Ускорению по скорости тела. Понятие прямолинейного равноускоренного движения

Хотите провести эксперимент? Да запросто. Возьмите длинную линейку, положите ее горизонтально и приподнимите один конец. У вас получится наклонная плоскость. А теперь возьмите монетку и положите на верхний конец линейки. Монетка начнет скользить вниз по линейке, проследите, как будет двигаться монетка с одинаковой скоростью или нет.

Вы заметите, что скорость монетки будет постепенно возрастать. И изменение скорости будет напрямую зависеть от угла наклона линейки. Чем угол наклона круче, тем большую скорость будет набирать монетка к концу пути.

Изменение скорости монетки

Можно попытаться узнать, как меняется скорость монетки за каждый одинаковый промежуток времени. В случае с линейкой и монеткой в домашних условиях это трудно проделать, но в условиях лаборатории можно зафиксировать, что при постоянном угле наклона скользящая монетка за каждую секунду изменяет свою скорость на одинаковую величину.

Такое движение тела, когда его скорость за любые равные промежутки времени меняется одинаково, а тело при этом движется по прямой линии, называется в физике прямолинейным равноускоренным движением. Под скоростью в данном случае понимается скорость в каждый конкретный момент времени.

Такая скорость называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость тела может меняться по-разному: быстрее, медленнее, может возрастать, а может уменьшаться. Для того чтобы охарактеризовать это изменение скорости, вводят величину, называемую ускорением.

Понятие ускорения: формула

Ускорение это физическая величина, показывающая, насколько изменилась скорость тела за каждый равный промежуток времени. Если скорость меняется одинаковым образом, то ускорение будет величиной постоянной. Так происходит в случае прямолинейного равноускоренного движения. Формула для ускорения выглядит следующим образом:

a = (v - v_0)/ t,

где a ускорение, v конечная скорость, v_0 начальная скорость, t время.

Измеряется ускорение в метрах на секунду в квадрате (1 м/с2). Немного странная на первый взгляд единица очень легко объясняется: ускорение= скорость/время=(м/с)/с, откуда и выводится такая единица.

Ускорение величина векторная. Оно может быть направлена либо в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, либо в противоположную сторону, если скорость уменьшается. Пример второго варианта это торможение. Если, например, автомобиль тормозит, то скорость его уменьшается. Тогда ускорение будет являться отрицательной величиной, и направлено оно будет не по ходу движения автомобиля, а в обратную сторону.

В случаях, когда скорость у нас меняется от нуля до какой-либо величины, например, при старте ракеты, либо в случае, когда скорость наоборот уменьшается до нуля, например, при торможении поезда до полной остановки, можно использовать в расчетах только одно значение скорости. Формула тогда примет вид: a =v /t для первого случая либо же: a = v_0 /t для второго.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости движущегося тела. Если скорость тела остается постоянной, то оно не ускоряется. Ускорение имеет место только в том случае, когда скорость тела меняется. Если скорость тела увеличивается или уменьшается на некоторую постоянную величину, то такое тело движется с постоянным ускорением. Ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (м/с 2) и вычисляется по значениям двух скоростей и времени или по значению силы, приложенной к телу.

Шаги

Вычисление среднего ускорения по двум скоростям

Формула для вычисления среднего ускорения. Среднее ускорение тела вычисляется по его начальной и конечной скоростям (скорость – это быстрота передвижения в определенном направлении) и времени, которое необходимо телу для достижения конечной скорости. Формула для вычисления ускорения: a = Δv / Δt , где а – ускорение, Δv – изменение скорости, Δt – время, необходимое для достижения конечной скорости.

Определение переменных. Вы можете вычислить Δv и Δt следующим образом: Δv = v к - v н и Δt = t к - t н , где v к – конечная скорость, v н – начальная скорость, t к – конечное время, t н – начальное время.

Так как ускорение имеет направление, всегда вычитайте начальную скорость из конечной скорости; в противно случае направление вычисленного ускорения будет неверным.
Если в задаче начальное время не дано, то подразумевается, что t н = 0.

Найдите ускорение при помощи формулы. Для начала напишите формулу и данные вам переменные. Формула: . Вычтите начальную скорость из конечной скорости, а затем разделите результат на промежуток времени (изменение времени). Вы получите среднее ускорение за данный промежуток времени.
- Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение имеет отрицательное значение, то есть тело замедляется.
- Пример 1: автомобиль разгоняется с 18,5 м/с до 46,1 м/с за 2,47 с. Найдите среднее ускорение.
  - Напишите формулу: a = Δv / Δt = (v к - v н)/(t к - t н)
  - Напишите переменные: v к = 46,1 м/с, v н = 18,5 м/с, t к = 2,47 с, t н = 0 с.
  - Вычисление: a = (46,1 - 18,5)/2,47 = 11,17 м/с 2 .
- Пример 2: мотоцикл начинает торможение при скорости 22,4 м/с и останавливается через 2,55 с. Найдите среднее ускорение.
  - Напишите формулу: a = Δv / Δt = (v к - v н)/(t к - t н)
  - Напишите переменные: v к = 0 м/с, v н = 22,4 м/с, t к = 2,55 с, t н = 0 с.
  - Вычисление: а = (0 - 22,4)/2,55 = -8,78 м/с 2 .
Вычисление ускорения по силе
1. Второй закон Ньютона. Согласно второму закону Ньютона тело будет ускоряться, если силы, действующие на него, не уравновешивают друг друга. Такое ускорение зависит от результирующей силы, действующей на тело. Используя второй закон Ньютона, вы можете найти ускорение тела, если вам известна его масса и сила, действующая на это тело.
  - Второй закон Ньютона описывается формулой: F рез = m x a , где F рез – результирующая сила, действующая на тело, m – масса тела, a – ускорение тела.
  - Работая с этой формулой, используйте единицы измерения метрической системы, в которой масса измеряется в килограммах (кг), сила в ньютонах (Н), а ускорение в метрах в секунду за секунду (м/с 2).
2. Найдите массу тела. Для этого положите тело на весы и найдите его массу в граммах. Если вы рассматриваете очень большое тело, поищите его массу в справочниках или в интернете. Масса больших тел измеряется в килограммах.
  - Для вычисления ускорения по приведенной формуле необходимо преобразовать граммы в килограммы. Разделите массу в граммах на 1000, чтобы получить массу в килограммах.
3. Найдите результирующую силу, действующую на тело. Результирующая сила не уравновешивается другими силами. Если на тело действуют две разнонаправленные силы, причем одна из них больше другой, то направление результирующей силы совпадает с направлением большей силы. Ускорение возникает тогда, когда на тело действует сила, которая не уравновешена другими силами и которая приводит к изменению скорости тела в направлении действия этой силы.
  
  Преобразуйте формулу F = ma так, чтобы вычислить ускорение. Для этого разделите обе стороны этой формулы на m (массу) и получите: a = F/m. Таким образом, для нахождения ускорения разделите силу на массу ускоряющегося тела.
  - Сила прямо пропорциональна ускорению, то есть чем больше сила, действующая на тело, тем быстрее оно ускоряется.
  - Масса обратно пропорциональна ускорению, то есть чем больше масса тела, тем медленнее оно ускоряется.
4. Вычислите ускорение по полученной формуле. Ускорение равно частному от деления результирующей силы, действующей на тело, на его массу. Подставьте данные вам значения в эту формулу, чтобы вычислить ускорение тела.
  - Например: сила, равная 10 Н, действует на тело массой 2 кг. Найдите ускорение тела.
  - a = F/m = 10/2 = 5 м/с 2
Проверка ваших знаний
1. Направление ускорения. Научная концепция ускорения не всегда совпадает с использованием этой величины в повседневной жизни. Помните, что у ускорения есть направление; ускорение имеет положительное значение, если оно направлено вверх или вправо; ускорение имеет отрицательное значение, если оно направлено вниз или влево. Проверьте правильность вашего решения, основываясь на следующей таблице:
2. Пример: игрушечная лодка массой 10 кг движется на север с ускорением 2 м/с 2 . Ветер, дующий в западном направлении, действует на лодку с силой 100 Н. Найдите ускорение лодки в северном направлении.
3. Решение: так как сила перпендикулярна направлению движения, то она не влияет на движение в этом направлении. Поэтому ускорение лодки в северном направлении не изменится и будет равно 2 м/с 2 .
Результирующая сила. Если на тело действуют сразу несколько сил, найдите результирующую силу, а затем приступайте к вычислению ускорения. Рассмотрим следующую задачу (в двумерном пространстве):
- Владимир тянет (справа) контейнер массой 400 кг с силой 150 Н. Дмитрий толкает (слева) контейнер с силой 200 Н. Ветер дует справа налево и действует на контейнер с силой 10 Н. Найдите ускорение контейнера.
- Решение: условие этой задачи составлено так, чтобы запутать вас. На самом деле все очень просто. Нарисуйте схему направления сил, так вы увидите, что сила в 150 Н направлена вправо, сила в 200 Н тоже направлена вправо, а вот сила в 10 Н направлена влево. Таким образом, результирующая сила равна: 150 + 200 - 10 = 340 Н. Ускорение равно: a = F/m = 340/400 = 0,85 м/с 2 .

При прямолинейном равноускоренном движении тело

двигается вдоль условной прямой линии,
его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.

Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .

Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.

Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:

При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:

Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:

Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:

Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:

Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:

at = v – v 0
a = (v – v 0)/t

В случае торможения:

at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t

В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:

Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:

Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.

При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.

Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Итак, пройденный путь определяется по формуле:

s = v 0 t + at 2 /2

(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)

Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.

Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.

Позволяет нам существовать на этой планете. Как можно понять, что представляет собой центростремительное ускорение? Определение этой физической величины представлено ниже.

Наблюдения

Самый простой пример ускорения тела, движущегося по окружности, можно наблюдать, вращая камень на веревке. Вы тянете веревку, а веревка тянет камень к центру. В каждый момент времени веревка сообщает камню некоторое количество движения, и каждый раз - в новом направлении. Можно представить движение веревки в виде серии слабых рывков. Рывок - и веревка изменяет свое направление, еще рывок - еще раз изменение, и так по кругу. Если вы внезапно отпустите веревку, рывки прекратятся, а вместе с ними и прекратится изменение направления скорости. Камень будет двигаться в направлении касательной к кругу. Возникает вопрос: "С каким ускорением будет двигаться тело в это мгновение?"

Формула центростремительного ускорения

Прежде всего стоит заметить, что движение тела по окружности является сложным. Камень участвует в двух видах движения одновременно: под действием силы он движется к центру вращения, и одновременно по касательной к окружности, от этого центра удаляется. Согласно Второму закону Ньютона, сила, удерживающая камень на веревке, направлена к центру вращения вдоль этой веревки. Туда же будет направлен вектор ускорения.

Пусть за некоторое время t наш камень, равномерно двигаясь со скоростью V, попадает из точки A в точку B. Предположим, что в момент времени, когда тело пересекало точку B, на него перестала действовать центростремительная сила. Тогда за промежуток времени оно попало бы в точку K. Она лежит на касательной. Если бы в тот же момент времени на тело действовали бы только центростремительные силы, то за время t, двигаясь с одинаковым ускорением, оно оказалось бы в точке O, которая расположена на прямой, представляющей собой диаметр окружности. Оба отрезка являются векторами и подчиняются правилу векторного сложения. В результате суммирования этих двух движений за отрезок времени t получаем результирующую движения по дуге AB.

Если промежуток времени t взять пренебрежимо малым, то дуга AB будет мало отличаться от хорды AB. Таким образом, можно заменить движение по дуге движением по хорде. В этом случае перемещение камня по хорде будет подчиняться законам прямолинейного движения, то есть пройденное расстояние AB будет равно произведению скорости камня на время его движения. AB = V х t.

Обозначим искомое центростремительное ускорение буквой a. Тогда пройденный только под действием центростремительного ускорения путь можно рассчитать по формуле равноускоренного движения:

Расстояние AB равно произведению скорости и времени, то есть AB = V х t,

AO - вычислено ранее по формуле равноускоренного движения для перемещения по прямой: AO = at 2 / 2.

Подставляя эти данные в формулу и преобразуя их, получаем простую и изящную формулу центростремительного ускорения:

Словами это можно выразить так: центростремительное ускорение тела, двигающегося по окружности, равно частному от деления линейной скорости в квадрате на радиус окружности, по которой вращается тело. Центростремительная сила в таком случае будет выглядеть так, как на картинке ниже.

Угловая скорость

Угловая скорость равна частному от деления линейной скорости на радиус окружности. Верно и обратное утверждение: V = ωR, где ω - угловая скорость

Если подставить это значение в формулу, можно получить выражение центробежного ускорения для угловой скорости. Оно будет выглядеть так:

Ускорение без изменения скорости

И все же, отчего тело с ускорением, направленным к центру, не движется быстрее и не перемещается ближе к центру вращения? Ответ кроется в самой формулировке ускорения. Факты говорят о том, что движение по окружности реально, но для его поддержания требуется ускорение, направленное к центру. Под действием силы, вызванной данным ускорением, происходит изменение количества движения, в результате чего траектория движения постоянно искривляется, все время меняя направление вектора скорости, но не изменяя ее абсолютной величины. Двигаясь по кругу, наш многострадальный камень устремляется внутрь, в противном случае он продолжал бы двигаться по касательной. Каждое мгновение времени, уходя по касательной, камень притягивается к центру, но не попадает в него. Еще одним примером центростремительного ускорения может стать водный лыжник, описывающий небольшие круги на воде. Фигура спортсмена наклонена; он как бы падает, продолжая движение и наклонившись вперед.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что ускорение не увеличивает скорость тела, так как векторы скорости и ускорения перпендикулярны друг к другу. Добавляясь к вектору скорости, ускорение лишь меняет направление движения и удерживает тело на орбите.

Превышение запаса прочности

В предыдущем опыте мы имели дело с идеальной веревкой, которая не рвалась. Но, допустим, наша веревка самая обычная, и даже можно вычислить усилие, после которого она просто порвется. Для того чтобы рассчитать эту силу, достаточно сопоставить запас прочности веревки с нагрузкой, которую она испытывает в процессе вращения камня. Вращая камень с большей скоростью, вы сообщаете ему большее количество движения, а значит, и большее ускорение.

При диаметре джутовой веревки около 20 мм ее прочность на разрыв равна около 26 кН. Примечательно, что длина веревки нигде не фигурирует. Вращая груз размером в 1 кг на веревке радиусом в 1 м, можно вычислить, что линейная скорость, необходимая для ее разрыва равна 26 х 10 3 = 1кг х V 2 / 1 м. Таким образом, скорость, которую опасно превышать, будет равна √26 х 10 3 = 161 м/с.

Сила тяжести

При рассмотрении опыта мы пренебрегали действием силы тяжести, так как при таких больших скоростях ее влияние пренебрежимо мало. Но можно заметить, что при раскручивании длинной веревки тело описывает более сложную траекторию и постепенно приближается к земле.

Небесные тела

Если перенести законы движения по окружности в космос и применить их к движению небесных тел, можно заново открыть несколько давно знакомых формул. Например, сила, с которой тело притягивается к Земле, известна по формуле:

В нашем случае множитель g и является тем самым центростремительным ускорением, которое было выведено из предыдущей формулы. Только в этом случае роль камня будет выполнять небесное тело, притягивающееся к Земле, а роль веревки - сила земного притяжения. Множитель g будет выражен через радиус нашей планеты и скорость ее вращения.

Итоги

Сущность центростремительного ускорения состоит в тяжелой и неблагодарной работе удержания движущегося тела на орбите. Наблюдается парадоксальный случай, когда при постоянном ускорении тело не изменяет величины своей скорости. Для неподготовленного ума такое заявление довольно парадоксально. Тем не менее и при расчете движения электрона вокруг ядра, и при вычислении скорости вращения звезды вокруг черной дыры, центростремительной ускорение играет не самую последнюю роль.

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.