ما هو الاحتمال؟

في مواجهة هذا المصطلح لأول مرة ، لن أفهم ما هو عليه. لذلك سأحاول أن أشرح بطريقة مفهومة.

الاحتمال هو فرصة حدوث الحدث المطلوب.

على سبيل المثال ، قررت زيارة صديق ، وتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكنني نسيت رقم الشقة وموقعها. والآن أنت تقف على الدرج ، وأمامك أبواب للاختيار من بينها.

ما هي فرصة (احتمال) أنه إذا قرع جرس الباب الأول ، سيفتحه صديقك لك؟ شقة كاملة ، وصديق يعيش خلف واحد منهم فقط. مع فرصة متساوية ، يمكننا اختيار أي باب.

لكن ما هذه الفرصة؟

الأبواب ، الباب الأيمن. احتمال التخمين بدق الباب الأول:. أي مرة واحدة من بين كل ثلاثة سوف تخمن بالتأكيد.

نريد أن نعرف من خلال الاتصال مرة واحدة ، كم مرة سنخمن الباب؟ لنلقِ نظرة على جميع الخيارات:

1. اتصلت به الأولباب
2. اتصلت به الثانيباب
3. اتصلت به الثالثباب

والآن فكر في جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها الصديق:

أ. لكل الأولباب
ب. لكل الثانيباب
في. لكل الثالثباب

دعنا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تشير العلامة إلى الخيارات عندما يتطابق اختيارك مع موقع صديق ، أو علامة تقاطع - عندما لا تتطابق.

كيف ترى كل شيء يمكن والخياراتموقع صديقك والباب الذي تختاره للرنين.

لكن نتائج مواتية للجميع . أي أنك ستحزر الأوقات من خلال قرع الباب مرة واحدة ، أي. .

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو الصيغة. عادة ما يتم الإشارة إلى الاحتمالية p ، لذلك:

ليس من الملائم جدًا كتابة مثل هذه الصيغة ، لذلك دعونا نأخذ - عدد النتائج المفضلة ، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية ، لذلك تحتاج إلى ضرب النتيجة الناتجة في:

من المحتمل أن كلمة "نتائج" لفتت انتباهك. نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون على إجراءات مختلفة (بالنسبة لنا ، مثل هذا الإجراء هو جرس الباب) تجارب ، فمن المعتاد أن نطلق على نتيجة هذه التجارب نتيجة.

حسنًا ، النتائج مواتية وغير مواتية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا اتصلنا بأحد الأبواب ، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن. ما هو احتمال أننا إذا قرعنا أحد الأبواب المتبقية ، سيفتحه صديقنا لنا؟

إذا كنت تعتقد ذلك ، فهذا خطأ. دعونا نفهم ذلك.

بقي لدينا بابان. لذلك لدينا الخطوات الممكنة:

1) اتصل بـ الأولباب
2) الاتصال الثانيباب

الصديق ، مع كل هذا ، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء ، لم يكن وراء الشخص الذي اتصلنا به):

أ) صديق الأولباب
ب) صديق ل الثانيباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون ، هناك كل الخيارات ، منها - مواتية. أي أن الاحتمال متساوٍ.

لما لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه هو مثال على الأحداث التابعة.الحدث الأول هو جرس الباب الأول ، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

ويطلق عليهم اسم تابع لأنهم يؤثرون على الإجراءات التالية. بعد كل شيء ، إذا فتح أحد الأصدقاء الباب بعد الحلقة الأولى ، فما هو احتمال أن يكون وراء أحد الاثنين الآخرين؟ بشكل صحيح.

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة ، فلا بد من وجودها لا يعتمد؟ صحيح هناك.

مثال كتاب مدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. نرمي قطعة نقود. ما هو احتمال ظهور الرؤوس ، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - نظرًا لأن الخيارات لكل شيء (سواء أكان رأسًا أم ذيلًا ، فإننا سوف نتجاهل احتمالية وقوف العملة على حافة الهاوية) ، ولكنها تناسبنا فقط.
2. لكن ذيولها سقطت. حسنًا ، لنقم بذلك مرة أخرى. ما هو احتمال ظهور الرؤوس الآن؟ لم يتغير شيء ، كل شيء على حاله. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم نحن راضون؟ واحد.

ودع ذيولها تسقط ألف مرة على التوالي. سيكون احتمال سقوط الرؤوس دفعة واحدة هو نفسه. هناك دائمًا خيارات ، لكنها مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والأحداث المستقلة:

1. إذا تم إجراء التجربة مرة واحدة (بمجرد رمي عملة معدنية ، يرن جرس الباب مرة واحدة ، وما إلى ذلك) ، تكون الأحداث دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء التجربة عدة مرات (تم رمي عملة معدنية مرة واحدة ، ورن جرس الباب عدة مرات) ، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك ، إذا تغير عدد النتائج المفضلة أو عدد جميع النتائج ، فإن الأحداث تعتمد ، وإذا لم تكن كذلك ، فهي مستقلة.

دعونا نتدرب قليلاً لتحديد الاحتمال.

مثال 1

رميت العملة مرتين. ما هو احتمال رفع الرؤوس مرتين على التوالي؟

المحلول:

ضع في اعتبارك جميع الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. ذيول النسر
3. ذيول النسر
4. ذيول ذيول

كما ترى ، كل الخيارات. من هؤلاء ، نحن راضون فقط. هذا هو الاحتمال:

إذا طلب الشرط ببساطة العثور على الاحتمال ، فيجب تقديم الإجابة في صورة كسر عشري. إذا تم الإشارة إلى أنه يجب تقديم الإجابة كنسبة مئوية ، فسنضرب في.

إجابه:

مثال 2

في علبة من الشوكولاتة ، يتم تغليف كل الحلوى في نفس الغلاف. ومع ذلك ، من الحلويات - مع المكسرات والكونياك والكرز والكراميل والنوجا.

ما هو احتمال تناول قطعة حلوى واحدة والحصول على حلوى بالمكسرات. أعط إجابتك بالنسبة المئوية.

المحلول:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ .

أي ، بأخذ قطعة حلوى واحدة ، ستكون واحدة من تلك الموجودة في الصندوق.

وكم عدد النتائج المواتية؟

لأن الصندوق يحتوي فقط على الشوكولاتة مع المكسرات.

إجابه:

مثال 3

في علبة من الكرات. منها أبيض وأسود.

1. ما هو احتمال رسم كرة بيضاء؟
2. أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال رسم كرة بيضاء الآن؟

المحلول:

أ) لا يوجد سوى كرات في الصندوق. منها بيضاء.

الاحتمال هو:

ب) الآن هناك كرات في الصندوق. ولم يتبق سوى عدد مماثل من البيض.

إجابه:

الاحتمالية الكاملة

احتمال كل الأحداث المحتملة هو ().

على سبيل المثال ، في علبة من الكرات الحمراء والخضراء. ما هو احتمال رسم كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ كرة حمراء أم خضراء؟

احتمالية رسم كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترى ، مجموع كل الأحداث الممكنة يساوي (). سيساعدك فهم هذه النقطة على حل العديد من المشكلات.

مثال 4

توجد أقلام فلوماستر في الصندوق: أخضر ، أحمر ، أزرق ، أصفر ، أسود.

ما هو احتمال عدم رسم علامة حمراء؟

المحلول:

دعونا نحسب الرقم نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء ، فهذا يعني أخضر أو ​​أزرق أو أصفر أو أسود.

احتمالية كل الأحداث. واحتمال الأحداث التي نعتبرها غير مواتية (عندما نسحب قلمًا أحمر اللون) هو.

وبالتالي ، فإن احتمال رسم ليس قلم ذو طرف أحمر هو -.

إجابه:

إن احتمال عدم وقوع حدث ما هو مطروح من احتمال وقوع الحدث.

قاعدة لضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

وإذا كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أنه برمي قطعة نقود مرة واحدة ، سنرى نسرًا مرتين؟

لقد نظرنا بالفعل -.

ماذا لو ألقينا قطعة نقود؟ ما هو احتمال رؤية نسر مرتين على التوالي؟

إجمالي الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. ذيول رأس النسر
3. ذيول الرأس النسر
4. ذيول الرأس
5. ذيول-نسر-نسر
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ، ذيول ، ذيول

لا أعرف عنك ، لكنني أخطأت في هذه القائمة مرة واحدة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة إلى 5 لفات ، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك ، لاحظوا أولاً ، ثم أثبتوا ، أن احتمال سلسلة معينة من الأحداث المستقلة يتناقص في كل مرة باحتمال وقوع حدث واحد.

بعبارات أخرى،

تأمل في مثال العملة نفسها المشؤومة.

احتمال ظهور الرؤوس في المحاكمة؟ . الآن نحن نرمى قطعة نقود.

ما هو احتمال الحصول على ذيول على التوالي؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمالية حدوث نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا إيجاد تسلسل TAILS-EAGLE-TAILS في التقلبات المتتالية ، سنفعل الشيء نفسه.

احتمال الحصول على ذيول - ، رؤوس -.

احتمالية الحصول على تسلسل TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق صنع طاولة.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا نفهم ذلك. لنأخذ عملتنا البالية ونقلبها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. ذيول رأس النسر
3. ذيول الرأس النسر
4. ذيول الرأس
5. ذيول-نسر-نسر
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ، ذيول ، ذيول

إذن فهذه أحداث غير متوافقة ، وهذا تسلسل معين للأحداث. أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد ما هو احتمال حدثين (أو أكثر) غير متوافقين ، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن فقدان نسر أو ذيول حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد ما هو احتمال حدوث تسلسل) (أو أي احتمال آخر) يسقط ، فإننا نستخدم قاعدة مضاعفة الاحتمالات.
ما هو احتمال الحصول على الوجه في الرمية الأولى وذيول في الثانية والثالثة؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحد من عدة متتاليات ، على سبيل المثال ، عندما تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط ، أي خيارات ، ثم يجب علينا إضافة احتمالات هذه التسلسلات.

الخيارات الكاملة تناسبنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق جمع احتمالات حدوث كل تسلسل:

وبالتالي ، نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالية بعض التسلسلات غير المتوافقة للأحداث.

هناك قاعدة رائعة تساعدك على عدم الخلط بين وقت الضرب ووقت الإضافة:

دعنا نعود إلى المثال الذي ألقينا فيه عملة معدنية مرة ونريد معرفة احتمالية رؤية الوجه مرة واحدة.
ماذا سيحدث؟

يجب أن يسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
وهكذا اتضح:

لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5

يوجد أقلام رصاص في الصندوق. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال رسم أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

المحلول:

ماذا سيحدث؟ علينا الانسحاب (أحمر أو أخضر).

الآن أصبح واضحًا ، نجمع احتمالات هذه الأحداث:

إجابه:

مثال 6

تم رمي نرد مرتين ، ما هو احتمال ظهور إجمالي 8؟

المحلول.

كيف نحصل على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال سقوط وجه واحد (أي) هو.

نحسب الاحتمال:

إجابه:

اكتشف - حل.

أعتقد أنه أصبح من الواضح لك الآن متى تحتاج إلى كيفية حساب الاحتمالات ، ومتى تضيفها ، ومتى تضاعفها. أليس كذلك؟ دعنا نمارس بعض التمارين.

مهام:

لنأخذ مجموعة أوراق بها أوراق مجرفة وقلوب و 13 هراوة و 13 دفًا. من إلى آس من كل بدلة.

1. ما هو احتمال سحب الأندية المتتالية (نضع البطاقة الأولى مرة أخرى في المجموعة ونقوم بتبديلها)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال رسم صورة (جاك ، ملكة ، ملك أو آيس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل البطاقة الأولى المسحوبة من على ظهر السفينة)؟
5. ما هو احتمال ، بأخذ ورقتين ، لتجميع مجموعة - (جاك ، الملكة أو الملك) والآس. لا يهم التسلسل الذي سيتم رسم البطاقات به.

الإجابات:

1. في مجموعة أوراق من كل قيمة ، فهذا يعني:
2. الأحداث مرتبطة ، لأنه بعد سحب البطاقة الأولى ، انخفض عدد البطاقات في المجموعة (بالإضافة إلى عدد "الصور"). إجمالي الرافعات والملكات والملوك والأصوات في المجموعة في البداية ، مما يعني احتمال رسم "الصورة" بالبطاقة الأولى:

   نظرًا لأننا نقوم بإزالة البطاقة الأولى من المجموعة ، فهذا يعني أن هناك بالفعل بطاقة متبقية في المجموعة ، والتي توجد بها صور. احتمال رسم صورة بالبطاقة الثانية:

   نظرًا لأننا مهتمون بالموقف عندما نخرج من سطح السفينة: "صورة" و "صورة" ، فنحن بحاجة إلى مضاعفة الاحتمالات:

   إجابه:

3. بعد سحب البطاقة الأولى ، سينخفض ​​عدد البطاقات في المجموعة ، وبالتالي ، لدينا خياران:
   1) مع البطاقة الأولى نخرج الآس ، والثاني - جاك ، ملكة أو ملك
   2) مع البطاقة الأولى نخرج جاك أو ملكة أو ملك ، والثانية - الآس. (ace and (jack or queen or king)) أو ((jack or queen or king) and ace). لا تنس تقليل عدد البطاقات في المجموعة!

إذا كنت قادرًا على حل جميع المشكلات بنفسك ، فأنت رفيق رائع! الآن المهام على نظرية الاحتمالية في الامتحان سوف تضغط مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

تأمل في مثال. لنفترض أننا ألقينا نردًا. أي نوع من العظام هذا ، هل تعلم؟ هذا هو اسم مكعب بأرقام على الوجوه. كم عدد الوجوه ، هذا العدد الكبير من الأرقام: من إلى كم؟ قبل.

لذلك نرمي النرد ونريده أن يأتي بـ أو. ونحن نسقط.

في نظرية الاحتمالات يقولون ما حدث حدث موات(لا يجب الخلط بينه وبين الخير).

إذا حدث ذلك ، فسيكون الحدث ميمونًا أيضًا. في المجموع ، يمكن أن يحدث حدثان مواتيان فقط.

كم عدد السيئين؟ نظرًا لأن جميع الأحداث المحتملة ، فإن الأحداث غير المواتية منها هي الأحداث (هذا إذا وقع أو).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث الممكنة.. وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة المواتية.

تشير إلى الاحتمال بحرف لاتيني (على ما يبدو ، من الكلمة الإنجليزية احتمال - الاحتمال).

من المعتاد قياس الاحتمالية كنسبة مئوية (انظر الموضوعات و). للقيام بذلك ، يجب ضرب قيمة الاحتمال في. في مثال النرد ، الاحتمال.

وبالنسبة المئوية:.

أمثلة (حدد بنفسك):

1. ما هو احتمال سقوط عملة معدنية على الوجه؟ وما هو احتمال ذيول؟
2. ما هو احتمال ظهور رقم زوجي عند رمي نرد؟ وماذا - غريب؟
3. في درج من أقلام الرصاص العادية والأزرق والأحمر. نرسم قلم رصاص واحد بشكل عشوائي. ما هو احتمال سحب واحدة بسيطة؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات الموجودة؟ الرؤوس والذيل - اثنان فقط. وكم منهم مواتية؟ واحد فقط نسر. لذا فإن الاحتمال

   نفس الشيء مع ذيول:.

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب ، العديد من الخيارات المختلفة). المواتية: (هذه كلها أرقام زوجية :).
   احتمالا. مع الغريب ، بالطبع ، نفس الشيء.
3. المجموع: . ملائم: . احتمالا: .

الاحتمالية الكاملة

كل أقلام الرصاص في الدرج خضراء. ما هو احتمال رسم قلم أحمر؟ لا توجد فرص: الاحتمال (بعد كل شيء ، الأحداث المواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال رسم قلم رصاص أخضر؟ هناك عدد من الأحداث المواتية بالضبط مثل إجمالي الأحداث (كل الأحداث مواتية). لذا فإن الاحتمال هو أو.

مثل هذا الحدث يسمى مؤكد.

إذا كان هناك أقلام رصاص خضراء وحمراء في الصندوق ، فما احتمال رسم قلم أخضر أو ​​أحمر؟ مرة أخرى. لاحظ الأمر التالي: احتمالية الرسم باللون الأخضر متساوية ، والأحمر تساوي.

باختصار ، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. هذا هو، مجموع احتمالات جميع الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام الرصاص ، من بينها الأزرق والأحمر والأخضر والبسيط والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم الرسم باللون الأخضر؟

المحلول:

تذكر أن جميع الاحتمالات تتراكم. واحتمال الرسم باللون الأخضر متساوي. هذا يعني أن احتمالية عدم الرسم باللون الأخضر متساوية.

تذكر هذه الحيلة:إن احتمال عدم وقوع حدث ما هو مطروح من احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

أنت تقلب عملة معدنية مرتين وتريدها أن تبرز وجهًا لوجه في المرتين. ما هو احتمال هذا؟

دعنا ننتقل إلى جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

النسر النسر ، ذيول النسر ، ذيول النسر ، ذيول ذيول. ماذا بعد؟

البديل كله. من بين هؤلاء ، واحد فقط يناسبنا: Eagle-Eagle. إذن ، الاحتمال متساوٍ.

جيد. الآن دعونا نقلب عملة معدنية. عد نفسك. حدث؟ (إجابه).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية تالية ، يقل الاحتمال بمعامل. القاعدة العامة تسمى قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم أولئك الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال ، عندما نرمى قطعة نقود عدة مرات ، في كل مرة يتم عمل رمية جديدة ، لا تعتمد نتيجتها على جميع عمليات القذف السابقة. وبنفس النجاح ، يمكننا رمي عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. رمي نرد مرتين. ما هو احتمال ظهوره في المرتين؟
2. عملة رميت مرات. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس أولاً ثم الذيل مرتين؟
3. يقوم اللاعب برمي نردتين. ما هو احتمال تساوي مجموع الأعداد عليها؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة ، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل:.
2. احتمالية النسر متساوية. ذيول الاحتمال أيضا. نضرب:
3. لا يمكن الحصول على الرقم 12 إلا إذا سقط اثنان -ki:.

أحداث غير متوافقة وقاعدة الإضافة

الأحداث غير المتوافقة هي الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى الاحتمال الكامل. كما يوحي الاسم ، لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. على سبيل المثال ، إذا ألقينا عملة معدنية ، فيمكن أن تتساقط الرؤوس أو الذيل.

مثال.

في علبة أقلام الرصاص ، من بينها الأزرق والأحمر والأخضر والبسيط والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

المحلول .

احتمالية رسم قلم رصاص أخضر متساوية. أحمر - .

الأحداث الميمونة للجميع: أخضر + أحمر. لذا فإن احتمالية الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر متساوية.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال بالشكل التالي:.

هذه هي قاعدة الإضافة:تتراكم احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

مهام مختلطة

مثال.

رميت العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتيجة القوائم مختلفة؟

المحلول .

هذا يعني أنه إذا ظهرت الرؤوس أولاً ، يجب أن تكون الأطراف في المرتبة الثانية ، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة هنا ، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا يتم الخلط بينه وبين مكان الضرب وأين تضيف.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه الحالات. حاول وصف ما يجب أن يحدث من خلال ربط الأحداث بالنقابات "و" أو "أو". على سبيل المثال ، في هذه الحالة:

يجب أن تتدحرج (رؤوس وذيول) أو (ذيول ورؤوس).

عندما يكون هناك اتحاد "و" ، سيكون هناك ضرب ، وحيث يكون "أو" إضافة:

جربها بنفسك:

1. ما هو احتمال ظهور وجهين لعملة واحدة في نفس الجانب في المرتين؟
2. رمي نرد مرتين. ما هو احتمال أن يسقط المجموع نقاطًا؟

حلول:

1. (رؤوس وأعلى) أو (ذيول وأعلى):.
2. ما هي الخيارات؟ و. ثم:
   ملفوفة (و) أو (و) أو (و):.

مثال آخر:

نرمي قطعة نقود مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

المحلول:

أوه ، كيف لا أريد الفرز من خلال الخيارات ... ذيول الرأس ، ذيول الرأس ، ذيول النسر ، ... لكن ليس عليك ذلك! دعنا نتحدث عن الاحتمال الكامل. تذكرت؟ ما هو احتمال ان يكون النسر لن تسقط ابدا؟ الأمر بسيط: ذيول الذيل تطير طوال الوقت ، وهذا يعني.

نظرية الاحتمالات. باختصار حول الرئيسي

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث الممكنة.

أحداث مستقلة

يكون هناك حدثان مستقلان إذا كان وقوع أحدهما لا يغير احتمالية حدوث الآخر.

الاحتمالية الكاملة

احتمال كل الأحداث المحتملة هو ().

إن احتمال عدم وقوع حدث ما هو مطروح من احتمال وقوع الحدث.

قاعدة لضرب احتمالات الأحداث المستقلة

إن احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

الأحداث غير المتوافقة هي تلك الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. عدد من الأحداث غير المتوافقة تشكل مجموعة كاملة من الأحداث.

تتراكم احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

بعد وصف ما يجب أن يحدث ، باستخدام النقابات "AND" أو "OR" ، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب ، وبدلاً من "OR" - الإضافة.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز OGE أو امتحان الدولة الموحد بنجاح ، للانتقال إلى الصف العاشر أو القبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!

شروط شرائها موضحة هنا:

انقر ، احصل على الوصول إلى YouClever و 100gia وابدأ في التحضير الآن!

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

معادلة الاحتمالية الإجمالية

نظرية. إذا كان الحدث A يمكن أن يحدث فقط في حالة حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة التي تشكل مجموعة كاملة ، فإن احتمال الحدث A يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هذه الأحداث والاحتمالات الشرطية المقابلة للحدث A ، أي إثبات: حسب الشرط ، الحدث ويمكن أن يحدث في حالة حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة. بمعنى آخر ، ظهور الحدث A يعني تنفيذ حدث واحد ، بغض النظر عن أيهما ، من الأحداث غير المتوافقة B1A ، B2A ، ... ، BnA. باستخدام نظرية الجمع ، نحصل على:

(*) وفقًا لنظرية مضاعفة الأحداث التابعة ، لدينا:

باستبدال هذه الصيغ في (*) ، نحصل على: نظرًا لأنه من غير المعروف مسبقًا الأحداث التي ستحدث ، فإنها تسمى الفرضيات. مثال. هناك مجموعتان من الأجزاء. احتمال أن يكون جزء المجموعة الأولى قياسيًا هو 0.8 ، والثاني هو 0.9. أوجد احتمال أن يكون عنصرًا تم اختياره عشوائيًا (من مجموعة مختارة عشوائيًا) قياسيًا. المحلول. الحدث أ - الجزء المستخرج قياسي. يمكن استخلاص الجزء من المجموعة الأولى (حدث B1) أو من المجموعة الثانية (حدث B2). الاحتمال الشرطي أن يكون الجزء قياسيًا من المجموعة الأولى ، وأن يكون المعيار من المجموعة الثانية Р (А) = 0.5 * 0.8 + 0.5 * 0.9 =) = 0.85

احتمالية الفرضيات. صيغة بايز

في كثير من الأحيان ، عند البدء في تحليل الاحتمالات ، لدينا قيم أولية لاحتمالات الأحداث التي تهمنا. بعد الاختبار ، يمكن تحسين هذه الاحتمالات إلى حد ما. دع الاختبار يتم إجراؤه ، ونتيجة لذلك ظهر الحدث A. من الضروري إيجاد احتمالات الفرضيات بعد إجراء الاختبار ، أي الاحتمالات الشرطية للفرضيات. لنجد الاحتمال الشرطي أولاً. بواسطة نظرية الضرب. من هنا اشتقت صيغ الفرضيات المتبقية بالمثل. في الحالة العامة ، يتم تعريف الاحتمال الشرطي لأي فرضية Bi ، حيث ، على أنها. تسمى الصيغة الأخيرة معادلة بايز. يسمح لك بإعادة تقدير احتمالات الفرضيات بعد أن تصبح نتيجة الاختبار معروفة ، ونتيجة لذلك ظهر الحدث "أ".

مثال 1. يتم إرسال الأجزاء المصنعة من قبل متجر المصنع إلى واحد من اثنين من المفتشين للتحقق من توحيدها. احتمال وصول الجزء إلى المفتش الأول هو 0.6 ، والثاني - 0.4 ، واحتمال أن يتم التعرف على الجزء كمعيار من قبل المفتش الأول هو 0.94 ، والثاني - 0.98.

أوجد احتمال أن يتم التعرف على الجزء كمعيار ؛ تم العثور على العنصر الذي تم اختباره ليكون معياريًا أثناء الاختبار. أوجد احتمال أن يتم فحصه بواسطة وحدة التحكم الأولى.

القرار: الحدث أ = (تم التعرف على الجزء كمعيار) ، الفرضية ب 1 = (تم فحص الجزء من قبل المفتش الأول) ، الفرضية ب 2 = (تم فحص الجزء من قبل المفتش الثاني). واحد) ؛ 2) هكذا قبل الاختبار ، كانت قيمة احتمال الفرضية B1 0.6 ، وبعد الاختبار تغيرت وأصبحت متساوية.

عندما يتم رمي عملة معدنية ، يمكن القول أنها ستهبط على رأس ، أو احتمالا من هذا 1/2. بالطبع ، هذا لا يعني أنه إذا تم رمي عملة معدنية 10 مرات ، فسوف تهبط بالضرورة على الوجه 5 مرات. إذا كانت العملة "عادلة" وإذا تم رميها عدة مرات ، فسوف تقترب الصورة من نصف الوقت. وبالتالي ، هناك نوعان من الاحتمالات: تجريبي و نظري .

الاحتمال التجريبي والنظري

إذا ألقينا عملة عددًا كبيرًا من المرات - لنقل 1000 - وقمنا بحساب عدد المرات التي ظهرت فيها بشكل وجه ، يمكننا تحديد احتمال ظهورها بشكل وجه. إذا ظهرت الرؤوس 503 مرات ، فيمكننا حساب احتمالية ظهورها:
503/1000 أو 0.503.

هو - هي تجريبي تعريف الاحتمال. هذا التعريف للاحتمالية ينبع من الملاحظة ودراسة البيانات وهو شائع ومفيد للغاية. على سبيل المثال ، فيما يلي بعض الاحتمالات التي تم تحديدها تجريبيًا:

1. فرصة إصابة المرأة بسرطان الثدي هي 1/11.

2. إذا قبلت شخصًا مصابًا بنزلة برد ، فإن احتمال إصابتك أيضًا بالزكام هو 0.07.

3. الشخص الذي أطلق سراحه للتو من السجن لديه فرصة 80٪ للعودة إلى السجن.

إذا أخذنا في الاعتبار رمي عملة معدنية مع الأخذ في الاعتبار أنه من المحتمل بشكل متساوٍ ظهور رؤوس أو ذيول ، فيمكننا حساب احتمال ظهور رؤوس: 1 / 2. هذا هو التعريف النظري للاحتمال. فيما يلي بعض الاحتمالات الأخرى التي تم تحديدها نظريًا باستخدام الرياضيات:

1. إذا كان هناك 30 شخصًا في الغرفة ، فإن احتمال أن يكون اثنان منهم لهما نفس تاريخ الميلاد (باستثناء السنة) هو 0.706.

2. أثناء الرحلة ، تلتقي بشخص ما وخلال المحادثة تكتشف أن لديك معرفة متبادلة. رد الفعل النموذجي: "لا يمكن أن يكون!" في الواقع ، هذه العبارة غير مناسبة ، لأن احتمال حدوث مثل هذا الحدث مرتفع جدًا - ما يزيد قليلاً عن 22٪.

لذلك ، يتم تحديد الاحتمال التجريبي من خلال الملاحظة وجمع البيانات. يتم تحديد الاحتمالات النظرية من خلال التفكير الرياضي. أمثلة على الاحتمالات التجريبية والنظرية ، مثل تلك التي نوقشت أعلاه ، وخاصة تلك التي لا نتوقعها ، تقودنا إلى أهمية دراسة الاحتمالات. قد تسأل ، "ما هو الاحتمال الحقيقي؟" في الواقع ، لا يوجد شيء. من الممكن تجريبياً تحديد الاحتمالات ضمن حدود معينة. قد تتطابق أو لا تتطابق مع الاحتمالات التي نحصل عليها نظريًا. هناك حالات يكون فيها تحديد نوع من الاحتمالات أسهل بكثير من تعريف نوع آخر. على سبيل المثال ، سيكون كافياً إيجاد احتمال الإصابة بنزلة برد باستخدام الاحتمال النظري.

حساب الاحتمالات التجريبية

لننظر أولاً في التعريف التجريبي للاحتمال. المبدأ الأساسي الذي نستخدمه لحساب هذه الاحتمالات هو كما يلي.

المبدأ P (تجريبي)

إذا في تجربة يتم فيها إجراء n من الملاحظات ، فإن الحالة أو الحدث E يحدث m مرات في n من الملاحظات ، عندئذٍ يُقال أن الاحتمال التجريبي للحدث هو P (E) = m / n.

مثال 1 المسح الاجتماعي. أجريت دراسة تجريبية لتحديد عدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى واليمنى والأشخاص الذين يتم تطوير كلتا اليدين بشكل متساوٍ ، وتظهر النتائج في الرسم البياني.

أ) تحديد احتمال أن يكون الشخص أعسر.

ب) تحديد احتمال أن يكون الشخص أعسر.

ج) تحديد احتمال أن يكون الشخص متساويًا بطلاقة في كلتا يديه.

د) معظم بطولات PBA بها 120 لاعبًا. بناءً على هذه التجربة ، كم عدد اللاعبين الذين يمكن أن يكونوا أعسر؟

المحلول

أ) عدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليمنى هو 82 ، وعدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى هو 17 ، وعدد الأشخاص الذين يتقنون كلتا اليدين بشكل متساوٍ هو 1. إجمالي عدد الملاحظات هو 100. وبالتالي ، فإن الاحتمال أن الشخص أيمن هو P
P = 82/100 أو 0.82 أو 82٪.

ب) احتمال أن يكون الشخص أعسر هو P حيث
P = 17/100 أو 0.17 أو 17٪.

ج) احتمال أن يكون الشخص متساويًا في الطلاقة بكلتا يديه هو P ، حيث
P = 1/100 أو 0.01 أو 1٪.

د) 120 لاعبي البولينج ومن (ب) نتوقع أن يكون 17٪ أعسر. من هنا
17٪ من 120 = 0.17.120 = 20.4 ،
أي يمكننا أن نتوقع أن يكون حوالي 20 لاعباً أعسر.

مثال 2 رقابة جودة . من المهم جدًا أن تحافظ الشركة المصنعة على جودة منتجاتها على مستوى عالٍ. في الواقع ، تقوم الشركات بتوظيف مفتشي مراقبة الجودة لضمان هذه العملية. الهدف هو تحرير أقل عدد ممكن من المنتجات المعيبة. ولكن نظرًا لأن الشركة تنتج آلاف العناصر يوميًا ، فلا يمكنها فحص كل عنصر لتحديد ما إذا كان معيبًا أم لا. لمعرفة النسبة المئوية للمنتجات المعيبة ، تختبر الشركة منتجات أقل بكثير.
تتطلب وزارة الزراعة الأمريكية أن تنبت 80٪ من البذور التي يبيعها المزارعون. لتحديد جودة البذور التي تنتجها الشركة الزراعية ، يتم زرع 500 بذرة من تلك التي تم إنتاجها. بعد ذلك ، تم حساب أن 417 بذرة نبتت.

أ) ما هو احتمال أن تنبت البذرة؟

ب) هل البذور تلبي المعايير الحكومية؟

المحلولأ) نعلم أنه من بين 500 بذرة تم زرعها ، نمت 417. احتمال إنبات البذور P و
P = 417/500 = 0.834 أو 83.4٪.

ب) بما أن نسبة البذور النابتة تجاوزت 80٪ حسب الطلب ، فإن البذور تلبي معايير الدولة.

مثال 3 تقييمات التلفزيون. وفقًا للإحصاءات ، هناك 105500000 منزل تلفزيوني في الولايات المتحدة. كل أسبوع ، يتم جمع معلومات حول مشاهدة البرامج ومعالجتها. في غضون أسبوع واحد ، تم ضبط 7،815،000 أسرة على سلسلة الكوميديا ​​الناجحة "Everybody Loves Raymond" على شبكة سي بي إس وتم ضبط 8،302،000 أسرة على قناة "القانون والنظام" (المصدر: Nielsen Media Research). ما هو احتمال أن يكون تلفزيون أحد المنازل قد تم ضبطه على "Everybody Loves Raymond" خلال أسبوع معين؟ إلى "Law & Order"؟

المحلولاحتمال تعيين التلفزيون في منزل واحد على "Everybody Loves Raymond" هو P و
P = 7.815.000 / 105.500.000 0.074 7.4٪.
احتمالية ضبط التلفزيون المنزلي على "Law & Order" هي P و
الاحتمال = 8.302.000 / 105.500.000 0.079 7.9٪.
تسمى هذه النسب المئوية التصنيفات.

الاحتمال النظري

لنفترض أننا نجري تجربة ، مثل رمي عملة معدنية أو سهم ، أو رسم بطاقة من سطح السفينة ، أو اختبار العناصر على خط التجميع. يتم استدعاء كل نتيجة محتملة لمثل هذه التجربة نزوح . يتم استدعاء مجموعة جميع النتائج المحتملة مساحة النتيجة . حدث إنها مجموعة من النتائج ، أي مجموعة فرعية من مساحة النتائج.

مثال 4 رمي السهام. افترض أنه في تجربة "رمي السهام" ، أصاب السهم الهدف. ابحث عن كل مما يلي:

ب) مساحة النتائج

المحلول
أ) النتائج هي: الضرب باللون الأسود (H) ، والضرب باللون الأحمر (K) ، والضرب باللون الأبيض (B).

ب) هناك مساحة نتيجة (ضرب الأسود ، ضرب الأحمر ، ضرب الأبيض) ، والتي يمكن كتابتها ببساطة (B ، R ، B).

مثال 5 رمي النرد. النرد هو مكعب من ستة جوانب ، كل منها به نقطة إلى ست نقاط.


لنفترض أننا نرمي نرد. تجد
أ) النتائج
ب) مساحة النتائج

المحلول
أ) النتائج: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6.
ب) مساحة النتائج (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6).

نشير إلى احتمال حدوث حدث E كـ P (E). على سبيل المثال ، "ستهبط العملة على ذيول" يمكن الإشارة إليها بواسطة H. ثم P (H) هو احتمال هبوط العملة على ذيول. عندما يكون لجميع نتائج التجربة نفس احتمالية الحدوث ، يُقال إنها متساوية في الاحتمال. لمعرفة الفرق بين الأحداث التي تتساوى احتمالية حدوثها والأحداث التي لا تتساوى في احتمالية حدوثها ، ضع في اعتبارك الهدف الموضح أدناه.

بالنسبة للهدف "أ" ، تتساوى احتمالية حدوث أحداث النتائج باللونين الأسود والأحمر والأبيض ، نظرًا لأن القطاعات السوداء والحمراء والأبيض هي نفسها. ومع ذلك ، بالنسبة للهدف B ، فإن المناطق التي تحتوي على هذه الألوان ليست هي نفسها ، أي أن ضربها ليس بنفس الاحتمال.

المبدأ P (نظري)

إذا كان الحدث E يمكن أن يحدث بطرق m من n من النتائج الممكنة القابلة للتجهيز من مساحة النتيجة S ، إذن الاحتمال النظري الحدث ، P (E) هو
P (E) = م / ن.

مثال 6ما هو احتمال دحرجة 3 برمي حجر نرد؟

المحلولهناك 6 احتمالية متساوية في النرد وهناك احتمال واحد فقط لرمي الرقم 3. ثم الاحتمال P سيكون P (3) = 1/6.

مثال 7ما هو احتمال دحرجة رقم زوجي على النرد؟

المحلولالحدث هو رمي عدد زوجي. يمكن أن يحدث هذا بثلاث طرق (إذا قمت باللف 2 أو 4 أو 6). عدد النتائج القابلة للتساوي هو 6. ثم الاحتمال P (زوجي) = 3/6 أو 1/2.

سنستخدم عددًا من الأمثلة المتعلقة بمجموعة قياسية من 52 بطاقة. يتكون هذا السطح من البطاقات الموضحة في الشكل أدناه.

المثال 8ما هو احتمال سحب الآس من مجموعة أوراق مرتبة جيدًا؟

المحلولهناك 52 نتيجة (عدد البطاقات في المجموعة) ، وهم متساوون في الاحتمال (إذا كانت المجموعة مختلطة جيدًا) ، وهناك 4 طرق لرسم الآس ، لذلك وفقًا لمبدأ P ، الاحتمال
P (رسم الآس) = 4/52 أو 1/13.

المثال 9لنفترض أننا اخترنا دون أن ننظر إلى قطعة واحدة من الرخام من كيس مكون من 3 كرات حمراء و 4 كرات خضراء. ما هو احتمال اختيار كرة حمراء؟

المحلولهناك 7 احتمالية متساوية للحصول على أي كرة ، وبما أن عدد طرق رسم كرة حمراء هو 3 ، فإننا نحصل عليها
ف (اختيار كرة حمراء) = 3/7.

العبارات التالية هي نتائج من مبدأ P.

خصائص الاحتمالية

أ) إذا تعذر حدوث الحدث E ، فإن P (E) = 0.
ب) إذا كان لا بد أن يقع الحدث E فإن P (E) = 1.
ج) احتمال وقوع الحدث E هو رقم بين 0 و 1: 0 P (E) ≤ 1.

على سبيل المثال ، عند رمي عملة معدنية ، فإن احتمالية هبوط العملة على حافتها صفر. احتمال أن تكون العملة المعدنية إما رأسًا أو ذيلًا له احتمال 1.

المثال 10افترض أنه تم سحب بطاقتين من مجموعة بها 52 بطاقة. ما هو احتمال أن كلاهما بستوني؟

المحلولعدد الطرق المستخدمة في سحب ورقتين من مجموعة أوراق مكونة من 52 بطاقة مرتبة جيدًا هو 52 C 2. نظرًا لأن 13 من البطاقات الـ 52 عبارة عن أوراق بستوني ، فإن عدد طرق سحب 2 بستوني بالمتر هو 13 C 2. ثم،
P (تمتد ذروتين) \ u003d م / n \ u003d 13 C 2/52 C 2 \ u003d 78/1326 \ u003d 1/17.

المثال 11افترض أنه تم اختيار 3 أشخاص بشكل عشوائي من مجموعة مكونة من 6 رجال و 4 نساء. ما هو احتمال اختيار رجل وامرأتين؟

المحلولعدد طرق اختيار ثلاثة اشخاص من مجموعة من 10 اشخاص 10 ج 3. يمكن اختيار رجل واحد في 6 طرق C 1 ويمكن اختيار امرأتين في 4 طرق C 2. وفقًا للمبدأ الأساسي للعد ، فإن عدد طرق اختيار الرجل الأول وامرأتين هو 6 درجة مئوية 1. 4C2. بعد ذلك ، يكون احتمال اختيار رجل واحد وامرأتين
ف = 6 ج 1. 4 ج 2/10 ج 3 = 3/10.

المثال 12 رمي النرد. ما هو احتمال رمي مجموع 8 على نردتين؟

المحلولهناك 6 نتائج محتملة على كل نرد. تتضاعف النتائج ، أي أن هناك 6.6 أو 36 طريقة محتملة يمكن أن تسقط بها الأرقام الموجودة على نردتين. (من الأفضل أن تكون المكعبتان مختلفتين ، لنفترض أن أحدهما أحمر والآخر أزرق - سيساعد ذلك في تصور النتيجة.)

تظهر أزواج الأرقام التي يصل مجموعها إلى 8 في الشكل أدناه. هناك 5 طرق ممكنة للحصول على المجموع يساوي 8 ، ومن ثم فإن الاحتمال هو 5/36.

في البداية ، كونها مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظات التجريبية للعبة النرد ، أصبحت نظرية الاحتمالية علمًا قويًا. كان فيرما وباسكال أول من أعطاها إطارًا رياضيًا.

من تأملات في الأبدية إلى نظرية الاحتمال

يُعرف شخصان تدين لهما نظرية الاحتمالية بالعديد من الصيغ الأساسية ، وهما بليز باسكال وتوماس بايز ، باسم الأشخاص المتدينين بشدة ، وكان الأخير قسيسًا مشيخيًا. على ما يبدو ، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة ، ومنح الحظ السعيد لمفضلاتها ، أعطت قوة دافعة للبحث في هذا المجال. بعد كل شيء ، في الواقع ، أي لعبة حظ ، مع انتصاراتها وخسائرها ، هي مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل إثارة Chevalier de Mere ، الذي كان بنفس القدر لاعبًا وشخصًا لم يكن غير مبالٍ بالعلم ، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمال. كان De Mere مهتمًا بهذا السؤال: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج حتى يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟". السؤال الثاني الذي أثار اهتمام الرجل المحترم للغاية: "كيف يقسم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المنتهية؟" بالطبع ، نجح باسكال في الإجابة على كلا السؤالين عن دي مير ، الذي أصبح البادئ غير المتعمد لتطوير نظرية الاحتمال. من المثير للاهتمام أن شخصية دي مير بقيت معروفة في هذا المجال ، وليس في الأدب.

في السابق ، لم يقم أي عالم رياضيات بمحاولة حساب احتمالات الأحداث ، حيث كان يُعتقد أن هذا كان مجرد حل للتخمين. قدم بليز باسكال أول تعريف لاحتمال وقوع حدث وأظهر أن هذا رقم محدد يمكن تبريره رياضيًا. أصبحت نظرية الاحتمالات أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا أخذنا في الاعتبار اختبارًا يمكن تكراره لعدد غير محدود من المرات ، فيمكننا تحديد حدث عشوائي. هذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظروف ثابتة.

لكي تكون قادرًا على العمل مع نتائج التجربة ، عادةً ما يتم الإشارة إلى الأحداث بالحروف A ، B ، C ، D ، E ...

احتمال وقوع حدث عشوائي

لتكون قادرًا على المضي قدمًا في الجزء الرياضي من الاحتمال ، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث هو مقياس رقمي لإمكانية حدوث حدث ما (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يُشار إلى الاحتمال على أنه P (A) أو P (B).

نظرية الاحتمالية هي:

• موثوق بهاالحدث مضمون حدوثه كنتيجة للتجربة Р (Ω) = 1 ؛
• غير ممكنلا يمكن أن يحدث الحدث أبدًا Р (Ø) = 0 ؛
• عشوائييقع الحدث بين مؤكد ومستحيل ، أي أن احتمال حدوثه ممكن ، لكنه غير مضمون (احتمال وقوع حدث عشوائي يكون دائمًا في حدود 0≤P (A) ≤1).

العلاقات بين الأحداث

يتم أخذ كل من الحدث ومجموع الأحداث A + B في الاعتبار عندما يتم حساب الحدث في تنفيذ أحد المكونات على الأقل ، A أو B ، أو كليهما - A و B.

فيما يتعلق ببعضها البعض ، يمكن أن تكون الأحداث:

• ممكن بنفس القدر.
• متناسق.
• غير متوافق.
• العكس (يستبعد أحدهما الآخر).
• يعتمد.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمالية متساوية ، فعندئذٍ ممكن بالتساوي.

إذا كان وقوع الحدث A لا يلغي احتمال وقوع الحدث B ، فعندئذٍ هم متناسق.

إذا لم يحدث الحدثان A و B في نفس الوقت في نفس التجربة ، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق. يُعد إلقاء عملة معدنية مثالاً جيدًا على ذلك: فالذيول التي تظهر لا تظهر بشكل تلقائي.

يتكون احتمال مجموع هذه الأحداث غير المتوافقة من مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

إذا كان وقوع حدث ما يجعل حدوث حدث آخر أمرًا مستحيلًا ، فيُدعى العكس. ثم يتم تعيين أحدهما على أنه A ، والآخر - Ā (يُقرأ على أنه "ليس A"). يعني حدوث الحدث A أن Ā لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة بمجموع احتمالات يساوي 1.

الأحداث التابعة لها تأثير متبادل ، مما يقلل أو يزيد من احتمال الآخر.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالية ومجموعة الأحداث باستخدام الأمثلة.

التجربة التي سيتم تنفيذها هي سحب الكرات من الصندوق ، وتكون نتيجة كل تجربة نتيجة أولية.

الحدث هو أحد النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء ، كرة زرقاء ، كرة برقم ستة ، إلخ.

رقم الاختبار 1. هناك 6 كرات ، ثلاث منها زرقاء بأرقام فردية ، والثلاث الأخرى حمراء بأرقام زوجية.

رقم الاختبار 2. هناك 6 كرات زرقاء بأرقام من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال ، يمكننا تسمية المجموعات:

• حدث موثوق.بالإسبانية رقم 2 ، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" يمكن الاعتماد عليه ، لأن احتمال حدوثه هو 1 ، حيث أن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن تفويتها. في حين أن حدث "الحصول على الكرة بالرقم 1" يكون عشوائيًا.
• حدث مستحيل.بالإسبانية رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء ، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجواني" مستحيل ، لأن احتمال حدوثه هو صفر.
• أحداث مماثلة.بالإسبانية رقم 1 ، الأحداث "الحصول على الكرة بالرقم 2" و "الحصول على الكرة بالرقم 3" متساوية الاحتمال ، والأحداث "الحصول على الكرة برقم زوجي" و "الحصول على الكرة بالرقم 2 "احتمالات مختلفة.
• أحداث متوافقة.الحصول على ستة في عملية رمي النرد مرتين على التوالي أحداث متوافقة.
• أحداث غير متوافقة.في نفس الاسبانية لا يمكن الجمع بين الحدثين رقم 1 "الحصول على الكرة الحمراء" و "الحصول على الكرة برقم فردي" في نفس التجربة.
• أحداث معاكسة.ولعل أبرز مثال على ذلك هو رمي العملات المعدنية ، حيث يكون رسم الرؤوس هو نفسه عدم رسم ذيول ، ومجموع احتمالاته دائمًا هو 1 (مجموعة كاملة).
• الأحداث التابعة. لذلك ، باللغة الإسبانية رقم 1 ، يمكنك أن تضع لنفسك هدف استخراج كرة حمراء مرتين على التوالي. يؤثر استخراجه أو عدم استخراجه في المرة الأولى على احتمال استخراجه للمرة الثانية.

يمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمال الثاني (40٪ و 60٪).

صيغة احتمالية الحدث

يحدث الانتقال من الكهانة إلى البيانات الدقيقة عن طريق نقل الموضوع إلى المستوى الرياضي. وهذا يعني أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمالية العالية" أو "الحد الأدنى من الاحتمال" يمكن ترجمتها إلى بيانات رقمية محددة. يجوز بالفعل تقييم هذه المواد ومقارنتها وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر الحساب ، فإن تعريف احتمال حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة فيما يتعلق بحدث معين. يُشار إلى الاحتمال بواسطة P (A) ، حيث P تعني كلمة "probability" ، والتي تُترجم من الفرنسية إلى "probability".

إذن ، صيغة احتمال وقوع حدث هي:

حيث m هو عدد النتائج المفضلة للحدث A ، n هو مجموع كل النتائج الممكنة لهذه التجربة. دائمًا ما يكون احتمال وقوع حدث ما بين 0 و 1:

0 ≤ الفوسفور (أ) ≤ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. رقم 1 مع الكرات الموصوفة سابقاً: 3 كرات زرقاء بأرقام 1/3/5 و 3 كرات حمراء بأرقام 2/4/6.

بناءً على هذا الاختبار ، يمكن النظر في عدة مهام مختلفة:

• أ- قطرة الكرة الحمراء. هناك ثلاث كرات حمراء ، وهناك 6 متغيرات في المجموع ، وهذا هو أبسط مثال ، حيث يكون احتمال وقوع حدث هو P (A) = 3/6 = 0.5.
• ب - إسقاط رقم زوجي. هناك 3 (2،4،6) أرقام زوجية في المجموع ، والعدد الإجمالي للخيارات العددية الممكنة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P (B) = 3/6 = 0.5.
• C - خسارة رقم أكبر من 2. هناك 4 خيارات من هذا القبيل (3،4،5،6) من العدد الإجمالي للنتائج المحتملة 6. احتمال الحدث C هو P (C) = 4/6 = 0.67.

كما يتضح من الحسابات ، يكون للحدث C احتمالية أعلى ، نظرًا لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى منه في A و B.

أحداث غير متوافقة

لا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. كما في الاسبانية رقم 1 ، من المستحيل الحصول على كرة زرقاء وحمراء في نفس الوقت. أي يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. بالطريقة نفسها ، لا يمكن أن يظهر الرقم الفردي والزوجي في النرد في نفس الوقت.

يعتبر احتمال حدثين بمثابة احتمال لمجموعهما أو حاصل ضربهما. يعتبر مجموع هذه الأحداث A + B حدثًا يتكون من ظهور حدث A أو B ، وحاصل AB الخاص بهم - في ظهور كليهما. على سبيل المثال ، ظهور اثنين من الستات مرة واحدة على وجوه نردتين في رمية واحدة.

مجموع الأحداث المتعددة هو حدث يشير إلى حدوث واحد منها على الأقل. نتاج العديد من الأحداث هو حدوثها جميعًا بشكل مشترك.

في نظرية الاحتمالات ، كقاعدة عامة ، يشير استخدام الاتحاد "و" إلى المجموع أو الاتحاد "أو" - الضرب. ستساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة

إذا تم أخذ احتمال الأحداث غير المتوافقة في الاعتبار ، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

على سبيل المثال: نحسب احتمال ذلك باللغة الإسبانية. رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء سوف يسقط رقمًا بين 1 و 4. لن نحسب في إجراء واحد ، ولكن من خلال مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذلك ، في مثل هذه التجربة هناك 6 كرات فقط أو 6 من جميع النتائج الممكنة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على الرقم 2 هو 1/6 ، واحتمال الرقم 3 هو أيضًا 1/6. احتمال الحصول على رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة لمجموعة كاملة هو 1.

لذا ، إذا قمنا في التجربة باستخدام مكعب بجمع احتمالات الحصول على جميع الأرقام ، فنتيجة لذلك نحصل على واحد.

وينطبق هذا أيضًا على الأحداث المعاكسة ، على سبيل المثال ، في تجربة عملة معدنية ، حيث يكون أحد جانبيها هو الحدث A ، والآخر هو الحدث المعاكس Ā ، كما هو معروف ،

Р (А) + Р (Ā) = 1

احتمال إنتاج أحداث غير متوافقة

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عند النظر في حدوث حدثين غير متوافقين أو أكثر في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A و B فيه في نفس الوقت يساوي ناتج احتمالاتهما ، أو:

الفوسفور (أ * ب) = ف (أ) * ف (ب)

على سبيل المثال ، احتمال أن في رقم 1 نتيجة محاولتين ، ستظهر كرة زرقاء مرتين ، تساوي

أي أن احتمال وقوع حدث عندما ، نتيجة محاولتين لاستخراج الكرات ، سيتم استخراج الكرات الزرقاء فقط ، هو 25٪. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المشكلة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن ظهور أحدهما مع ظهور الآخر. على الرغم من حقيقة أنها مشتركة ، يتم النظر في احتمال وقوع أحداث مستقلة. على سبيل المثال ، يمكن أن يعطي رمي نردتين نتيجة عندما يسقط الرقم 6 على كليهما. على الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في نفس الوقت ، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن تسقط ستة واحدة فقط ، بينما لا يوجد للنرد الثاني التأثير عليه.

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال لمجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

إن احتمال مجموع الأحداث A و B ، والمشتركين فيما يتعلق ببعضهما البعض ، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال منتجهم (أي التنفيذ المشترك):

مفصل R. (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)

افترض أن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم حدث أ - إصابة الهدف في المحاولة الأولى ، ب - في المحاولة الثانية. هذه الأحداث مشتركة ، لأنه من الممكن إصابة الهدف من اللقطة الأولى ومن اللقطة الثانية. لكن الأحداث لا تتوقف. ما هو احتمالية إصابة الهدف برقطتين (واحدة على الأقل)؟ حسب الصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

والجواب على السؤال: "احتمال إصابة الهدف بضربتين 64٪".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمالية وقوع حدث ما على الأحداث غير المتوافقة ، حيث يكون احتمال الحدوث المشترك لحدث P (AB) = 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية من أجل الوضوح

ومن المثير للاهتمام ، أن احتمال مجموع الأحداث المشتركة يمكن تمثيله كمنطقتين أ و ب يتقاطعان مع بعضهما البعض. كما ترى من الصورة ، فإن مساحة اتحادهم تساوي المساحة الكلية مطروحًا منها مساحة تقاطعهم. هذا التفسير الهندسي يجعل الصيغة التي تبدو غير منطقية أكثر قابلية للفهم. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالات.

يعد تعريف احتمال مجموع مجموعة (أكثر من اثنين) من الأحداث المشتركة مرهقًا إلى حد ما. لحسابها ، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

يتم استدعاء الأحداث التابعة إذا كان حدوث أحدها (أ) يؤثر على احتمال حدوث الآخر (ب). علاوة على ذلك ، يتم أخذ تأثير حدوث كل من الحدث A وعدم حدوثه في الاعتبار. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف ، إلا أن واحدًا منها فقط يعتمد على (B). تم الإشارة إلى الاحتمال المعتاد على أنه P (B) أو احتمال وقوع أحداث مستقلة. في حالة المعالين ، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B) ، وهو احتمال الحدث التابع B بشرط وقوع الحدث A (الفرضية) ، والذي يعتمد عليه.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا ، لذا فإن له أيضًا احتمالًا يجب ويمكن أخذه في الاعتبار في الحسابات. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال لحساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة أوراق اللعب القياسية.

في مثال مجموعة الأوراق المكونة من 36 بطاقة ، ضع في اعتبارك الأحداث التابعة. من الضروري تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من سطح السفينة بدلة ماسية ، إذا كانت البطاقة الأولى المسحوبة هي:

1. دف صغير.
2. حلة أخرى.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذا ، إذا كان الخيار الأول صحيحًا ، وهو بطاقة واحدة (35) و 1 ماسة (8) أقل في المجموعة ، فإن احتمال الحدث B:

الفوسفور أ (ب) = 8/35 = 0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا ، فهناك 35 بطاقة في المجموعة ، ولا يزال إجمالي عدد الدفوف (9) محفوظًا ، فإن احتمال الحدث التالي هو B:

الفوسفور أ (ب) = 9/35 = 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا كان الحدث A مشروطًا بحقيقة أن البطاقة الأولى عبارة عن ماسة ، فإن احتمال الحدث B يتناقص والعكس صحيح.

مضاعفة الأحداث التابعة

بناءً على الفصل السابق ، نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة ، لكن في جوهره ، له طابع عشوائي. احتمال حدوث هذا الحدث ، أي استخراج الدف من مجموعة أوراق اللعب ، يساوي:

الفوسفور (أ) = 9/36 = 1/4

نظرًا لأن النظرية لا توجد في حد ذاتها ، ولكن يتم استدعاؤها لخدمة أغراض عملية ، فمن الإنصاف ملاحظة أنه غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى احتمال إنتاج أحداث تابعة.

وفقًا للنظرية حول ناتج احتمالات الأحداث التابعة ، فإن احتمال حدوث أحداث مرتبطة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال حدث واحد A ، مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (اعتمادًا على A):

ف (أ ب) \ u003d ف (أ) * ف أ (ب)

ثم في المثال الذي يحتوي على سطح السفينة ، فإن احتمال سحب ورقتين ببدلة من الماس هو:

9/36 * 8/35 = 0.0571 أو 5.7٪

واحتمال الاستخراج ليس الماس في البداية ثم الماس يساوي:

27/36 * 9/35 = 0.19 أو 19٪

يمكن ملاحظة أن احتمال حدوث الحدث B أكبر ، بشرط أن يتم رسم بطاقة من نوع آخر غير الماسة أولاً. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تمامًا.

إجمالي احتمال وقوع حدث

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه ، لا يمكن حسابها بالطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين ، وهما A1 ، A2 ، ... ، A n ، .. تشكل مجموعة كاملة من الأحداث تحت الشرط:

• P (A i)> 0 ، i = 1،2 ، ...
• A i ∩ A j = Ø، i ≠ j.
• Σ ل أ ل = Ω.

إذن ، صيغة الاحتمال الإجمالي للحدث B مع مجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1 ، A2 ، ... ، A n هي:

نظرة إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي أمرًا ضروريًا في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي والإحصاء والفيزياء وما إلى ذلك. نظرًا لأن بعض العمليات لا يمكن وصفها بشكل حتمي ، نظرًا لأنها احتمالية بحد ذاتها ، هناك حاجة إلى طرق عمل خاصة. يمكن استخدام احتمالية نظرية الحدث في أي مجال تقني كطريقة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو عطل.

يمكن القول أنه من خلال التعرف على الاحتمال ، فإننا بطريقة ما نتخذ خطوة نظرية في المستقبل ، بالنظر إليها من خلال منظور الصيغ.

دميتري جيتوميرسكي *

كان مورفي متفائلاً. هناك فترات في حياة كل شخص ينجح فيها كل شيء. لكن لا تقلق - سوف يمر قريبًا! بعد كل شيء ، وفقًا لقانون مورفي ، لا يعتمد تكوين نتيجة سلبية بأي حال من الأحوال على تطلعاتنا ، لذلك لا يزال يتعين علينا توضيح كل هذا. كيف؟ في هذه الحالة ، يمكن اختيار شروط المهمة بشكل مستقل.

إذا تم التعامل مع مثل هذه المشكلة على أنها ممارسة شائعة ، فيجب تغيير النظام بأكمله ؛ تراخي الموظفين - ابحث عن موظفين جدد ؛ التصوف يعني الذهاب إلى الشامان. لنأخذ مثالاً من الماضي القريب: جميع الأقمار الصناعية التي أُطلقت في الفضاء لغرض البحث عادت إلى الأرض. ولكن في مثل هذه الأحداث المعقدة ، يتم الإعداد لسنوات. من المنطقي أن الأمر كان يستحق التفكير في هذا الأمر عندما لم تكن الأقمار الصناعية الثلاثة الأولى تطير في أي مكان. لكن دون فعل أي شيء ، حدثت مأساة أخرى.

كيف نعالجها؟ البحث عن مشاكل تقنية أو زيادة التمويل لأجهزة القياس الفضائية؟ هذا صحيح: حل المشكلة بطريقة معقدة. وهذا يعني البحث عن العيوب الفنية ، وتخصيص المزيد من الأموال ، وطرد الموظفين عديمي الضمير ، وتحديد مهام أكثر تعقيدًا - على الفور. ومع ذلك ، مرة أخرى ، بناءً على قانون مورفي ، حتى هذا قد لا يعطي نتيجة 100٪.

تذكر على الأقل النتيجة الأولى لقانون مورفي: "ليس الأمر سهلاً كما يبدو" أو "كل العمل يستغرق وقتًا أطول مما تعتقد". تكون ولادة فكرة جديدة ، كقاعدة عامة ، مصحوبة دائمًا بدليل وهمي على تنفيذها. يكفي مجرد إعطاء دفعة - للعثور على مدير أو إضافة أموال عن طريق أخذ قرض أو الترويج لموقع على الإنترنت. ومع ذلك ، فإن الأمر يستحق قلب كل شيء - واتضح أن لا شيء يعمل. في نشوتنا ، نفقد شيئًا مهمًا. من ناحية أخرى ، بمجرد أن نبدأ في التفكير في المشاكل المستقبلية ، نفقد على الفور "الإحساس بالطيران" ، وإلهامنا - ويتوقف كل شيء بضربة واحدة. لذلك ، يجب على المرء دائمًا تحقيق ما هو عليه - أن يكون مهووسًا بفكرة العادات الخاصة بنجاح لا يمكن إنكاره ، وحل المشكلات عند ظهورها. تذكر في نفس الوقت أن مجرفة واحدة قد لا تكون كافية حتى لأصغر حفرة ، إذا كان هذا هو المكان المرصوف بالحصى. بعد كل شيء ، وفقًا للنتيجة الطبيعية الثانية ، "من بين جميع المشكلات المحتملة ، ستحدث بالضبط المشكلة التي يكون الضرر أكبر منها." لذلك ، يجب أن تستعد دائمًا للأسوأ. بالطبع ، عند بدء عمل تجاري ، عليك أن تؤمن بنفسك ، لكن عليك أن تفهم أن هذا يمثل مخاطرة كبيرة. وتنتهي كل حالة عشرين حالة بالفشل دائمًا ، لأنك عندما تكسب شيئًا ما ، ستفقد شيئًا بالتأكيد. من المهم ألا تفقد كل شيء. لذلك ، ليس من الضروري بدء عمل تجاري بآخر نقود. هذا محفوف بالمخاطر. في أي حال ، يجب أن تغادر مقابل فواتير الطعام والمرافق. لذلك عندما تنتهي ، يمكنك زبدة الخبز. تحدث المآسي في كل مكان وعلى نطاق أوسع بكثير من مجرد عمل تجاري فاشل. كيف تتجنبها؟ لا تسترخي! استيقظ في الصباح الباكر واذهب مباشرة إلى العمل. لا يزال من غير الممكن تجنب المشاكل العفوية ، ولكن من الممكن تقليل مستوى ظهورها.

افعل ما تريد - فقط لا تجلس ساكنًا! بعد كل شيء ، النتيجة الثالثة لقانون مورفي تقول: "إذا تُركت الأحداث لأنفسها ، تميل الأحداث إلى التطور من سيئ إلى أسوأ." إذا توقفت عن إدارة الأحداث التي يمكنك التأثير عليها ، فلن يكون الاتجاه الهبوطي طويلاً في المستقبل. لقد قمت بتنظيم عمل تجاري ، ومن توظفه هو عملك ، فكرتك. إذا ابتعدت عنه ، فسوف يتحول كل شيء إلى الريح بسرعة البرق. من ناحية أخرى ، "كل حل يولد مشاكل جديدة." بمجرد أن نبدأ في فعل شيء ما ، فإننا نصنع شيئًا ماديًا لديه القدرة على عيش حياته الخاصة. لذلك ، مثل طفل صغير ، سيصبح فجأة بالغًا ويدخن. رغم أنك حاولت طوال طفولتك أن تشرح له أن التدخين ضار. الحل هنا هو فقط حسب تاراس بولبا: "لقد ولدتني ، سأقتلك". في بعض الأحيان يكون موت الشركة أفضل من كل محاولات إنقاذها. وقد لا تكون النقطة فيك فقط ، ولكن في حقيقة أن المنافسين أصبحوا أكثر جدية وأسرع. الآن نشهد الانهيار الكامل لنوكيا ، وقد حدث شيء مشابه بالفعل لشركات أخرى تعمل في مجال معدات الاتصالات. في إحدى اللحظات الجميلة ، فاتهم كيف تعاملت الشركات الكورية مع الأمر على محمل الجد ، واستثمرت الكثير من المال وأطلقت على الفور إنتاج منتجات جديدة. واعتقدوا أنهم سيركبون علامتهم التجارية الخاصة طوال حياتهم. هذا لا يحدث. اعترف ونال حقهم. الآن أصدرت نوكيا أخيرًا هواتف محمولة جديدة ، لكن الخبراء يقولون إن الوقت قد فات. وحتى السعر المنخفض مع العلامة التجارية لن ينقذ الشركة. لقد كانت خطوة إلى الوراء وليس إلى الأمام. يمكن الاستشهاد بالعديد من هذه الأمثلة.

ينبغي النظر في طرف آخر - تويوتا اليابانية مع فلسفة كايزن ، والتي تعني التحسين المستمر لعمليات الإنتاج والإدارة. هل هذه الممارسة حلا سحريا؟ على الأرجح لا. بعد كل شيء ، كما تعلم ، فإن الأفضل هو عدو الخير. يتطلب كل جزء جديد من السيارة تركيب جزئين آخرين للتحكم فيه. وينطبق الشيء نفسه في مجال الأعمال التجارية. يتطلب تحسين النظام نموه اللامتناهي وزيادة حجم الأموال المخصصة للصيانة. كلما كبرت الشركة ، زادت فرص موتها. لهذا السبب ، في وقت الأزمة ، رأينا أن أكبر "تيتانيكس" كانوا أول من ذهب إلى القاع. أولئك الذين اعتبروا غير قابلين للتدمير. كل ذلك لأن الأقوى والكمال لم يعد مثاليًا لأنه قوي.

لا يزال لدينا جميعًا مطاحن لحوم الجدة وما زلنا نعمل. حيث إنه ، تقديرًا للتقدم التكنولوجي ، بسبب أعطالها المستمرة ، يتعين علينا باستمرار تغيير المجمعات الكهربائية. اتضح أنه كلما كانت الآلية أصغر ، قل احتمال ظهور قوانين مورفي. بعد كل شيء ، إذا كان الناقل بأكمله يتكون من اثنين من الأوزبكين يسحبان الرمال من أحد طرفي الفناء إلى الطرف الآخر ، فإن احتمالية انهياره تقل مئات المرات عما إذا كان هناك عدة حفارات تؤدي نفس الوظائف.

قوانين مورفي تظهر في كل مكان. البراغي والمسامير اللولبية الإضافية عند تجميع سفينة الفضاء؟ بالطبع! من أين سؤال آخر. من الواضح أن إبداعك وقع إما في يد كوليبين أو في يد سلوب. لكن لنكن موضوعيين: الخيار الثاني أكثر شيوعًا. ومع ذلك ، تبقى قطع الغيار مع كليهما. وهذا هو أساس قانون مورفي. تمرير الخطة إلى كل شخص تالٍ ، في كل مرة تخسر فيها جزءًا من رأس المال المتراكم. بعد كل شيء ، لن يكون الشخص الجديد قادرًا على أخذ أفكارك بالشكل الذي يوجد به في رأسك ، بغض النظر عن مدى صعوبة المحاولة. هذا لم يعد معرفته ، بل معرفتك - انتقلت إليه. لا يزال يسمعهم بطريقته الخاصة ، وسينفذ أيضًا ما سمعه بطريقته الخاصة - ومن هنا جاءت التفاصيل الإضافية. الخيار الثاني هو Kulibins.

تعمد كسر القواعد حسب تقديرهم الخاص. من فئة: "لن أفعل ما لا أريده". عامل بشري بحت. بعد كل شيء ، القواعد موجودة ليتم كسرها. وإذا كان هناك احتمال ، فسيحدث بالتأكيد. على أي حال ، فإن مثل هذه الأعمال ترتكب بدافع الاحتجاج. وحتى إذا فهمت أنه مع وجود احتمال بنسبة 300٪ بعد قيامك بفعلتك ، ستخرج من العمل - ستستمر في القيام بذلك ، بينما تحصل على ضجة لا تصدق. الفضيحة لن تذهب سدى. والحصول على وظيفة هو دائما متعة كبيرة. حتى لو سقط صاروخك ، لكن كيف طار ... كم هو جميل ... كيف بطريقة جديدة ... إذا أخذنا في الاعتبار الأعمال ، فمن الواضح أن هذا تضارب بين التنظيم والبناء الصارم. بعد كل شيء ، لا يمكن للناس العمل مثل الآليات. الناس هم الناس. وكلما زاد عدد الموظفين لديك ، زاد عدد مرات حدوث ذلك. صل من أجل ألا تلاحظ هذا ، ولكن عاجلاً أم آجلاً سيظل شخص ما يدخل مكتبك ويخبرك كيف حصل عليه النظام. لقول الحقيقة ، حتى معاقبة مثل هؤلاء الناس غير مجدية ، لكنها ضرورية. بالنسبة لهم ، فإن أي عقاب لن يمنع أبدًا المتعة التي تلقوها أثناء الفعل نفسه. ومع ذلك ، من خلال تطوير تكتيكات علاقاته العامة بذكاء كمثال سيئ ، يمكنك جعله مقيتًا للبقية. ولكن فقط حتى يظهر شخص مخالف في النظام مرة أخرى. وهذا سيحدث بالتأكيد ، مرة أخرى كدليل على قانون مورفي. وبالتالي ، يجب أن يكون الموظفون في المناصب القيادية متهورون ، ولكن في نفس الوقت مسؤولون ومنضبطون. بعد كل شيء ، فإن المواقف القيادية هي التي غالبًا ما تواجه عمل قوانين مورفي ، حيث بدون القدرة على "التحليق فوق الموقف" وإظهار نهج إبداعي ، لن ينجح الخروج بدون ضحايا. يجب أن يكون الشخص مبدعًا بشكل لا يصدق. لتتمكن من العثور على أكثر الحلول غير القياسية وتنفيذها على الفور ، دون عناد ودون الخوض في تعقيد الموقف ، تجاهل الحلول المعتادة على الفور وقدم نهجك المبتكر والأكثر فعالية. غالبًا ما ينطوي التنظيم على الانضباط ، لكن الشخص المنضبط تمامًا هو مجرد ترس. لذلك ، عند اختيار شخص لمنصب قيادي ، لا تنظر فقط إلى هؤلاء المرشحين الذين اجتازوا جميع اختباراتك تمامًا ، ولكن أيضًا إلى أولئك الذين لم ينجحوا ، ولكنهم يفكرون أكثر من كثيرين. بعد كل شيء ، هذا لا يتم تدريسه في مدرسة الإدارة ، إنه مُعطى من الله.

لا تصل بالموقف إلى حد العبثية ، إذا شعرت أن المحرك قد بدأ في العمل ، فقم بفرضه لمدة أسبوع آخر ، ولكنك ستظل تظهر عند السيد. لا تحاول وضع العربة في مقدمة المحرك. إذا كان الموقف قد بدأ بالفعل في التطور في اتجاه غير مواتٍ لك ، فابحث ليس عن كيفية إيقاف القطار فجأة ، ولكن كيف تبطئ سرعته بسلاسة بحيث تكون المحطة ناعمة قدر الإمكان. بعد كل شيء ، فإن التوقف الحاد ، كقاعدة عامة ، يؤدي دائمًا إلى الانهيار والانهيار. وأخيرًا ، إذا وصلت "العاصفة" إلى مستوى لا يُصدق ، فلديك الشجاعة للتخلي عن العمل. اكتشف القوة في نفسك لبيعها ليس بالنصف ولا حتى للربع ، ولكن بعُشر التكلفة بالكامل ، بحيث تكون لديك الفرصة للقيام بشيء آخر إذا لم تنجح هنا. أنت شخص مبدع - لديك المال في يديك. والمال ليس فطيرة في السماء ، ولا حتى قرقف ، إنه مال. خذها واستثمرها في شيء آخر! في حالة سحب المطاط إلى أجل غير مسمى ، ستترك بدون أي شيء على الإطلاق. تؤكد قوانين مورفي فقط على أن المواقف الصعبة كانت وستظل كذلك. وقدرة الشخص على الخروج من المواقف الصعبة ليست التحضير في كلية إدارة الأعمال ، بل هي حصريًا إبداع عقله. استقبل العاصفة بابتسامة!

* ديمتري جيتوميرسكي ، الرئيس التنفيذي ومؤسس شركة Artkom SPB.