол π/6 на единичную окружность. Вы знаете, как находить длины всех сторон особых прямоугольных треугольников (с углами 30-60-90 и 45-45-90) по известной длине одной из сторон, а поскольку π/6=30 градусов, данный треугольник является одним из особых случаев. Для него, как вы помните, короткий катет равен 1/2 гипотенузы, то есть координата y составляет 1/2, а длинный катет длиннее короткого в √3 раз, то есть равен (√3)/2, так что координата x будет (√3)/2. Таким образом, получаем точку на единичной окружности со следующими координатами: ((√3)/2,1/2). Пользуясь приведенными выше равенствами, находим:

sinπ/6=1/2
cosπ/6=(√3)/2
tgπ/6=1/(√3)
cosecπ/6=2
secπ/6=2/(√3)
ctgπ/6=√3

Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/3. Угол π/3 отображается на окружности точкой, у которой координата x равна координате y угла π/6, а координата y такая же, как x для этого угла. Таким образом, точка имеет координаты (1/2, √3/2). В итоге получаем:

sinπ/3=(√3)/2
cosπ/3=1/2
tgπ/3=√3
cosecπ/3=2/(√3)
secπ/3=2
ctgπ/3=1/(√3)

Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/4. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с углами 45-45-90 относится к длинам его катетов как √2 к 1, так же будут соотноситься и значения координат точки на единичной окружности. В итоге имеем:

sinπ/4=1/(√2)
cosπ/4=1/(√2)
tgπ/4=1
cosecπ/4=√2
secπ/4=√2
ctgπ/4=1

Определите, положительно или отрицательно значение функции. Все углы, принадлежащие одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку (одно быть положительным, второе -- отрицательным).

Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cosec, отрицательны.
В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

На тригонометрическом круге помимо углов в градусы мы наблюдаем .

Подробнее про радианы:

Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Соответственно, так как длина окружности равна , то очевидно, что в окружности укладывается радиан, то есть

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Все знают, что радиан – это

Так вот, например, , а . Так, мы научились переводить радианы в углы .

Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы .

Допустим, нам надо перевести в радианы. Нам поможет . Поступаем следующим образом:

Так как, радиан, то заполним таблицу:

Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу

Давайте еще уточним следующее.

Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать на круге.

А если просят вычислить, например, … Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его в начале координат. Почему?

1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после или – это аргумент=угол, а углы у нас располагаются на круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов – ищем на осях!

2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов , значения углов растут при движении в этом направлении.

Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.

Пример 1.

Найти значение .

Решение:

Находим на круге . Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки к оси синусов (оу)).

Приходим в 0. Значит, .

Пример 2.

Найти значение .

Решение:

Находим на круге (проходим против часовой стрелки и еще ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).

Попадаем в -1 по оси синусов.

Заметим, за точкой «скрываются» такие точки, как (мы могли бы пойти в точку, помеченную как , по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), и бесконечно много других.

Можно привести такую аналогию:

Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.

Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м. Или пробежав, скажем, 100м по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).

А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д. по часовой стрелке от «старт».

Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую. Представьте, где на этой прямой будут, например, значения 300, 700, 1100, 1500 и т.д. Мы увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.

Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.

Скажем, углы , , , и т.д. изображаются одной точкой. И значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали или ? Это период для функции синус и косинус.)

Пример 3.

Найти значение .

Решение:

Переведем для простоты в градусы

(позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):

Двигаться будем по часовой стрелки от точки Пройдем полкруга () и еще

Понимаем, что значение синуса совпадает со значением синуса и равняется

Заметим, если б мы взяли, например, или и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.

Пример 4.

Найти значение .

Решение:

Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем примере.

То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).

Пример 5.

Найти значение .

Решение:

Как отложить на тригонометрическом круге ?

Если мы пройдем или , да хоть , мы все равно окажемся в точке, которую мы обозначили как «старт». Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге

Пример 6.

Найти значение .

Решение:

Мы окажемся в точке ( приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем точку круга на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в . То есть .

Тригонометрический круг – у вас в руках

Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками. А «цепочку-лесенку» значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете.

Как находить значения тангенса и котангенса основных углов .

После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти

На пустой шаблон круга. Тренируйтесь!

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: научить использовать единичную окружность при решении различных тригонометрических заданий.

В школьном курсе математики возможны различные варианты введения тригонометрических функций. Наиболее удобной и часто используемой является «числовая единичная окружность». Её применение в теме «Тригонометрия» весьма обширно.

Единичная окружность используется для:

– определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
– нахождения значений тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
– выведение основных формул тригонометрии;
– выведения формул приведения;
– нахождения области определения и области значений тригонометрических функций;
– определения периодичности тригонометрических функций;
– определения четности и нечетности тригонометрических функций;
– определения промежутков возрастания и убывания тригонометрических функций;
– определения промежутков знакопостоянства тригонометрических функций;
– радианного измерения углов;
– нахождения значений обратных тригонометрических функций;
– решение простейших тригонометрических уравнений;
– решение простейших неравенств и др.

Таким образом, активное осознанное владение учащимися данным видом наглядности дает неоспоримые преимущества для овладения разделом математики «Тригонометрия».

Использование ИКТ на уроках преподавания математики позволяет облегчить овладение числовой единичной окружностью. Конечно, интерактивная доска имеет широчайший диапазон применения, однако не во всех классах она есть. Если же говорить о применении презентаций, то на просторах Интернета и их выбор велик, и каждый педагог может найти наиболее приемлемый вариант для своих уроков.

В чем особенность представляемой мною презентации?

Данная презентация предполагает различные варианты использования и не является наглядностью к конкретному уроку в теме «Тригонометрия». Каждый слайд данной презентации можно использовать обособлено, как на этапе объяснения материала, формирования навыков, так и для рефлексии. При создании данной презентации особое внимание уделялось «читаемости» её с дальнего расстояния, поскольку количество учеников со сниженным зрением постоянно растет. Продумано цветовое решение, логически связанные объекты объединены единым цветом. Презентация анимирована таким образом, чтобы учитель имел возможность комментировать фрагмент слайда, а ученик задать вопрос. Таким образом, данная презентация – это своего рода «подвижные» таблицы. Последние слайды не анимированы и используются для проверки усвоения материала, в ходе решения тригонометрических заданий. Окружность на слайдах максимально упрощена внешне и максимально приближена к изображаемой на тетрадном листе учениками. Это условие я считаю принципиальным. У учащихся важно сформировать мнение о единичной окружности, как о доступном и мобильном (хотя и не единственном) виде наглядности при решении тригонометрических заданий.

Данная презентация поможет педагогам познакомить учеников с единичной окружностью в 9 классе на уроках геометрии при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника». И, конечно, она поможет расширить и углубить навык работы с единичной окружностью при решении тригонометрических заданий у учащихся старшего звена обучения на уроках алгебры.

Слайды 3, 4 поясняют построение единичной окружности; принцип определения местоположения точки на единичной окружности в I и II координатных четвертях; переход от геометрических определений функций синус и косинус (в прямоугольном треугольнике) к алгебраическим на единичной окружности.

Слайды 5-8 поясняют, как найти значения тригонометрических функций для основных углов I координатной четверти.

Слайды 9-11 поясняет знаки функций в координатных четвертях; определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций.

Слайд 12 используется для формирования представлений о положительных и отрицательных значениях углов; знакомством с понятием периодичности тригонометрических функций.

Слайды 13, 14 используются при переходе на радианную меру угла.

Слайды 15-18 не анимированы и используются при решении различных тригонометрических заданий, закрепления и проверки результатов усвоения материала.

Титульный лист.
Целеполагание.
Построение единичной окружности. Основные значения углов в градусной мере.
Определение синуса и косинуса угла на единичной окружности.
Табличные значения для синуса в порядке возрастания.
Табличные значения для косинуса в порядке возрастания.
Табличные значения для тангенса в порядке возрастания.
Табличные значения для котангенса в порядке возрастания.
Знаки функции sin α.
Знаки функции cos α.
Знаки функций tg α и ctg α.
Положительные и отрицательные значения углов на единичной окружности.
Радианная мера угла.
Положительные и отрицательные значения углов в радианах на единичной окружности.
Различные варианты единичной окружности для закрепления и проверки результатов усвоения материала.

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2