يعد اشتقاق الوظيفة من أصعب الموضوعات في المناهج الدراسية. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة ببساطة وبشكل واضح ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نكافح الآن من أجل الدقة الرياضية في العرض. أهم شيء هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الوظيفة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد برأيك ينمو الأسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل تغيير ، أي المشتق الأكبر.

هنا مثال آخر.

حصل كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

يمكنك رؤية كل شيء على الرسم البياني على الفور ، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. وزاد دخل جريشا أيضًا ، لكن قليلاً فقط. وانخفض دخل ماثيو إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها ، ولكن معدل تغيير الوظيفة ، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي ، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

حدسيًا ، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغيير الوظيفة. ولكن كيف لنا أن نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو إلى أي مدى يرتفع الرسم البياني للوظيفة (أو ينخفض). بمعنى آخر ، مدى سرعة تغير y مع x. من الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفة يمكن أن يكون لها قيمة مختلفة للمشتق - أي أنها يمكن أن تتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الوظيفة بواسطة.

دعنا نوضح كيفية إيجاد ذلك باستخدام الرسم البياني.

يتم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. خذ نقطة في ذلك مع حدود الإحداثية. ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقييم مدى ارتفاع منحنى الدالة. قيمة في متناول اليد لهذا ظل منحدر الظل.

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل منحدر المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

يرجى ملاحظة - كزاوية ميل المماس ، نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

يسأل الطلاب أحيانًا ما هو المماس للرسم البياني للدالة. هذا خط مستقيم له النقطة المشتركة الوحيدة مع الرسم البياني في هذا القسم ، علاوة على ذلك ، كما هو موضح في الشكل. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

لنجد. نتذكر أن ظل الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية يساوي نسبة الضلع المقابلة على المجاورة. من المثلث:

وجدنا المشتق باستخدام التمثيل البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المهام في امتحان الرياضيات تحت الرقم.

هناك ارتباط مهم آخر. تذكر أن المعادلة تعطى للخط المستقيم

الكمية في هذه المعادلة تسمى منحدر خط مستقيم. إنه يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم على المحور.

.

لقد حصلنا على ذلك

لنتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر ، المشتق يساوي ظل منحدر المماس.

قلنا بالفعل أن نفس الدالة يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. دع هذه الوظيفة تزداد في بعض المناطق ، وتنخفض في مناطق أخرى ، وبمعدلات مختلفة. ودع هذه الوظيفة لها الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما ، تتزايد الوظيفة. المماس للرسم البياني ، المرسوم عند النقطة ، يشكل زاوية حادة ؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. إذن ، المشتق موجب عند هذه النقطة.

عند هذه النقطة ، تتناقص وظيفتنا. يشكل الظل عند هذه النقطة زاوية منفرجة ؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. بما أن ظل الزاوية المنفرجة سالب ، فإن المشتق عند النقطة سالب.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة تتزايد ، فإن مشتقها يكون موجبًا.

إذا انخفض ، يكون مشتقه سالبًا.

وماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نرى أنه عند (النقطة القصوى) و (النقطة الدنيا) يكون الظل أفقيًا. إذن ، ظل مماس منحدر المماس عند هاتين النقطتين يساوي صفرًا ، والمشتقة تساوي صفرًا أيضًا.

النقطة هي الحد الأقصى. في هذه المرحلة ، يتم استبدال الزيادة في الوظيفة بنقصان. وبالتالي ، تتغير علامة المشتق عند النقطة من "زائد" إلى "ناقص".

عند النقطة - النقطة الدنيا - المشتق يساوي أيضًا صفرًا ، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: بمساعدة المشتق ، يمكنك معرفة كل ما يثير اهتمامنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كان المشتق موجبًا ، فإن الدالة تتزايد.

إذا كانت المشتقة سالبة ، فإن الدالة تتناقص.

عند الحد الأقصى ، يكون المشتق صفراً ويغير إشارة من موجب إلى سالب.

عند أدنى نقطة ، يكون المشتق أيضًا صفرًا ويغير إشارة من سالب إلى موجب.

نكتب هذه النتائج في شكل جدول:

	يزيد	أقصى نقطة	النقصان	الحد الأدنى من النقاط	يزيد
+	0	-	0	+

لنقدم توضيحيين صغيرين. ستحتاج إلى واحد منهم عند حل المشكلة. آخر - في السنة الأولى ، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

تكون الحالة ممكنة عندما يكون مشتق دالة عند نقطة ما مساويًا للصفر ، ولكن ليس للدالة حد أقصى أو حد أدنى في هذه المرحلة. هذا ما يسمى :

عند نقطة ما ، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا والمشتق يساوي صفرًا. ومع ذلك ، قبل النقطة زادت الوظيفة - وبعد النقطة تستمر في الزيادة. لا تتغير علامة المشتق - فقد ظلت إيجابية كما كانت.

يحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الحد الأدنى ، لا يوجد المشتق. على الرسم البياني ، هذا يتوافق مع كسر حاد ، عندما يكون من المستحيل رسم ظل عند نقطة معينة.

ولكن كيف يمكن إيجاد المشتق إذا لم يتم إعطاء الدالة من خلال رسم بياني ، ولكن بواسطة صيغة؟ في هذه الحالة ، فإنه ينطبق

التاريخ: 11/20/2014

ما هو المشتق؟

جدول مشتق.

المشتق هو أحد المفاهيم الرئيسية للرياضيات العليا. في هذا الدرس سوف نقدم هذا المفهوم. دعنا نتعرف ، بدون صيغ وبراهين رياضية صارمة.

ستتيح لك هذه المقدمة:

فهم جوهر المهام البسيطة باستخدام مشتق ؛

حل هذه المهام البسيطة بنجاح ؛

استعد لدروس مشتقة أكثر جدية.

أولا ، مفاجأة سارة.

يعتمد التعريف الصارم للمشتق على نظرية الحدود ، والشيء معقد نوعًا ما. إنه أمر مزعج. لكن التطبيق العملي للمشتق ، كقاعدة عامة ، لا يتطلب مثل هذه المعرفة الواسعة والعميقة!

لإنجاز معظم المهام بنجاح في المدرسة والجامعة ، يكفي أن تعرف مجرد شروط قليلة- لفهم المهمة ، و فقط بعض القواعد- لحلها. وهذا كل شيء. هذا يجعلني سعيدا.

هل نتعرف على بعضنا البعض؟)

الشروط والتعيينات.

هناك العديد من العمليات الحسابية في الرياضيات الابتدائية. الجمع ، والطرح ، والضرب ، والأس ، واللوغاريتم ، إلخ. إذا تمت إضافة عملية أخرى إلى هذه العمليات ، تصبح الرياضيات الابتدائية أعلى. هذه العملية الجديدة تسمى التفاضل.سيتم مناقشة تعريف ومعنى هذه العملية في دروس منفصلة.

من المهم هنا أن نفهم أن التفاضل هو مجرد عملية رياضية على دالة. نحن نأخذ أي وظيفة ونقوم بتحويلها وفقًا لقواعد معينة. والنتيجة هي وظيفة جديدة. هذه الوظيفة الجديدة تسمى: المشتق.

التفاضل- العمل على وظيفة.

المشتقهي نتيجة هذا العمل.

تمامًا مثل ، على سبيل المثال ، مجموعهي نتيجة الإضافة. أو خاصهي نتيجة القسمة.

بمعرفة المصطلحات ، يمكنك على الأقل فهم المهام.) الصياغة هي كما يلي: أوجد مشتق دالة ؛ خذ المشتق التفريق بين الوظيفة ؛ حساب المشتقإلخ. كل شئ نفس.بالطبع ، هناك مهام أكثر تعقيدًا ، حيث سيكون العثور على المشتق (التفاضل) مجرد خطوة واحدة من خطوات حل المهمة.

يتم الإشارة إلى المشتق بشرطة في أعلى يمين الوظيفة. مثله: ذ "أو و "(خ)أو شارع)وهلم جرا.

قرأ y السكتة الدماغية ، السكتة الدماغية من x ، السكتة الدماغية من te ،حسنًا ، لقد حصلت عليه ...)

يمكن أن يشير رئيس الوزراء أيضًا إلى مشتق دالة معينة ، على سبيل المثال: (2x + 3) ", (x 3 )" , (sinx) "إلخ. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المشتق باستخدام التفاضلات ، لكننا لن نفكر في مثل هذا الترميز في هذا الدرس.

افترض أننا تعلمنا فهم المهام. لم يتبق شيء - لمعرفة كيفية حلها.) دعني أذكرك مرة أخرى: العثور على المشتق تحويل وظيفة وفقًا لقواعد معينة.هذه القواعد قليلة بشكل مدهش.

لإيجاد مشتقة دالة ، ما عليك سوى معرفة ثلاثة أشياء. ثلاث ركائز تقوم عليها كل تمايز. ها هي الحيتان الثلاثة:

1. جدول المشتقات (صيغ التفاضل).

3. مشتق دالة معقدة.

لنبدأ بالترتيب. في هذا الدرس ، سننظر في جدول المشتقات.

جدول مشتق.

العالم لديه عدد لا حصر له من الوظائف. من بين هذه المجموعة هناك وظائف هي الأكثر أهمية للتطبيق العملي. تقع هذه الوظائف في جميع قوانين الطبيعة. من هذه الوظائف ، كما في الطوب ، يمكنك بناء كل الوظائف الأخرى. هذه الفئة من الوظائف تسمى وظائف الابتدائية.هذه هي الوظائف التي يتم دراستها في المدرسة - الخطية ، التربيعية ، القطع الزائد ، إلخ.

التفريق بين الوظائف "من الصفر" ، أي بناءً على تعريف المشتق ونظرية الحدود - وهو أمر يستغرق وقتًا طويلاً. وعلماء الرياضيات هم أناس أيضًا ، نعم ، نعم!) لذا فقد بسطوا حياتهم (ونحن). قاموا بحساب مشتقات الدوال الأولية الموجودة أمامنا. والنتيجة هي جدول للمشتقات ، حيث يكون كل شيء جاهزًا.)

ها هي هذه اللوحة للوظائف الأكثر شيوعًا. يسار - دالة أولية ، يمين - مشتقها.

	دور ذ	مشتق من الوظيفة y ذ "
1	ج (ثابت)	ج "= 0
2	x	س "= 1
3	x n (n هو أي رقم)	(س ن) "= nx n-1
	× 2 (ن = 2)	(× 2) "= 2x
4	الخطيئة x	(sinx) "= cosx
	كوس x	(cos x) "= - sin x
	tg x
	ctg x
5	أركسين x
	arccos x
	arctg x
	أركتج س
4	أ x
	ه x
5	سجل أ x
	ln x ( أ = هـ)

أوصي بالاهتمام بالمجموعة الثالثة من الوظائف في جدول المشتقات هذا. مشتق دالة الطاقة هي واحدة من أكثر الصيغ شيوعًا ، إن لم تكن الأكثر شيوعًا! هل التلميح واضح؟) نعم يستحب معرفة جدول المشتقات عن ظهر قلب. بالمناسبة ، هذا ليس صعبًا كما قد يبدو. حاول حل المزيد من الأمثلة ، سيتم تذكر الجدول نفسه!)

العثور على القيمة المجدولة للمشتق ، كما تفهم ، ليس بالمهمة الأكثر صعوبة. لذلك ، في كثير من الأحيان في مثل هذه المهام هناك رقائق إضافية. سواء في صياغة المهمة ، أو في الوظيفة الأصلية ، والتي لا يبدو أنها واردة في الجدول ...

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

1. أوجد مشتق التابع y = x 3

لا توجد مثل هذه الوظيفة في الجدول. لكن هناك مشتق عام لدالة القوة (المجموعة الثالثة). في حالتنا ، n = 3. لذلك استبدلنا بالثلاثي بدلاً من n وكتب النتيجة بعناية:

(x 3) "= 3 س 3-1 = 3x 2

هذا كل ما في الامر.

إجابه: ص "= 3x 2

2. أوجد قيمة مشتقة الدالة y = sinx عند النقطة x = 0.

تعني هذه المهمة أنه يجب عليك أولاً إيجاد مشتق الجيب ، ثم استبدال القيمة س = 0لنفس المشتق. إنه بهذا الترتيب!خلاف ذلك ، يحدث أنهم على الفور يستبدلون الصفر في الوظيفة الأصلية ... لا يُطلب منا إيجاد قيمة الوظيفة الأصلية ، ولكن القيمة مشتقها.المشتق ، دعني أذكرك ، هو بالفعل وظيفة جديدة.

على اللوحة نجد الجيب والمشتق المقابل:

y "= (sinx)" = cosx

عوّض بصفر في المشتق:

y "(0) = cos 0 = 1

سيكون هذا هو الجواب.

3. التفريق بين الوظيفة:

ما الذي يلهمك؟) لا توجد مثل هذه الوظيفة قريبة في جدول المشتقات.

دعني أذكرك أن اشتقاق دالة هو ببساطة إيجاد مشتق هذه الدالة. إذا نسيت حساب المثلثات الأولي ، فإن إيجاد مشتقة وظيفتنا أمر مزعج للغاية. الجدول لا يساعد ...

ولكن إذا رأينا أن وظيفتنا هي جيب التمام لزاوية مزدوجة، ثم يتحسن كل شيء على الفور!

نعم نعم! تذكر أن تحويل الوظيفة الأصلية قبل التفاضلمقبول تمامًا! ويحدث لجعل الحياة أسهل كثيرًا. وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة:

أولئك. وظيفتنا الصعبة ليست سوى ص = كوكس. وهذه دالة جدول. نحصل على الفور على:

إجابه: y "= - sin x.

مثال للخريجين المتقدمين والطلاب:

4. أوجد مشتق دالة:

لا توجد مثل هذه الوظيفة في جدول المشتقات بالطبع. لكن إذا كنت تتذكر الرياضيات الأولية ، الأفعال ذات القوى ... فمن الممكن تمامًا تبسيط هذه الوظيفة. مثله:

و x مرفوعًا للقوة الأسية واحد على عشرة هي دالة جدولية بالفعل! المجموعة الثالثة ن = 1/10. مباشرة حسب الصيغة واكتب:

هذا كل شئ. سيكون هذا هو الجواب.

آمل أنه مع أول حوت في التمايز - جدول المشتقات - كل شيء واضح. يبقى التعامل مع الحيتان المتبقية. في الدرس التالي ، سنتعلم قواعد التفاضل.

عند حل المشكلات المختلفة للهندسة والميكانيكا والفيزياء وفروع المعرفة الأخرى ، أصبح من الضروري استخدام نفس العملية التحليلية من وظيفة معينة ص = و (س)الحصول على وظيفة جديدة تسمى دالة مشتقة(أو ببساطة مشتق) من هذه الوظيفة f (x)ويرمز لها

العملية التي بواسطتها وظيفة معينة و (خ)الحصول على وظيفة جديدة و "(خ)، اتصل التفاضلوتتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) نعطي الحجة xزيادة راتب  xوتحديد الزيادة المقابلة للدالة  ص = و (س + x) -f (x)؛ 2) تكوين العلاقة

3) العد xدائم و  x0 ، نجد
، والذي يشير إليه و "(خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة x، والذي ننتقل فيه إلى الحد الأقصى. تعريف: المشتق y "= f" (x) وظيفة معينة y = f (x) نظرا xيسمى حد نسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تكون الزيادة في الوسيطة تميل إلى الصفر ، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع ، أي محدود. في هذا الطريق،
، أو

لاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة x، على سبيل المثال متى س = أ، علاقة
في  xلا تميل 0 إلى حد محدود ، ثم في هذه الحالة نقول أن الدالة و (خ)في س = أ(أو عند هذه النقطة س = أ) ليس له مشتق أو غير قابل للتفاضل عند نقطة معينة س = أ.

2. المعنى الهندسي للمشتق.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، القابلة للتفاضل بالقرب من النقطة x 0

و (خ)

لنفكر في وجود خط مستقيم تعسفي يمر عبر نقطة الرسم البياني للوظيفة - النقطة A (x 0، f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B (x؛ f (x)). يسمى هذا الخط المستقيم (AB) القاطع. من ∆ABC: ​​AC = ∆x ؛ BC \ u003d ∆y ؛ tgβ = y / ∆x.

منذ AC || Ox ، ثم ALO = BAC = β (على النحو المقابل على التوازي). لكن ALO هي زاوية ميل القاطع AB إلى الاتجاه الإيجابي لمحور Ox. ومن ثم ، فإن tgβ = k هو ميل الخط المستقيم AB.

الآن سنقلل ∆x ، أي ∆x → 0. في هذه الحالة ، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني ، وسوف يدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x → 0 هو الخط المستقيم (أ) ، المماس للرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة A.

إذا تجاوزنا الحد كـ ∆х → 0 في المساواة tgβ = y / ∆x ، فإننا نحصل على
أو tg \ u003d f "(x 0) ، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل الظل إلى الاتجاه الإيجابي لمحور الثور
، من خلال تعريف المشتق. لكن tg \ u003d k هو ميل الظل ، مما يعني أن k \ u003d tg \ u003d f "(x 0).

إذن ، المعنى الهندسي للمشتق هو كما يلي:

مشتق دالة عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة التي تحتوي على المحور x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

ضع في اعتبارك حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع النقطة تنسق في أي وقت x (t). من المعروف (من مسار الفيزياء) أن متوسط ​​السرعة على مدى فترة زمنية يساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية إلى الوقت ، أي

فاف = ∆x / t. دعونا ننتقل إلى الحد الأقصى في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - السرعة اللحظية في الوقت t 0 ، ∆t → 0.

و lim = x / ∆t = x "(t 0) (من خلال تعريف المشتق).

إذن ،  (t) = x "(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(x) عند النقطةx 0 هو معدل تغير الوظيفةF(خ) عند النقطةx 0

يستخدم المشتق في الفيزياء لإيجاد السرعة من دالة معروفة للإحداثيات من وقت ، التسارع من دالة معروفة للسرعة من وقت.

 (t) \ u003d x "(t) - السرعة ،

أ (و) =  "(تي) - تسارع ، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية على طول دائرة معروفًا ، فمن الممكن إيجاد السرعة الزاوية والتسارع الزاوي أثناء الحركة الدورانية:

φ = φ (t) - تغير في الزاوية مع الوقت ،

ω \ u003d φ "(t) - السرعة الزاوية ،

ε = φ "(t) - التسارع الزاوي ، أو ε = φ" (t).

إذا كان قانون التوزيع لكتلة قضيب غير متجانس معروفًا ، فيمكن العثور على الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م (س) - الكتلة ،

س  ، ل - طول القضيب ،

ع \ u003d م "(س) - الكثافة الخطية.

بمساعدة المشتق ، يتم حل المشكلات من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. نعم ، وفقًا لقانون هوك

F = -kx ، x - إحداثيات متغيرة ، k - معامل مرونة الزنبرك. بوضع ω 2 \ u003d k / m ، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الربيعي x "(t) + ω 2 x (t) \ u003d 0 ،

حيث ω = √k / m هو تردد التذبذب (l / c) ، k هو معدل الربيع (H / m).

معادلة الصيغة y "+ ω 2 y \ u003d 0 تسمى معادلة التذبذبات التوافقية (الميكانيكية ، الكهربائية ، الكهرومغناطيسية). حل هذه المعادلات هو الوظيفة

y = Asin (t + φ 0) أو y = Acos (t + φ 0) ، حيث

أ - سعة التذبذب ، ω - تردد دوري ،

φ 0 - المرحلة الأولية.

ما هو المشتق؟
تعريف ومعنى مشتق الوظيفة

سوف يفاجأ الكثير بالموقع غير المتوقع لهذه المقالة في الدورة التدريبية لمؤلفي حول مشتق دالة لمتغير واحد وتطبيقاته. بعد كل شيء ، كما كان من المدرسة: يقدم الكتاب المدرسي القياسي ، أولاً وقبل كل شيء ، تعريفًا للمشتق ، معناه الهندسي والميكانيكي. بعد ذلك ، يجد الطلاب مشتقات للوظائف بحكم التعريف ، وفي الواقع ، عندها فقط يتم إتقان أسلوب التمايز باستخدام جداول المشتقات.

لكن من وجهة نظري ، فإن النهج التالي أكثر واقعية: أولاً وقبل كل شيء ، يُنصح بفهم جيد حد الوظيفةوخاصة اللامتناهيات في الصغر. الحقيقة انه يعتمد تعريف المشتق على مفهوم الحد، والتي تعتبر سيئة في الدورة المدرسية. هذا هو السبب في أن جزءًا كبيرًا من المستهلكين الشباب من معرفة الجرانيت يتغلغل بشكل ضعيف في جوهر المشتق. وبالتالي ، إذا لم تكن على دراية جيدة بحساب التفاضل ، أو إذا نجح العقل الحكيم في التخلص من هذه الأمتعة على مر السنين ، فيرجى البدء حدود الوظيفة. في نفس الوقت سيد / تذكر قرارهم.

يشير نفس المعنى العملي إلى أنها مربحة أولاً تعلم كيفية إيجاد المشتقات، بما فيها مشتقات وظائف معقدة. النظرية هي نظرية ، لكن كما يقولون ، فأنت تريد دائمًا التمييز. في هذا الصدد ، من الأفضل العمل على الدروس الأساسية المدرجة ، وربما تصبح سيد التمايزدون أن يدركوا حتى جوهر أفعالهم.

أوصي ببدء المواد على هذه الصفحة بعد قراءة المقال. أبسط مسائل المشتقة، حيث ، على وجه الخصوص ، يتم النظر في مشكلة الظل في الرسم البياني للدالة. لكن يمكن أن يتأخر. الحقيقة هي أن العديد من تطبيقات المشتق لا تتطلب فهمها ، وليس من المستغرب أن الدرس النظري ظهر متأخرًا جدًا - عندما احتجت إلى شرح إيجاد فترات الزيادة / النقصان والأطرافالمهام. علاوة على ذلك ، فقد كان في هذا الموضوع لفترة طويلة " الوظائف والرسوم البيانية"، حتى قررت وضعه في وقت سابق.

لذلك ، أقداح الشاي العزيزة ، لا تتسرع في امتصاص جوهر المشتق ، مثل الحيوانات الجائعة ، لأن التشبع سيكون بلا طعم وغير مكتمل.

مفهوم الزيادة والنقصان والحد الأقصى والحد الأدنى للدالة

تؤدي العديد من البرامج التعليمية إلى مفهوم المشتق بمساعدة بعض المشكلات العملية ، وقد توصلت أيضًا إلى مثال مثير للاهتمام. تخيل أنه يتعين علينا السفر إلى مدينة يمكن الوصول إليها بطرق مختلفة. نتخلص على الفور من مسارات الالتفاف المنحنية ، وسننظر فقط في الخطوط المستقيمة. ومع ذلك ، فإن اتجاهات الخط المستقيم مختلفة أيضًا: يمكنك الوصول إلى المدينة على طول طريق سريع مسطح. أو على طريق سريع مرتفع - صعودًا وهبوطًا ، صعودًا وهبوطًا. هناك طريق آخر يتجه صعودًا فقط ، والآخر ينحدر طوال الوقت. سيختار الباحثون عن الإثارة طريقًا عبر الوادي مع جرف شديد الانحدار وصعود شديد الانحدار.

ولكن مهما كانت تفضيلاتك ، فمن المستحسن معرفة المنطقة ، أو على الأقل الحصول على خريطة طبوغرافية لها. ماذا لو لم تكن هناك مثل هذه المعلومات؟ بعد كل شيء ، يمكنك أن تختار ، على سبيل المثال ، مسارًا مسطحًا ، ولكن نتيجة لذلك ، تتعثر على منحدر تزلج مع فنلنديين مرحين. ليس حقيقة أن الملاح وحتى صورة القمر الصناعي ستعطي بيانات موثوقة. لذلك ، سيكون من الجيد إضفاء الطابع الرسمي على ارتياح المسار عن طريق الرياضيات.

النظر في طريق ما (منظر جانبي):

فقط في حالة ، أذكرك بحقيقة أولية: الرحلة تحدث من اليسار الى اليمين. من أجل البساطة ، نفترض أن الوظيفة مستمرفي المنطقة قيد النظر.

ما هي مميزات هذا الرسم البياني؟

على فترات وظيفة يزيد، أي كل قيمة من قيمته التالية أكثرالسابقة. تقريبًا ، الجدول الزمني يذهب صعودا(نصعد التل). وفي الفترة الزمنية الدالة النقصان- كل قيمة تالية أقلالسابق ، والجدول الزمني لدينا يذهب من أعلى إلى أسفل(النزول على المنحدر).

دعنا ننتبه أيضًا إلى النقاط الخاصة. في هذه النقطة نصل أقصى، هذا هو موجودمثل هذا المقطع من المسار الذي ستكون فيه القيمة الأكبر (الأعلى). في نفس النقطة ، الحد الأدنى، و موجودمثل جوارها ، حيث تكون القيمة هي الأصغر (الأدنى).

سيتم النظر في المصطلحات والتعريفات الأكثر صرامة في الدرس. حول الحد الأقصى للوظيفة، ولكن الآن دعنا ندرس ميزة أخرى مهمة: على فترات الوظيفة تتزايد ، لكنها تتزايد بسرعات مختلفة. وأول ما يلفت انتباهك هو أن الرسم البياني يرتفع لأعلى في الفاصل الزمني أكثر من ذلك بكثير رائعمن الفاصل الزمني. هل يمكن قياس انحدار الطريق باستخدام أدوات رياضية؟

معدل تغيير الوظيفة

الفكرة هي: خذ بعض القيمة (اقرأ "دلتا س")الذي سوف نسميه زيادة الحجة، ودعنا نبدأ "بتجربته" إلى نقاط مختلفة في طريقنا:

1) لننظر إلى أقصى اليسار: بعد تجاوز المسافة ، نتسلق المنحدر إلى ارتفاع (الخط الأخضر). القيمة تسمى زيادة الوظيفة، وفي هذه الحالة تكون هذه الزيادة موجبة (فرق القيم على طول المحور أكبر من الصفر). لنجعل النسبة التي ستكون مقياس انحدار طريقنا. من الواضح أنه رقم محدد جدًا ، وبما أن كلا الزيادات موجبة ، إذن.

انتباه! التعيين واحدالرمز ، أي أنه لا يمكنك "تمزيق" "دلتا" من "x" والنظر في هذه الأحرف بشكل منفصل. بالطبع ، ينطبق التعليق أيضًا على رمز زيادة الوظيفة.

دعنا نستكشف طبيعة الكسر الناتج بشكل أكثر وضوحًا. افترض في البداية أننا على ارتفاع 20 مترًا (في النقطة السوداء اليسرى). بعد تجاوز مسافة المتر (الخط الأحمر الأيسر) ، سنكون على ارتفاع 60 مترًا. ثم ستكون الزيادة في الوظيفة متر (الخط الأخضر) و:. في هذا الطريق، على كل مترهذا الجزء من الطريق يزيد الارتفاع معدلبمقدار 4 أمتار... هل نسيت معدات التسلق الخاصة بك؟ =) وبعبارة أخرى ، فإن النسبة المركبة تميز متوسط ​​معدل التغيير (في هذه الحالة ، النمو) للوظيفة.

ملحوظة : القيم العددية للمثال المعني تتوافق مع نسب الرسم فقط تقريبًا.

2) الآن دعنا نقطع المسافة نفسها من النقطة السوداء الموجودة في أقصى اليمين. هنا يكون الارتفاع أكثر رقة ، وبالتالي فإن الزيادة (الخط القرمزي) صغيرة نسبيًا ، وستكون النسبة مقارنة بالحالة السابقة متواضعة جدًا. نسبيا، متر و معدل نمو الوظيفةهو . أي هنا يوجد لكل متر من الطريق معدلنصف متر.

3) مغامرة صغيرة على سفح الجبل. لنلقِ نظرة على النقطة السوداء العلوية الواقعة على المحور ص. لنفترض أن هذه علامة 50 مترًا. مرة أخرى نتغلب على المسافة ، ونتيجة لذلك نجد أنفسنا أقل - عند مستوى 30 مترًا. منذ أن تم صنع الحركة من أعلى إلى أسفل(في الاتجاه "المعاكس" للمحور) ، ثم النهائي زيادة الدالة (الارتفاع) ستكون سالبة: متر (الخط البني في الرسم). وفي هذه الحالة نتحدث عنه معدل الاضمحلالميزات: ، أي لكل متر من مسار هذا القسم ، ينخفض ​​الارتفاع معدلبمقدار 2 متر. اعتني بالملابس في النقطة الخامسة.

الآن دعنا نطرح السؤال: ما هي أفضل قيمة لاستخدام "معيار القياس"؟ من الواضح أن 10 أمتار شديدة الخشونة. عشرات المطبات الجيدة يمكن أن تناسبها بسهولة. لماذا توجد نتوءات ، قد يكون هناك ممر عميق في الأسفل ، وبعد بضعة أمتار - الجانب الآخر به صعود شديد الانحدار. وهكذا ، مع عشرة أمتار ، لن نحصل على خاصية واضحة لمثل هذه الأقسام من المسار من خلال النسبة.

من المناقشة أعلاه ، الاستنتاج التالي كما يلي: أصغر القيمة، كلما وصفنا راحة الطريق بشكل أكثر دقة. علاوة على ذلك ، فإن الحقائق التالية صحيحة:

– لأينقاط الرفع يمكنك اختيار قيمة (وإن كانت صغيرة جدًا) تتناسب مع حدود ارتفاع أو آخر. وهذا يعني أن زيادة الارتفاع المقابلة ستكون موجبة ، وستشير المتباينة بشكل صحيح إلى نمو الدالة في كل نقطة من هذه الفترات.

- على نفس المنوال، لأينقطة الانحدار ، هناك قيمة تتناسب تمامًا مع هذا المنحدر. لذلك ، فإن الزيادة المقابلة في الارتفاع سالبة بشكل لا لبس فيه ، وستظهر المتباينة بشكل صحيح انخفاض الدالة عند كل نقطة في الفترة المحددة.

- ذات أهمية خاصة هي الحالة عندما يكون معدل تغيير الوظيفة صفرًا:. أولاً ، الزيادة الصفرية للارتفاع () هي علامة على مسار زوجي. وثانياً ، هناك مواقف غريبة أخرى ، والتي تراها في الشكل. تخيل أن القدر قد أخذنا إلى أعلى تل به نسور تحلق أو أسفل واد ضيق به ضفادع نعيشة. إذا قمت بخطوة صغيرة في أي اتجاه ، فسيكون التغيير في الارتفاع ضئيلًا ، ويمكننا القول إن معدل تغير الدالة هو صفر في الواقع. لوحظ نفس النمط عند النقاط.

وبالتالي ، فقد اقتربنا من فرصة مذهلة لتوصيف معدل تغيير الوظيفة بدقة. بعد كل شيء ، يسمح لنا التحليل الرياضي بتوجيه زيادة الحجة إلى الصفر: أي لجعلها متناهي الصغر.

نتيجة لذلك ، يطرح سؤال منطقي آخر: هل من الممكن العثور على الطريق وجدولها الزمني وظيفة أخرى، أيّ سيخبرناحول جميع الشقق ، المرتفعات ، المنحدرات ، القمم ، الأراضي المنخفضة ، وكذلك معدل الزيادة / النقصان في كل نقطة من المسار؟

ما هو المشتق؟ تعريف المشتق.
المعنى الهندسي للمشتق والتفاضل

يرجى القراءة بعناية وليس بسرعة كبيرة - المواد بسيطة ويمكن للجميع الوصول إليها! لا بأس إذا كان هناك شيء ما يبدو غير واضح في بعض الأماكن ، يمكنك دائمًا الرجوع إلى المقالة لاحقًا. سأقول أكثر ، من المفيد دراسة النظرية عدة مرات من أجل الفهم النوعي لجميع النقاط (النصيحة مناسبة بشكل خاص للطلاب "التقنيين" ، الذين تلعب لهم الرياضيات العليا دورًا مهمًا في العملية التعليمية).

بطبيعة الحال ، في تعريف المشتق ذاته عند نقطة ما ، سنستبدلها بـ:

ما وصلنا إليه؟ وتوصلنا إلى استنتاج مفاده أن الوظيفة وفقًا للقانون محاذاة وظيفة أخرى، من اتصل دالة مشتقة(أو ببساطة المشتق).

المشتق يميز معدل التغييرالمهام . كيف؟ يذهب الفكر مثل الخيط الأحمر من بداية المقال. تأمل في نقطة ما المجالاتالمهام . اجعل الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة. ثم:

1) إذا زادت الوظيفة عند النقطة. ومن الواضح أن هناك فترة(حتى لو كانت صغيرة جدًا) تحتوي على النقطة التي تنمو عندها الوظيفة ، وينتقل الرسم البياني الخاص بها "من أسفل إلى أعلى".

2) إذا ، فإن الوظيفة تتناقص عند النقطة. وهناك فترة تحتوي على نقطة تقل فيها الوظيفة (ينتقل الرسم البياني "من أعلى إلى أسفل").

3) إذا ، إذن قريب بلا حدودبالقرب من النقطة ، تحافظ الوظيفة على سرعتها ثابتة. يحدث هذا ، كما لوحظ ، لوظيفة ثابتة و في النقاط الحرجة للوظيفة، خاصه في الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.

بعض الدلالات. ماذا يعني فعل "التفريق" بالمعنى الواسع؟ للتمييز يعني تفرد الميزة. عند التفريق بين الوظيفة ، "نختار" معدل تغيرها في شكل مشتق من الوظيفة. وماذا ، بالمناسبة ، المقصود بكلمة "مشتق"؟ دور حدثمن الوظيفة.

تفسر المصطلحات بنجاح كبير المعنى الميكانيكي للمشتق :
لنفكر في قانون تغيير إحداثيات الجسم الذي يعتمد على الوقت ودالة سرعة حركة الجسم المحدد. تحدد الوظيفة معدل تغير إحداثيات الجسم ، وبالتالي فهي أول مشتق من الوظيفة فيما يتعلق بالوقت:. إذا لم يكن مفهوم "حركة الجسم" موجودًا في الطبيعة ، فلن يكون هناك وجود المشتقمفهوم السرعة.

إن تسارع الجسم هو معدل تغير السرعة ، لذلك: . إذا لم تكن المفاهيم الأصلية "لحركة الجسم" و "سرعة حركة الجسم" موجودة في الطبيعة ، فلن يكون هناك المشتقمفهوم تسارع الجسم.

عندما يتخذ الشخص أولى الخطوات المستقلة في دراسة التحليل الرياضي ويبدأ في طرح أسئلة غير مريحة ، لم يعد من السهل التخلص من عبارة "تم العثور على حساب التفاضل في الملفوف". لذلك ، حان الوقت لتحديد وحل لغز ولادة جداول المشتقات وقواعد التفاضل. بدأت في المقال حول معنى المشتق، والتي أوصي بها بشدة للدراسة ، لأننا هناك درسنا مفهوم المشتق وبدأنا في النقر فوق المهام في الموضوع. نفس الدرس له توجه عملي واضح ، علاوة على ذلك ،

الأمثلة المذكورة أدناه ، من حيث المبدأ ، يمكن إتقانها بشكل رسمي بحت (على سبيل المثال ، عندما لا يكون هناك وقت / رغبة في الخوض في جوهر المشتق). من المرغوب فيه أيضًا (ولكن ليس ضروريًا أيضًا) أن تكون قادرًا على العثور على المشتقات باستخدام الطريقة "المعتادة" - على الأقل على مستوى فئتين أساسيتين:كيفية إيجاد مشتق؟ ومشتق دالة معقدة.

لكن بدون شيء ، وهو أمر لا غنى عنه الآن بالتأكيد ، فإنه بدونه حدود الوظيفة. يجب أن تفهم ما هو الحد وأن تكون قادرًا على حلها ، على الأقل في المستوى المتوسط. وكل ذلك بسبب المشتق

يتم تحديد الوظيفة عند نقطة بواسطة الصيغة:

أذكرك بالتسميات والمصطلحات: يسمونها زيادة الحجة;

- زيادة الوظيفة ؛

- هذه رموز فردية (لا يمكن "تمزيق" دلتا "من" X "أو" Y ").

من الواضح أن المتغير "ديناميكي" هو متغير ثابت ونتج عن حساب الحد - رقم (في بعض الأحيان - "زائد" أو "ناقص" ما لا نهاية).

كنقطة واحدة ، يمكنك التفكير في أي قيمة تنتمي إلى المجالاتدالة لها مشتق.

ملاحظة: عبارة "حيث يوجد المشتق" - بشكل عام.! لذلك ، على سبيل المثال ، النقطة ، على الرغم من أنها تدخل مجال الوظيفة ، ولكن المشتق

غير موجود هناك. لذلك فإن الصيغة

لا ينطبق في هذه المرحلة

وستكون الصياغة المختصرة بدون تحفظ غير صحيحة. حقائق مماثلة صالحة أيضًا لوظائف أخرى مع "فواصل" في الرسم البياني ، على وجه الخصوص ، القوسين والجسم القوسي.

وبالتالي ، بعد الاستبدال ، نحصل على صيغة العمل الثانية:

انتبه إلى الظرف الخبيث الذي يمكن أن يربك إبريق الشاي: في هذا الحد ، "x" ، كونها متغيرًا مستقلًا ، تلعب دورًا إضافيًا ، ويتم تعيين "الديناميكيات" مرة أخرى من خلال الزيادة. نتيجة حساب الحد

هي وظيفة مشتقة.

بناءً على ما سبق ، نصوغ شروط مشكلتين نموذجيتين:

- تجد مشتق عند نقطةباستخدام تعريف المشتق.

- تجد دالة مشتقةباستخدام تعريف المشتق. هذا الإصدار ، وفقًا لملاحظاتي ، يحدث في كثير من الأحيان وسيحظى بالاهتمام الرئيسي.

الفرق الأساسي بين المهام هو أنه في الحالة الأولى مطلوب إيجاد الرقم (اختياريًا اللانهاية)، وفي الثانية

وظيفة . بالإضافة إلى ذلك ، قد لا يكون المشتق موجودًا على الإطلاق.

كيف ؟

اصنع نسبة واحسب النهاية.

اينجدول المشتقات وقواعد التفاضل ؟ بحد واحد

يبدو مثل السحر ، ولكن

الواقع - خفة اليد ولا احتيال. في الدرس ما هو المشتق؟بدأت بالنظر في أمثلة محددة ، حيث وجدت ، باستخدام التعريف ، مشتقات دالة خطية وتربيعية. لغرض الإحماء المعرفي ، سوف نستمر في الإزعاج جدول مشتقوشحذ الخوارزمية والحلول التقنية:

في الواقع ، من الضروري إثبات حالة خاصة لمشتق دالة القدرة ، والتي تظهر عادةً في الجدول:.

تم إضفاء الطابع الرسمي على الحل من الناحية الفنية بطريقتين. لنبدأ بالنهج الأول المألوف بالفعل: يبدأ السلم بلوح ، وتبدأ الدالة المشتقة بمشتق عند نقطة ما.

ضع في اعتبارك بعض النقاط (الملموسة) التي تنتمي إلى المجالاتدالة لها مشتق. اضبط الزيادة في هذه المرحلة (بالطبع ، ليس أبعد من ذلك o / o - z) وقم بتكوين الزيادة المقابلة للوظيفة:

لنحسب الحد:

يتم التخلص من عدم اليقين 0: 0 بواسطة تقنية قياسية تعود إلى القرن الأول قبل الميلاد. تتضاعف

البسط والمقام لكل تعبير مساعد :

تتم مناقشة تقنية حل هذا الحد بالتفصيل في الدرس التمهيدي. حول حدود الوظائف.

منذ أي نقطة من الفاصل الزمني يمكن اختيارها

ثم ، بالتعويض ، نحصل على:

مرة أخرى ، دعونا نبتهج باللوغاريتمات:

أوجد مشتق التابع باستخدام تعريف المشتق

الحل: دعنا نفكر في نهج مختلف لتدوير نفس المهمة. إنه نفس الشيء تمامًا ، لكنه أكثر عقلانية من حيث التصميم. الفكرة هي التخلص من

منخفض واستخدم حرفًا بدلاً من حرف.

ضع في اعتبارك نقطة تعسفية تنتمي إلى المجالاتوظيفة (فاصل زمني) ، وضبط الزيادة فيها. وهنا ، بالمناسبة ، كما هو الحال في معظم الحالات ، يمكنك الاستغناء عن أي تحفظات ، لأن الوظيفة اللوغاريتمية قابلة للتفاضل في أي نقطة في مجال التعريف.

ثم زيادة الوظيفة المقابلة هي:

لنجد المشتق:

يتم موازنة بساطة التصميم من خلال الارتباك الذي يمكن

تنشأ في المبتدئين (وليس فقط). بعد كل شيء ، تعودنا على حقيقة أن الحرف "X" يتغير في الحد! لكن كل شيء مختلف هنا: - تمثال عتيق ، - زائر حي ، يسير بخفة على طول ممر المتحف. وهذا يعني أن "x" هي "مثل ثابت".

سأعلق على إزالة عدم اليقين خطوة بخطوة:

(1) باستخدام خاصية اللوغاريتم.

(2) اقسم البسط على المقام الموجود بين قوسين.

(3) في المقام نضرب بشكل مصطنع ونقسم على "x" بحيث

استفد من الرائع ، بينما متناهي الصغرينفذ.

الجواب: حسب تعريف المشتق:

أو باختصار:

أقترح إنشاء صيغتين جدوليتين بشكل مستقل:

ابحث عن المشتق بالتعريف

في هذه الحالة ، تكون الزيادة المجمعة ملائمة على الفور لتقليلها إلى قاسم مشترك. عينة تقريبية من الواجب في نهاية الدرس (الطريقة الأولى).

ابحث عن المشتق بالتعريف

وهنا يجب اختزال كل شيء إلى حدود ملحوظة. الحل مؤطر بالطريقة الثانية.

وبالمثل ، هناك عدد آخر المشتقات المجدولة. يمكن العثور على قائمة كاملة في كتاب مدرسي ، أو ، على سبيل المثال ، المجلد الأول من Fichtenholtz. لا أرى فائدة كبيرة في إعادة الكتابة من الكتب وإثباتات قواعد التمايز - فقد تم إنشاؤها أيضًا

معادلة .

دعنا ننتقل إلى مهام الحياة الواقعية: مثال 5

أوجد مشتق دالة باستخدام تعريف المشتق

الحل: استخدم النمط الأول. لنفكر في بعض النقاط التي تنتمي إليها ، ونضبط زيادة الوسيطة فيها. ثم زيادة الوظيفة المقابلة هي:

ربما لم يفهم بعض القراء بعد تمامًا المبدأ الذي يجب أن تتم الزيادة فيه. نأخذ نقطة (رقم) ونجد قيمة الوظيفة فيها: ، وهذا هو ، في الوظيفة

بدلاً من "x" يجب أن يتم استبداله. الآن نحن نأخذ

زيادة الوظيفة المكونة من المفيد التبسيط على الفور. لاجل ماذا؟ تسهيل واختصار حل الحد الإضافي.

نستخدم الصيغ والأقواس المفتوحة ونختصر كل ما يمكن تقليله:

الديك الرومي محترق ، لا مشكلة في الشواء:

في النهاية:

نظرًا لأنه يمكن اختيار أي رقم حقيقي باعتباره الجودة ، فإننا نجري الاستبدال ونحصل عليه .

إجابه : حسب التعريف.

لأغراض التحقق ، نجد المشتق باستخدام القواعد

التمايز والجداول:

من المفيد والممتع دائمًا معرفة الإجابة الصحيحة مقدمًا ، لذلك من الأفضل عقليًا أو في المسودة التمييز بين الوظيفة المقترحة بطريقة "سريعة" في بداية الحل.

أوجد مشتق دالة بتعريف المشتق

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". النتيجة تكمن في السطح:

العودة إلى النمط رقم 2: مثال 7

دعنا نكتشف على الفور ما يجب أن يحدث. بواسطة قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

القرار: فكر في نقطة تعسفية تنتمي إلى ، وقم بتعيين زيادة الحجة فيها وقم بإجراء الزيادة

لنجد المشتق:

(1) نستخدم الصيغة المثلثية

(2) تحت الجيب نفتح الأقواس ، وتحت جيب التمام نحدد الحدود المتشابهة.

(3) تحت الجيب نقسم الحدود ، وتحت جيب التمام نقسم البسط على حد المقام على حد.

(4) بسبب غرابة الجيب ، نخرج "ناقص". تحت جيب التمام

تشير إلى أن المصطلح.

(5) نضرب المقام بشكل مصطنع لاستخدامه أول حد رائع. وبالتالي ، يتم التخلص من عدم اليقين ، نقوم بتمشيط النتيجة.

الإجابة: حسب التعريف كما ترى ، تكمن الصعوبة الرئيسية للمشكلة قيد الدراسة

تعقيد الحد نفسه + أصالة طفيفة للعبوة. في الممارسة العملية ، يتم مصادفة كلتا الطريقتين في التصميم ، لذلك أصف كلا النهجين بأكبر قدر ممكن من التفاصيل. إنها متكافئة ، ولكن مع ذلك ، في انطباعي الشخصي ، من الأفضل أن تلتزم الدمى بالخيار الأول بـ "X صفر".

باستخدام التعريف ، أوجد مشتق الدالة

هذه مهمة لاتخاذ قرار مستقل. تم تنسيق العينة بنفس روح المثال السابق.

دعنا نحلل نسخة نادرة من المشكلة:

أوجد مشتق دالة عند نقطة باستخدام تعريف المشتق.

أولا ، ماذا يجب أن يكون المحصلة النهائية؟ رقم احسب الإجابة بالطريقة القياسية:

القرار: من وجهة نظر الوضوح ، هذه المهمة أبسط بكثير ، لأنها في الصيغة بدلاً من

تعتبر قيمة محددة.

نضع زيادة عند النقطة ونؤلف الزيادة المقابلة للوظيفة:

احسب المشتق عند نقطة ما:

نستخدم صيغة نادرة جدًا لاختلاف الظل وللمرة الألف ، اختزلنا الحل إلى الأول

حد مذهل:

الجواب: من خلال تعريف المشتق عند نقطة ما.

ليس من الصعب حل المهمة و "بشكل عام" - يكفي استبدال المسامير أو ببساطة ، اعتمادًا على طريقة التصميم. في هذه الحالة ، بالطبع ، لا تحصل على رقم ، بل دالة مشتقة.

مثال 10 باستخدام التعريف ، أوجد مشتق دالة في هذه النقطة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

مهمة المكافأة النهائية مخصصة في المقام الأول للطلاب الذين لديهم دراسة متعمقة للتحليل الرياضي ، ولكنها لن تؤذي أي شخص آخر أيضًا:

هل ستكون الوظيفة قابلة للتفاضل في هذه النقطة؟

الحل: من الواضح أن دالة متعددة التعريف تكون متصلة عند نقطة ما ، ولكن هل ستكون قابلة للاشتقاق هناك؟

خوارزمية الحل ، وليس فقط للدوال متعددة التعريف ، هي كما يلي:

1) أوجد المشتق الأيسر عند نقطة معينة:.

2) أوجد المشتق الأيمن عند النقطة المعطاة:.

3) إذا كانت المشتقات أحادية الجانب محدودة ومتوافقة:

، فإن الوظيفة قابلة للاشتقاق عند النقطة و

هندسيًا ، يوجد ظل مشترك هنا (انظر الجزء النظري من الدرس تعريف المشتق ومعنى).

في حالة تلقي قيمتين مختلفتين: (واحد منها قد يكون لانهائي)، فإن الوظيفة غير قابلة للاشتقاق عند نقطة ما.

إذا كان كلا المشتقين من جانب واحد يساوي ما لا نهاية

(حتى لو كانت لديهم علامات مختلفة) ، فإن الوظيفة لا تفعل ذلك

قابل للاشتقاق عند نقطة ما ، ولكن يوجد مشتق لانهائي وظل عمودي مشترك للرسم البياني (انظر المثال 5 من الدرسمعادلة عادية) .