ما هو التقدم الحسابي غير المستمر؟ خاصية أعضاء التقدم الحسابي

كانت المشاكل المتعلقة بالتقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. لقد حضروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك، في واحدة من البرديات مصر القديمة"، والتي لها محتوى رياضي - بردية ريند (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة مكيال من الخبز على عشرة أشخاص، على أن يكون الفرق بين كل منهم ثمن المكيال".

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء هناك نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. وهكذا، فإن Hypsicles الإسكندرية (القرن الثاني)، والتي بلغت الكثير مهام مثيرة للاهتماموالذي أضاف الكتاب الرابع عشر إلى كتاب العناصر لإقليدس، صاغ الفكرة: “في المتتابعة الحسابية، التي رقم زوجي"مجموع حدود النصف الثاني أكبر من مجموع حدود النصف الأول في مربع 1/2 عدد الحدود."

يتم الإشارة إلى التسلسل بواسطة. تسمى أرقام التسلسل أعضائها وعادة ما يتم الإشارة إليها بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى ذلك رقم سريهذا العضو (a1، a2، a3 ... يقرأ: "الأول"، "الثاني"، "الثالث" وهكذا).

يمكن أن يكون التسلسل لا نهائيًا أو محدودًا.

ما هو التقدم الحسابي؟ ونعني به الذي تم الحصول عليه بإضافة الحد السابق (ن) بنفس الرقم د، وهو فرق التتابع.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، فإن هذا التقدم يعتبر متزايدا.

المتوالية العدديةيُسمى محدودًا إذا تم أخذ شروطه القليلة الأولى في الاعتبار. في جدا كميات كبيرةأعضاء أنه بالفعل تقدم لا نهاية له.

يتم تعريف أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:

an =kn+b، بينما b وk عبارة عن بعض الأرقام.

العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء التسلسل صيغة مماثلة، فهذا هو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص:

1. كل حد من المتتابعة هو الوسط الحسابي للحد السابق واللاحق.
2. العكس: إذا كان كل حد ابتداء من الثاني هو الوسط الحسابي للحد السابق والحد اللاحق، أي. فإذا تحقق الشرط، فإن هذه المتوالية تعتبر متوالية حسابية. هذه المساواة هي أيضا علامة على التقدم، ولهذا السبب يطلق عليها عادة خاصية مميزة للتقدم.
   وبنفس الطريقة، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: فالمتتابعة تكون تقدمًا حسابيًا فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من حدود المتتابعة، بدءًا من الحد الثاني.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام من التقدم الحسابي بالصيغة an + am = ak + al، إذا كانت n + m = k + l (m، n، k هي أرقام متتالية).

في المتوالية الحسابية، يمكن العثور على أي حد ضروري (Nth) باستخدام الصيغة التالية:

على سبيل المثال: الحد الأول (أ1) في المتتابعة الحسابية معطى ويساوي ثلاثة، والفرق (د) يساوي أربعة. أنت بحاجة إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ45 = 1+4(45-1)=177

الصيغة an = ak + d(n - k) تسمح لنا بتحديد الفصل الدراسي التاسعمتوالية حسابية خلال أي حد من حدوده بشرط أن يكون معلوما.

مجموع شروط التقدم الحسابي (يعني مصطلحات n الأولى تقدم محدود) يتم حسابها على النحو التالي:

القص = (أ1+أن) ن/2.

إذا كان الحد الأول معروفًا أيضًا، فستكون هناك صيغة أخرى ملائمة للحساب:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على n من الحدود على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على ظروف المشكلات والبيانات الأولية.

المتسلسلة الطبيعية لأية أرقام، مثل 1،2،3،...،ن،...- أبسط مثالالمتوالية العددية.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.

المتوالية الحسابية والهندسية

المعلومات النظرية

المعلومات النظرية

	المتوالية العددية	المتوالية الهندسية
تعريف	المتوالية العددية نهو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءاً من الثاني، مساوياً للعضو السابق مضافاً إليه نفس العدد د (د- فرق التقدم)	المتوالية الهندسية ب نهي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد س (س- قاسم التقدم)
صيغة التكرار	لأي طبيعي ن أ ن + 1 = أ ن + د	لأي طبيعي ن ب ن + 1 = ب ن ∙ ف، ب ن ≠ 0
صيغة الحد n	أ ن = أ 1 + د (ن – 1)	ب n = ب 1 ∙ ف n - 1 , ب n ≠ 0
خاصية مميزة
مجموع الحدود n الأولى

أمثلة على المهام مع التعليقات

التمرين 1

في المتوالية الحسابية ( ن) أ 1 = -6, 2

وفقا لصيغة الحد n:

22 = أ 1+ د (22 - 1) = أ 1+ 21 د

حسب الشرط:

أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21 د .

من الضروري العثور على اختلاف التقدم:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

إجابة : 22 = -48.

المهمة 2

أوجد الحد الخامس للمتتالية الهندسية: -3؛ 6 ؛....

الطريقة الأولى (باستخدام صيغة n-term)

وفقًا لصيغة الحد n من التقدم الهندسي:

ب 5 = ب 1 ∙ ف 5 - 1 = ب 1 ∙ ف 4.

لأن ب 1 = -3,

الطريقة الثانية (باستخدام صيغة متكررة)

بما أن مقام التقدم هو -2 (q = -2)، إذن:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

إجابة : ب 5 = -48.

المهمة 3

في المتوالية الحسابية ( ن) 74 = 34; 76= 156. أوجد الحد الخامس والسبعين من هذا المتتابع.

للتقدم الحسابي خاصية مميزةيشبه .

لذلك:

.

دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:

الجواب: 95.

المهمة 4

في المتوالية الحسابية ( أ ن) ن= 3n - 4. أوجد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى.

للعثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي، يتم استخدام صيغتين:

.

الذي هو في في هذه الحالةأكثر ملاءمة للاستخدام؟

بالشرط، تُعرف صيغة الحد التاسع من التقدم الأصلي ( ن) ن= 3n - 4. يمكنك أن تجد على الفور أ 1، و 16دون أن يجد د. ولذلك، سوف نستخدم الصيغة الأولى.

الجواب: 368.

المهمة 5

في المتوالية الحسابية( ن) أ 1 = -6; 2= -8. أوجد الحد الثاني والعشرين من التقدم.

وفقا لصيغة الحد n:

أ 22 = أ 1 + د (22 – 1) = أ 1+ 21 د.

بشرط إذا أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21د . من الضروري العثور على اختلاف التقدم:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

إجابة : 22 = -48.

المهمة 6

تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بواسطة x.

عند الحل، سوف نستخدم صيغة الحد n ب ن = ب 1 ∙ ف ن - 1للتقدم الهندسي. الفصل الأول من التقدم. للعثور على مقام التقدم q، عليك أن تأخذ أيًا من شروط التقدم المعطاة وتقسمها على الحد السابق. في مثالنا، يمكننا أن نأخذ ونقسم على. نحصل على أن q = 3. بدلاً من n، نستبدل 3 في الصيغة، لأنه من الضروري إيجاد الحد الثالث لمتوالية هندسية معينة.

باستبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغة، نحصل على:

.

إجابة : .

المهمة 7

من المتوالية الحسابية تعطى بواسطة الصيغةالحد التاسع، اختر الحد الذي تحقق فيه الشرط 27 > 9:

وبما أنه يجب استيفاء الشرط المحدد للفترة السابعة والعشرين من التقدم، فإننا نستبدل 27 بدلاً من n في كل من التقدمات الأربعة. في التقدم الرابع نحصل على:

.

الجواب: 4.

المهمة 8

في التقدم الحسابي أ 1= 3، د = -1.5. تحديد أعلى قيمة n الذي ينطبق عليه عدم المساواة ن > -6.

أو الحساب هو نوع من التسلسل العددي المرتب الذي يتم دراسة خصائصه دورة المدرسةالجبر. تتناول هذه المقالة بالتفصيل مسألة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي.

أي نوع من التقدم هذا؟

قبل الانتقال إلى السؤال (كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي)، فإن الأمر يستحق فهم ما نتحدث عنه.

أي تسلسل أرقام حقيقية، والتي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة (طرح) بعض القيمة من كل منها التاريخ السابق، يسمى التقدم الجبري (الحسابي). وهذا التعريف، عند ترجمته إلى اللغة الرياضية، يأخذ الشكل التالي:

هنا i هو الرقم التسلسلي لعنصر الصف a i. وبالتالي، بمعرفة رقم بداية واحد فقط، يمكنك بسهولة استعادة السلسلة بأكملها. تسمى المعلمة d في الصيغة فرق التقدم.

يمكن أن نبين بسهولة أن المساواة التالية تنطبق على سلسلة الأرقام قيد النظر:

أ ن = أ 1 + د * (ن - 1).

أي أنه للعثور على قيمة العنصر n بالترتيب، يجب عليك إضافة الفرق d إلى العنصر الأول a 1 n-1 مرة.

ما هو مجموع التقدم الحسابي: الصيغة

قبل إعطاء صيغة المبلغ المحدد، يجدر النظر في أمر بسيط حالة خاصة. يتم إعطاء التقدم الأعداد الطبيعيةمن 1 إلى 10، عليك أن تجد مجموعهم. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات في التقدم (10)، فمن الممكن حل المشكلة بشكل مباشر، أي جمع جميع العناصر بالترتيب.

ق 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

يجدر النظر في شيء واحد مثير للاهتمام: نظرًا لأن كل مصطلح يختلف عن المصطلح التالي بنفس القيمة d = 1، فإن الجمع الزوجي للأول مع العاشر والثاني مع التاسع وما إلى ذلك سيعطي نفس النتيجة. حقًا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

كما ترون، لا يوجد سوى 5 من هذه المبالغ، أي أقل مرتين بالضبط من عدد عناصر السلسلة. ثم ضرب عدد المجاميع (5) في نتيجة كل مجموع (11) تصل إلى النتيجة التي تم الحصول عليها في المثال الأول.

إذا قمنا بتعميم هذه الحجج، يمكننا أن نكتب التعبير التالي:

س ن = ن * (أ 1 + أ ن) / 2.

يوضح هذا التعبير أنه ليس من الضروري على الإطلاق جمع كل العناصر الموجودة في الصف؛ يكفي معرفة قيمة أول a 1 وآخر n، وكذلك الرقم الإجماليشروط ن.

ويعتقد أن غاوس كان أول من فكر في هذه المساواة عندما كان يبحث عن حل لمشكلة معينة. معلم المدرسةالمهمة: جمع أول 100 عدد صحيح.

مجموع العناصر من m إلى n: الصيغة

تجيب الصيغة الواردة في الفقرة السابقة على سؤال حول كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي (العناصر الأولى)، ولكن في كثير من الأحيان في المسائل يكون من الضروري جمع سلسلة من الأرقام في منتصف التقدم. كيف افعلها؟

أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي من خلال النظر في المثال التالي: يجب أن يكون من الضروري العثور على مجموع الحدود من m-th إلى n-th. لحل المشكلة عليك أن تتخيل شريحة معينةتقدم من m إلى n كجديد سلسلة أرقام. في مثل هذا التمثيل مسيكون المصطلح a m هو الأول، وسيتم ترقيم n-(m-1). في هذه الحالة، بتطبيق الصيغة القياسية للمجموع، سيتم الحصول على التعبير التالي:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

مثال على استخدام الصيغ

معرفة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي، يجدر النظر في مثال بسيط لاستخدام الصيغ المذكورة أعلاه.

وفيما يلي تسلسل رقمي، يجب أن تجد مجموع حدوده، بدءاً من الرقم 5 وانتهاءً بالرقم 12:

تشير الأرقام المعطاة إلى أن الفرق d يساوي 3. باستخدام التعبير الخاص بالعنصر n، يمكنك العثور على قيم الحدين الخامس والثاني عشر من التقدم. اتضح:

أ 5 = أ 1 + د * 4 = -4 + 3 * 4 = 8؛

أ 12 = أ 1 + د * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

معرفة قيم الأعداد في نهايات المعطى التقدم الجبري، وكذلك معرفة الأرقام الموجودة في الصف التي تشغلها، يمكنك استخدام صيغة المبلغ الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة. سوف يتحول:

ق 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على هذه القيمة بشكل مختلف: قم أولاً بالعثور على مجموع العناصر الـ 12 الأولى الصيغة القياسية، ثم احسب مجموع العناصر الأربعة الأولى باستخدام نفس الصيغة، ثم اطرح العنصر الثاني من المجموع الأول.

قبل أن نبدأ في اتخاذ القرار مشاكل التقدم الحسابيلنفكر في ماهية التسلسل الرقمي، نظرًا لأن التقدم الحسابي هو حالة خاصة من التسلسل الرقمي.

التسلسل الرقمي هو مجموعة رقم، ولكل عنصر منها رقم تسلسلي خاص به. تسمى عناصر هذه المجموعة أعضاء التسلسل. تتم الإشارة إلى الرقم التسلسلي لعنصر التسلسل بواسطة فهرس:

العنصر الأول من التسلسل؛

العنصر الخامس من التسلسل؛

- العنصر "ن" من التسلسل، أي. عنصر "الوقوف في قائمة الانتظار" بالرقم n.

هناك علاقة بين قيمة عنصر التسلسل ورقمه التسلسلي. لذلك، يمكننا اعتبار التسلسل بمثابة دالة وسيطتها هي الرقم الترتيبي لعنصر التسلسل. وبعبارة أخرى، يمكننا أن نقول ذلك التسلسل هو وظيفة الحجة الطبيعية:

يمكن ضبط التسلسل بثلاث طرق:

1 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام الجدول.في هذه الحالة، نقوم ببساطة بتعيين قيمة كل عضو في التسلسل.

على سبيل المثال، قرر شخص ما تناول إدارة الوقت الشخصية، وبدء حساب مقدار الوقت الذي يقضيه في Vkontakte خلال الأسبوع. ومن خلال تسجيل الوقت في الجدول، سيحصل على تسلسل يتكون من سبعة عناصر:

يشير السطر الأول من الجدول إلى عدد أيام الأسبوع، والثاني - الوقت بالدقائق. نرى أنه في يوم الاثنين قضى شخص ما 125 دقيقة على فكونتاكتي، أي يوم الخميس - 248 دقيقة، أي يوم الجمعة 15 دقيقة فقط.

2 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة الحد n.

في هذه الحالة، يتم التعبير عن اعتماد قيمة عنصر التسلسل على رقمه مباشرة في شكل صيغة.

على سبيل المثال، إذا، ثم

للعثور على قيمة عنصر تسلسل برقم معين، نعوض برقم العنصر في صيغة الحد n.

نحن نفعل الشيء نفسه إذا أردنا إيجاد قيمة دالة إذا كانت قيمة الوسيطة معروفة. نعوض بقيمة الوسيطة في معادلة الدالة:

إذا، على سبيل المثال، ، الذي - التي

اسمحوا لي أن أشير مرة أخرى إلى أنه بالتسلسل، على عكس التعسفي وظيفة عددية، يمكن أن تكون الوسيطة عددًا طبيعيًا فقط.

3 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد قيمة رقم عضو التسلسل n على قيم الأعضاء السابقة. وفي هذه الحالة لا يكفي أن نعرف فقط رقم عضو التسلسل لنجد قيمته. نحن بحاجة إلى تحديد العضو الأول أو الأعضاء القليلة الأولى في التسلسل.

على سبيل المثال، النظر في التسلسل ,

يمكننا العثور على قيم أعضاء التسلسل في تسلسل، ابتداءً من الثالث:

وهذا يعني أنه في كل مرة، لإيجاد قيمة الحد n من المتتابعة، نعود إلى الحدين السابقين. تسمى هذه الطريقة لتحديد التسلسل متكرر، من كلمة لاتينية متكرر- عد.

الآن يمكننا تحديد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو حالة خاصة بسيطة لتسلسل رقمي.

المتوالية العددية هي تسلسل عددي كل عضو فيه ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إلى نفس الرقم.

الرقم يسمى اختلاف التقدم الحسابي. يمكن أن يكون فرق التقدم الحسابي موجبًا أو سالبًا أو يساوي الصفر.

إذا كان العنوان = "d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} في ازدياد.

على سبيل المثال، 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛...

إذا كان كل حد من المتوالية الحسابية أقل من السابق، ويكون التقدم متناقص.

على سبيل المثال، 2؛ -1؛ -4؛ -7;...

إذا كانت جميع شروط التقدم تساوي نفس العدد، والتقدم هو ثابت.

على سبيل المثال، 2;2;2;2;...

الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي:

دعونا نلقي نظرة على الرسم.

نحن نرى ذلك

، وفي نفس الوقت

وبجمع هاتين المتساويتين نحصل على:

.

اقسم طرفي المساواة على 2:

إذن كل عضو في المتوالية الحسابية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الحسابي للمتجاورتين:

علاوة على ذلك، منذ ذلك الحين

، وفي نفس الوقت

، الذي - التي

، وبالتالي

كل حد من المتتابعة الحسابية، يبدأ بالعنوان = "k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

صيغة المصطلح الخامس.

نرى أن شروط المتوالية الحسابية تحقق العلاقات التالية:

وأخيرا

حصلنا صيغة الحد n.

مهم!يمكن التعبير عن أي عضو في التقدم الحسابي من خلال و. بمعرفة الحد الأول وفرق المتتابعة الحسابية، يمكنك العثور على أي حد من حدوده.

مجموع حدود n للتقدم الحسابي.

في متوالية حسابية اعتباطية، يكون مجموع الحدود المتساوية البعد عن الحدود المتطرفة متساويًا مع بعضها البعض:

النظر في التقدم الحسابي مع شروط n. دع مجموع شروط هذا التقدم يساوي .

دعونا نرتب شروط التقدم أولاً بترتيب تصاعدي للأرقام، ثم بترتيب تنازلي:

دعونا نضيف في أزواج:

المجموع في كل قوس هو عدد الأزواج هو n.

نحن نحصل:

لذا، يمكن إيجاد مجموع الحدود n للتقدم الحسابي باستخدام الصيغ:

دعونا نفكر حل مسائل التقدم الحسابي.

1 . يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة الحد n: . أثبت أن هذه المتتابعة هي متوالية حسابية.

دعونا نثبت أن الفرق بين حدين متجاورين في المتتابعة يساوي نفس العدد.

لقد وجدنا أن الفرق بين عضوين متجاورين في التسلسل لا يعتمد على عددهما وهو ثابت. لذلك، بحكم التعريف، هذه التسلسل هو تقدم حسابي.

2 . نظرا للتقدم الحسابي -31؛ -27؛...

أ) ابحث عن 31 مصطلحًا للتقدم.

ب) تحديد ما إذا كان الرقم 41 متضمنًا في هذا التقدم.

أ)نحن نرى ذلك ؛

دعونا نكتب صيغة الحد النوني لتقدمنا.

على العموم

في حالتنا هذه ، لهذا

عند دراسة الجبر في .مدرسة ثانوية(الصف التاسع) واحد من مواضيع مهمةهي الدراسة تسلسلات رقميةوالتي تشمل التقدم - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم ذلك، من الضروري تحديد التقدم المعني، بالإضافة إلى توفير الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها لاحقًا في حل المشكلات.

من المعروف أنه في بعض المتتابعات الجبرية، يكون الحد الأول يساوي 6، والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . لنستبدل بها البيانات المعروفة من الشرط، أي الرقمين a 1 و a 7، لدينا: 18 = 6 + 6 * d. من هذا التعبير يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) /6 = 2. وبذلك نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل إلى الحد السابع، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري، أي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د، وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16، أ 7 = 18.

المثال رقم 3: رسم التقدم

دعونا تعقيد الأمر أكثر حالة أقوىمهام. الآن نحن بحاجة للإجابة على سؤال كيفية العثور على التقدم الحسابي. يمكن إعطاء المثال التالي: تم إعطاء رقمين، على سبيل المثال - 4 و 5. من الضروري إنشاء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة، عليك أن تفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. وبما أنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما، فإن 1 = -4 و5 = 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى المشكلة، التي تشبه المشكلة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد n الذي نستخدم فيه الصيغة، نحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من: د = (أ 5 - أ 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ما حصلنا عليه هنا ليس قيمة صحيحة للفرق، لكنه كذلك رقم منطقي، وبالتالي تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعونا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الحدود المفقودة للتقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5، وهو ما تزامن مع ظروف المشكلة

مثال رقم 4: الفصل الأول من التقدم

دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتوالية الجبرية معروفا. الآن دعونا نفكر في مسألة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و43 = 37. من الضروري العثور على الرقم الذي يبدأ به هذا التسلسل.

تفترض الصيغ المستخدمة حتى الآن معرفة 1 وd. في بيان المشكلة، لا يوجد شيء معروف عن هذه الأرقام. ومع ذلك، سنكتب تعبيرات لكل حد تتوفر عنه معلومات: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.

أسهل طريقة لحل هذا النظام هي التعبير عن الرقم 1 في كل معادلة ثم مقارنة التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43 - 42 * د = 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

بمعرفة d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1. على سبيل المثال، أولاً: أ 1 = 50 - 14 * د = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، يمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد المدة 43 للتقدم، والتي تم تحديدها في الشرط. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ البسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.

مثال رقم 5: المبلغ

الآن دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مع حلول لمجموع التقدم الحسابي.

دعها تعطى التقدم العددي النوع التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل التطوير تكنولوجيا الكمبيوتريمكنك حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بالتسلسل، والتي آلة حاسبةسيتم القيام به بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة ذهنيًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها يساوي 1. وبتطبيق صيغة المجموع نحصل على: S n = n * (a 1 + أ ن) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنها في أوائل الثامن عشرفي القرن العشرين، تمكن الألماني الشهير، بينما كان عمره 10 سنوات فقط، من حلها في رأسه في بضع ثوانٍ. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتوالية الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بجمع الأرقام في نهايات المتتابعة في أزواج، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m

مرة اخرى مثال نموذجيمجموع التقدم الحسابي هو كما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد ما يساوي مجموع حدودها من 8 إلى 14.

يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة لا تتطلب عمالة كثيفة. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة ثانية، وهي أكثر عالمية.

تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. وفي كلتا الحالتين نكتب تعبيرين للمجموع:

1. س م = م * (أ م + أ 1) / 2.
2. س ن = ن * (أ ن + أ 1) / 2.

بما أن n > m، فمن الواضح أن المجموع الثاني يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فسنحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * ن/2 + ا م * (1- م/2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د *(3 * م - م 2 - 2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n وm وa 1 وd. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.

كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تحتاج إلى العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.

نصيحة أخرى هي السعي لتحقيق البساطة، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب الخطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال المتتابعة الحسابية مع الحل رقم 6، يمكن التوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، و استراحة المهمة الشائعةفي مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. اكتشفنا كيفية العثور على التقدم الحسابي. إذا عرفت ذلك، فالأمر ليس بهذه الصعوبة.