صيغة المصفوفة العكسية. المصفوفة العكسية وخصائصها
دعونا نحصل على مصفوفة مربعة. تحتاج إلى العثور على المصفوفة العكسية.
الطريقة الأولى. تشير النظرية 4.1 حول وجود وتفرد المصفوفة العكسية إلى إحدى الطرق للعثور عليها.
1. احسب محدد هذه المصفوفة. إذا، فالمصفوفة العكسية غير موجودة (المصفوفة مفردة).
2. أنشئ مصفوفة من المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة.
3.
قم بتبديل المصفوفة للحصول على المصفوفة المجاورة 
.
4. أوجد المصفوفة العكسية (4.1) بقسمة جميع عناصر المصفوفة المجاورة على المحدد
الطريقة الثانية. للعثور على المصفوفة العكسية، يمكنك استخدام التحويلات الأولية.
1. قم بإنشاء مصفوفة كتلة عن طريق تعيين مصفوفة هوية لمصفوفة معينة بنفس الترتيب.
2. باستخدام التحويلات الأولية التي يتم إجراؤها على صفوف المصفوفة، قم بإحضار الكتلة اليسرى إلى أبسط أشكالها. في هذه الحالة يتم تقليل المصفوفة الكتلية إلى الشكل حيث يتم الحصول على مصفوفة مربعة نتيجة التحولات من مصفوفة الهوية.
3. إذا كانت الكتلة تساوي معكوس المصفوفة، أي إذا، فإن المصفوفة ليس لها معكوس.
في الواقع، بمساعدة التحولات الأولية لصفوف المصفوفة، من الممكن تقليل الكتلة اليسرى إلى شكل مبسط (انظر الشكل 1.5). في هذه الحالة، يتم تحويل المصفوفة الكتلية إلى الشكل حيث تكون مصفوفة أولية تحقق المساواة. إذا كانت المصفوفة غير متحللة، فوفقًا للفقرة 2 من الملاحظات 3.3، يتطابق شكلها المبسط مع مصفوفة الهوية. ثم من المساواة يتبع ذلك. إذا كانت المصفوفة مفردة، فإن شكلها المبسط يختلف عن مصفوفة الوحدة، ولا تحتوي المصفوفة على معكوس.
11. معادلات المصفوفة وحلها. شكل مصفوفة لتسجيل SLAE. طريقة المصفوفة (طريقة المصفوفة العكسية) لحل SLAEs وشروط تطبيقها.
معادلات المصفوفة هي معادلات بالشكل: A*X=C; X*أ=ج; A*X*B=C حيث المصفوفات A، B، C معروفة، المصفوفة X غير معروفة، إذا لم تتحلل المصفوفات A و B، فسيتم كتابة حلول المصفوفات الأصلية بالشكل المناسب: X = أ -1 * ج؛ X=C*A -1; X=أ -1 *ج*ب -1 شكل مصفوفة لأنظمة كتابة المعادلات الجبرية الخطية.يمكن ربط عدة مصفوفات بكل SLAE؛ علاوة على ذلك، يمكن كتابة SLAE نفسها في شكل معادلة مصفوفية. بالنسبة لـ SLAE (1)، ضع في اعتبارك المصفوفات التالية:
تسمى المصفوفة A مصفوفة النظام. تمثل عناصر هذه المصفوفة معاملات SLAE معينة.
المصفوفة A˜ تسمى نظام المصفوفة الموسعة. يتم الحصول عليها عن طريق إضافة عمود يحتوي على مصطلحات مجانية b1,b2,...,bm إلى مصفوفة النظام. عادةً ما يتم فصل هذا العمود بخط عمودي من أجل الوضوح.
تسمى مصفوفة العمود B مصفوفة الأعضاء الأحرار، ومصفوفة العمود X هي مصفوفة المجهول.
باستخدام الترميز المقدم أعلاه، يمكن كتابة SLAE (1) في شكل معادلة مصفوفية: A⋅X=B.
ملحوظة
يمكن كتابة المصفوفات المرتبطة بالنظام بطرق مختلفة: كل شيء يعتمد على ترتيب المتغيرات والمعادلات الخاصة بـ SLAE قيد النظر. ولكن على أية حال، فإن ترتيب المجهولات في كل معادلة لـ SLAE معين يجب أن يكون هو نفسه.
تعتبر طريقة المصفوفة مناسبة لحل SLAEs التي يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المتغيرات المجهولة ويختلف محدد المصفوفة الرئيسية للنظام عن الصفر. إذا كان النظام يحتوي على أكثر من ثلاث معادلات، فإن العثور على المصفوفة العكسية يتطلب جهدًا حسابيًا كبيرًا، لذلك ينصح في هذه الحالة باستخدام طريقة غاوسية.
12. SLAEs المتجانسة، شروط وجود حلولها غير الصفرية. خصائص الحلول الجزئية لـ SLAEs المتجانسة.
تسمى المعادلة الخطية متجانسة إذا كان حدها الحر يساوي صفرًا، وغير متجانسة إذا كان حدها الحر يساوي صفرًا. يسمى النظام الذي يتكون من معادلات متجانسة متجانسة وله الشكل العام:
13 مفهوم الاستقلال الخطي واعتماد الحلول الجزئية لـ SLAE المتجانسة. نظام الحلول الأساسي (FSD) وتحديده. تمثيل الحل العام لـ SLAE المتجانس من خلال FSR.
نظام الوظيفة ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) يسمى تعتمد خطيافي الفاصل ( أ , ب )، إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات الثابتة لا تساوي الصفر في نفس الوقت، بحيث يكون التركيب الخطي لهذه الدوال مساويا للصفر على ( أ , ب ): ل . إذا كانت المساواة ممكنة فقط بالنسبة لنظام الوظائف ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) يسمى مستقل خطيافي الفاصل ( أ , ب ). وبعبارة أخرى، الوظائف ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) تعتمد خطيافي الفاصل ( أ , ب )، إذا كان هناك يساوي صفر على ( أ , ب ) مجموعتهم الخطية غير تافهة. المهام ذ 1 (س ),ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) مستقل خطيافي الفاصل ( أ , ب ) ، إذا كانت مجموعتها الخطية التافهة تساوي الصفر على ( أ , ب ).
نظام القرار الأساسي (FSR)إن SLAE المتجانس هو أساس نظام الأعمدة هذا.
عدد العناصر في FSR يساوي عدد العناصر المجهولة في النظام مطروحًا منها رتبة مصفوفة النظام. أي حل للنظام الأصلي هو عبارة عن مجموعة خطية من حلول FSR.
نظرية
الحل العام لـ SLAE غير المتجانس يساوي مجموع محلول معين لـ SLAE غير متجانس والحل العام لـ SLAE المتجانس المقابل.
1 . إذا كانت الأعمدة عبارة عن حلول لنظام متجانس من المعادلات، فإن أي مجموعة خطية منها هي أيضًا حل للنظام المتجانس.
في الواقع، من المساواة يتبع ذلك
أولئك. مجموعة خطية من الحلول هي الحل لنظام متجانس.
2. إذا كانت رتبة مصفوفة نظام متجانس تساوي، فإن النظام لديه حلول مستقلة خطيا.
وبالفعل، باستخدام الصيغة (5.13) للحل العام لنظام متجانس نجد حلولاً خاصة، مما يعطي المتغيرات الحرة ما يلي مجموعات القيمة القياسية (في كل مرة نفترض أن أحد المتغيرات الحرة يساوي واحدًا والباقي يساوي صفرًا):
والتي تكون مستقلة خطيا. في الواقع، إذا قمت بإنشاء مصفوفة من هذه الأعمدة، فإن صفوفها الأخيرة تشكل مصفوفة الهوية. وبالتالي فإن القاصر الموجود في الأسطر الأخيرة لا يساوي صفراً (إنه يساوي واحداً)، أي: أساسي. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة ستكون متساوية. وهذا يعني أن جميع أعمدة هذه المصفوفة مستقلة خطيًا (انظر النظرية 3.4).
تسمى أي مجموعة من الحلول المستقلة خطيا لنظام متجانس النظام الأساسي (مجموعة) من الحلول .
14 صغرى من الرتبة الرابعة، صغرى أساسية، رتبة المصفوفة. حساب رتبة المصفوفة.
الترتيب k الثانوي للمصفوفة A هو المحدد لبعض مصفوفاتها الفرعية المربعة من الرتبة k.
في مصفوفة A ذات أبعاد mxn، تسمى المصفوفة الثانوية من الرتبة r أساسية إذا كانت غير صفرية، وجميع العناصر الثانوية ذات الرتبة الأعلى، إذا كانت موجودة، تساوي الصفر.
تسمى أعمدة وصفوف المصفوفة A، عند تقاطعها قاعدة ثانوية، بالأعمدة والصفوف الأساسية للمصفوفة A.
النظرية 1. (على رتبة المصفوفة). بالنسبة لأي مصفوفة، الرتبة الثانوية تساوي رتبة الصف وتساوي رتبة العمود.
النظرية 2. (على أساس قاصر). يتم تقسيم كل عمود مصفوفة إلى مجموعة خطية من أعمدة الأساس الخاصة به.
رتبة المصفوفة (أو الرتبة الثانوية) هي ترتيب الأساس الثانوي أو، بمعنى آخر، الترتيب الأكبر الذي توجد به عناصر ثانوية غير الصفر. تعتبر رتبة المصفوفة الصفرية 0 حسب التعريف.
دعونا نلاحظ خاصيتين واضحتين للرتبة الثانوية.
1) لا تتغير رتبة المصفوفة أثناء النقل، حيث أنه عند نقل المصفوفة، يتم نقل جميع مصفوفاتها الفرعية ولا تتغير العناصر الثانوية.
2) إذا كانت A' عبارة عن مصفوفة فرعية للمصفوفة A، فإن رتبة A' لا تتجاوز رتبة A، نظرًا لأن القاصر غير الصفري المدرج في A' يتم تضمينه أيضًا في A.
15. مفهوم المتجه الحسابي ذو الأبعاد. المساواة بين المتجهات. العمليات على المتجهات (الجمع، الطرح، الضرب في عدد، الضرب في مصفوفة). مزيج خطي من المتجهات.
جمع أمر نتسمى الأعداد الحقيقية أو المركبة ناقلات الأبعاد ن. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهات.
متجهان (غير صفر). أو بتكون متساوية إذا كانت موجهة بالتساوي ولها نفس الوحدة. جميع المتجهات الصفرية تعتبر متساوية. وفي جميع الحالات الأخرى، فإن المتجهات ليست متساوية.
إضافة المتجهات. هناك طريقتان لإضافة المتجهات: 1. قاعدة متوازي الأضلاع. لجمع المتجهات و، نضع أصول كل منهما في نفس النقطة. نحن نبني متوازي الأضلاع ومن نفس النقطة نرسم قطريًا لمتوازي الأضلاع. سيكون هذا مجموع المتجهات.
2. الطريقة الثانية لإضافة المتجهات هي قاعدة المثلث. لنأخذ نفس المتجهات و . سنضيف بداية الثانية إلى نهاية المتجه الأول. الآن دعونا نربط بداية الأول ونهاية الثانية. هذا هو مجموع المتجهات و . باستخدام نفس القاعدة، يمكنك إضافة عدة ناقلات. نرتبها واحدة تلو الأخرى، ثم نربط بداية الأول بنهاية الأخير.
طرح المتجهات. يتم توجيه المتجه عكس المتجه. أطوال المتجهات متساوية. أصبح من الواضح الآن ما هو طرح المتجهات. فرق المتجه هو مجموع المتجه والمتجه.
ضرب المتجه بعدد
ضرب المتجه برقم k ينتج عنه متجه طوله k مضروبًا في الطول. يكون اتجاهًا مشتركًا مع المتجه إذا كانت k أكبر من الصفر، ويكون اتجاهه معاكسًا إذا كانت k أقل من الصفر.
المنتج القياسي للمتجهات هو حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.إذا كانت المتجهات متعامدة، فإن حاصل ضربها القياسي يساوي صفرًا. وهذه هي الطريقة التي يتم بها التعبير عن المنتج القياسي من خلال إحداثيات المتجهات و .
مزيج خطي من المتجهات
مزيج خطي من المتجهات 
يسمى ناقل
أين 
- معاملات الجمع الخطية. لو 
ويسمى الجمع تافهاً إذا كان غير تافه.
16 .المنتج العددي للمتجهات الحسابية. طول المتجه والزاوية بين المتجهات. مفهوم التعامد النواقل.
المنتج العددي للمتجهين a و b هو العدد
يتم استخدام المنتج العددي لحساب: 1) إيجاد الزاوية بينهما؛ 2) إيجاد إسقاط المتجهات؛ 3) حساب طول المتجه؛ 4) شروط عمودي المتجهات.
يُطلق على طول القطعة AB المسافة بين النقطتين A وB. تسمى الزاوية بين المتجهين A و B الزاوية α = (a، b)، 0≥ α ≥P. والتي تحتاج من خلالها إلى تدوير متجه واحد بحيث يتزامن اتجاهه مع متجه آخر. بشرط أن تكون أصولهما متطابقة.
Ortom a هو المتجه a الذي له وحدة طول واتجاه a.
17. نظام المتجهات ومجموعته الخطية. مفهوم الاعتماد الخطي واستقلال نظام المتجهات. نظرية الشروط الضرورية والكافية للاعتماد الخطي لنظام المتجهات.
يسمى نظام المتجهات a1,a2,...,an معتمدًا خطيًا إذا كان هناك أرقام π1,π2,...,ạn بحيث يكون واحد منها على الأقل غير صفر و π1a1+π2a2+...+ lectnan=0 . خلاف ذلك، يسمى النظام مستقل خطيا.
يُسمى المتجهان a1 وa2 على خط واحد إذا كان اتجاههما متماثلًا أو متضادًا.
تسمى المتجهات الثلاثة a1 وa2 وa3 متحدة المستوى إذا كانت موازية لمستوى ما.
المعايير الهندسية للاعتماد الخطي:
أ) يعتمد النظام (a1,a2) خطيًا إذا كان المتجهان a1 وa2 على خط واحد فقط.
ب) النظام (a1,a2,a3) يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات a1 وa2 وa3 متحدة المستوى.
نظرية. (شرط ضروري وكاف للاعتماد الخطي أنظمةثلاثة أبعاد.)
نظام المتجهات المتجه فضاءيكون خطيلا يعتمد إلا إذا تم التعبير عن أحد متجهات النظام خطيًا بدلالة المتجهات الأخرى المتجههذا النظام.
النتيجة الطبيعية 1. يكون نظام المتجهات في الفضاء المتجه مستقلاً خطيًا إذا وفقط إذا لم يتم التعبير عن أي من متجهات النظام خطيًا من حيث المتجهات الأخرى لهذا النظام.2. نظام من المتجهات يحتوي على ناقل صفري أو متجهين متساويين يعتمد خطيًا.
تسمى المصفوفة A -1 بالمصفوفة العكسية بالنسبة للمصفوفة A إذا كانت A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الرتبة n. المصفوفة العكسية لا يمكن أن توجد إلا للمصفوفات المربعة.
الغرض من الخدمة. باستخدام هذه الخدمة عبر الإنترنت، يمكنك العثور على المكملات الجبرية والمصفوفة المنقولة A T والمصفوفة المتحالفة والمصفوفة العكسية. يتم تنفيذ القرار مباشرة على الموقع (أونلاين) وهو مجاني. يتم عرض نتائج الحساب في تقرير بتنسيق Word وExcel (أي أنه من الممكن التحقق من الحل). انظر مثال التصميم.
تعليمات. للحصول على الحل، من الضروري تحديد البعد للمصفوفة. بعد ذلك، املأ المصفوفة A في مربع الحوار الجديد.
انظر أيضًا المصفوفة العكسية باستخدام طريقة جوردانو غاوس
خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية
- العثور على المصفوفة المنقولة A T .
- تعريف المكملات الجبرية. استبدل كل عنصر من عناصر المصفوفة بمكملته الجبرية.
- تجميع مصفوفة معكوسة من الإضافات الجبرية: يتم تقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة على محدد المصفوفة الأصلية. المصفوفة الناتجة هي معكوس المصفوفة الأصلية.
- تحديد ما إذا كانت المصفوفة مربعة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فلا توجد مصفوفة معكوسة لها.
- حساب محدد المصفوفة أ. إذا كانت لا تساوي صفرًا، نواصل الحل، وإلا فإن المصفوفة العكسية غير موجودة.
- تعريف المكملات الجبرية.
- ملء مصفوفة الاتحاد (المتبادلة والمجاورة) C .
- تجميع مصفوفة معكوسة من الإضافات الجبرية: يتم تقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة C على محدد المصفوفة الأصلية. المصفوفة الناتجة هي معكوس المصفوفة الأصلية.
- يقومون بالتحقق: يقومون بضرب المصفوفات الأصلية والناتجة. يجب أن تكون النتيجة مصفوفة الهوية.
المثال رقم 1. لنكتب المصفوفة على الشكل:
الإضافات الجبرية.
| أ 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| أ 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| أ 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| أ 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| أ 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| أ 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| أ 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| أ 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| أ 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
ثم مصفوفة معكوسةيمكن كتابتها على النحو التالي:
| أ-1 = 1/10 |
|
| أ -1 = |
|
خوارزمية أخرى لإيجاد المصفوفة العكسية
دعونا نقدم مخططًا آخر لإيجاد المصفوفة العكسية.- أوجد محدد المصفوفة المربعة A.
- نجد المكملات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة أ.
- نكتب الإضافات الجبرية لعناصر الصف إلى الأعمدة (التحويل).
- نقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة على محدد المصفوفة A.
حالة خاصة: معكوس مصفوفة الهوية E هو مصفوفة الهوية E.
يجب أن تكون هناك مصفوفة مربعة من الرتبة n
تسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة A، إذا كان A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الترتيب n.
مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي، والتي تمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى، واحدة، والباقي أصفار، على سبيل المثال:
مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد الصفوف والأعمدة.
نظرية وجود شرط وجود مصفوفة معكوسة
لكي تكون للمصفوفة مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون غير مفردة.
تسمى المصفوفة A = (A1, A2,...A n). غير منحطإذا كانت متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد ناقلات الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة اسم رتبة المصفوفة. ولذلك يمكننا القول أنه لكي توجد مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لبعدها، أي. ص = ن.
خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية
- اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات باستخدام الطريقة الغوسية وقم بتعيين المصفوفة E لها على اليمين (بدلاً من الأطراف اليمنى من المعادلات).
- باستخدام تحويلات جوردان، اختزل المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة الوحدة؛ في هذه الحالة، من الضروري تحويل المصفوفة E في نفس الوقت.
- إذا لزم الأمر، قم بإعادة ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث تحصل تحت المصفوفة A من الجدول الأصلي على مصفوفة الهوية E.
- اكتب المصفوفة العكسية A -1 الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.
بالنسبة للمصفوفة A، أوجد المصفوفة العكسية A -1
الحل: نكتب المصفوفة A ونخصص مصفوفة الهوية E إلى اليمين باستخدام تحويلات جوردان، نقوم بتبسيط المصفوفة A إلى مصفوفة الهوية E. وترد الحسابات في الجدول 31.1.
دعونا نتحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة العكسية A -1.
ونتيجة لضرب المصفوفة، تم الحصول على مصفوفة الهوية. ولذلك، تم إجراء الحسابات بشكل صحيح.
إجابة: 
حل المعادلات المصفوفية
يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:
الفأس = ب، ها = ب، AXB = ج،
حيث A، B، C هي المصفوفات المحددة، X هي المصفوفة المطلوبة.
يتم حل معادلات المصفوفات عن طريق ضرب المعادلة بالمصفوفات العكسية.
على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة من المعادلة، عليك ضرب هذه المعادلة في الطرف الأيسر.
لذلك، لإيجاد حل للمعادلة، عليك إيجاد المصفوفة العكسية وضربها في المصفوفة الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة.
يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.
حل المعادلة AX = B إذا 
حل: بما أن المصفوفة العكسية تساوي (انظر المثال 1)
طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي
جنبا إلى جنب مع الآخرين، يتم استخدامها أيضا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي والمصفوفة المتجهة. وتستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان، يتم استخدام هذه الأساليب عندما يكون من الضروري إجراء تقييم مقارن لعمل المنظمات وأقسامها الهيكلية.
في عملية تطبيق أساليب تحليل المصفوفة، يمكن تمييز عدة مراحل.
في المرحلة الأولىيتم تشكيل نظام للمؤشرات الاقتصادية وعلى أساسه يتم تجميع مصفوفة البيانات الأولية، وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في صفوفه الفردية (ط = 1،2،....ن)وفي الأعمدة الرأسية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2،....م).
في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي، يتم تحديد أكبر قيم المؤشرات المتاحة، والتي يتم أخذها كواحدة.
بعد ذلك، يتم تقسيم جميع المبالغ المنعكسة في هذا العمود على القيمة الأكبر ويتم تشكيل مصفوفة من المعاملات الموحدة.
في المرحلة الثالثةجميع مكونات المصفوفة مربعة. إذا كانت لها أهمية مختلفة، فسيتم تعيين معامل وزن معين لكل مؤشر مصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من خلال رأي الخبراء.
على الأخير، المرحلة الرابعةتم العثور على قيم التصنيف الملكية الفكريةيتم تجميعها حسب زيادتها أو نقصانها.
وينبغي استخدام أساليب المصفوفة الموضحة، على سبيل المثال، في التحليل المقارن لمختلف المشاريع الاستثمارية، وكذلك في تقييم المؤشرات الاقتصادية الأخرى لأنشطة المنظمات.
هذا الموضوع هو واحد من أكثر المواضيع التي يكرهها الطلاب. والأسوأ من ذلك، على الأرجح، هي التصفيات.
الحيلة هي أن مفهوم العنصر العكسي (وأنا لا أتحدث فقط عن المصفوفات) يحيلنا إلى عملية الضرب. حتى في المناهج المدرسية، يعتبر الضرب عملية معقدة، وضرب المصفوفات هو موضوع منفصل بشكل عام، وقد خصصت له فقرة كاملة ودرس فيديو.
اليوم لن نخوض في تفاصيل حسابات المصفوفة. دعونا نتذكر فقط: كيف يتم تعيين المصفوفات، وكيف يتم ضربها، وما يتبع ذلك.
مراجعة: ضرب المصفوفات
في البداية دعونا نتفق على التدوين. المصفوفة $A$ ذات الحجم $\left[ m\times n \right]$ هي ببساطة جدول أرقام يحتوي بالضبط على صفوف $m$ وأعمدة $n$:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
لتجنب الخلط بين الصفوف والأعمدة عن طريق الخطأ (صدقني، في الاختبار يمكنك الخلط بين واحد واثنين، ناهيك عن بعض الصفوف)، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:
تحديد المؤشرات لخلايا المصفوفة ماذا يحدث؟ إذا قمت بوضع نظام الإحداثيات القياسي $OXY$ في الزاوية اليسرى العليا وقمت بتوجيه المحاور بحيث تغطي المصفوفة بأكملها، فيمكن ربط كل خلية من هذه المصفوفة بشكل فريد بالإحداثيات $\left(x;y \right)$ - سيكون هذا رقم الصف ورقم العمود.
لماذا يتم وضع نظام الإحداثيات في الزاوية اليسرى العليا؟ نعم، لأنه من هناك نبدأ في قراءة أي نصوص. من السهل جدًا أن تتذكرها.
لماذا يتم توجيه محور $x$ إلى الأسفل وليس إلى اليمين؟ مرة أخرى، الأمر بسيط: خذ نظام إحداثي قياسي (يتجه المحور $x$ إلى اليمين، ويتجه المحور $y$ إلى الأعلى) وقم بتدويره بحيث يغطي المصفوفة. هذا دوران بمقدار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة - نرى النتيجة في الصورة.
بشكل عام، اكتشفنا كيفية تحديد مؤشرات عناصر المصفوفة. الآن دعونا ننظر إلى الضرب.
تعريف. المصفوفات $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، عندما يتطابق عدد الأعمدة في الأولى مع عدد الصفوف في الثانية، تكون دعا متسقة.
بالضبط بهذا الترتيب. يمكن الخلط بين المرء والقول إن المصفوفات $A$ و$B$ تشكل زوجًا مرتبًا $\left(A;B \right)$: إذا كانت متسقة بهذا الترتيب، فليس من الضروري على الإطلاق أن يكون $B $ و $A$ تلك. الزوج $\left(B;A \right)$ ثابت أيضًا.
يمكن ضرب المصفوفات المتطابقة فقط.
تعريف. حاصل ضرب المصفوفات المتطابقة $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$ هو المصفوفة الجديدة $C=\left[ m\times k \right ]$ ، يتم حساب عناصرها $((c)_(ij))$ وفقًا للصيغة:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
بمعنى آخر: للحصول على العنصر $((c)_(ij))$ من المصفوفة $C=A\cdot B$، عليك أن تأخذ الصف $i$-من المصفوفة الأولى، $j$ -العمود الرابع من المصفوفة الثانية، ثم قم بضرب العناصر من هذا الصف والعمود في أزواج. قم بإضافة النتائج.
نعم، هذا تعريف قاسٍ. عدة حقائق تتبع على الفور:
- ضرب المصفوفة، بشكل عام، هو عملية غير تبادلية: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- ومع ذلك، الضرب هو ترابطي: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- وحتى توزيعيًا: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- ومرة أخرى بشكل توزيعي: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
كان لا بد من وصف توزيع الضرب بشكل منفصل لعامل المجموع الأيسر والأيمن على وجه التحديد بسبب عدم تبادلية عملية الضرب.
إذا اتضح أن $A\cdot B=B\cdot A$، فإن هذه المصفوفات تسمى تبادلية.
من بين جميع المصفوفات التي يتم ضربها بشيء هناك، هناك مصفوفات خاصة - تلك التي، عند ضربها في أي مصفوفة $A$، تعطي مرة أخرى $A$:
تعريف. تسمى المصفوفة $E$ بالهوية إذا كان $A\cdot E=A$ أو $E\cdot A=A$. في حالة المصفوفة المربعة $A$ يمكننا أن نكتب:
تعتبر مصفوفة الهوية ضيفًا متكررًا عند حل معادلات المصفوفات. وبشكل عام ضيف متكرر في عالم المصفوفات :).
وبسبب هذا $E$، جاء شخص ما بكل هذا الهراء الذي سيتم كتابته بعد ذلك.
ما هي المصفوفة العكسية
نظرًا لأن مضاعفة المصفوفات هي عملية كثيفة العمالة (عليك مضاعفة مجموعة من الصفوف والأعمدة)، فقد تبين أيضًا أن مفهوم المصفوفة العكسية ليس الأكثر تافهة. ويتطلب بعض التوضيح.
تعريف المفتاح
حسنا، حان الوقت لمعرفة الحقيقة.
تعريف. المصفوفة $B$ تسمى معكوس المصفوفة $A$ if
يُشار إلى المصفوفة العكسية بـ $((A)^(-1))$ (يجب عدم الخلط بينه وبين الدرجة!)، لذلك يمكن إعادة كتابة التعريف على النحو التالي:
يبدو أن كل شيء بسيط للغاية وواضح. ولكن عند تحليل هذا التعريف، تطرح على الفور عدة أسئلة:
- هل توجد مصفوفة معكوسة دائمًا؟ وإذا لم يكن دائما، فكيف تحدد: متى يكون موجودا، ومتى لا يكون؟
- ومن قال أن هناك مصفوفة واحدة بالضبط؟ ماذا لو كان هناك مجموعة كاملة من المعكوسات لبعض المصفوفات الأولية $A$؟
- كيف تبدو كل هذه "الانتكاسات"؟ وكيف يجب أن نحسبها بالضبط؟
أما بالنسبة لخوارزميات الحساب، فسنتحدث عن هذا بعد قليل. لكننا سنجيب على الأسئلة المتبقية الآن. دعونا نقوم بصياغتها في شكل بيانات منفصلة.
الخصائص الأساسية
لنبدأ بالطريقة التي يجب أن تبدو بها المصفوفة $A$، من حيث المبدأ، حتى تكون $((A)^(-1))$ موجودة لها. الآن سوف نتأكد من أن كلا المصفوفتين يجب أن تكونا مربعتين، وبنفس الحجم: $\left[ n\times n \right]$.
ليما 1. بالنظر إلى المصفوفة $A$ ومعكوسها $((A)^(-1))$. إذن كلتا المصفوفتين مربعتان، ومن نفس الترتيب $n$.
دليل. انه سهل. اجعل المصفوفة $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. بما أن المنتج $A\cdot ((A)^(-1))=E$ موجود حسب التعريف، فإن المصفوفات $A$ و$((A)^(-1))$ متسقة بالترتيب الموضح:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( محاذاة)\]
هذه نتيجة مباشرة لخوارزمية ضرب المصفوفة: المعاملان $n$ و$a$ هما "عبور" ويجب أن يكونا متساويين.
في الوقت نفسه، يتم تعريف الضرب العكسي أيضًا: $((A)^(-1))\cdot A=E$، وبالتالي فإن المصفوفات $((A)^(-1))$ و$A$ هي متسقة أيضًا بالترتيب المحدد:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( محاذاة)\]
وبالتالي، دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. ومع ذلك، وفقًا لتعريف $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$، وبالتالي فإن أحجام المصفوفات تتطابق تمامًا:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
لذلك اتضح أن المصفوفات الثلاث - $A$، $((A)^(-1))$ و $E$ - هي مصفوفات مربعة بالحجم $\left[ n\times n \right]$. تم إثبات الليما.
حسنا، هذا جيد بالفعل. نرى أن المصفوفات المربعة فقط هي القابلة للعكس. الآن دعونا نتأكد من أن المصفوفة العكسية هي نفسها دائمًا.
ليما 2. بالنظر إلى المصفوفة $A$ ومعكوسها $((A)^(-1))$. ثم هذه المصفوفة العكسية هي الوحيدة.
دليل. لنبدأ بالتناقض: دع المصفوفة $A$ تحتوي على معكوسين على الأقل - $B$ و$C$. ومن ثم، وفقا للتعريف، فإن المساواة التالية صحيحة:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \النهاية(محاذاة)\]
من Lemma 1 نستنتج أن جميع المصفوفات الأربع - $A$، $B$، $C$ و $E$ - هي مربعات بنفس الترتيب: $\left[ n\times n \right]$. ولذلك يتم تعريف المنتج:
بما أن ضرب المصفوفات عملية ترابطية (ولكنها ليست تبادلية!)، فيمكننا أن نكتب:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \النهاية(محاذاة)\]
لقد حصلنا على الخيار الوحيد الممكن: نسختان من المصفوفة العكسية متساويتان. تم إثبات الليما.
الوسائط المذكورة أعلاه تكرر حرفيًا تقريبًا إثبات تفرد العنصر العكسي لجميع الأعداد الحقيقية $b\ne 0$. الإضافة المهمة الوحيدة هي مراعاة أبعاد المصفوفات.
ومع ذلك، ما زلنا لا نعرف شيئًا عما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قابلة للعكس أم لا. هنا يأتي المحدد لمساعدتنا - وهذه خاصية أساسية لجميع المصفوفات المربعة.
ليما 3. نظرا لمصفوفة $A$. إذا كانت المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$ موجودة، فإن محدد المصفوفة الأصلية يكون غير صفر:
\[\يسار| أ\يمين|\ني 0\]
دليل. نحن نعلم بالفعل أن $A$ و$((A)^(-1))$ عبارة عن مصفوفات مربعة بحجم $\left[ n\times n \right]$. لذلك، يمكننا حساب المحدد لكل واحد منهم: $\left| أ\يمين|$ و$\يسار| ((أ)^(-1)) \اليمين|$. ومع ذلك، فإن محدد المنتج يساوي منتج المحددات:
\[\يسار| أ\cdot ب \يمين|=\يسار| \يمين|\cdot \يسار| ب \يمين|\يمين السهم \يسار| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \يمين|\cdot \يسار| ((أ)^(-1)) \اليمين|\]
لكن وفقًا للتعريف، $A\cdot ((A)^(-1))=E$، ومحدد $E$ يساوي دائمًا 1، لذلك
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \اليسار| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\يمين|; \\ & \اليسار| \يمين|\cdot \يسار| ((أ)^(-1)) \يمين|=1. \\ \النهاية(محاذاة)\]
حاصل ضرب رقمين يساوي واحدًا فقط إذا كان كل رقم من هذه الأرقام غير صفر:
\[\يسار| أ \يمين|\ني 0;\رباعية \يسار| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
لذلك اتضح أن $\left| \right|\ne 0$. تم إثبات الليما.
في الواقع، هذا المطلب منطقي تمامًا. سنقوم الآن بتحليل الخوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية - وسيصبح من الواضح تمامًا سبب عدم وجود مصفوفة معكوسة من حيث المبدأ مع وجود محدد صفري.
لكن أولاً، دعونا نقوم بصياغة تعريف "مساعد":
تعريف. المصفوفة المفردة هي مصفوفة مربعة حجمها $\left[ n\times n \right]$ ومحددها صفر.
وبالتالي، يمكننا القول أن كل مصفوفة قابلة للعكس هي غير مفردة.
كيفية العثور على معكوس المصفوفة
الآن سننظر في خوارزمية عالمية للعثور على المصفوفات العكسية. بشكل عام، هناك خوارزميتان مقبولتان بشكل عام، وسننظر أيضًا في الخوارزمية الثانية اليوم.
ما سيتم مناقشته الآن فعال للغاية بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم $\left[ 2\times 2 \right]$ و - جزئيًا - الحجم $\left[ 3\times 3 \right]$. لكن بدءًا من الحجم $\left[ 4\times 4 \right]$ فمن الأفضل عدم استخدامه. لماذا - الآن سوف تفهم كل شيء بنفسك.
الإضافات الجبرية
إستعد. الآن سيكون هناك ألم. لا، لا تقلق: ممرضة جميلة ترتدي تنورة، لن تأتي إليك جوارب من الدانتيل وتعطيك حقنة في الأرداف. كل شيء أكثر واقعية: الإضافات الجبرية وصاحبة الجلالة "مصفوفة الاتحاد" تأتي إليك.
لنبدأ بالشيء الرئيسي. لتكن هناك مصفوفة مربعة الحجم $A=\left[ n\times n \right]$، والتي تسمى عناصرها $((a)_(ij))$. ثم يمكننا تحديد مكمل جبري لكل عنصر من هذا القبيل:
تعريف. المكمل الجبري $((A)_(ij))$ للعنصر $((a)_(ij))$ الموجود في الصف $i$th والعمود $j$th من المصفوفة $A=\left[ n \times n \right]$ عبارة عن بناء للنموذج
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
حيث $M_(ij)^(*)$ هو محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها من $A$ الأصلي عن طريق حذف نفس الصف $i$th والعمود $j$th.
مرة أخرى. يُشار إلى المكمل الجبري لعنصر المصفوفة بإحداثيات $\left(i;j \right)$ بالرمز $((A)_(ij))$ ويتم حسابه وفقًا للمخطط:
- أولاً، نقوم بحذف العمود $i$-row والعمود $j$-th من المصفوفة الأصلية. حصلنا على مصفوفة مربعة جديدة، ونشير إلى محددها بالرمز $M_(ij)^(*)$.
- ثم نضرب هذا المحدد في $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - في البداية قد يبدو هذا التعبير مذهلًا، ولكن في جوهره نحن ببساطة نكتشف العلامة الموجودة أمام $M_(ij)^(*) $.
- نحن نحسب ونحصل على رقم محدد. أولئك. فالإضافة الجبرية هي على وجه التحديد رقم، وليست مصفوفة جديدة، وما إلى ذلك.
المصفوفة $M_(ij)^(*)$ نفسها تسمى ثانوية إضافية للعنصر $((a)_(ij))$. وبهذا المعنى، فإن التعريف أعلاه للمكمل الجبري هو حالة خاصة لتعريف أكثر تعقيدًا - وهو ما تناولناه في الدرس حول المحدد.
ملاحظة مهمة. في الواقع، في الرياضيات "الكبار"، يتم تعريف الإضافات الجبرية على النحو التالي:
- نحن نأخذ صفوف $k$ وأعمدة $k$ في مصفوفة مربعة. عند تقاطعهما نحصل على مصفوفة بالحجم $\left[ k\times k \right]$ - يُطلق على محددها اسم ثانوي من الرتبة $k$ ويُشار إليه بـ $((M)_(k))$.
- ثم نقوم بشطب هذه الصفوف $k$ "المحددة" والأعمدة $k$. مرة أخرى، تحصل على مصفوفة مربعة - محددها يسمى مصفوفة ثانوية إضافية ويرمز لها بـ $M_(k)^(*)$.
- اضرب $M_(k)^(*)$ في $((\left(-1 \right))^(t))$، حيث $t$ هو (انتبه الآن!) مجموع أرقام جميع الصفوف المحددة والأعمدة . ستكون هذه الإضافة الجبرية.
انظر إلى الخطوة الثالثة: يوجد بالفعل مبلغ قدره 2 ألف دولار! شيء آخر هو أنه بالنسبة لـ $k=1$ سنحصل على حدين فقط - سيكونان نفس $i+j$ - "إحداثيات" العنصر $((a)_(ij))$ الذي نحن عليه أبحث عن مكمل جبري.
لذا، سنستخدم اليوم تعريفًا مبسطًا بعض الشيء. ولكن كما سنرى لاحقا، سيكون أكثر من كاف. الأمر التالي هو الأهم بكثير:
تعريف. المصفوفة المتحالفة $S$ مع المصفوفة المربعة $A=\left[ n\times n \right]$ هي مصفوفة جديدة بالحجم $\left[ n\times n \right]$، والتي تم الحصول عليها من $A$ بالاستبدال $(( a)_(ij))$ بالإضافات الجبرية $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]
الفكرة الأولى التي تطرأ في لحظة تحقيق هذا التعريف هي "كم يجب حسابه!" الاسترخاء: سوف تضطر إلى الاعتماد، ولكن ليس كثيرا :)
حسنًا، كل هذا جميل جدًا، لكن لماذا هو ضروري؟ لكن لماذا.
النظرية الرئيسية
دعونا نعود قليلا. تذكر، في Lemma 3، ذكر أن المصفوفة القابلة للعكس $A$ هي دائمًا غير مفردة (أي أن محددها غير صفر: $\left| A \right|\ne 0$).
لذا، فإن العكس هو الصحيح أيضًا: إذا كانت المصفوفة $A$ ليست مفردة، فهي دائمًا قابلة للعكس. ويوجد أيضًا نظام بحث عن $((A)^(-1))$. تحقق من ذلك:
نظرية المصفوفة العكسية. لنفترض أن المصفوفة المربعة $A=\left[ n\times n \right]$ محددة، ومحددها غير صفر: $\left| \right|\ne 0$. ثم توجد المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$ ويتم حسابها باستخدام الصيغة:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
والآن - كل شيء هو نفسه، ولكن بخط واضح. للعثور على المصفوفة العكسية، تحتاج إلى:
- احسب المحدد $\left| A \right|$ وتأكد من أنه غير صفر.
- قم ببناء مصفوفة الاتحاد $S$، أي. احسب 100500 إضافة جبرية $((A)_(ij))$ ووضعها في مكانها $((a)_(ij))$.
- قم بتبديل هذه المصفوفة $S$، ثم اضربها ببعض الأرقام $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
هذا كل شئ! تم العثور على المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:
\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]
حل. دعونا نتحقق من إمكانية الرجوع. دعونا نحسب المحدد:
\[\يسار| أ\يمين|=\يسار| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
المحدد يختلف عن الصفر. وهذا يعني أن المصفوفة قابلة للعكس. لنقم بإنشاء مصفوفة اتحادية:
دعونا نحسب الإضافات الجبرية:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \يمين|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \يمين|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \يمين|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3 \صحيح|=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]
يرجى ملاحظة: المحددات |2|، |5|، |1| و |3| هي محددات لمصفوفات الحجم $\left[ 1\times 1 \right]$، وليست وحدات. أولئك. إذا كانت هناك أرقام سالبة في المحددات، فلا داعي لإزالة "الطرح".
في المجمل، تبدو مصفوفة الاتحاد لدينا كما يلي:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (صفيف)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]
حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. حلت المشكلة.
إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
حل. نحسب المحدد مرة أخرى:
\[\begin(محاذاة) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
المحدد غير صفري، المصفوفة قابلة للعكس. لكن الآن سيكون الأمر صعبًا للغاية: نحتاج إلى حساب ما يصل إلى 9 (تسعة، أيها اللعين!) من الإضافات الجبرية. وسيحتوي كل واحد منهم على المحدد $\left[ 2\times 2 \right]$. طار:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \النهاية(مصفوفة)\]
باختصار، ستبدو مصفوفة الاتحاد كما يلي:
وبالتالي فإن المصفوفة العكسية ستكون:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(صفيف) \right]\]
هذا كل شيء. هنا هو الجواب.
إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
كما ترون، في نهاية كل مثال قمنا بإجراء فحص. وفي هذا الصدد ملاحظة مهمة:
لا تكن كسولًا للتحقق. اضرب المصفوفة الأصلية بالمصفوفة العكسية التي تم العثور عليها - يجب أن تحصل على $E$.
يعد إجراء هذا الفحص أسهل وأسرع بكثير من البحث عن خطأ في العمليات الحسابية الإضافية، عندما تقوم، على سبيل المثال، بحل معادلة مصفوفة.
طريقة بديلة
كما قلت، فإن نظرية المصفوفة العكسية تعمل بشكل رائع مع الأحجام $\left[ 2\times 2 \right]$ و $\left[ 3\times 3 \right]$ (في الحالة الأخيرة، فهي ليست "رائعة" " )، ولكن بالنسبة للمصفوفات الأكبر حجمًا، يبدأ الحزن.
لكن لا تقلق: هناك خوارزمية بديلة يمكنك من خلالها العثور على المعكوس بهدوء حتى بالنسبة للمصفوفة $\left[ 10\times 10 \right]$. ولكن، كما يحدث غالبًا، للنظر في هذه الخوارزمية، نحتاج إلى القليل من الخلفية النظرية.
التحولات الأولية
من بين جميع تحويلات المصفوفات الممكنة، هناك العديد من التحولات الخاصة - يطلق عليها اسم "الابتدائية". هناك بالضبط ثلاثة من هذه التحولات:
- عمليه الضرب. يمكنك أخذ الصف (العمود) $i$ وضربه بأي رقم $k\ne 0$;
- إضافة. أضف إلى الصف (العمود) $i$-th أي صف (عمود) $j$-th آخر، مضروبًا في أي رقم $k\ne 0$ (يمكنك بالطبع إجراء $k=0$، ولكن ما هو النقطة؟
- إعادة الترتيب. خذ الصفوف (الأعمدة) $i$th و $j$th وقم بتبديل الأماكن.
لماذا تسمى هذه التحولات أولية (بالنسبة للمصفوفات الكبيرة لا تبدو أولية جدًا) ولماذا يوجد ثلاثة منها فقط - هذه الأسئلة خارج نطاق درس اليوم. ولذلك لن ندخل في التفاصيل.
شيء آخر مهم: علينا إجراء كل هذه الانحرافات على المصفوفة المجاورة. نعم، نعم: سمعت الحق. الآن سيكون هناك تعريف آخر - الأخير في درس اليوم.
مصفوفة مجاورة
بالتأكيد قمت في المدرسة بحل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة الجمع. حسنًا، اطرح سطرًا آخر من سطر واحد، واضرب سطرًا ما برقم - هذا كل شيء.
لذلك: الآن سيكون كل شيء هو نفسه، ولكن "للبالغين". مستعد؟
تعريف. اسمح بالحصول على مصفوفة $A=\left[ n\times n \right]$ ومصفوفة هوية $E$ بنفس الحجم $n$. ثم المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \right]$ عبارة عن مصفوفة جديدة بالحجم $\left[ n\times 2n \right]$ تبدو بالشكل التالي:
\[\left[ A\left| ه\صحيح. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((أ)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
باختصار، نأخذ المصفوفة $A$، على اليمين نخصص لها مصفوفة الهوية $E$ بالحجم المطلوب، ونفصلها بشريط عمودي للجمال - هنا لديك المجاور :).
ما الفائدة؟ إليك ما يلي:
نظرية. دع المصفوفة $A$ تكون قابلة للعكس. خذ بعين الاعتبار المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]$. في حالة استخدام تحويلات السلسلة الأوليةأحضره إلى النموذج $\left[ E\left| ساطع. \right]$، أي عن طريق ضرب الصفوف وطرحها وإعادة ترتيبها للحصول على المصفوفة $E$ من $A$ على اليمين، ثم المصفوفة $B$ التي تم الحصول عليها على اليسار هي معكوس $A$:
\[\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]\إلى \يسار[ E\يسار| ساطع. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
بكل بساطة! باختصار، تبدو خوارزمية العثور على المصفوفة العكسية كما يلي:
- اكتب المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]$;
- إجراء تحويلات السلسلة الأولية حتى يظهر $E$ بدلاً من $A$؛
- بالطبع، سيظهر أيضًا شيء ما على اليسار - مصفوفة معينة $B$. وهذا سيكون العكس.
- ربح!:)
وبطبيعة الحال، فإن قول هذا أسهل بكثير من فعله. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة: للأحجام $\left[ 3\times 3 \right]$ و$\left[ 4\times 4 \right]$.
مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
حل. نقوم بإنشاء المصفوفة المجاورة:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين]\]
بما أن العمود الأخير من المصفوفة الأصلية مليء بالآحاد، اطرح الصف الأول من الباقي:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]
لا توجد وحدات أخرى، باستثناء السطر الأول. لكننا لا نلمسها، وإلا فإن الوحدات التي تمت إزالتها حديثًا ستبدأ في "التكاثر" في العمود الثالث.
لكن يمكننا طرح السطر الثاني مرتين من الأخير - نحصل على واحد في الزاوية اليسرى السفلية:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]
يمكننا الآن طرح الصف الأخير من الأول ومرتين من الثاني - وبهذه الطريقة نقوم "بصفر" العمود الأول:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ إلى \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]
اضرب السطر الثاني في −1، ثم اطرحه 6 مرات من الأول وأضف مرة واحدة إلى الأخير:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (مصفوفة)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]
كل ما تبقى هو تبديل السطرين 1 و 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\end(صفيف) \يمين]\]
مستعد! على اليمين توجد المصفوفة العكسية المطلوبة.
إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(مصفوفة) \يمين]\]
حل. نحن نؤلف المجاور مرة أخرى:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
دعونا نبكي قليلاً، ونحزن على مقدار ما علينا أن نحصيه الآن... ونبدأ بالعد. أولاً، دعونا "نحذف" العمود الأول عن طريق طرح الصف 1 من الصفين 2 و3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
نرى الكثير من "السلبيات" في السطور 2-4. اضرب جميع الصفوف الثلاثة في −1، ثم احرق العمود الثالث عن طريق طرح الصف 3 من الباقي:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \يسار| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \يسار| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr|. 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
حان الوقت الآن "لقلي" العمود الأخير من المصفوفة الأصلية: اطرح الصف 4 من الباقي:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(صفيف ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
الرمية النهائية: "حرق" العمود الثاني عن طريق طرح السطر 2 من السطرين 1 و 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
ومرة أخرى تكون مصفوفة الهوية على اليسار، مما يعني أن المعكوس على اليمين :).
إجابة. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(مصفوفة) \يمين]$
وشبهه بالعكس في كثير من الخصائص.
يوتيوب الموسوعي
1 / 5
✪ كيفية العثور على معكوس المصفوفة - bezbotvy
✪ المصفوفة العكسية (طريقتان للعثور عليها)
✪ المصفوفة العكسية رقم 1
✪ 2015-01-28. معكوس مصفوفة 3x3
✪ 2015-01-27. مصفوفة معكوسة 2x2
ترجمات
خصائص المصفوفة العكسية
- ديت أ − 1 = 1 ديت أ (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))، أين ديت (\displaystyle \\det )يدل على المحدد.
- (أ ب) − 1 = ب − 1 أ − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))لمصفوفتين مربعتين قابلتين للعكس أ (\displaystyle A)و ب (\displaystyle B).
- (أ T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T))، أين (. . .) ت (\displaystyle (...)^(T))يدل على مصفوفة منقولة.
- (ك ا) − 1 = ك − 1 ا − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))لأي معامل ك ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- إذا كان من الضروري حل نظام من المعادلات الخطية، (b هو متجه غير صفري) حيث س (\displaystyle x)هو المتجه المطلوب، وإذا ا − 1 (\displaystyle A^(-1))موجود إذن س = أ − 1 ب (\displaystyle x=A^(-1)b). وإلا فإما أن يكون بُعد فضاء الحل أكبر من الصفر، أو لا توجد حلول على الإطلاق.
طرق العثور على المصفوفة العكسية
إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، للعثور على المصفوفة العكسية يمكنك استخدام إحدى الطرق التالية:
الطرق الدقيقة (المباشرة).
طريقة غاوس-جوردان
لنأخذ مصفوفتين: أواحد ه. دعونا نقدم المصفوفة أإلى مصفوفة الهوية باستخدام طريقة Gauss-Jordan، مع تطبيق التحويلات على طول الصفوف (يمكنك أيضًا تطبيق التحويلات على طول الأعمدة، ولكن ليس مختلطًا). بعد تطبيق كل عملية على المصفوفة الأولى، قم بتطبيق نفس العملية على الثانية. عند اكتمال اختزال المصفوفة الأولى إلى شكل وحدة، ستكون المصفوفة الثانية مساوية لـ أ−1.
عند استخدام الطريقة الغوسية، سيتم ضرب المصفوفة الأولى على اليسار بإحدى المصفوفات الأولية Λ أنا (\displaystyle \Lambda _(i))(مصفوفة التحويل أو المصفوفة القطرية مع تلك الموجودة على القطر الرئيسي، باستثناء موضع واحد):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \السهم الأيمن \لامدا =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − أ 1 م / أ م م 0 … 0 … 0 … 1 − أ م − 1 م / أ م م 0 … 0 0 … 0 1 / أ م م 0 … 0 0 … 0 − أ م + 1 م / أ م م 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).المصفوفة الثانية بعد تطبيق جميع العمليات ستكون مساوية ل Λ (\displaystyle \Lambda)أي أنه سيكون المطلوب. تعقيد الخوارزمية - يا (ن 3) (\displaystyle O(n^(3))).
باستخدام المصفوفة التكميلية الجبرية
مصفوفة معكوسة للمصفوفة أ (\displaystyle A)، يمكن تمثيلها في النموذج
A − 1 = صفة (A) ديت (A) (\displaystyle (A)^(-1)=((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
أين صفة (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- مصفوفة مجاورة؛
يعتمد تعقيد الخوارزمية على مدى تعقيد الخوارزمية لحساب المحدد O det ويساوي O(n²)·O det.
باستخدام التحلل LU/LUP
معادلة المصفوفة أ X = أنا ن (\displaystyle AX=I_(n))للمصفوفة العكسية إكس (\displaystyle X)يمكن اعتبارها مجموعة ن (\displaystyle n)أنظمة النموذج أ س = ب (\displaystyle Ax=b). دعونا نشير أنا (\displaystyle i)العمود العاشر من المصفوفة إكس (\displaystyle X)خلال X أنا (\displaystyle X_(i)); ثم A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n)،بسبب ال أنا (\displaystyle i)العمود العاشر من المصفوفة أنا ن (\displaystyle I_(n))هو ناقل الوحدة ه أنا (\displaystyle e_(i)). بمعنى آخر، فإن إيجاد المصفوفة العكسية يتلخص في حل المعادلات n التي لها نفس المصفوفة وأطرافها اليمنى المختلفة. بعد إجراء تحليل LUP (O(n³) الوقت)، يستغرق حل كل من المعادلات n وقتًا O(n²)، لذا فإن هذا الجزء من العمل يتطلب أيضًا وقتًا O(n³).
إذا كانت المصفوفة A غير مفردة، فيمكن حساب تحليل LUP لها P A = L U (\displaystyle PA=LU). يترك ف أ = ب (\displaystyle PA=B), ب − 1 = د (\displaystyle B^(-1)=D). ثم من خصائص المصفوفة العكسية يمكننا أن نكتب: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). إذا قمت بضرب هذه المساواة في U وL، فيمكنك الحصول على تساويين في النموذج U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))و D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). أول هذه المعادلات هو نظام المعادلات الخطية n² لـ n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ومنه يعرف الطرف الأيمن (من خواص المصفوفات المثلثية). ويمثل الثاني أيضًا نظامًا من المعادلات الخطية n² لـ n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))ومنه يُعرف الجانب الأيمن (أيضًا من خصائص المصفوفات المثلثية). يمثلون معًا نظامًا للمساواة n². باستخدام هذه المساواة، يمكننا تحديد جميع عناصر n² في المصفوفة D بشكل متكرر. ثم من المساواة (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. نحصل على المساواة ا − 1 = د ف (\displaystyle A^(-1)=DP).
في حالة استخدام تحليل LU، لا يلزم إجراء تبديل لأعمدة المصفوفة D، ولكن الحل قد يتباعد حتى لو كانت المصفوفة A غير مفردة.
تعقيد الخوارزمية هو O(n³).
الأساليب التكرارية
أساليب شولتز
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(الحالات)))
تقدير الخطأ
اختيار التقريب الأولي
إن مشكلة اختيار التقريب الأولي في عمليات انعكاس المصفوفة التكرارية التي تم النظر فيها هنا لا تسمح لنا بمعاملتها كطرق عالمية مستقلة تتنافس مع طرق الانعكاس المباشر القائمة، على سبيل المثال، على تحليل المصفوفات LU. هناك بعض التوصيات للاختيار يو 0 (\displaystyle U_(0))، ضمان استيفاء الشرط ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (نصف القطر الطيفي للمصفوفة أقل من الوحدة)، وهو أمر ضروري وكافي لتقارب العملية. ومع ذلك، في هذه الحالة، أولا، مطلوب معرفة من فوق التقدير لطيف المصفوفة القابلة للانعكاس A أو المصفوفة أ أ ت (\displaystyle AA^(T))(أي إذا كانت A عبارة عن مصفوفة محددة إيجابية متماثلة و ρ (A) ≥ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )، ثم يمكنك أن تأخذ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)، أين ؛ إذا كانت A عبارة عن مصفوفة تعسفية غير مفردة و ρ (A A T) ≥ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )، ثم يؤمنون U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))، حيث أيضا α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); يمكنك بالطبع تبسيط الموقف والاستفادة من حقيقة ذلك ρ (A A T) ≥ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k)))، يضع U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). ثانياً، عند تحديد المصفوفة الأولية بهذه الطريقة، ليس هناك ما يضمن ذلك ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ستكون صغيرة (وربما ستكون كذلك ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1))، ولن يتم الكشف عن الترتيب العالي لمعدل التقارب على الفور.
أمثلة
مصفوفة 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- قبل الميلاد))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)لا يمكن عكس مصفوفة 2x2 إلا بشرط ذلك أ د − ب ج = ديت A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
كوكبة المرأة المسلسلة نجم في كوكبة المرأة المسلسلة
كوكبة الدب القطبي الصغرى
ما يكمن وراء حدود الكون