В чем состоит принцип гюйгенса френеля. В чем заключается принцип теории гюйгенса френеля

Дифра́кция све́та - явление, наблюдаемое при распространении света в среде с резкими неоднородностями. Свет отклоняется от прямолинейного распространения при прохождении его через малое отверстие или узкие щели (0,1-1,0 мм). В этом случае лучи света распространяются не только прямо, но и в стороны, отчего вокруг светлого кружка или светлой полосы появляется цветная кайма - дифракционные кольца или полосы. Первые легко наблюдать, если смотреть сквозь малое отверстие на стоящий недалеко источник света. Чем меньше отверстие, тем больше диаметр первого кольца дифракции. С увеличением отверстия его диаметр уменьшается. Дифракция ухудшает резкость изображения при очень сильном диафрагмировании объектива. Она начинает сказываться сотносительного отверстия 1:8-1:11

Вследствие дифракции при освещении непрозрачных экранов на границе тени, где, согласно законамгеометрической оптики, должен был бы происходить скачкообразный переход от тени к свету, наблюдается ряд светлых и тёмных дифракционных полос.

Дифракция света - явление огибания светом препятствия вследствие интерференции вторичных волн от источников на краях препятствия. Условие дифракции: Размеры препятствий должны быть меньше или равны размеру волн.

Принцип Гюйгенса - Френеля - основной постулат волновой теории, описывающий и объясняющий механизм распространения волн, в частности, световых.

Принцип Гюйгенса является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка фронта(поверхности, достигнутой волной) является вторичным (т.е. новым) источником сферических волн. Огибающая фронтов волн всех вторичных источников становится фронтом волны в следующий момент времени.

Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности иинтерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса - Френеля и дифракционные явления.

Принцип Гюйгенса - Френеля формулируется следующим образом:

Пусть волна света, созданная источниками, расположенными в области , достигла плоскости . Световое поле в этой плоскости нам известно. Пусть его комплексная амплитуда есть , где функции и описывают распределение амплитуд и фаз колебаний в плоскости .

Согласно принципу Гюйгенса каждую точку плоскости , куда пришла волна, можно рассматривать как источник вторичной волны. То есть можно представить себе, что волна возбуждает колебания некоторого фиктивного источника, который и переизлучает вторичную волну. Френель дополнил принцип Гюйгенса, предложив рассматривать световое колебание в любой точке наблюдения в области как результат интерференции этих вторичных волн.

Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля ). Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S , находящиеся на расстоянии от точки M (рис. 9.2). Точки сферы S , находящиеся на расстояниях , , и т.д. от точки M , образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля. Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M . Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга: , (9.2.2) где A – амплитуда результирующего колебания, – амплитуда колебаний, возбуждаемая i -й зоной Френеля.

Лекция 21. Дифракция света.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Векторная диаграмма. Дифракция от круглого отверстия и круглого диска. Дифракция Фраунгофера от щели. Предельный переход от волновой оптики к геометрической .

Дифракция – это явление отклонения от прямолинейного распространения света, если оно не может быть следствием отражения, преломления или изгибания световых лучей, вызванным пространственным изменением показателя преломления. При этом отклонение от законов геометрической оптики тем меньше, чем меньше длина волны света.

Замечание . Между дифракцией и интерференцией нет принципиального различия. Оба явления сопровождаются перераспределением светового потока в результате суперпозиции волн.

Примером дифракции может служить явление при падении света на непрозрачную перегородку с отверстием. В этом случае на экране за перегородкой в области границы геометрической тени наблюдается дифракционная картина.

Принято различать два вида дифракции. В случае, когда волну, падающую на перегородку, можно описать системой параллельных друг другу лучей (например, когда источник света находится достаточно далеко), то говорят о дифракции Фраунгофера или дифракции в параллельных лучах. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля или дифракции в расходящихся лучах.

При описании явлений дифракции необходимо решить систему уравнений Максвелла с соответствующими граничными и начальными условиями. Однако нахождение точного решения в большинстве случаев является весьма затруднительным. Поэтому, в оптике, часто применяют приближённые методы, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля или Кирхгофа.

Принцип Гюйгенса.

Формулировка принципа Гюйгенса . Каждая точка среды, до которой в некоторый момент времени t дошло волновое движение, служит источником вторичных сферических волн . Огибающая этих волн даёт положение фронта волны в следующий близкий момент времени t +dt . Радиусы вторичных волны равны произведению фазовой скорости света на интервал времени
.

Иллюстрация этого принципа на примере волны падающей на непрозрачную перегородку с отверстием показывает, что волна проникает в область геометрической тени. Это является проявлением дифракции.

Однако принцип Гюйгенса не даёт оценок интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. По амплитудам вторичных волн с учётом их фаз можно найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

Каждый малый элемент волновой поверхности является источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS и уравнение которой вдоль луча имеет вид

здесьa 0 - коэффициент, пропорциональный амплитуде колебаний точек на волновой поверхности dS ,
- коэффициент, зависящий от угла между лучом и вектором
, и такой, что при
он принимает максимальное значение, а при
- минимальное (близкое к нулю).

Амплитуда результирующего колебания в некоторой точке наблюдения Р определяется аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля, которое вывел Кирхгоф :

Интеграл берётся по волновой поверхности, зафиксированной в некоторый момент времени. Для свободно распространяющейся волны значение интеграла не зависит от выбора поверхности интегрирования S .

Явное вычисление амплитуды результирующего колебания по формуле Кирхгофа довольно трудоёмкая процедура, поэтому на практике применяют приближённые методы нахождения значения этого интеграла.

Для нахождения амплитуды колебаний в точке наблюдения P всю волновую поверхность S разбивают на участки (зоны Френеля ). Предположим, что мы наблюдаем дифракцию в расходящихся лучах (дифракцию Френеля), т.е. рассматриваем сферическую, распространяющуюся от некоторого точечного источника L . Волна распространяется в вакууме.

Зафиксируем волновую поверхность в некоторый момент времениt . Пусть радиус этой поверхности равен a . Линия LP пересекает волновую поверхность в точке О. Предположим, что расстояние между точками О и Р равно b . От точки Р последовательно откладываем сферы, радиусы которых
. Две соседние сферы «отсекают» на волновой поверхности кольцевые участки, называемыезонами Френеля . (Как известно, две сферы пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной прямой, на которой лежат центры этих сфер). Найдём расстояние от точки О до границы зоны с номером m . Пусть радиус внешней границы зоны Френеля равен r m . Т.к. радиус волновой поверхности равен a , то .

При этом,

Поэтому
, откуда
.

Для длин волн видимого диапазона и не очень больших значений номеров m можно пренебречь слагаемым
по сравнению сm . Следовательно, в этом случае
и для квадрата радиуса получаем выражение
, в котором опять можно пренебречь последним слагаемым. Тогда радиусm -й зоны Френеля (для дифракции в расходящихся лучах)

.

Следствие . Для дифракции в параллельных лучах (дифракции Фраунгофера) радиус зон Френеля получается предельных переходом a :

.

Теперь сравним площади зон Френеля. Площадь сегмента сферической поверхности, лежащей внутри m -й зоны, как известно, равна
. Зона с номеромm заключена между границами зон с номерами m и m -1. Поэтому её площадь равна

.

После преобразований выражение примет вид
.

Если пренебречь величиной
, то из выражения
следует, что при небольших номерах площадь зон не зависит от номераm .

Нахождение результирующей амплитуды в точке наблюденияР производится следующим образом. Т.к. излучаемые вторичные волны являются когерентными и расстояния от соседних границ до точки Р отличаются на половину длины волны, то разность фаз колебаний от вторичных источников на этих границах, приходящих в точку Р , равна  (как говорят, колебания приходят в противофазе). Аналогично, для любой точки какой-нибудь зоны обязательно найдётся точка в соседней зоне, колебания от которой приходят в Р в противофазе. Величина амплитуды волнового вектора пропорциональна величине площади зоны
. Но площади зон одинаковые, а с ростом номераm возрастает угол , поэтому величина
убывает. Поэтому можно записать упорядоченную последовательность амплитуд. На амплитудно -векторной диаграмме с учётом разности фаз эта последовательность изображается противоположно направленными векторами, поэтому

Разобьем первую зону на большое количество N внутренних зон таким же спосбом, как и выше, но теперь расстояния от границ двух соседних внутренних зон до точки Р будут отличаться на малую величину
. Поэтому разность фаз волн, приходящих волн в точкуР будет равна малой величине
. На амплитудно-векторной диаграмме вектор амплитуды от каждой из внутренних зон будет повернут на малый угол относительно предыдущего, поэтому амплитуде суммарного колебания от нескольких первых внутренних зон будет соответствовать вектор
соединяющий начало и конец ломаной линии. При увеличении номера внутренней зоны суммарная разность фаз будет нарастать и на границе первой зоны станет равной. Это означает, вектор амплитуды от последней внутренней зоны
направлен противоположно вектору амплитуды от первой внутренней зоны
. В пределе бесконечно большого числа внутренних зон эта ломаная линия перейдет в часть спирали.

Амплитуде колебаний от первой зоны Френеля тогда будет соответствовать вектор, от двух зон -и т.д. В случае, если между точкойР и источником света нет никаких преград, из точки наблюдения будет видно бесконечное число зон, поэтому спираль будет навиваться на точку фокуса F . Поэтому свободной волне с интенсивностью I 0 соответствует вектор амплитуды , направленный в точкуF .

Из рисунка видно, что для амплитуды от первой зоны можно получить оценку
, поэтому интенсивность от первой зоны
- в 4 раза больше интенсивности падающей волны. Равенство
можно трактовать и по-другому. Если для бесконечного числа открытых зон суммарную амплитуду записать в виде

(m – четное число), то из
следует оценка
.

Замечание . Если каким-то образом изменить фазы колебаний в точке Р от чётных или нечётных зон на , или закрыть чётные или нечётные зоны, то суммарная амплитуда увеличится по сравнению с амплитудой открытой волны. Таким свойством обладает зонная пластинка - плоскопараллельная стеклянная пластинка с выгравированными концентрическими окружностями, радиус которых совпадает с радиусами зон Френеля. Зонная пластинка «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, что приводит к увеличению интенсивности света в точке наблюдения.

Дифракция на круглом отверстии.

Рассуждения, приведённые выше, позволяют сделать вывод, что амплитуда колебания в точкеР зависит от числа зон Френеля. Если для точки наблюдения открыто нечётное число зон Френеля, то в этой точке будет максимум интенсивности. Если открыто чётное число зон – то минимум.

Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых и тёмных колец. При увеличении радиуса отверстия (и увеличения числа зон Френеля) чередование тёмных и светлых колец будет наблюдаться только вблизи границы геометрической тени, а внутри освещённость практически не будет меняться.

Дифракция Волн - явление огибания волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени. Явление дифракции можно качественно объяснить применением принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград.

Рассмотрим плоскую преграду ab (рис. 69). На рисунке показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности позади преграды. Видно, что волны действи-

тельно загибаются в область тени. Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в волне за преградой. Ее можно найти, рассматривая интерференцию волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение амплитуд колебаний позади преграды называетсядифракционной картиной . Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от соотношения между длиной волны Л, размером преграды d и расстоянием L от преграды до точки наблюдения. Если длина волны Л больше размеров преграды d, то волна его почти не замечает. Если длина волны Л одного порядка с размером преграды d, то дифракция проявляется даже на очень малом расстоянии L, и волны за преградой лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон. Если, наконец, длины волн много меньше размеров препятствия, то дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоянии от преграды, величина которой зависит от Л и d.

Принцип Гюйгенса - Френеля является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка фронта (поверхности, достигнутой волной) является вторичным (т.е. новым) источником сферических волн. Огибающая фронтов волн всех вторичных источников становится фронтом волны в следующий момент времени.

Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса - Френеля и дифракционные явления.

Принцип Гюйгенса - Френеля формулируется следующим образом:

Густав Кирхгоф придал принципу Гюйгенса строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа.

Фронтом волны точечного источника в однородном изотропном пространстве является сфера. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова.

Дальнейшим обобщением и развитием принципа Гюйгенса является формулировка через интегралы по траекториям, служащая основой современной квантовой механики.

Метод зон Френеля Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля .

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.

Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

В предыдущем параграфе мы представили волну, вырезанную щелью в экране, в виде плоских волн с различными и проследили их распространение за экраном. Тот же результат можно получить и в результате иного подхода к этой задаче. Для описания распространения света Гюйгенс предложил некий механизм формирования фронта сферической волны, состоящий в следующем. Если принять, что каждая точка поверхности фронта волны (поверхности постоянной фазы является источником новой сферической волны с центром в этой точке, то поле в последующие моменты времени определяется суперпозицией волн от таких элементарных источников, а положение фронта- огибающей элементарных (сферических) волн. Основанием для этого приема служит простое и ясное физическое толкование явления: преградим путь волне непрозрачным экраном с «точечным» отверстием, тогда за экраном получим сферическую волну с центром в отверстии. Суперпозиция таких «точечных» источников и есть фронт начальной волны, а суперпозиция сферических волц - «вторичная» волна (рис. XV.5). Дальнейшее развитие этого принципа Френелем, добавившим к картине Гюйгенса интерференцию «волн-слагаемых», и придание Кирхгофом этой картине математического описания привели к созданию теории дифракции.

Рассмотрим теперь трехмерпую задачу - дифракцию волны на отверстии произвольной формы, и не будем ограничиваться случаем плоской начальной волны. В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля поле в точке Р за экраном (рис. ХV.6) есть суперпозиция сферических волн, исходящих из различных точек отверстия в экране:

Рис. XV.5. Образование фронта волны по Гюйгенсу.

Рис. XV.6. К описанию дифракции на отверстии в плоском экране.

где - напряженность поля в точке отверстия, А - коэффициент, подлежащий определению. Расстояние между точкой-источником и точкой Р

Для нахождения коэффициента А устремим размеры отверстия в экране к бесконечности. Конечно, как и всегда, мы должны определить здесь физический масштаб бесконечности («по сравнению с чем»). Это мы сделаем несколько позже. Сейчас же заметим, что если волна перед экраном плоская, то при поле в точке Р также будем полем той же плоской волны, так что

Принимая для приближение (98.2), что, как увидим ниже, не противоречит «бесконечным» размерам отверстия, найдем

Интеграл в этом соотношении имеет следующее значение:

Таким образом, и поле в точке Р описывается соотношением

которое носит название интеграла Кирхгофа и представляет собой решение задачи о дифракции электромагнитной волны на экране с отверстием

Отметим одну существенную особенность полученного выражения: оно содержит множитель что соответствует сдвигу фаз между реальным полем в отверстии экрана и полем воображаемых точечных источников, которыми мы заменяем реальное поле в соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля. На это обстоятельство обратил внимание еще Френель, обнаруживший, что построение Гюйгенса для фронта вторичной волны (см. рис. XV.5), проводимое с учетом сдвига фаз и интерференции, дает правильный результат, если «принудительно» ввести сдвиг фаз в поле источников по отношению к полю первичной волны.

Теперь выясним справедливость наших приближений. Мы приняли при вычислении А, с одной стороны, а с другой стороны, (см. (98.2)). Эти требования не противоречивы, так как, на самом деле, нужно, чтобы к бесконечности стремился фазовый множитель т. е. величины х и у становились большими по сравнению с длиной волны . В то же время величина слабо меняется при изменении х, у, если Поэтому для знаменателя в (98.3), (98.5) можно принять

Представим теперь разложение (98.2) в виде

Если размеры отверстия в экране достаточно малы по сравнению с расстояниями т. е.

а точка наблюдения Р расположена достаточно близко от оси, так что

мы приходим к случаю, описанному в предыдущем параграфе. Действительно, компоненты вектора к можно выразить через координаты точки наблюдения:

и записать показатель экспоненты в (98.5) в виде

Тогда поле в точке Р описывается выражением, содержащим фурье-образ по волновым числам от поля в отверстии,

Отметим, что фазовый множитель перед интегралом в (98.10) не влияет на распределение интенсивности в дифракционной картине. Если к тому же справедливы условия (98.8) и квадратичными членами в показателе экспоненты можно пренебречь, соотношение (98.10) есть не что иное, как разложение поля в отверстии по плоским волнам. В частности, для отверстия в виде щели (одномерный случай) множитель в интеграле Кирхгофа (98.5) следует заменить:

что соответствует переходу от разложения по сферическим волнам к разложению по цилиндрическим волнам. Тогда из (98.10) имеем

Модуль этого выражения в точности совпадает с результатом (97.8), полученным в приближении плоских волн. Однако теперь найдено полное решение, учитывающее фазу дифрагированной волны.

Итак, интеграл Кирхгофа, являющийся математическим выражением принципа Гюйгенса - Френеля, может быть представлен в приближенном виде, существенно облегчающем вычисления, в двух важных частных случаях. Первый из них есть не что иное, как параксиальное приближение, или разложение по расходящимся сферическим волнам,

Второй случай - приближение Фраунгофера, или разложение по плоским волнам

Напомним, что при переходе к двумерному случаю (разложение по цилиндрическим волнам) множители перед интегралами в (98.13), (98.14) следует заменить согласно (98.11). Если же дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости объектива, расстояние до экрана следует заменить на фокусное расстояние

Решение задачи дифракции в параксиальном приближении (98.13) носит название дифракции Френеля.

Явления интерференции света во всем их многообразии служат убедительнейшим доказательством волновой природы световых процессов. Однако окончательная победа волновых представлений была невозможна без истолкования с волновой точки зрения фундаментального и хорошо подтвержденного опытом закона прямолинейного распространения света.

Волновые представления в той первоначальной форме , в которой их развивал Гюйгенс («Трактат о свете», 1690), не могли дать удовлетворительного ответа на поставленный вопрос. В основу учения о распространении света Гюйгенсом положен принцип, носящий его имя. Согласно представлениям Гюйгенса, свет, по аналогии со звуком, представляет собой волны, распространяющиеся в особой среде - эфире, занимающем все пространство, в частности заполняющем собой промежутки между частицами любого вещества, которые как бы погружены в океан эфира. С этой точки зрения естественно было считать, что колебательное движение частиц эфира передается не только той частице, которая лежит на «пути» светового луча, т. е. на прямой, соединяющей источник света L , (рис. 1.1) с рассматриваемой точкой А , но всем частицам, примыкающим к А , т. е. световая волна распространяется из А во все стороны, как если бы точка А служила источником света. Поверхность, огибающая эти вторичные волны, и представляет собой поверхность волнового фронта. Для случая, изображенного на рис. 1.1, эта огибающая (жирная дуга) представится частью шаровой поверхности с центром в L , ограниченной конусом, ведущим к краям круглого отверстия в экране МN . Принцип Гюйгенса позволил разъяснить вопросы отражения и преломления света, включая и сложную проблему о двойном лучепреломлении; но задача о прямолинейном распространении света по существу решена не была, ибо она не была поставлена в связь с явлениями отступления от прямолинейности, т. е. с явлениями дифракции.

Причина лежит в том, что принцип Гюйгенса в его первоначальной форме был принципом, областью применения которого являлась область геометрической оптики. Выражаясь языком волновой оптики, он относился к случаям, когда длину волны можно было считать бесконечно малой по сравнению с размерами волнового фронта. Поэтому он позволял решать лишь задачи о направлении распространения светового фронта и не затрагивал по существу вопроса об интенсивности волн, идущих по разным направлениям. Этот недостаток воспол
нил Френель, который вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции волн. Благодаря этому огибающая поверхность элементарных волн, введенная Гюйгенсом чисто формально, приобрела ясное физическое содержание как поверхность, где благодаря взаимной интерференции элементарных волн результирующая волна имеет заметную интенсивность.

Модифицированный таким образом принцип Гюйгенса-Френеля становится основным принципом волновой оптики и позволяет исследовать вопросы, относящиеся к интенсивности результирующей волны в разных направлениях, т. е. решать задачи о дифракции света (см. ниже). В соответствии с этим был решен вопрос о границах применимости закона прямолинейного распространения света, и принцип Гюйгенса-Френеля оказался применимым к выяснению закона распространения волн любой длины.

Для отыскания интенсивности (амплитуды) результирующей волны нужно, согласно Френелю, следующим образом формулировать принцип Гюйгенса.

Окружим источник L воображаемой замкнутой поверхностью S любой формы (рис. 1.2). Правильное значение интенсивности (амплитуды) возмущения в любой точке В за пределами S может быть получено так: устраним L , а поверхность S будем рассматривать как светящуюся поверхность, излучение отдельных элементов которой, приходя в В , определяет своей совокупностью действие в этой точке. Излучение каждого элемента ds поверхности S надо представлять себе как сферическую волну (вторичная волна), которая, приносит в точку В колебание:

,

где а 0 определяется амплитудой, а φ - фазой действительного колебания, дошедшего от L до элемента ds , находящегося на расстоянии r от точки В . При этом размеры элемента ds предполагаются настолько малыми, что φ и r для любой части его можно считать имеющими одни и те же значения. Другими словами, каждый элемент ds рассматривается как некоторый вспомогательный источник, так что амплитуда a 0 , пропорциональна площади ds .

Постулат Френеля, позволяющий определить a 0 и φ через амплитуду и фазу дошедшего до ds колебания, представляет собой некую гипотезу, пригодность которой может быть установлена сравнением делаемых с ее помощью заключений с результатами опыта.

Так как фазы всех вспомогательных источников определяются возмущением, идущим из L , то они строго согласованы между собой, и, следовательно, вспомогательные источники когерентны . Поэтому вторичные волны, исходящие из них, будут интерферировать между собой. Их совокупное действие в каждой точке может быть определено как интерференционный эффект, и следовательно, идея Гюйгенса о специальной роли огибающей перестает быть допущением, а должна явиться лишь следствием законов интерференции. Согласно приведенному выше постулату Френеля вопрос о вспомогательных источниках, заменяющих L , решается однозначно, как только выбрана вспомогательная поверхность S. Выбор же этой поверхности вполне произволен; поэтому для каждой конкретной задачи се следует выбрать наивыгоднейшим для решения способом. Если вспомогательная поверхность S совпадает с фронтом волны, идущей из L . (представляет собой сферу с центром в S ), то все вспомогательные источники будут иметь одинаковую фазу. Если же выбор S сделан иначе, то фазы вспомогательных источников не одинаковы, но источники, конечно, остаются когерентными.

В том случае, когда между источниками L и точкой наблюдения имеются непрозрачные экраны с отверстиями, действие этих экранов может быть учтено следующим образом. Мы выбираем поверхность S так, чтобы она всюду совпадала с поверхностью экранов, а отверстия в них затягивала произвольным образом, выбранным в зависимости от разбираемой проблемы. На поверхности непрозрачных экранов амплитуды вспомогательных источников должны считаться равными нулю; на поверхности же, проходящей через отверстия экранов, амплитуды выбираются в согласии с постулатом Френеля, т. е. так, как если бы экран отсутствовал. Таким образом, предполагается, что материал экрана не играет, роли, если только экран не прозрачен.

Вычисляя результаты интерференции элементарных волн, посылаемых вспомогательными источниками, мы приходим к значению амплитуды (интенсивности) в любой точке В , т. е. определяем закономерность распространения света. Результаты этих вычислений подтверждаются данными опыта. Таким образом, по методу Гюйгенса-Френеля удается получить правильное решение вопроса о распределении интенсивности света как в случае свободного распространения световых волн (прямолинейное распространение), так и в случае наличия задерживающих экранов (дифракция).

Первой задачей, которую должен был рассмотреть Френель, выдвинув новую формулировку принципа Гюйгенса, явилась задача о прямолинейном распространении света. Френель решил ее путем рассмотрения взаимной интерференции вторичных волн, применив чрезвычайно наглядный прием, заменяющий сложные вычисления и имеющий общее значение при разборе задач о распространении волн. Метод этот получил название метода зон Френеля .

Рассмотрим действие световой волны, испущенной из точки А , в какой-либо точке наблюдения В . Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника А действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности S .

В качестве такой вспомогательной поверхности S выберем поверхность фронта волны, идущей из А (поверхность сферы с центром А , рис.. 1.3). Вычисление результата интерференции вторичных волн очень упрощается, если применить следующий указанный Френелем прием: для вычисления действия в точке В соединяем А с В и разбиваем поверхность S на зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до В отличались на λ /2 т. е.

M 1 B – M 0 B = M 2 B – M 1 B =M 3 B – M 2 B =…= λ/2

(см. рис. 1.3). Нетрудно вычислить размеры полученных таким образом зон. Из рис. 1.4 получаем для первой зоны

r 2 =a 2 – (a – x) 2 = (b+ λ/2) 2 – (b+x) 2

Так как λ очень мало по сравнению с а пли b , то

,

и, следовательно, площадь сферического сегмента, представляющего первую, или центральную зону, есть:

Для площади сегмента, представляющего две первые зоны, найдем значение , т.е. площадь второй зоны также равна . Практически ту же площадь будет иметь и каждая из всех последующих зон. Таким образом, построение Френеля разбивает поверхность сферической волны на равновеликие зоны, каждая из которых имеет площадь

Для дальнейшего вычислении надо только принять во внимание, что действие отдельных зон на точку В тем меньше, чем больше угол φ между нормалью к поверхности зоны и направлением на В . Таким образом, действие зон постепенно убывает от центральной зоны (около М 0) к периферическим. Произвольное введение этого вспомогательного ослабляющего множителя есть один из недостатков метода Френеля.

Для получения окончательного результата можно рассуждать следующим образом: пусть действие центральной зоны в точке В выражается возбуждением колебания с амплитудой s 1 , действие соседней зоны - колебанием с амплитудой s 2 , следующей - с амплитудой s 3 и т. д. Как указано, действие зон постепенно (хотя и медленно) убывает от центра к периферии, так что s 1 > s 2 > s 3 > s 4 и т. д.; действие п -й зоны s n может быть очень малым, если п достаточно велико. Кроме того, благодаря выбранному способу разбивки на зоны легко видеть, что действия соседних зон ослабляют друг друга. Действительно, так как

M 1 B – M 0 B=λ/2 и M 2 B – M 1 B=λ/2

то воображаемые источники зоны М 0 М 1 расположены на ½ λ ближе к В , чем соответственные источники зоны М 1 М 2 , так что посылаемые колебания дойдут до В в противоположных фазах. Таким образом, для точки В действие центральной зоны ослабится действием соседней зоны и т. д. Продолжая эти рассуждения, найдем, что окончательное значение амплитуды колебания, возбужденного в точке В всей совокупностью зон, т. е. всей световой волной, будет равно:

s=s 1 – s 2 + s 3 – s 4 + s 5 – s 6 +…=s 1 – (s 2 - s 3) – (s 4 – s 5) – (s 6 – s 7) – … (1.1)

Из условия s 1 > s 2 > s 3 > s 4 ... следует, что все выражения в скобках положительны, так что s <s 1 . Освещенность Е в точке наблюдения В пропорциональна квадрату результирующей амплитуды колебаний. Следовательно, Е ~ s 2 < s 1 2 |.

Итак, амплитуда s результирующего колебания, получающегося вследствие взаимной интерференции света, идущего к точке В от различных участков нашей сферической волны, меньше амплитуды, создаваемой действием одной центральной зоны. Таким образом, действие всей волны на точку В сводится к действию ее малого участка, меньшего, чем центральная зона с площадью . Длина световой волны λ весьма мала (для зеленого света λ = 5 10 -4 мм). Поэтому даже для расстоянии а и b порядка 1 м площадь действующей части волны меньше 1 мм 2 . Следовательно, распространение света от A к В действительно происходит так, как если бы световой поток шел внутри очень узкого канала вдоль АВ , т. е. прямолинейно.

Это не значит, однако, что если мы поместим на линии АВ любой небольшой непрозрачный экран, то до точки В свет не дойдет; ведь внесение такого экрана, который прикроет, например, первую зону, нарушит правильность наших рассуждений. В этом случае выпадет первый член знакопеременного ряда (1.1), и теперь окажется, что s < |s 2 | и т. д., т. е. s меньше модуля s m , где т - номер первой открытой у края экрана зоны. Если т не велико, например, т < 10, то освещенность в точке наблюдения В на оси экрана останется почти такой же, как и в его отсутствие. Но если маленький экранчик имеет неровные края с зазубринами, сравнимыми с шириной зоны Френеля, по которой проходит этот край, то он существенно уменьшает интенсивность в точке наблюдения В.