В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции. Общая схема проекции изображена на рис. 3-20.

Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта. Однако истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, распложенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней. В самом деле, косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции, подвергаются искажению.

Особый интерес представляют две косоугольные проекции - кавалье и кабине. Проекция кавалье получается, когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет . В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» этого недостатка используется проекция кабине.

Проекцией кабине называется такая косоугольная проекция, у которой коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных плоскости проекции, равен 1/2. Как будет показано ниже, для проекции кабине угол между проекторами и плоскостью проекции составляет .

Рис. 3-20 Косоугольная проекция.

Рис. 3-21 Построение косоугольной проекции.

Чтобы построить матрицу преобразования для косоугольной проекции, рассмотрим единичный вектор вдоль оси , показанный на рис. 3-21. Для ортографической или аксонометрической проекции на плоскость вектор задает направление проекции. При косоугольной проекции проекторы составляют угол с плоскостью проекции. На рис. 3-21 показаны типичные косоугольные проекторы и . Проекторы и образуют угол с плоскостью проекции . Заметим, что все возможные проекторы, проходящие через точку или и образующие угол с плоскостью , лежат на поверхности конуса с вершиной в или . Таким образом, для заданного угла существует бесконечное количество косоугольных проекций.

Проектор можно получить из с помощью переноса на точки в точку . В двумерной плоскости, проходящей через перпендикулярно оси , -матрица преобразования равна

.

В трехмерном пространстве это двумерное преобразование эквивалентно сдвигу вектора в направлениях и . Для этого необходимо преобразование

.

Проецирование на плоскость дает

.

Из рис. 3-21 получаем, что

где - длина спроецированного единичного вектора на оси , т.е. коэффициент искажения, а - угол между горизонталью и спроецированной осью . Из рис. 3-21 также ясно, что - угол между косыми проекторами и плоскостью проекции равен

Таким образом, преобразование для косоугольной проекции имеет вид:

. (3-44)

При , получаем ортографическую проекцию. Если , то не подвергаются искажению ребра, перпендикулярные плоскости проекции. А это является условием проекции кавалье. Из равенства (3-43) имеем:

.

Заметим, что в проекции кавалье является все еще свободным параметром. На рис. 3-22 показаны проекции кавалье для некоторых значений . Наиболее часто используются значения , равные и . Также применяется значение .

Проекцию кабине можно получить при коэффициенте искажения . Отсюда

В этом случае снова угол является переменной величиной, как это показано на рис. 3.23. Наиболее часто встречаются значения и , применяется также значение .

Рис. 3-22 Проекции кавалье. Сверху вниз угол изменяется от до с интервалом , угол .

Рис. 3-23 Проекции кабине. Сверху вниз угол изменяется от до с интервалом , коэффициент искажения .

Рис. 3-24 Косоугольные проекции. Слева направо при .

Рис. 3-25 Искажение, возникающее в косоугольных проекциях, , . (а) Круглая грань параллельна плоскости проекции; (b) круглая грань перпендикулярна плоскости проекции; (с) длинная сторона перпендикулярна плоскости проекции; (d) длинная сторона параллельна плоскости проекции.

На рис. 3-24 изображены косоугольные проекции для коэффициентов искажения с углом .

Поскольку изображается истинная форма одной грани, косоугольные проекции особенно подходят для иллюстрации объектов с круглыми или иными искривленными гранями. Такие грани должны быть параллельны плоскости проекции, чтобы избежать нежелательных искажений. Так же, как и в случае параллельных проекций, объекты с одним измерением, существенно превосходящим другие, подвергаются значительному искажению, если только это измерение не параллельно плоскости проекции. Такие эффекты показаны на рис. 3-25.

Косоугольная диметрическая проекция (фронтальная)

Если расположить координатные оси Х и Y параллельно плоскости П¢, то показатели искажения по этим осям станут равным единице (к = т =1). Показатель искажения по оси Y обычно принимают равным 0,5. Аксонометрические оси X " и Z" составят прямой угол, ось Y" обычно проводят как биссектрису этого угла. Ось Х может быть направлена как вправо от оси Z ", так и влево.

Предпочтительно пользоваться правой системой, так как удобнее изображать предметы в рассеченном виде. В этом виде аксонометрии хорошо чертить детали, имеющие форму цилиндра или конуса.

Для удобства изображения этой детали ось Y надо совместить с осью вращения поверхностей цилиндров. Тогда все окружности будут изображаться в натуральную величину, а длина каждой поверхности будет уменьшаться в два раза (рис.10.21).

Наклонные сечения.

При выполнении чертежей деталей машин приходится нередко применять наклонные сечения.

При решении таких задач необходимо прежде всего уяснить: как должна быть расположена секущая плоскость и какие поверхности участвуют в сечении для того, чтобы деталь читалась лучше. Рассмотрим примеры.

Дана четырехгранная пирамида, которая рассекается наклонной фронтально-проецирующей плоскостью А-А (рис.11.1). Сечением будет четырехугольник.

Сначала строим проекции его на П 1 и на П 2 . Фронтальная проекция совпадает с проекцией плоскости, а горизонтальную проекцию четырехугольника строим по принадлежности пирамиде.

Затем строим натуральную величину сечения. Для этого вводится дополнительная плоскость проекций П 4 , параллельная заданной секущей плоскости А-А , на нее проецируем четырехугольник, а затем совмещаем его с плоскостью чертежа.

Эта четвертая основная задача преобразования комплексного чертежа (модуль №4, стр.15 или задача №117 из рабочей тетради по начертательной геометрии).

Построения выполняются в следующей последовательности (рис.11.2):

1. 1.На свободном месте чертежа проводим осевую линию, параллельную плоскости А-А .

2. 2.Из точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью проводим проецирующие лучи, перпендикулярно секущей плоскости. Точки 1 и 3 будут лежать на линии, расположенной перпендикулярно осевой.

3. 3.Расстояние между точками 2 и 4 переносится с горизонтальной проекции.

4. Аналогично строится истинная величина сечения поверхности вращения - эллипс.

Расстояние между точками 1 и 5 -большая ось эллипса. Малую ось эллипса надо строить путем деления большой оси пополам (3-3 ).

Расстояние между точками 2-2, 3-3, 4-4 переносятся с горизонтальной проекции.

Рассмотрим более сложный пример, включающий многогранные поверхности и поверхности вращения (рис.11.3)

Задана четырехгранная призма. В ней расположены два отверстия: призматическое, расположенное горизонтально и цилиндрическое, ось которого совпадает с высотой призмы.

Секущая плоскость фронтально-проецирующая, поэтому фронтальная проекция сечения совпадает с проекцией этой плоскости.

Четырехугольная призма проецирующая к горизонтальной плоскости проекций, а значит и горизонтальная проекция сечения тоже есть на чертеже, она совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

Натуральная величина сечения, в которое попадают обе призмы и цилиндр, строим на плоскости, параллельной секущей плоскости А-А (рис.11.3).

Последовательность выполнения наклонного сечения:

1. Проводится ось сечения, параллельно секущей плоскости, на свободном поле чертежа.

2. Строится сечение наружной призмы: длина его переносится с фронтальной проекции, а расстояние между точками с горизонтальной.

Для трёхмерных объектов и панорам.

Ограничения аксонометрической проекции

Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике

Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1

Примечания

1. По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
2. Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.

Для наглядного изображения предметов (изделий или их составных частей) рекомендуется применять аксонометрические проекции, выбирая в каждом отдельном случае наиболее подходящую из них.

Сущность метода аксонометрического проецирования заключается в том, что заданный предмет вместе с координатной системой, к которой он отнесен в пространстве, параллельным пучком лучей проецируется на некоторую плоскость. Направление проецирования на аксонометрическую плоскость не совпадает ни с одной из координатных осей и не параллельно ни одной из координатных плоскостей.

Все виды аксонометрических проекций характеризуются двумя параметрами: направлением аксонометрических осей и коэффициентами искажения по этим осям. Под коэффициентом искажения понимается отношение величины изображения в аксонометрической проекции к величине изображения в ортогональной проекции.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции подразделяются на:

Изометрические, когда все три коэффициента искажения одинаковы (k x =k y =k z);

Диметрические, когда коэффициенты искажения одинаковы по двум осям, а третий не равен им (k x = k z ≠k y);

Триметрические, когда все три коэффициенты искажения не равны между собой (k x ≠k y ≠k z).

В зависимости от направления проецирующих лучей аксонометрические проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные. Если проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций, то такая проекция называется прямоугольной. К прямоугольным аксонометрическим проекциям относятся изометрическая и диметрическая. Если проецирующие лучи направлены под углом к аксонометрической плоскости проекций, то такая проекция называется косоугольной. К косоугольным аксонометрическим проекциям относятся фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая и фронтальная диметрическая проекции.

В прямоугольной изометрии углы между осями равны 120°. Действительный коэффициент искажения по аксонометрическим осям равен 0,82, но на практике для удобства построения показатель принимают равным 1. Вследствие этого аксонометрическое изображение получается увеличенным в раза.

Изометрические оси изображены на рисунке 57.

Рисунок 57

Построение изометрических осей можно выполнить при помощи циркуля (рисунок 58). Для этого сначала проводят горизонтальную линию и перпендикулярно к ней проводят ось Z. Из точки пересечения оси Z с горизонтальной линией (точка О) проводят вспомогательную окружность произвольным радиусом, которая пересекает ось Z в точке А. Из точки А этим же радиусом проводят вторую окружность до пересечения с первой в точках В и С. Полученную точку В соединяют с точкой О - получают направление оси Х. Таким же образом соединяют точку С с точкой О - получают направление оси Y.

Рисунок 58

Построение изометрической проекции шестиугольника представлено на рисунке 59. Для этого необходимо отложить по оси X радиус описанной окружности шестиугольника в обе стороны относительно начала координат. Затем, по оси Y отложить величину размера под ключ, из полученных точек провести линии параллельно оси X и отложить по ним величину стороны шестиугольника.

Рисунок 59

Построение окружности в прямоугольной изометрической проекции

Наиболее сложной плоской фигурой для вычерчивания в аксонометрии является окружность. Как известно, окружность в изометрии проецируется в эллипс, но построение эллипса довольно сложно, поэтому ГОСТ 2.317-69 рекомендует вместо эллипсов применять овалы. Существует несколько способов построения изометрических овалов. Рассмотрим один из наиболее распространенных.

Размер большой оси эллипса 1,22d, малой 0,7d, где d - диаметр той окружности, изометрия которой строится. На рисунке 60 показан графический способ определения большой и малой осей изометрического эллипса. Для определения малой оси эллипса соединяют точки С и D. Из точек С и D, как из центров, проводят дуги радиусов, равных СD, до взаимного их пересечения. Отрезок АВ - большая ось эллипса.

Рисунок 60

Установив направление большой и малой осей овала в зависимости от того, какой координатной плоскости принадлежит окружность, по размерам большой и малой оси проводят две концентрические окружности, в пересечении которых с осями намечают точки О 1 , О 2 , О 3 , О 4 , являющиеся центрами дуг овала (рисунок 61).

Для определения точек сопряжения проводят линии центров, соединяя О 1 , О 2 , О 3 , О 4 . из полученных центров О 1 , О 2 , О 3 , О 4 проводят дуги радиусами R и R 1 . размеры радиусов видны на чертеже.

Рисунок 61

Направление осей эллипса или овала зависит от положения проецируемой окружности. Существует следующее правило: большая ось эллипса всегда перпендикулярна к той аксонометрической оси, которая на данную плоскость проецируется в точку, а малая ось совпадает с направлением этой оси (рисунок 62).

Рисунок 62

Штриховка и изометрической проекции

Линии штриховки сечений в изометрической проекции, согласно ГОСТ 2.317-69, должны иметь направление, параллельное или только большим диагоналям квадрата, или только малым.

Прямоугольной диметрией называется аксонометрическая проекция с равными показателями искажения по двум осям X и Z, а по оси Y показатель искажения в два раза меньше.

По ГОСТ 2.317-69 применяют в прямоугольной диметрии ось Z, расположенную вертикально, ось Х наклонную под углом 7°, а ось Y-под углом 41° к линии горизонта. Показатели искажения по осям X и Z равны 0,94, а по оси Y-0,47. Обычно применяют приведенные коэффициенты k x =k z =1, k y =0,5, т.е. по осям X и Z или по направлениям им параллельным, откладывают действительные размеры, а по оси Y размеры уменьшают в два раза.

Для построения осей диметрии пользуются способом, указанным на рисунке 63, который заключается в следующем:

На горизонтальной прямой, проходящей через точку О, откладывают в обе стороны восемь равных произвольных отрезков. Из конечных точек этих отрезков вниз по вертикали откладывают слева один такой же отрезок, а справа - семь. Полученные точки соединяют с точкой О и получают направление аксонометрических осей X и Y в прямоугольной диметрии.

Рисунок 63

Построение диметрической проекции шестиугольника

Рассмотрим построение в диметрии правильного шестиугольника, расположенного в плоскости П 1 (рисунок 64).

Рисунок 64

На оси Х откладываем отрезок равный величине b , чтобы его середина находилась в точке О, а по оси Y - отрезок а , размер которого уменьшен вдвое. Через полученные точки 1 и 2 проводим прямые параллельно оси ОХ, на которых откладываем отрезки равные стороне шестиугольника в натуральную величину с серединой в точках 1 и 2. Полученные вершины соединяем. На рисунке 65а изображен в диметрии шестиугольник, расположенный параллельно фронтальной плоскости, а на рисунке 66б -параллельно профильной плоскости проекции.

Рисунок 65

Построение окружности в диметрии

В прямоугольной диметрии все окружности изображаются эллипсами,

Длина большой оси для всех эллипсов одинакова и равна 1,06d. Величина малой оси различна: для фронтальной плоскости равна 0,95d , для горизонтальной и профильной плоскостей - 0,35 d.

На практике эллипс заменяется четырехцентровым овалом. Рассмотрим построение овала, заменяющего проекцию окружности, лежащей в горизонтальной и профильной плоскостях (рисунок 66).

Через точку О - начало аксонометрических осей, проводим две взаимно перпендикулярные прямые и откладываем на горизонтальной линии величину большой оси АВ=1,06d , а на вертикальной линии величину малой оси СD=0,35d. Вверх и вниз от О по вертикали откладываем отрезки ОО 1 и ОО 2 , равные по величине 1,06d. Точки О 1 и О 2 являются центром больших дуг овала. Для определения еще двух центров (О 3 и О 4) откладываем на горизонтальной прямой от точек А и В отрезки АО 3 и ВО 4 , равные ¼ величины малой оси эллипса, то есть d.

Рисунок 66

Затем, из точек О1 и О2 проводим дуги, радиус которых равен расстоянию до точек С и D, а из точек О3 и О4 - радиусом до точек А и В (рисунок 67).

Рисунок 67

Построение овала, заменяющего эллипс, от окружности, расположенной в плоскости П 2 , рассмотрим на рисунке 68. Проводим оси диметрии: Х, Y, Z. Малая ось эллипса совпадает с направлением оси Y, а большая перпендикулярна к ней. На осях Х и Z от начала откладываем величину радиуса окружности и получаем точки M, N, K, L, являющиеся точками сопряжения дуг овала. Из точек M и N проводим горизонтальные прямые, которые в пересечении с осью Y и перпендикуляром к ней дают точки О 1 , О 2, О 3, О 4 - центры дуг овала (рисунок 68).

Из центров О 3 и О 4 описывают дугу радиусом R 2 =О 3 М, а из центров О 1 и О 2 - дуги радиусом R 1 = О 2 N

Рисунок 68

Штриховка а прямоугольной диметрии

Линии штриховки разрезов и сечений в аксонометрических проекциях выполняются параллельно одной из диагоналей квадрата, стороны которого расположены в соответствующих плоскостях параллельно аксонометрическим осям (рисунок 69).

Рисунок 69

1. Какие виды аксонометрических проекций вы знаете?
2. Под каким углом расположены оси в изометрии?
3. Какую фигуру представляет изометрическая проекция окружности?
4. Как расположена большая ось эллипса для окружности, принадлежащей профильной плоскости проекций?
5. Какие приняты коэффициенты искажения по осям X, Y, Z для построения диметрической проекции?
6. Под какими углами расположены оси в диметрии?
7. Какой фигурой будет являться диметрическая проекция квадрата?
8. Как построить диметрическую проекцию окружности, расположенной во фронтальной проскости проекций?
9. Основные правила нанесения штриховки в аксонометрических проекциях.

ГОСТ 2.317-69* (СТ СЭВ 1979-79) устанавливает прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции. Прямоугольные проекции делятся на изометрические и диметрические, косоугольные - на фронтальные изометрические, горизонтальные изометрические и фронтальные диметрические.

Прямоугольные проекции

Прямоугольная изометрическая проекция. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке слева вверху. Коэффициент искажения по осям х, у, z равен 0,82; как правило, его округляют до 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости в эллипсы (смотри на тот же рисунок чуть ниже). Большие оси эллипсов 1, 2, 3 перпендикулярны соответственно к осям у, z, х. Если коэффициент искажения по осям принят равным 1, то большие оси эллипсов равны 1,22, а малые 0,71 диаметра окружности.

Прямоугольная диметрическая проекция. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке справа. Коэффициент искажения по оси у равен 0,47, по осям х и z - 0,94; как правило, коэффициент искажения по оси у округляют до 0,5, по осям x и z - до 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости в эллипсы, большие оси которых перпендикулярны соответственно к осям у, z, х. Если коэффициент искажения по осям х и у принят равным 1, то большие оси эллипсов равны 1,06 диаметра окружности, малая ось эллипса 1 равна 0,95, а эллипсов 2 и 3 - 0,35 диаметра окружности.

Косоугольные проекции

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция . Положение аксонометрических осей приведено на рисунке ниже(а). Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 45°, допускается угол 30° или 60°. Коэффициент искажения по осям х, у, 2 равен 1.

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке (б). Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 30°, Допускается угол 45° и 60°. Коэффициент искажения по осям х, У, z равен 1.

. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке выше (в).Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 45°, допускается угол 30° и 60°. Коэффициент искажения по оси у равен 0,5, по осям х и z - 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекции, проецируются в окружности; в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, - в эллипсы (рис. 5.31). Большая ось эллипса 2 составляете осью х угол 7°14", большая ось эллипса 3 с осью z - угол 7° 14". Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07, малые оси - 0,33 диаметра окружности.

Штриховка и нанесение размеров

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (рисунок ниже). Ребра жесткости, спицы маховиков и подобные элементы, попадающие в секущую плоскость, штрихуются.

Примеры изображения деталей в аксонометрических проекциях

Линии штриховки в аксонометрических проекциях: а - в прямоугольной изометрической; 6 - в прямоугольной диметрической; в - в косоугольной фронтальной диметрической

Изображение детали в прямоугольной изометрической проекции

Изображение детали в прямоугольной диметрической проекции

Изображение детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции

Нанесение размеров в аксонометрических проекциях

При нанесении размеров выносные линии проводят параллельно осям координат, размерные линии - параллельно измеряемому отрезку (рисунок выше).