صيغ لإيجاد المشتقات العكسية. المشتق العكسي للدالة والشكل العام

تعلم الاندماج ليس بالأمر الصعب. للقيام بذلك ، تحتاج فقط إلى تعلم مجموعة معينة ، صغيرة نوعًا ما من القواعد ، وتطوير نوع من الذوق. بالطبع ، من السهل تعلم القواعد والصيغ ، لكن من الصعب فهم مكان وزمان تطبيق قاعدة التكامل أو التمايز هذه أو تلك. هذه ، في الواقع ، هي القدرة على الاندماج.

1. مضاد. تكامل غير محدد.

من المفترض أنه بحلول وقت قراءة هذا المقال ، يكون لدى القارئ بالفعل بعض مهارات التمايز (أي إيجاد المشتقات).

التعريف 1.1:تسمى الوظيفة المشتق العكسي إذا كانت المساواة صحيحة:

تعليقات:> يمكن وضع التشديد في كلمة "بدائي" بطريقتين: اقلق أو أصلي أمعرفة.

خاصية 1:إذا كانت الوظيفة مشتقة عكسية لوظيفة ما ، فإن الوظيفة هي أيضًا مشتق عكسي للدالة.

دليل:دعونا نثبت ذلك من تعريف المشتق العكسي. لنجد مشتق الدالة:

المصطلح الأول في التعريف 1.1يساوي ، والحد الثاني هو مشتق الثابت ، الذي يساوي 0.

.

لخص. لنكتب بداية ونهاية سلسلة المساواة:

وبالتالي ، فإن مشتق الوظيفة متساوٍ ، وبالتالي ، بحكم التعريف ، هو مشتقها العكسي. تم إثبات الملكية.

التعريف 1.2:التكامل غير المحدود للدالة هو المجموعة الكاملة من المشتقات العكسية لهذه الدالة. يشار إليه على النحو التالي:

.

ضع في اعتبارك أسماء كل جزء من السجل بالتفصيل:

هي التدوين العام للتكامل ،

هو تعبير من نوع Integrand ، وهو دالة قابلة للتكامل.

هو التفاضل ، والتعبير بعد الحرف ، في هذه الحالة ، سيسمى متغير التكامل.

تعليقات:الكلمات الرئيسية في هذا التعريف هي "المجموعة الكاملة". أولئك. إذا لم تتم كتابة "plus C" في المستقبل في الإجابة ، فسيكون للمفتش كل الحق في عدم اعتماد هذه المهمة ، لأنه من الضروري إيجاد المجموعة الكاملة من المشتقات العكسية ، وإذا كانت C غائبة ، فعندئذٍ يوجد واحد فقط.

خاتمة:للتحقق مما إذا كان التكامل محسوبًا بشكل صحيح ، من الضروري إيجاد مشتق النتيجة. يجب أن يتطابق مع Integrand.
مثال:
يمارس:احسب التكامل غير المحدد وتحقق.

حل:

الطريقة التي يتم بها حساب هذا التكامل لا تهم في هذه الحالة. افترض أنه وحي من الأعلى. مهمتنا هي أن نظهر أن الوحي لم يخدعنا ، ويمكن القيام بذلك بمساعدة التحقق.

فحص:

عند اشتقاق النتيجة ، تم الحصول على التكامل ، مما يعني أنه تم حساب التكامل بشكل صحيح.

2. ابدأ. جدول التكاملات.

للتكامل ، ليس من الضروري تذكر كل مرة الدالة التي يكون مشتقها مساويًا للتكامل المحدد (أي استخدم تعريف التكامل مباشرة). تحتوي كل مجموعة من المسائل أو كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي على قائمة بخصائص التكاملات وجدول بأبسط التكاملات.

دعنا نسرد الخصائص.

ملكيات:
1.
تكامل التفاضل يساوي متغير التكامل.
2. ، أين هو ثابت.
يمكن إخراج المضاعف الثابت من علامة التكامل.

3.
تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات (إذا كان عدد الحدود محدودًا).
جدول متكامل:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

غالبًا ما تكون المهمة هي تقليل التكامل الذي تم فحصه إلى جزء جدولي باستخدام الخصائص والصيغ.

مثال:

[لنستخدم الخاصية الثالثة للتكاملات ونكتبها في صورة مجموع ثلاثة تكاملات.]

[لنستخدم الخاصية الثانية ونخرج الثوابت من علامة التكامل.]

[في التكامل الأول ، نستخدم الجدول رقم 1 (n = 2) ، وفي الثاني - نفس الصيغة ، ولكن n = 1 ، وبالنسبة للتكامل الثالث ، يمكنك إما استخدام نفس الجدول المتكامل ، ولكن باستخدام n = 0 ، أو الخاصية الأولى.]
.
دعنا نتحقق من خلال التفاضل:

تم الحصول على التكامل الأصلي ، وبالتالي ، تم إجراء التكامل بدون أخطاء (وحتى إضافة الثابت التعسفي C لم يُنسى).

يجب تعلم التكاملات الجدولية عن ظهر قلب لسبب واحد بسيط - من أجل معرفة ما يجب السعي لتحقيقه ، أي تعرف الغرض من تحويل التعبير المعطى.

هنا المزيد من الأمثلة:
1)
2)
3)

مهام الحل المستقل:

التمرين 1.احسب التكامل غير المحدد:

+ إظهار / إخفاء التلميح رقم 1.

1) استخدم الخاصية الثالثة وقدم هذا التكامل كمجموع ثلاثة تكاملات.

+ إظهار / إخفاء التلميح رقم 2.

+ إظهار / إخفاء التلميح رقم 3.

3) بالنسبة إلى المصطلحين الأولين ، استخدم التكامل الجدولي الأول ، وبالنسبة للمصطلح الثالث - التكامل الجدولي الثاني.

+ إظهار / إخفاء الحل والجواب.

4) الحل:

إجابة:

عكسي

تعريف الوظيفة العكسية

• وظيفة ص = و (س)يسمى المشتق العكسي للوظيفة ص = و (س)في فترة زمنية معينة X ،إذا كان للجميع X ∈Xتحمل المساواة: و ′ (س) = و (س)

يمكن قراءتها بطريقتين:

1. F مشتق الوظيفة F
2. F عكسي للوظيفة F

خاصية المشتقات العكسية

• لو و (س)- مشتق عكسي للوظيفة و (خ)في فترة زمنية معينة ، فإن الوظيفة f (x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، ويمكن كتابة كل هذه المشتقات العكسية و (خ) + ج، حيث C ثابت اعتباطي.

تفسير هندسي

• الرسوم البيانية لجميع المشتقات العكسية لدالة معينة و (خ)يتم الحصول عليها من الرسم البياني لأي مشتق عكسي عن طريق عمليات النقل المتوازية على طول المحور O في.

قواعد حساب المشتقات العكسية

1. المشتق العكسي للمجموع يساوي مجموع المشتقات العكسية. لو و (س)- بدائي ل و (خ)، و G (x) المشتق العكسي لـ ز (س)، الذي - التي F (x) + G (x)- بدائي ل و (س) + ز (خ).
2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق. لو و (س)- بدائي ل و (خ)، و كثابت إذن kF (x)- بدائي ل kf (x).
3. لو و (س)- بدائي ل و (خ)، و ك ، ب- دائم و ك ≠ 0، الذي - التي 1 / ك ف (ك س + ب)- بدائي ل و (ككس + ب).

يتذكر!

أي وظيفة F (x) \ u003d x 2 + C. ، حيث C ثابت تعسفي ، وهذه الوظيفة فقط هي المشتق العكسي للدالة و (س) = 2 س.

• على سبيل المثال:

  F "(x) \ u003d (x 2 + 1)" \ u003d 2x \ u003d f (x) ؛

  و (س) = 2 س ،لأن F "(x) \ u003d (x 2-1)" \ u003d 2x \ u003d f (x) ؛

  و (س) = 2 س ،لأن F "(x) \ u003d (x 2 -3)" \ u003d 2x \ u003d f (x) ؛

العلاقة بين الرسوم البيانية للدالة ومشتقاتها العكسية:

1. إذا كان الرسم البياني للدالة f (x)> 0 و (س)يزيد خلال هذه الفترة.
2. إذا كان الرسم البياني للدالة و (خ)<0 في الفترة ، ثم الرسم البياني لمشتقاتها العكسية و (س)ينخفض ​​خلال هذه الفترة.
3. لو و (س) = 0، ثم الرسم البياني لمشتقاتها العكسية و (س)في هذه المرحلة يتغير من زيادة إلى تناقص (أو العكس).

للدلالة على المشتق العكسي ، يتم استخدام علامة التكامل غير المحدد ، أي التكامل دون الإشارة إلى حدود التكامل.

تكامل غير محدد

تعريف:

• التكامل غير المحدود للدالة f (x) هو التعبير F (x) + C ، أي مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة المعينة f (x). يتم الإشارة إلى التكامل غير المحدد على النحو التالي: \ int f (x) dx = F (x) + C

• و (خ)يسمى التكامل ؛
• و (س) دكس- يسمى Integand ؛
• x- يسمى متغير التكامل ؛
• و (س)- أحد المشتقات العكسية للدالة f (x) ؛
• معثابت تعسفي.

خصائص التكامل غير المحدود

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل: (\ int f (x) dx) \ prime = f (x).
2. يمكن إخراج العامل الثابت للمتكامل من علامة التكامل: \ int k \ cdot f (x) dx = k \ cdot \ int f (x) dx.
3. تكامل مجموع (فرق) الوظائف يساوي مجموع (فرق) تكاملات هذه الدوال: \ int (f (x) \ pm g (x)) dx = \ int f (x) dx \ pm \ int g (x) dx.
4. لو ك ، بهي ثوابت ، و k ≠ 0 ، إذن \ int f (kx + b) dx = \ frac (1) (k) \ cdot F (kx + b) + C.

جدول المشتقات العكسية والتكاملات غير المحددة

وظيفة و (خ)	عكسي و (خ) + ج	تكاملات غير محددة \ int f (x) dx = F (x) + C
0	ج	\ int 0 dx = C.
و (س) = ك	و (س) = ك س + ج	\ int kdx = kx + C
و (س) = س ^ م ، م \ ليس = -1	و (س) = \ فارك (س ^ (م + 1)) (م + 1) + ج	\ int x (^ m) dx = \ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
و (س) = \ فارك (1) (س)	F (x) = l n \ lvert x \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (x) = l n \ lvert x \ rvert + C
و (س) = ه ^ س	و (س) = ه ^ س + ج	\ int e (^ x) dx = e ^ x + C
و (س) = أ ^ س	F (x) = \ frac (a ^ x) (l na) + C	\ int a (^ x) dx = \ frac (a ^ x) (l na) + C
و (س) = الخطيئة س	و (س) = - \ كوس س + ج	\ int \ sin x dx = - \ cos x + C
f (x) = cos x	F (x) = \ sin x + C	\ int \ cos x dx = \ sin x + C
و (س) = \ فارك (1) (\ الخطيئة (^ 2) س)	F (x) = - \ ctg x + C.	\ int \ frac (dx) (\ sin (^ 2) x) = - \ ctg x + C
و (س) = \ فارك (1) (\ كوس (^ 2) س)	و (س) = \ tg س + ج	\ int \ frac (dx) (\ sin (^ 2) x) = \ tg x + C
و (س) = الجذر التربيعي (س)	F (x) = \ frac (2x \ sqrt (x)) (3) + C
و (س) = \ فارك (1) (\ مربع (س))	و (س) = 2 \ مربع (س) + ج
و (س) = \ فارك (1) (\ الجذر التربيعي (1-س ^ 2))	F (x) = \ arcsin x + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C
و (س) = \ فارك (1) (\ الجذر التربيعي (1 + س ^ 2))	F (x) = \ arctg x + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (1 + x ^ 2)) = \ arctg x + C
و (س) = \ فارك (1) (\ الجذر التربيعي (أ ^ 2-س ^ 2))	F (x) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C
و (س) = \ فارك (1) (\ الجذر التربيعي (أ ^ 2 + س ^ 2))	F (x) = arctg frac (x) (a) + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ frac (1) (a) \ arctg \ frac (x) (a) + C
و (س) = \ فارك (1) (1 + س ^ 2)	F (x) = \ arctg + C	\ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ arctg + C
و (س) = \ فارك (1) (\ الجذر التربيعي (س ^ 2-أ ^ 2)) (أ \ ليس = 0)	F (x) = \ frac (1) (2a) l n \ lvert \ frac (x-a) (x + a) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) = \ frac (1) (2a) l n \ lvert \ frac (x-a) (x + a) \ rvert + C
و (س) = \ tg س	F (x) = - l n \ lvert \ cos x \ rvert + C	\ int \ tg x dx = -l n \ lvert \ cos x \ rvert + C
و (س) = \ ctg س	F (x) = l n \ lvert \ sin x \ rvert + C	\ int \ ctg x dx = l n \ lvert \ sin x \ rvert + C
و (س) = \ فارك (1) (\ سينكس)	F (x) = l n \ lvert \ tg \ frac (x) (2) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ sin x) = l n \ lvert \ tg \ frac (x) (2) \ rvert + C
و (س) = \ فارك (1) (\ كوس س)	F (x) = l n \ lvert \ tg (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4)) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ cos x) = l n \ lvert \ tg (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4)) \ rvert + C

صيغة نيوتن ليبنيز

يترك و (خ)هذه الوظيفة ، Fبدائية تعسفية.

\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | _ (a) ^ (b)= F (ب) - F (أ)

أين و (س)- بدائي و (خ)

هذا هو ، تكامل الوظيفة و (خ)في الفترة الزمنية يساوي فرق المشتقات العكسية عند النقاط بو أ.

منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع

منحني الشكل شبه منحرف يسمى الشكل المحدود برسم بياني لوظيفة غير سالبة ومستمرة على قطعة Fومحور الثور والخطوط المستقيمة س = أو س = ب.

تم العثور على مساحة شبه منحرف منحني الخطوط باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

طرق التكامل الأربعة الرئيسية مذكورة أدناه.

1) قاعدة تكامل المجموع أو الفرق.
.
هنا وأدناه ، u ، v ، w هي وظائف متغير التكامل x.

2) إخراج الثابت من علامة التكامل.
لنفترض أن c ثابت مستقل عن x. ثم يمكن إخراجها من علامة التكامل.

3) طريقة الاستبدال المتغير.
ضع في اعتبارك التكامل غير المحدد.
إذا كان من الممكن اختيار هذه الوظيفة φ (خ)من س ، إذن
,
ثم بعد تغيير المتغير t = φ (x) لدينا
.

4) صيغة التكامل بالأجزاء.
,
حيث u و v هي وظائف متغير التكامل.

الهدف النهائي لحساب التكاملات غير المحددة هو ، من خلال التحويلات ، إحضار التكامل المعطى لأبسط التكاملات ، والتي تسمى التكاملات الجدولية. يتم التعبير عن تكاملات الجدول من حيث الوظائف الأولية باستخدام الصيغ المعروفة.
انظر جدول التكاملات >>>

مثال

احسب التكامل غير المحدد

حل

لاحظ أن التكامل هو مجموع وفرق ثلاثة مصطلحات:
، و .
نطبق الطريقة 1 .

علاوة على ذلك ، نلاحظ أن تكاملات التكاملات الجديدة يتم ضربها في الثوابت 5, 4, و 2 ، على التوالى. نطبق الطريقة 2 .

في جدول التكاملات نجد الصيغة
.
الإعداد ن = 2 ، نجد التكامل الأول.

دعونا نعيد كتابة التكامل الثاني في الصورة
.
نلاحظ ذلك. ثم

دعنا نستخدم الطريقة الثالثة. نقوم بتغيير المتغير t = φ (س) = سجل س.
.
في جدول التكاملات نجد الصيغة

بما أنه يمكن الإشارة إلى متغير التكامل بأي حرف ، إذن

دعونا نعيد كتابة التكامل الثالث في الصورة
.
نطبق صيغة التكامل بالأجزاء.
يترك .
ثم
;
;

;
;
.

أخيرا لدينا
.
اجمع الشروط مع x 3 .
.

إجابة

مراجع:
ن. غونتر ، R.O. كوزمين ، مجموعة المسائل في الرياضيات العليا ، لان ، 2003.