В публикации представлена логика различия алгебраических выражений для учащихся основного общего и среднего (полного) общего образования как переходной этап формирования логики различий математических выражений применяемых в физике и т.д. для формирования в дальнейшем понятий о явлениях, задачах, их классификации и методологии подхода их решения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Алгебраические выражения и их характеристики

© Скаржинский Я.Х.

Алгебра, как наука, изучает закономерности действий над множествами, обозначенных буквами. К алгебраическим действиям относят сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. В результате данных действий образовались алгебраические выражения. Алгебраическое выражение - выражение, состоящее из чисел и букв, обозначающих множества, с которым осуществляют алгебраические действия. Данные действия перешли в алгебру из арифметики. В алгебре рассматривают и приравнивание одного алгебраического выражения другому, что является их тождественным равенством. Примеры алгебраических выражений приведены в §1. Методы преобразований и взаимосвязи выражений были тоже позаимствованы у арифметики . Знания арифметических закономерностей действий над арифметическими выражениями позволяют проводить преобразования над похожими алгебраическими выражениями, преобразовывать их, упрощать, сравнивать, анализировать. Алгебра – наука закономерностей преобразований выражений, состоящих из множеств, представленных в виде буквенных обозначений, связанных между собой знаками различных действий. Существуют и более сложные алгебраические выражения, изучаемые в высших учебных заведениях. Пока их можно разделить на виды, наиболее часто применяемые в школьном курсе.

1 Виды алгебраических выражений

п.1 Простые выражения: 4a; (a + b); (a + b)3с; ; .

п.2 Тождественные равенства: (a + b)с = aс + bс; ;

п.3 Неравенства: aс ; a + с .

п.4 Формулы: х=2а+5; у=3b; у=0,5d 2 +2;

п.5 Пропорции:

Первого уровня сложности

Второго уровня сложности

Третьего уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств

a, b, c, m, k, d:

Четвертого уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств а, у:

п.6 Уравнения:

ах+с = -5bх; 4х 2 +2х= 42;

И т.д.

п.7 Функциональные зависимости: у=3х; у=ах 2 +4b; у=0,5х 2 +2;

И т.д.

2 Рассмотрим алгебраические выражения

2.1 В п.1 представлены простые алгебраические выражения. Бывает вид и

сложнее, к примеру:

Как правило, такие выражения не имеют знака «=». Задачей при рассмотрении таких выражений является их преобразование и получение в упрощенном виде. При преобразовании алгебраического выражения, относящегося к п.1, получают новое алгебраическое выражение, которое по своему значению равнозначно предыдущему. Такие выражения, говорят, тождественно равнозначны. Т.е. алгебраическое выражение слева от знака равно, равнозначно по своему значению алгебраическому выражению справа. В таком случае получают алгебраическое выражение нового вида, называемое тождественным равенством (см. п. 2).

2.2 В п.2 представлены алгебраические тождественные равенства , которые образуются при алгебраических методах преобразования, рассматриваются алгебраические выражения, наиболее часто применяемые как методы при решении задач по физике. Примеры тождественных равенств алгебраических преобразований, применяемых часто в математике и физике:

Переместительный закон сложения: a + b = b + a.

Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).

Переместительный закон умножения: ab = ba.

Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).

Распределительный закон умножения относительно сложения:

(a + b)с = aс + bс.

Распределительный закон умножения относительно вычитания:

(a - b)с = aс - bс.

Тождественные равенства дробных алгебраических выражений (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):

Тождественные равенства алгебраических выражений со степенями:

а) ,

где (n раз, ) - степень с целым показателем

б) (a + b) 2 =а 2 +2ab+b 2 .

Тождественные равенства алгебраических выражений с корнями n- й степени:

Выражение - арифметический корень n -й степени из числа В частности, - арифметический квадратный.

Степень с дробным (рациональным) показателем корень:

Тождественные выше приведенные равнозначные выражения применяют для преобразований более сложных алгебраических выражений, не содержащих знака «=».

Рассмотрим пример, в котором для преобразований более сложного алгебраического выражения используют знания, приобретенные при преобразованиях более простых алгебраических выражений в виде тождественных равенств.

2.3 В п.3 представлены алгебраические н еравенства, у которых алгебраическое выражение левой части не равно правой, т.е. не являются тождественными. В таком случае они и являются неравенствами. Как правило, при решении некоторых задач по физике важны свойства неравенств:

1) Если a , то при любом c : a + с .

2) Если a и c > 0 , то aс .

3) Если a и c , то aс > bс .

4) Если a , a и b одного знака, то 1/a > 1/b .

5) Если a и c , то a + с , a - d .

6) Если a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , то ac .

7) Если a , a > 0 , b > 0 , то

8) Если , то

2.4 В п.4 представлены алгебраические формулы т.е. алгебраические выражения, у которых с левой части от знака равенства стоит буква, обозначающая множество, значение которого неизвестно и его следует определить. А с правой части от знака равно стоят множества, значения которых известны. В данном случае это алгебраическое выражение называют алгебраической формулой.

Алгебраическая формула - это алгебраическое выражение, содержащее знак равенства, с левой стороны от которого находится множество, значение которого неизвестно, а справа – множества с известными значениями, исходя из условия задачи. Для определения неизвестного значения множества, стоящего слева от знака «равно», производят подстановку известных значений величин в правой части от знака «равно» и осуществляют арифметические вычислительные действия, обозначенные в алгебраическом выражении в этой части.

Пример 1:

Дано: Решение:

а=25 Пусть дано алгебраическое выражение:

х=? х=2а+5.

Данное алгебраическое выражение является алгебраической формулой т.к. слева от знака «равно» стоит множество, значение которого следует найти, а справа - множества с известными значениями.

Следовательно, можно осуществлять подстановку известного значения для множества «а», для определения неизвестного значения множества «х»:

х=2·25+5=55. Ответ: х=55.

Пример 2:

Дано: Решение:

а=25 Алгебраическое выражение является формулой.

b=4 Поэтому можно осуществлять подстановку известных

c=8 значений для множеств, находящихся справа от знака «равно»,

d=3 для определения неизвестного значения множества «k»,

m=20 стоящего слева:

n=6 Ответ: k=3,2.

В О П Р О С Ы

1 Что собой представляет алгебраическое выражение?

2 Какие виды алгебраических выражений вы знаете?

3 Какое алгебраическое выражение называют тождественным равенством?

4 Для чего необходимо знать шаблоны тождественных равенств?

5 Какое алгебраическое выражение называют формулой?

6 Какое алгебраическое выражение называют уравнением?

7 Какое алгебраическое выражение называют функциональной зависимостью?

Уроки алгебры знакомят нас с различными видами выражений. По мере поступления нового материала выражения усложняются. При знакомстве со степенями они постепенно добавляются в выражение, усложняя его. Также происходит с дробями и другими выражениями.

Чтобы изучение материала было максимально удобным, это производится по определенным названиям для того, чтобы можно было их выделить. Данная статья даст полный обзор всех основных школьных алгебраических выражений.

Одночлены и многочлены

Выражения одночлены и многочлены изучаются в школьной программе, начиная с 7 класса. В учебники были даны определения такого вида.

Определение 1

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, любые произведения, сделанные с их помощью.

Определение 2

Многочленами называют сумму одночленов.

Если взять, к примеру число 5 , переменную x , степень z 7 ,тогда произведения вида 5 · x и 7 · x · 2 · 7 · z 7 считаются одночленами. Когда берется сумма одночленов вида 5 + x или z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7 , тогда получаем многочлен.

Чтобы отличать одночлен от многочлена, обращают внимание на степени и их определения. Немаловажно понятие коэффициента. При приведении подобных слагаемых их разделяют на свободный член многочлена или старший коэффициент.

Над одночленами и многочленами чаще всего выполняются какие-то действия, после которых выражение приводится к вижу одночлена. Выполняется сложение, вычитание, умножение и деление, опираясь на алгоритм для выполнения действий с многочленами.

Когда имеется одна переменная, не исключено деление многочлена на многочлен, которые представляются в виде произведения. Такое действие получило название разложение многочлена на множители.

Рациональные (алгебраические) дроби

Понятие рациональные дроби изучаются в 8 классе средней школы. Некоторые авторы называют их алгебраическими дробями.

Определение 3

Рациональной алгебраической дробью называют дробь, в которой на месте числителя и знаменателя выступают многочлены или одночлены, числа.

Рассмотрим на примере записи рациональных дробей типа 3 x + 2 , 2 · a + 3 · b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 и 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4 . Опираясь на определение, можно сказать, что каждая дробь считается рациональной дробью.

Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Подробнее это рассматривается в разделе действий с алгебраическими дробями. Если необходимо преобразовать дробь, нередко пользуются свойством сокращения и приведения к общему знаменателю.

Рациональные выражения

В школьном курсе изучается понятие иррациональных дробей, так как необходима работа с рациональными выражениями.

Определение 4

Рациональные выражения считаются числовыми и буквенными выражениями, где используются рациональные числа и буквы со сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в целую степень.

Рациональные выражения могут не иметь знаков, принадлежащих функции, которые приводят к иррациональности. Рациональные выражения не содержат корней, степеней с дробными иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмических выражений, тригонометрических функций и так далее.

Основываясь на правиле, приведенном выше, приведем примеры рациональных выражений. Из выше сказанного определения имеем, что как числовое выражение вида 1 2 + 3 4 , так и 5 , 2 + (- 0 , 1) 2 · 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 · 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 считаются рациональными. Выражения, содержащие буквенные обозначения, также относят к рациональным a 2 + b 2 3 · a - 0 , 5 · b , с переменными вида a · x 2 + b · x + c и x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Все рациональные выражения подразделяют на целые и дробные.

Целые рациональные выражения

Определение 5

Целые рациональные выражения – это такие выражения, не содержащие деления на выражения с переменными отрицательной степени.

Из определения имеем, что целое рациональное выражение – это и выражение, содержащее буквы, например, а + 1 , выражение, содержащее несколько переменных, например, x 2 · y 3 − z + 3 2 и a + b 3 .

Выражения вида x: (y − 1) и 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 не могут быть целыми рациональными, так как имеют деление на выражение с переменными.

Дробные рациональные выражения

Определение 6

Дробное рациональное выражение – это выражение, которое содержит деление на выражение с переменными отрицательной степени.

Из определения следует, что дробные рациональные выражения могу быть 1: x , 5 x 3 - y 3 + x + x 2 и 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Если рассматривать выражения такого типа (2 · x − x 2) : 4 и a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4 , 2 , то дробными рациональными они не считаются, так как не имеют в знаменателе выражений с переменными.

Выражения со степенями

Определение 7

Выражения, которые содержат степени в любой части записи, называют выражениями со степенями или степенными выражениями .

Для понятия приведем пример такого выражения. В них могут отсутствовать переменные, например, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Также характерны степенные выражения вида 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 . Для того, чтобы решить их, необходимо выполнять некоторые преобразования.

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Корень, имеющий место быть в выражении, дает ему иное название. Их называют иррациональными.

Определение 8

Иррациональными выражениями называют выражения, которые имеют в записи знаки корней.

Из определения видно, что это выражения вида 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x · y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x и x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . В каждом из них имеется хотя бы один значок корня. Корни и степени связаны, поэтому можно видеть такие записи выражений, как x 7 3 - 2 5 , n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 .

Тригонометрические выражения

Определение 9

Тригонометрическое выражение – это выражения с содержанием sin , cos , tg и ctg и их обратные – arcsin , arccos , arctg и arcctg .

Примеры тригонометрических функций очевидны: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 и 2 sin x · t g 2 x + 3 , 4 3 · t g π - arcsin - 3 5 .

Для работы с такими функциями необходимо пользоваться свойствами, основными формулами прямых и обратных функций. Статья преобразование тригонометрических функций раскроет этот вопрос подробней.

Логарифмические выражения

После знакомства с логарифмами можно говорить о сложных логарифмических выражениях.

Определение 10

Выражения, которые имеют логарифмы, называют логарифмическими .

Примером таких функций могут быть log 3 9 + ln e , log 2 (4 · a · b) , log 7 2 (x · 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Можно встретить такие выражения, где есть степени и логарифмы. Это итак понятно, так как из определения логарифма следует, что это является показателем степени. Тогда получаем выражения вида x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Для углубления изучения материала, следует обратиться к материалу о преобразовании логарифмических выражений.

Дроби

Существуют выражения особого вида, которые получили название дроби. Так как они имеют числитель и знаменатель, то они могут содержать не просто числовые значения, а также выражения любого типа. Рассмотрим определение дроби.

Определение 11

Дробью называют такое выражение, имеющее числитель и знаменатель, в которых имеются как числовые, так и буквенные обозначения или выражения.

Примеры дробей, которые имеют числа в числителе и знаменателе, выглядят так 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Числитель и знаменатель может содержать как численные, так и буквенные выражения вида (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Хотя такие выражения, как 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 не являются дробями, однако, имеют дробь в своей записи.

Выражение общего вида

Старшие классы рассматривают задачи повышенной трудности, где собраны все комбинированные задания группы С по ЕГЭ. Эти выражения отличаются особой сложностью и различными комбинациями корней, логарифмов, степеней, тригонометрических функций. Это задания типа x 2 - 1 · sin x + π 3 или sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Их вид говорит о том, что можно отнести к любому из вышеперечисленных видов. Чаще всего их не относят ни к какому, так как они имеют специфичное комбинированное решение. Их рассматривают как выражения общего вида, причем для описания не используются дополнительные уточнения или выражения.

При решении такого алгебраического выражения всегда необходимо обращать внимание на его запись, наличие дроби, степеней или дополнительных выражений. Это нужно для того, чтобы точно определиться со способом его решения. Если нет уверенности в его названии, то рекомендуется называть его выражением общего типа и решать, согласно выше написанному алгоритму.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

(1) a m ⋅ a n = a m + n

Пример:

$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$ (2) a m a n = a m − n

Пример:

$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 – 3}} = {a^1} = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Пример:

$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$ (4) (a b) n = a n b n

Пример:

$${\left({\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$ (5) (a m) n = a m ⋅ n

Пример:

$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$ (6) a − n = 1 a n

Примеры:

$${a^{ – 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ – 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$

Свойства квадратного корня:

(1) a b = a ⋅ b , при a ≥ 0 , b ≥ 0

Пример:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , при a ≥ 0 , b > 0

Пример:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , при a ≥ 0

Пример:

(4) a 2 = | a | при любом a

Примеры:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Рациональные и иррациональные числа

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m – целое число (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n – натуральное (ℕ = 1,   2,   3,   4 …).

Примеры рациональных чисел:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби m n , это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Примеры иррациональных чисел:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число 4 содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи 4 = 2 . Это означает, что число 4 есть число рациональное.

Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.

В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.

Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня

При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.

Пример:

Упростить выражение 2 8 2 .

1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Квадрат суммы

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Пример:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Квадрат разности

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Пример:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Сумма квадратов не раскладывается на множители

Разность квадратов

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Пример:

25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)

Куб суммы

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Пример:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

Куб разности

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Пример:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Сумма кубов

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Пример:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Разность кубов

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Пример:

x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = (x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Стандартный вид числа

Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.

Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.

Примеры:
2 5 ; 3 , 05 ; 0 , 1 43 ; 0 , 00 1 2 . Красным цветом выделена первая значащая цифра.

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:

1. Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
2. Полученное число умножить на 10 n , где n – число, которое определяется следующим образом:
3. n > 0 , если запятая сдвигалась влево (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
4. n < 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. абсолютная величина числа n равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.

Примеры:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.

Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как 3,05 ⋅ 10 0 , но поскольку 10 0 = 1 , оставляем число в первоначальном виде.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

Алгебраические выражения составляются из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок.

Рассмотрим некоторые примеры алгебраических выражений:

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

(1/a + 1/b – c/3) 3 .

Существует несколько видов алгебраических выражений.

Целым называется такое алгебраическое выражение, которое не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в том числе, возведения в степень с дробным показателем).

2a 2 b – 3ab 2 (a + b) является целым алгебраическим выражением.

(1/a + 1/b – c/3) 3 не является целым алгебраическим выражением, т.к. содержит деление на переменную.

Дробным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления.

(1/a + 1/b – c/3) 3 является дробным алгебраическим выражением.

Рациональными алгебраическими выражениями называются целые и дробные выражения.

Значит, и 2a 2 b – 3ab 2 (a + b), и (1/a + 1/b – c/3) 3 – это рациональные алгебраические выражения.

Иррациональное алгебраическое выражение – это такое алгебраическое выражение, в котором используются извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень).

a 2/3 – b 2/3 – иррациональное алгебраическое выражение.

Иными словами, все алгебраические выражения делятся на две большие группы: рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Рациональные выражения, в свою очередь, делятся на целые и дробные.

Допустимым значением переменных называется такое значение переменных, при котором алгебраическое выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменной – это область определения алгебраического выражения.

Целые выражения имеют смысл при любых значениях его переменных. Например, 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) имеет смысл и при a = 0, b = 1, и при a = 3, b = 6 и др.

Предположим, что a = 0, b = 1, и попробуем найти решение выражения

2a 2 b – 3ab 2 (a + b).

Если a = 0, b = 1, то 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

Значит, при a = 0, b = 1 выражение равно 0.

Дробные выражения имеют смысл только в том случае, если значения не обращают переменные в нуль: вспомним наше «золотое правило» – на нуль делить нельзя.

Выражение (1/a + 1/b – c/3) 3 имеет смысл при a и b не равных нулю (а ≠ 0, b ≠ 0). В противном случае мы получим деление на нуль.

Иррациональное выражение не будет иметь смысл при значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень.

Выражение a 2/3 – b 2/3 имеет смысл при a ≥ 0 и b ≥ 0. В противном случае мы столкнемся с возведением в дробную степень отрицательного числа.

Значением алгебраического выражения называется числовое выражение, получившееся в результате того, что переменным придали допустимые значения.

Найдем значение алгебраического выражения

a + b + c/5 при a = 6, b = 3, c = 5.

1. Выражение a + b + c/5 является целым алгебраическим выражением → все значения являются допустимыми.

2. Подставим числовые значения переменных и получим:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

Итак, ответ: 10.

Тождеством называют равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Тождественно равными называются выражения, соответственные значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Так, выражения x 5 и x 2 ∙ x 3 , a + b + c и b + c + a являются тождественно равными между собой.

Понятие тождественно равных выражений приводит нас к еще одному важному понятию – тождественное преобразование выражений.

Тождественным преобразованием выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Это значит, выражение x 5 можно тождественно преобразовать в выражение x 2 ∙ x 3 .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Алгебраическое выражение

выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например

рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4 является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:

Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь

алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика

Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия

Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь

алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas

Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь

Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова

Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия

ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия