الحل الرسومي للمتباينات ذات متغيرين. تحديد الأشكال على المستوى الإحداثي باستخدام المعادلات والمتباينات

غالبا ما يكون من الضروري تصوير خطة تنسيقمجموعة من الحلول للمتباينة ذات متغيرين. حل عدم المساواة في متغيرين هو زوج من قيم هذه المتغيرات التي تجعل عدم المساواة صحيحة. عدم المساواة العددية.

2u+ زكس< 6.

أولا، دعونا نبني خطا مستقيما. للقيام بذلك، نكتب المتباينة في صورة المعادلة 2u+ زكس = 6 وصريحة ذ.وهكذا نحصل على: ص=(6-3س)/2.

يقسم هذا الخط مجموعة جميع نقاط المستوى الإحداثي إلى نقاط تقع فوقه ونقاط تقع أسفله.

خذ ميمي من كل منطقة نقطة تحكم، على سبيل المثال A (1;1) وB (1;3)

إحداثيات النقطة A تحقق هذه المتباينة 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

إحداثيات النقطة ب لاحقق هذه المتباينة 2∙3 + 3∙1< 6.

وبما أن هذه المتباينة يمكن أن تغير الإشارة على الخط المستقيم 2y + 3x = 6، فإن المتباينة تتحقق بمجموعة النقاط في المنطقة التي تقع فيها النقطة A.

وبذلك نكون قد قمنا بتصوير مجموعة الحلول للمتباينة 2y + زكس< 6.

مثال

دعونا نصور مجموعة حلول المتراجحة x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 على المستوى الإحداثي.

لنقم أولاً ببناء رسم بياني للمعادلة x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 = 0. لنفصل معادلة الدائرة في هذه المعادلة: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) = 4, أو (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 .

هذه هي معادلة دائرة مركزها النقطة 0 (-1; 2) ونصف قطرها R = 2. لنقم ببناء هذه الدائرة.

وبما أن هذه المتباينة صارمة والنقاط الواقعة على الدائرة نفسها لا تحقق المتباينة، فقد قمنا ببناء الدائرة بخط منقط.

من السهل التحقق من أن إحداثيات المركز O للدائرة لا تلبي هذه المتباينة. التعبير x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 يغير إشارته على الدائرة المبنية. ثم يتم تحقيق المتباينة بالنقاط الموجودة خارج الدائرة. هذه النقاط مظللة.

مثال

دعونا نرسم على المستوى الإحداثي مجموعة حلول المتراجحة

(ص - س 2)(ص - س - 3)< 0.

أولاً، لنقم بإنشاء رسم بياني للمعادلة (y - x 2)(y - x - 3) = 0. وهو عبارة عن قطع مكافئ y = x 2 وخط مستقيم y = x + 3. دعونا نبني هذه الخطوط ونلاحظ أن تغيير إشارة التعبير (y - x 2)(y - x - 3) يحدث فقط على هذه الخطوط. بالنسبة للنقطة أ (0؛ 5)، نحدد إشارة هذا التعبير: (5- 3) > 0 (أي أن هذه المتباينة لا تصمد). أصبح من السهل الآن تحديد مجموعة النقاط التي يتم تحقيق هذا التباين فيها (هذه المناطق مظللة).

خوارزمية لحل المتباينات ذات متغيرين

1. دعونا نقلل من عدم المساواة إلى النموذج f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; و (س؛ ص) ≥ 0؛ و (س؛ ص) ≥ 0؛)

2. اكتب المساواة f (x; y) = 0

3. التعرف على الرسوم البيانية المكتوبة على الجانب الأيسر.

4. نبني هذه الرسوم البيانية. إذا كانت المتراجحة صارمة (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0)، ثم - بشرطات، إذا لم تكن المساواة صارمة (f (x؛ y) ≥ 0 أو f (x؛ y) ≥ 0)، ثم - بخط متصل.

5. تحديد عدد أجزاء الرسومات التي ينقسم إليها المستوى الإحداثي

6. حدد نقطة تحكم في أحد هذه الأجزاء. تحديد علامة التعبير f (x; y)

7. نضع العلامات في أجزاء أخرى من المستوى مع مراعاة التناوب (كاستخدام طريقة الفواصل)

8. نختار الأجزاء التي نحتاجها وفقا لإشارة المتراجحة التي نحلها ونطبق التظليل

في هذه المقالة أجيب على سؤال آخر من المشتركين. الأسئلة تأتي بطرق مختلفة. لم تتم صياغتها جميعها بشكل صحيح. ويتم صياغة بعضها بطريقة تجعل من غير الواضح على الفور ما يريد المؤلف طرحه. لذلك بين تشكيلة واسعةعند إرسال الأسئلة، يجب أن أختار أسئلة مثيرة للاهتمام حقًا، مثل "اللآلئ"، والإجابة عليها ليست مثيرة فحسب، ولكنها مفيدة أيضًا، كما يبدو لي، لقرائي الآخرين. واليوم أجيب على أحد هذه الأسئلة. كيف يمكن تصوير مجموعة الحلول لنظام عدم المساواة؟


إنها حقا سؤال جيد. لأن الطريقة الحل الرسوميالمشاكل في الرياضيات هي وسيلة قوية جدا. تم تصميم الشخص بطريقة تجعله أكثر ملاءمة لإدراك المعلومات بمساعدة المواد المرئية المختلفة. لذلك إذا أتقنت هذه الطريقة فصدقني ستكون لا غنى عنها لكما عند حل المهام من امتحان الدولة الموحدة وخاصة من الجزء الثاني والامتحانات الأخرى وعند حل مسائل التحسين وهكذا وهكذا .

حتى هنا هو عليه. كيف يمكننا الإجابة على هذا السؤال؟ لنبدأ بسيطة. دع نظام المتباينات يحتوي على متغير واحد فقط.

مثال 1. ارسم مجموعة الحلول لنظام المتباينات: Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

دعونا تبسيط هذا النظام. للقيام بذلك، أضف 7 إلى طرفي المتباينة الأولى واقسم كلا الطرفين على 2، دون تغيير إشارة المتباينة، لأن 2 هو رقم موجب، عدد إيجابي. نضيف 4 إلى طرفي المتباينة الثانية، ونحصل على ذلك النظام التاليعدم المساواة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

عادة ما تسمى هذه المشكلة أحادية البعد. لماذا؟ نعم، لأنه من أجل تصوير العديد من حلولها، فهو مباشر بما فيه الكفاية. خط الأعداد، على وجه الدقة. لنضع علامة على النقطتين 6 و8 على خط الأعداد هذا. من الواضح أن النقطة 8 ستكون أبعد إلى اليمين من النقطة 6، لأنه على خط الأعداد توجد الأعداد الأكبر على يمين الأعداد الأصغر. بالإضافة إلى ذلك، سيتم تظليل النقطة 8، لأنه وفقًا لتدوين المتباينة الأولى، يتم تضمينها في حلها. على العكس من ذلك، ستكون النقطة 6 غير مظللة، لأنها لا تدخل في حل المتراجحة الثانية:

دعونا الآن نضع علامة بسهم أعلى القيم التي هي أقل من أو تساوي 8، كما هو مطلوب من قبل المتباينة الأولى للنظام، ومع سهم أدناه - القيم التي هي أكبر من 6، كما هو مطلوب من قبل ثانيا عدم المساواة في النظام:

يبقى الإجابة على سؤال أين توجد حلول نظام المتباينات على خط الأعداد. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد. رمز النظام - القوس المتعرج - في الرياضيات يحل محل حرف العطف "I". وهذا هو، ترجمة لغة الصيغ إلى لغة بشريةيمكننا القول أنه مطلوب منا الإشارة إلى قيم أكبر من 6 وأقل من أو تساوي 8. أي أن الفاصل الزمني المطلوب يقع عند تقاطع الفواصل الزمنية المحددة:

لذلك قمنا بتصوير مجموعة حلول نظام المتباينات على خط الأعداد في حالة احتواء نظام المتباينات على متغير واحد فقط. يتضمن هذا الفاصل المظلل جميع القيم التي يتم استيفاء جميع المتباينات المكتوبة في النظام بها.

دعونا الآن نفكر أكثر حالة صعبة. دع نظامنا يحتوي على عدم المساواة مع متغيرين و . وفي هذه الحالة، لن يكون من الممكن استخدام الخط المستقيم فقط لتصوير حلول مثل هذا النظام. نتجاوز العالم أحادي البعد ونضيف إليه بعدًا آخر. نحن هنا بحاجة إلى طائرة كاملة. دعونا نلقي نظرة على الوضع باستخدام مثال محدد.

إذًا، كيف يمكننا تصوير مجموعة الحلول لنظام معين من المتباينات بمتغيرين في نظام إحداثي مستطيل على المستوى؟ لنبدأ بأبسط شيء. دعونا نسأل أنفسنا ما هي منطقة هذا المستوى التي تحددها المتباينة؟ تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا عموديًا على المحور ثورمن خلال النقطة (0;0). وهذا يعني في الواقع أن هذا الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوي. حسنًا، نظرًا لأننا مهتمون بالقيم التي تكون أكبر من أو تساوي 0، فإن نصف المستوى بأكمله الواقع على يمين الخط المستقيم مناسب:

علاوة على ذلك، جميع النقاط التي تقع على المحور أوي، مناسبة لنا أيضًا، لأن عدم المساواة ليس صارمًا.

لفهم المساحة التي تحددها المتباينة الثالثة على المستوى الإحداثي، عليك رسم الدالة. وهو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وعلى سبيل المثال النقطة (1؛1). أي أنه في الحقيقة خط مستقيم يحتوي على منصف الزاوية المكونة للأول تنسيق الربع.

والآن لنلق نظرة على المتباينة الثالثة في النظام ونفكر فيها. ما هي المنطقة التي نحتاج إلى العثور عليها؟ دعونا ننظر: . علامة أكبر من أو يساوي. أي أن الوضع مشابه لما في المثال السابق. هنا فقط كلمة "المزيد" لا تعني "المزيد إلى اليمين"، بل تعني "أعلى". لأن أوي- هذا لنا محور رأسي. أي أن المساحة المحددة على المستوى بالمتباينة الثالثة هي مجموعة النقاط الواقعة فوق الخط أو عليه:

مع المتباينة الأولى، يصبح النظام أقل ملاءمة. لكن بعد أن تمكنا من تحديد المساحة المحددة بالمتباينة الثالثة، أعتقد أن كيفية التصرف أصبحت واضحة بالفعل.

من الضروري تقديم هذه المتباينة بحيث لا يوجد سوى المتغير على اليسار، والمتغير فقط على اليمين. للقيام بذلك، اطرح من طرفي المتراجحة واقسم كلا الطرفين على 2، دون تغيير إشارة المتراجحة، لأن 2 عدد موجب. ونتيجة لذلك نحصل على عدم المساواة التالية:

كل ما تبقى هو رسم خط مستقيم على المستوى الإحداثي الذي يتقاطع مع المحور أويعند النقطة A(0;4) وخط مستقيم عند النقطة . لقد تعلمت الأخير من خلال مساواة الأطراف اليمنى لمعادلات الخطوط والحصول على المعادلة. من هذه المعادلة تم العثور على إحداثيات نقطة التقاطع، والإحداثيات، أعتقد أنك خمنتها، تساوي الإحداثيات. ولمن لم يخمن بعد، فهذا لأن لدينا معادلة أحد المستقيمين المتقاطعين: .

بمجرد رسم هذا الخط المستقيم، يمكننا تحديد المنطقة المطلوبة على الفور. علامة المتباينة هنا هي "أقل من أو يساوي". وهذا يعني أن المنطقة المطلوبة تقع أسفل أو مباشرة على الخط المستقيم الموضح:

حسنا، السؤال الأخير. أين هي المنطقة المرغوبة التي تلبي جميع المتباينات الثلاثة في النظام؟ من الواضح أنها تقع عند تقاطع المناطق الثلاث المحددة. العبور مرة أخرى! تذكر: علامة النظام في الرياضيات تعني التقاطع. ومن هنا هذه المنطقة:

حسنًا المثال الأخير. حتى أكثر عمومية. لنفترض الآن أنه ليس لدينا متغير واحد في النظام، ولا اثنين، بل ثلاثة!

وبما أن هناك ثلاثة متغيرات، لتصوير مجموعة الحلول لمثل هذا النظام من المتباينات، سنحتاج إلى بعد ثالث بالإضافة إلى البعدين اللذين عملنا عليهما في المثال السابق. أي أننا نخرج من المستوى إلى الفضاء ونصور نظام إحداثيات مكاني بثلاثة أبعاد: X, يو ز. الذي يتوافق مع الطول والعرض والارتفاع.

لنبدأ بتصوير السطح المحدد بالمعادلة في نظام الإحداثيات هذا. من حيث الشكل، فهي تشبه إلى حد كبير معادلة الدائرة على المستوى، حيث يتم إضافة حد واحد فقط مع المتغير . من السهل تخمين أن هذه هي معادلة كرة مركزها النقطة (1;3;2)، ومربع نصف قطرها 4. أي أن نصف القطر نفسه هو 2.

ثم سؤال. إذن، ما الذي يحدده عدم المساواة في حد ذاته؟ بالنسبة لأولئك الذين يشعرون بالحيرة من هذا السؤال، أقترح التفكير على النحو التالي. بترجمة لغة الصيغ إلى لغة بشرية، يمكننا القول أنه مطلوب الإشارة إلى جميع المجالات التي مركزها عند النقطة (1؛3؛2)، التي يكون نصف قطرها أقل من أو يساوي 2. ولكن بعد ذلك كلها سيتم وضع هذه المجالات داخل المجال المصور! وهذا هو، في الواقع، يحدد هذا عدم المساواة المنطقة الداخلية بأكملها للكرة المصورة. إذا كنت تريد، يتم تعريف الكرة، ويحدها المجال المصور:

السطح المحدد بالمعادلة x+y+z=4 هو مستوى يتقاطع مع محاور الإحداثيات عند النقاط (0;0;4) و(0;4;0) و(4;0;0). حسنًا، من الواضح أنه كلما زاد الرقم الموجود على يمين علامة المساواة، كلما كانت نقاط تقاطع هذا المستوى مع محاور الإحداثيات بعيدة عن مركز الإحداثيات. أي أن المتباينة الثانية تحدد نصف مساحة تقع "فوق" مستوى معين. باستخدام المصطلح التقليدي "أعلى"، أعني المزيد في اتجاه زيادة قيم الإحداثيات على طول المحاور.

هذه الطائرة تتقاطع مع المجال المصور. في هذه الحالة، يكون قسم التقاطع دائرة. يمكنك حتى حساب المسافة من مركز نظام الإحداثيات الذي يقع فيه مركز هذه الدائرة. بالمناسبة، من يخمن كيفية القيام بذلك، يكتب حلولك وإجاباتك في التعليقات. وبالتالي، يحدد النظام الأولي للمتباينات منطقة من الفضاء تقع بعيدًا عن هذا المستوى في اتجاه زيادة الإحداثيات، ولكنها محاطة بالكرة الموضحة:

هذا هو عدد الحلول التي تم تصويرها لنظام عدم المساواة. إذا كان هناك متغيرات في النظام أكثر من 3 (على سبيل المثال، 4)، فلن يكون من الممكن تصوير مجموعة الحلول بوضوح. لأن هذا يتطلب نظام إحداثيات رباعي الأبعاد. لكن شخص طبيعيغير قادر على تخيل كيفية تحديد موقع محاور الإحداثيات الأربعة المتعامدة بشكل متبادل. مع أن لدي صديق يدعي أنه يستطيع فعل ذلك، وبكل سهولة. لا أعلم إن كان يقول الحقيقة، ربما يقول الحقيقة. ولكن لا يزال طبيعيا الخيال البشريلا يسمح بذلك.

أتمنى أن تجد درس اليوم مفيدا. للتحقق من مدى فهمك لها، قم بالواجب المنزلي أدناه.

ارسم مجموعة الحلول لنظام المتباينات:

ql-right-eqno"> title="تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

المواد من إعداد سيرجي فاليريفيتش

المتباينة هي رقمين أو التعبيرات الرياضية، متصلة بإحدى العلامات: > (أكثر، في حالة عدم المساواة الصارمة)،< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

عدم المساواة خطيبنفس شروط المعادلة: أنها تحتوي على متغيرات من الدرجة الأولى فقط ولا تحتوي على منتجات المتغيرات.

يرتبط حل المتباينات الخطية وأنظمة المتباينات الخطية ارتباطًا وثيقًا بمعناها الهندسي: الحل عدم المساواة الخطيةهو نصف مستوى معين ينقسم إليه المستوى بأكمله بخط مستقيم، ويتم الحصول على معادلته من خلال عدم المساواة الخطية. يجب العثور على هذا النصف المستوي، وفي حالة نظام المتباينات الخطية، الجزء من المستوي المحدود بعدة خطوط مستقيمة في الرسم.

نحو حل أنظمة عدم المساواة الخطية مع عدد كبيريتم اختزال العديد من المشاكل الاقتصادية إلى متغيرات، على وجه الخصوص، مشاكل البرمجة الخطية التي يُطلب فيها العثور على الحد الأقصى أو الأدنى للدالة.

حل أنظمة المتباينات الخطية التي تحتوي على أي عدد من المجهولات

أولاً، دعونا نلقي نظرة على المتباينات الخطية في المستوى. النظر في عدم المساواة واحد مع متغيرين و:

,

أين هي معاملات المتغيرات (بعض الأرقام)، هو المصطلح الحر (أيضا بعض الأرقام).

متباينة واحدة ذات مجهولين، مثل المعادلة، لها عدد لا نهائي من الحلول. الحل لهذه المتباينة هو زوج من الأرقام التي تحقق هذه المتباينة. هندسيًا، يتم تصوير مجموعة حلول المتباينة على أنها نصف مستوى يحده خط مستقيم

,

والذي سوف نسميه خط الحدود.

الخطوة 1. أنشئ خطًا مستقيمًا يحدد مجموعة الحلول للمتباينة الخطية

للقيام بذلك، عليك أن تعرف أي نقطتين على هذا الخط. دعونا نجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات. إحداثيات التقاطع أيساوي الصفر (الشكل 1). تشير القيم العددية على المحاور في هذا الشكل إلى المثال رقم 1، والذي سنقوم بتحليله مباشرة بعد هذه الرحلة النظرية.

نجد الإحداثي السيني عن طريق حل معادلة الخط مع معادلة المحور كنظام.

لنجد التقاطع مع المحور:

وبالتعويض بالقيمة في المعادلة الأولى نحصل على

أين .

وهكذا وجدنا نهاية النقطة أ .

دعونا نجد إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور.

النقاط الإحداثية بيساوي الصفر. دعونا نحل معادلة الخط الحدودي مع معادلة المحور الإحداثي:

,

وبالتالي إحداثيات النقطة ب: .

الخطوة 2. ارسم خطًا مستقيمًا يحدد مجموعة الحلول للمتباينة.معرفة النقاط أو بتقاطع الخط الحدودي مع محاور الإحداثيات يمكننا رسم هذا الخط. يقسم الخط المستقيم (الشكل 1 مرة أخرى) المستوى بأكمله إلى جزأين يقعان على يمين ويسار (أعلى وأسفل) هذا الخط المستقيم.

الخطوة 3. حدد نصف المستوى الذي يمثل الحل لهذه المتباينة.للقيام بذلك، تحتاج إلى استبدال أصل الإحداثيات (0؛ 0) في هذه المتباينة. إذا كانت إحداثيات الأصل تحقق المتراجحة، فإن حل المتراجحة هو نصف المستوى الذي يقع فيه أصل الإحداثيات. إذا كانت الإحداثيات لا تحقق المتراجحة، فإن حل المتراجحة هو نصف مستوى لا يحتوي على نقطة الأصل. سيتم الإشارة إلى نصف المستوى لحل المتراجحة بضربات من الخط المستقيم إلى نصف المستوى، كما في الشكل 1.

إذا قمنا بحل نظام من المتباينات الخطية، ثم يتم تنفيذ كل خطوة لكل من متباينات النظام.

مثال 1.حل عدم المساواة

حل. لنرسم خطًا مستقيمًا

بالتعويض بخط مستقيم في المعادلة نحصل على و بالتعويض نحصل على . وبالتالي فإن إحداثيات نقاط التقاطع مع المحاور ستكون أ(3; 0) , ب(0 ؛ 2) . دعونا نرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقاط (مرة أخرى، الشكل 1).

دعونا نختار نصف المستوى من الحلول للمتباينة. للقيام بذلك، نعوض بإحداثيات الأصل (0؛ 0) في المتراجحة:

نحصل عليها، أي أن إحداثيات الأصل تلبي هذا التباين. وبالتالي، فإن حل المتراجحة هو نصف المستوى الذي يحتوي على أصل الإحداثيات، أي نصف المستوى الأيسر (المعروف أيضًا باسم السفلي).

ولو كانت هذه المتباينة صارمة، لكان لها الشكل

فإن نقاط خط الحدود لن تكون حلاً، لأنها لا تحقق المتباينة.

الآن فكر في نظام من المتباينات الخطية ذات مجهولين:

تحدد كل من متباينات هذا النظام على المستوى نصف المستوى. يسمى نظام المتباينات الخطية متسقًا إذا كان له حل واحد على الأقل، وغير متسق إذا لم يكن له حلول. الحل لنظام من المتباينات الخطية هو أي زوج من الأرقام () يحقق جميع المتباينات في النظام المعطى.

هندسيًا، الحل لنظام من المتباينات الخطية هو مجموعة النقاط التي تحقق جميع متباينات النظام، أي الجزء المشترك من أنصاف المستويات الناتجة. لذلك، هندسيًا، في الحالة العامة، يمكن تصوير الحل على شكل مضلع ما؛ وفي حالة معينة، يمكن أن يكون خطًا أو قطعة أو حتى نقطة. إذا كان نظام المتباينات الخطية غير متسق، فلا توجد نقطة واحدة على المستوى تلبي جميع متباينات النظام.

مثال 2.

حل. لذا، علينا إيجاد مضلع من الحلول لنظام المتباينات هذا. لنرسم خطًا حدوديًا للمتباينة الأولى، أي خطًا، وخطًا حدوديًا للمتباينة الثانية، أي خطًا.

ونقوم بذلك خطوة بخطوة، كما بينا في المرجع النظري وفي المثال رقم 1، خاصة أننا في المثال رقم 1 قمنا ببناء خط حدود للمتباينة وهو الأول في هذا النظام.

إن أنصاف الحلول المقابلة لمتباينات هذا النظام مظللة إلى الداخل في الشكل 2. جزء مشتركحلول نصف المستوى هي زاوية مفتوحة اي بي سي. وهذا يعني أن مجموعة النقاط في المستوى التي تشكل زاوية مفتوحة اي بي سي، هو حل لكل من المتباينتين الأولى والثانية للنظام، أي أنه حل لنظام مكون من متباينتين خطيتين. بمعنى آخر، فإن إحداثيات أي نقطة من هذه المجموعة تلبي متباينتي النظام.

مثال 3.حل نظام من عدم المساواة الخطية

حل. دعونا نبني خطوط حدود تتوافق مع عدم المساواة في النظام. نقوم بذلك باتباع الخطوات الواردة في المساعدة النظرية لكل متباينة. الآن نحدد أنصاف مستويات الحلول لكل متباينة (الشكل 3).

يتم تظليل أنصاف مستويات الحلول المقابلة للمتباينات في نظام معين إلى الداخل. تم تصوير تقاطع أنصاف مستويات الحلول، كما هو موضح في الشكل، على شكل رباعي ABCE. لقد وجدنا أن مضلع الحلول لنظام من المتباينات الخطية ذات متغيرين هو شكل رباعي ABCE .

كل ما هو موصوف أعلاه حول أنظمة المتباينات الخطية ذات المجهولين ينطبق أيضًا على أنظمة المتباينات ذات أي عدد من المجهولين، مع الاختلاف الوحيد وهو أن حل المتباينة ذات المجهولين نالمجهول سيكون المجموع نالأرقام () تلبي جميع المتباينات، وبدلاً من خط الحدود سيكون هناك مستوى حدودي مفرط ن-مساحة الأبعاد. سيكون الحل عبارة عن محلول متعدد السطوح (بسيط) يحده طائرات مفرطة.

لا يوجد سوى "X's" والمحور x فقط، ولكن الآن تمت إضافة "Y's" ويتوسع مجال النشاط إلى المستوى الإحداثي بأكمله. وفي النص أيضًا، تُفهم عبارة "التفاوت الخطي" بمعنى ثنائي الأبعاد، والذي سيتضح في غضون ثوانٍ.

بالإضافة إلى الهندسة التحليلية، فإن المادة ذات صلة بعدد من المشكلات التحليل الرياضيوالنمذجة الاقتصادية والرياضية، لذا أنصح بدراسة هذه المحاضرة بكل جدية.

المتباينات الخطية

هناك نوعان من عدم المساواة الخطية:

1) حازمعدم المساواة: .

2) التراخيعدم المساواة: .

أيّ معنى هندسيهذه التفاوتات؟إذا كانت المعادلة الخطية تحدد خطًا، فإن المتباينة الخطية تحدد نصف الطائرة.

لفهم المعلومات التالية، عليك أن تعرف أنواع الخطوط الموجودة على المستوى وأن تكون قادرًا على إنشاء خطوط مستقيمة. إذا كان لديك أي صعوبات في هذا الجزء، اقرأ المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف- فقرة عن الدالة الخطية.

لنبدأ بأبسط المتباينات الخطية. حلم كل طالب فقير هو مستوى إحداثي لا يوجد فيه شيء:

كما تعلم، يتم تحديد المحور السيني بالمعادلة - يكون "y" دائمًا (لأي قيمة "x") يساوي الصفر

دعونا ننظر في عدم المساواة. كيف نفهم ذلك بشكل غير رسمي؟ "Y" دائمًا (لأي قيمة "x") موجبة. من الواضح أن عدم المساواة هذا يحدد النصف العلوي من المستوى - ففي النهاية، توجد جميع النقاط ذات "الألعاب" الإيجابية هناك.

في حالة أن عدم المساواة ليست صارمة، إلى النصف العلوي من الطائرة بالإضافة إلى ذلكيتم إضافة المحور نفسه.

وبالمثل: يتم تحقيق المتباينة من خلال جميع نقاط النصف السفلي من المستوى؛ والمتباينة غير الصارمة تتوافق مع المحور والنصف السفلي من المستوى.

إنها نفس القصة المبتذلة مع المحور ص:

- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيمن؛
- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيمن، بما في ذلك المحور الإحداثي؛
- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيسر؛
- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيسر، بما في ذلك المحور الإحداثي.

في الخطوة الثانية، سنتناول المتباينات التي يكون فيها أحد المتغيرات مفقودًا.

"Y" مفقود:

أو لا يوجد "x":

ويمكن معالجة هذه التفاوتات بطريقتين: يرجى النظر في كلا النهجين. على طول الطريق، دعونا نتذكر وندمج الإجراءات المدرسية مع عدم المساواة، التي تمت مناقشتها بالفعل في الفصل مجال الوظيفة.

مثال 1

حل المتباينات الخطية:

ماذا يعني حل عدم المساواة الخطية؟

حل المتباينة الخطية يعني إيجاد نصف المستوى، التي تحقق نقاطها هذه المتباينة (بالإضافة إلى الخط نفسه، إذا لم تكن المتباينة صارمة). حل، عادة، رسم بياني.

من الملائم أكثر تنفيذ الرسم فورًا ثم التعليق على كل شيء:

أ) حل عدم المساواة

الطريقة الأولى

تشبه الطريقة إلى حد كبير القصة ذات المحاور الإحداثية التي ناقشناها أعلاه. الفكرة هي تحويل المتباينة - ترك متغير واحد على الجانب الأيسر دون أي ثوابت - إلى في هذه الحالة- المتغير "x".

قاعدة: في المتراجحة تنتقل الحدود من جزء إلى جزء مع تغيير الإشارة، بينما إشارة المتراجحة نفسها لم يتغير(على سبيل المثال، إذا كانت هناك علامة "أقل من"، فستظل "أقل من").

ننقل "الخمسة" إلى الجانب الأيمنمع تغيير الإشارة:

قاعدة إيجابي لم يتغير.

الآن ارسم خطًا مستقيمًا (خط منقط أزرق). يتم رسم الخط المستقيم كخط منقط بسبب عدم المساواة حازم، وبالتأكيد لن يتم تضمين النقاط التي تنتمي إلى هذا الخط في الحل.

ما هو معنى عدم المساواة ؟ "X" دائمًا (لأي قيمة "Y") أقل من . من الواضح أن هذا البيان راضٍ عن جميع نقاط النصف الأيسر من المستوى. يمكن تظليل هذا المستوى النصفي من حيث المبدأ، لكنني سأقتصر على الأسهم الزرقاء الصغيرة حتى لا أحول الرسم إلى لوحة فنية.

الطريقة الثانية

هذا طريقة عالمية. اقرأ بعناية شديدة!

أولا نرسم خطا مستقيما. وللتوضيح، بالمناسبة، من المستحسن تقديم المعادلة في النموذج .

الآن حدد أي نقطة على المستوى، لا تنتمي إلى المباشرة. في معظم الحالات، النقطة الحلوة هي بالطبع. لنعوض بإحداثيات هذه النقطة في المتراجحة:

تلقى لا عدم المساواة الحقيقية (بكلمات بسيطة، هذا لا يمكن أن يكون) مما يعني أن النقطة لا تحقق المتباينة.

القاعدة الأساسية لمهمتنا:
لا يرضيعدم المساواة إذن الجميعنقاط نصف الطائرة المعطاة لا ترضيهذا عدم المساواة.
– إذا كانت أي نقطة من نصف المستوى (لا تنتمي إلى خط مستقيم) استوفيعدم المساواة إذن الجميعنقاط نصف الطائرة المعطاة رضاهذا عدم المساواة.

يمكنك اختبار: أي نقطة على يمين الخط لن تحقق المتراجحة.

ما هو الاستنتاج من التجربة مع هذه النقطة؟ لا يوجد مكان تذهب إليه، يتم تلبية عدم المساواة بجميع نقاط النصف الآخر - النصف الأيسر (يمكنك أيضًا التحقق).

ب) حل عدم المساواة

الطريقة الأولى

دعونا نحول عدم المساواة:

قاعدة: يمكن ضرب طرفي المتراجحة (تقسيمهما) على سلبيالرقم مع علامة عدم المساواة تغييرإلى العكس (على سبيل المثال، إذا كانت هناك علامة "أكبر من أو يساوي"، فسوف تصبح "أقل من أو يساوي").

نضرب طرفي المتراجحة في:

لنرسم خطًا مستقيمًا (باللون الأحمر)، ونرسم خطًا متصلًا، نظرًا لأن لدينا متباينة غير صارمةومن الواضح أن الخط المستقيم ينتمي إلى الحل.

بعد تحليل المتباينة الناتجة، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن حلها هو النصف السفلي من المستوى (+ الخط المستقيم نفسه).

نقوم بتظليل أو وضع علامة على نصف المستوى المناسب بالسهام.

الطريقة الثانية

لنرسم خطًا مستقيمًا. دعنا نختار نقطة تعسفيةالمستوى (الذي لا ينتمي إلى خط مستقيم)، على سبيل المثال، ونعوض بإحداثياته ​​في المتباينة لدينا:

تلقى عدم المساواة الحقيقيةمما يعني أن النقطة تحقق المتراجحة، وبشكل عام فإن جميع نقاط النصف السفلي من المستوى تحقق هذه المتراجحة.

هنا، مع النقطة التجريبية، "نصل" إلى نصف المستوى المطلوب.

يشار إلى حل المشكلة بخط أحمر وأسهم حمراء.

أنا شخصياً أفضل الحل الأول، لأن الثاني أكثر رسمية.

مثال 2

حل المتباينات الخطية:

وهذا مثال ل قرار مستقل. حاول حل المشكلة بطريقتين (بالمناسبة، هذا هو طريقة جيدةالتحقق من الحل). الإجابة في نهاية الدرس ستحتوي فقط على الرسم النهائي.

أعتقد أنه بعد كل الإجراءات الموضحة في الأمثلة، سيتعين عليك الزواج منهم، ولن يكون من الصعب حل أبسط المتباينات مثل، وما إلى ذلك.

دعنا ننتقل إلى النظر في الثالث، الحالة العامة، عندما يكون كلا المتغيرين موجودين في عدم المساواة:

وبدلاً من ذلك، قد يكون المصطلح الحر "ce" صفرًا.

مثال 3

أوجد أنصاف المستويات المقابلة للمتباينات التالية:

حل: تستخدم هنا طريقة عالميةالحلول مع استبدال النقاط.

أ) لنقم بإنشاء معادلة للخط المستقيم، وينبغي رسم الخط كخط منقط، حيث أن المتباينة صارمة والخط المستقيم نفسه لن يدخل في الحل.

نختار نقطة تجريبية من المستوى لا تنتمي إلى خط معين، على سبيل المثال، ونعوض بإحداثياتها في المتباينة لدينا:

تلقى عدم المساواة الزائفة، مما يعني أن النقطة وجميع النقاط في نصف المستوى المعطى لا تحقق المتراجحة. سيكون حل المتباينة هو نصف مستوي آخر، دعونا نعجب بالبرق الأزرق:

ب) دعونا نحل عدم المساواة. أولا، دعونا نبني خطا مستقيما. وهذا ليس بالأمر الصعب؛ فلدينا التناسب المباشر القانوني. نرسم الخط بشكل مستمر، لأن المتباينة ليست صارمة.

دعونا نختار نقطة عشوائية من المستوى لا تنتمي إلى الخط المستقيم. أود استخدام الأصل مرة أخرى، ولكن للأسف، فهو غير مناسب الآن. لذلك، سيكون عليك العمل مع صديق آخر. من المربح أكثر أن تأخذ نقطة ذات قيم إحداثيات صغيرة، على سبيل المثال، . دعونا نعوض بإحداثياتها في المتباينة لدينا:

تلقى عدم المساواة الحقيقيةمما يعني أن النقطة وجميع نقاط نصف المستوى المعطى تحقق المتراجحة. يتم تمييز نصف المستوى المطلوب بأسهم حمراء. وبالإضافة إلى ذلك، فإن الحل يشمل الخط المستقيم نفسه.

مثال 4

ابحث عن أنصاف المستويات المقابلة للمتباينات:

هذا مثال يمكنك حله بنفسك. الحل الكامل، نموذج تقريبي للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس.

دعونا فرزها مشكلة عكسية:

مثال 5

أ) إعطاء خط مستقيم. يُعرِّف نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة، في حين يجب تضمين الخط المستقيم نفسه في الحل.

ب) إعطاء خط مستقيم. يُعرِّف نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة. الخط المستقيم نفسه غير متضمن في الحل.

حل: لا داعي للرسم هنا والحل سيكون تحليليا. لا شيء صعب:

أ) لنقم بإنشاء كثيرة حدود مساعدة واحسب قيمته عند النقطة:
. وبالتالي، فإن المتباينة المطلوبة ستكون لها علامة "أقل من". بالشرط، يتم تضمين الخط المستقيم في الحل، وبالتالي فإن عدم المساواة لن تكون صارمة:

ب) لنقم بتكوين كثيرة الحدود ونحسب قيمتها عند النقطة:
. وبالتالي، فإن المتباينة المطلوبة ستكون لها علامة "أكبر من". بالشرط، لا يدخل الخط المستقيم في الحل، وبالتالي ستكون المتراجحة صارمة: .

إجابة:

مثال إبداعيل دراسة ذاتية:

مثال 6

نظرا للنقاط وخط مستقيم. من بين النقاط المدرجة، ابحث عن تلك التي تقع مع أصل الإحداثيات على نفس الجانب من الخط المحدد.

تلميح بسيط: تحتاج أولاً إلى إنشاء متباينة تحدد نصف المستوى الذي يقع فيه أصل الإحداثيات. الحل التحليلي والإجابة في نهاية الدرس.

أنظمة عدم المساواة الخطية

نظام المتباينات الخطية هو، كما تفهم، نظام يتكون من عدة متباينات. لول، حسنًا، لقد قدمت التعريف =) القنفذ هو قنفذ، والسكين هو سكين. ولكن هذا صحيح - فقد تبين أنه بسيط ويمكن الوصول إليه! لا، على محمل الجد، لا أريد أن أعطي أي أمثلة على ذلك منظر عام، لذلك دعونا ننتقل مباشرة إلى الأسئلة الملحة:

ماذا يعني حل نظام من المتباينات الخطية؟

حل نظام من عدم المساواة الخطية- هذا يعنى أوجد مجموعة النقاط على المستوى، الذي يرضي لكلعدم المساواة في النظام.

كأبسط الأمثلة، دعونا نفكر في أنظمة المتباينات التي تحدد الأرباع الإحداثية نظام مستطيلالإحداثيات ("صورة الطلاب الفقراء" موجودة في بداية الدرس):

يحدد نظام المتباينات الربع الإحداثي الأول (أعلى اليمين). إحداثيات أي نقطة في الربع الأول، على سبيل المثال، إلخ. رضا لكلعدم المساواة في هذا النظام.

على نفس المنوال:
- نظام المتباينات يحدد الربع الإحداثي الثاني (أعلى اليسار)؛
- يحدد نظام المتباينات الربع الإحداثي الثالث (أسفل اليسار)؛
- يحدد نظام المتباينات الربع الإحداثي الرابع (أسفل اليمين).

قد لا يكون لنظام المتباينات الخطية أي حلولأي أن يكون غير مشترك. مرة أخرى أبسط مثال: . من الواضح تمامًا أن "x" لا يمكن أن يكون أكثر من ثلاثة وأقل من اثنين في نفس الوقت.

يمكن أن يكون حل نظام المتباينات بخط مستقيم، على سبيل المثال: . بجعة، جراد البحر، بدون رمح، تسحب العربة في اتجاهين مختلفين. نعم، لا تزال الأمور قائمة، والحل لهذا النظام هو الخط المستقيم.

لكن الحالة الأكثر شيوعًا هي عندما يكون هناك حل للنظام منطقة الطائرة. منطقة الحلربما غير محدود(على سبيل المثال، تنسيق الأرباع) أو محدود. منطقة الحل المحدود تسمى نظام حل المضلع.

مثال 7

حل نظام من عدم المساواة الخطية

من الناحية العملية، يتعين علينا في معظم الحالات أن نتعامل مع حالات عدم المساواة الضعيفة، لذلك سيكونون هم من يقودون الرقصات المستديرة لبقية الدرس.

حل: حقيقة أن هناك الكثير من عدم المساواة لا ينبغي أن تكون مخيفة. كم عدد حالات عدم المساواة التي يمكن أن توجد في النظام؟نعم، بقدر ما تريد. الشيء الرئيسي هو التمسك خوارزمية عقلانيةإنشاء منطقة الحل:

1) أولا نتعامل مع أبسط المتباينات. تحدد المتباينات الربع الإحداثي الأول، بما في ذلك الحدود من محاور الإحداثيات. لقد أصبح الأمر بالفعل أسهل بكثير، حيث أن منطقة البحث ضاقت بشكل كبير. في الرسم، نحدد على الفور أنصاف المستويات المقابلة باستخدام الأسهم (الأسهم الحمراء والزرقاء)

2) ثاني أبسط متباينة هي أنه لا يوجد "Y" هنا. أولاً، نقوم ببناء الخط المستقيم نفسه، وثانيًا، بعد تحويل المتباينة إلى النموذج، يصبح من الواضح على الفور أن جميع "X" أقل من 6. ونضع علامة على نصف المستوى المقابل بأسهم خضراء. حسنا، أصبحت منطقة البحث أصغر - مثل هذا المستطيل غير محدود من الأعلى.

3) في الخطوة الأخيرة نحل المتباينات "بذخيرة كاملة": . لقد ناقشنا خوارزمية الحل بالتفصيل في الفقرة السابقة. باختصار: أولاً نبني خطًا مستقيمًا، ثم باستخدام نقطة تجريبية نجد نصف المستوى الذي نحتاجه.

قفوا أيها الأطفال، قفوا في دائرة:


منطقة الحل للنظام عبارة عن مضلع، في الرسم يتم تحديده بخط قرمزي ومظلل. لقد بالغت في الأمر قليلاً =) في دفتر الملاحظات، يكفي إما تظليل منطقة الحل أو تحديدها بشكل أكثر جرأة باستخدام قلم رصاص بسيط.

أي نقطة في مضلع معين تلبي جميع متباينات النظام (يمكنك التحقق من ذلك من أجل المتعة).

إجابة: حل النظام هو مضلع.

عند التقدم بطلب للحصول على نسخة نظيفة، سيكون من الجيد أن تصف بالتفصيل النقاط التي استخدمتها لإنشاء خطوط مستقيمة (انظر الدرس الرسوم البيانية وخصائص الوظائف)، وكيف تم تحديد أنصاف المستويات (انظر الفقرة الأولى هذا الدرس). ومع ذلك، من الناحية العملية، في معظم الحالات، سيتم منحك الرسم الصحيح فقط. يمكن إجراء الحسابات نفسها على مسودة أو حتى شفهيًا.

بالإضافة إلى مضلع الحل للنظام، في الممارسة العملية، وإن كان ذلك بشكل أقل، هناك منطقة مفتوحة. حاول أن تفهم المثال التالي بنفسك. على الرغم من أنه من أجل الدقة، لا يوجد تعذيب هنا - خوارزمية البناء هي نفسها، فقط المنطقة لن تكون محدودة.

مثال 8

حل النظام

الحل والجواب في نهاية الدرس . من المرجح أن يكون لديك أحرف مختلفة لرؤوس المنطقة الناتجة. هذا ليس مهمًا، الشيء الرئيسي هو العثور على القمم بشكل صحيح وبناء المنطقة بشكل صحيح.

ليس من غير المألوف أن تتطلب المشكلات ليس فقط إنشاء مجال حل النظام، ولكن أيضًا العثور على إحداثيات رؤوس المجال. في المثالين السابقين كانت إحداثيات هذه النقاط واضحة، لكن عمليا كل شيء بعيد عن الجليد:

مثال 9

حل النظام وأوجد إحداثيات رؤوس المنطقة الناتجة

حل: دعونا نصور في الرسم منطقة الحل لهذا النظام. تحدد عدم المساواة نصف المستوى الأيسر مع المحور الإحداثي، وليس هناك المزيد من الهدية الترويجية هنا. بعد إجراء العمليات الحسابية على ورقة نظيفة/مسودة أو عميقة عمليات التفكير، نحصل على منطقة الحل التالية:

يتم إنشاء الرسم البياني للمتباينة الخطية أو التربيعية بنفس طريقة إنشاء الرسم البياني لأي دالة (معادلة). الفرق هو أن المتباينة تعني وجود حلول متعددة، وبالتالي فإن الرسم البياني للمتباينة ليس مجرد نقطة على خط الأعداد أو خط على المستوى الإحداثي. باستخدام عمليات رياضيةوعلامة المتباينة، يمكن تحديد مجموعة الحلول للمتباينة.

خطوات

تمثيل رسومي لعدم المساواة الخطية على خط الأعداد

1. حل عدم المساواة.للقيام بذلك، قم بعزل المتغير باستخدام نفس الأساليب الجبرية التي تستخدمها لحل أي معادلة. تذكر أنه عند ضرب أو قسمة المتباينة على رقم سلبي(أو المصطلح)، اعكس علامة المتباينة.

   • على سبيل المثال، نظرا لعدم المساواة 3 ص + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). لعزل متغير، اطرح 9 من طرفي المتراجحة، ثم قسمة الطرفين على 3:
     3 ص + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 ص + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 ص > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     ص > 1 (\displaystyle y>1)
   • يجب أن يكون للمتباينة متغير واحد فقط. إذا كانت المتراجحة تحتوي على متغيرين، فمن الأفضل رسم الرسم البياني على المستوى الإحداثي.

2. ارسم خط الأعداد.على خط الأعداد، حدد القيمة التي وجدتها (يمكن أن يكون المتغير أقل من هذه القيمة أو أكبر منها أو يساويها). ارسم خط أعداد بالطول المناسب (طويل أو قصير).

   • على سبيل المثال، إذا قمت بحساب ذلك ص > 1 (\displaystyle y>1)، ضع علامة على القيمة 1 على خط الأعداد.

3. ارسم دائرة لتمثيل القيمة التي تم العثور عليها.إذا كان المتغير أقل من ( < {\displaystyle <} ) او اكثر ( > (\displaystyle >)) من هذه القيمة، لم يتم ملء الدائرة لأن مجموعة الحلول لا تتضمن هذه القيمة. إذا كان المتغير أقل من أو يساوي ( ≥ (\displaystyle \leq )) أو أكبر من أو يساوي ( ≥ (\displaystyle \geq )) إلى هذه القيمة، يتم ملء الدائرة لأن مجموعة الحلول تتضمن هذه القيمة.

   • ص > 1 (\displaystyle y>1)، على خط الأعداد، ارسم دائرة مفتوحة عند النقطة ١ لأن ١ ليس في مجموعة الحل.

4. على خط الأعداد، قم بتظليل المنطقة التي تحدد مجموعة الحلول.إذا كان المتغير أكبر من القيمة الموجودة، قم بتظليل المنطقة التي على يمينه، لأن مجموعة الحلول تشمل جميع القيم الأكبر من القيمة الموجودة. إذا كان المتغير أقل من القيمة الموجودة، قم بتظليل المساحة الموجودة على يساره، لأن مجموعة الحلول تشمل جميع القيم الأقل من القيمة الموجودة.

   • على سبيل المثال، إذا أعطيت عدم المساواة ص > 1 (\displaystyle y>1)، على خط الأعداد، قم بتظليل المنطقة على يمين 1 لأن مجموعة الحلول تتضمن كل القيم الأكبر من 1.

   التمثيل البياني لعدم المساواة الخطية على المستوى الإحداثي

   1. حل المتراجحة (أوجد القيمة ذ (\displaystyle ذ)). للحصول على معادلة خطية، عزل المتغير على الجانب الأيسر باستخدام المعروف الطرق الجبرية. يجب أن يكون هناك متغير على الجانب الأيمن س (\displaystyle x)وربما بعض ثابت.

      • على سبيل المثال، نظرا لعدم المساواة 3 ص + 9 > 9 س (\displaystyle 3y+9>9x). لعزل متغير ذ (\displaystyle ذ)، اطرح 9 من طرفي المتراجحة، ثم اقسم الطرفين على 3:
        3 ص + 9 > 9 س (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 ص + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 ص > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        ص > 3 س − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. ارسم رسمًا بيانيًا على المستوى الإحداثي معادلة خط مستقيم. ارسم رسمًا بيانيًا كما تفعل مع أي معادلة خطية. ارسم التقاطع Y ثم استخدم الميل لرسم النقاط الأخرى.

      • ص > 3 س − 3 (\displaystyle y>3x-3)رسم بياني المعادلة ص = 3 س − 3 (\displaystyle y=3x-3). نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات و ميليساوي 3 (أو 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). لذا قم أولاً برسم النقطة بالإحداثيات (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); النقطة الواقعة فوق نقطة تقاطع المحور y لها الإحداثيات (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); النقطة الموجودة أسفل نقطة تقاطع المحور Y لها الإحداثيات (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. ارسم خطًا مستقيمًا.إذا كانت المتباينة صارمة (يتضمن الإشارة < {\displaystyle <} أو > (\displaystyle >))، ارسم خطًا منقطًا لأن مجموعة الحلول لا تتضمن قيمًا على الخط. إذا كانت المتباينة غير صارمة (يتضمن العلامة ≥ (\displaystyle \leq )أو ≥ (\displaystyle \geq )) ، ارسم خطًا متصلًا لأن مجموعة الحلول تتضمن قيمًا تقع على الخط.

      • على سبيل المثال، في حالة عدم المساواة ص > 3 س − 3 (\displaystyle y>3x-3)ارسم خطًا منقطًا لأن مجموعة الحلول لا تتضمن قيمًا على الخط.

   4. قم بتظليل المنطقة المناسبة.إذا كانت عدم المساواة من الشكل ص > م س + ب (\displaystyle y>mx+b)، قم بتظليل المنطقة الواقعة فوق الخط. إذا كانت عدم المساواة من الشكل ذ< m x + b {\displaystyle y، قم بتظليل المنطقة الموجودة أسفل الخط.

      • على سبيل المثال، في حالة عدم المساواة ص > 3 س − 3 (\displaystyle y>3x-3)تظليل المنطقة فوق الخط.

   تمثيل رسومي للمتباينة التربيعية على المستوى الإحداثي

   1. حدد أن هذه المتباينة تربيعية. عدم المساواة التربيعيةيشبه أ س 2 + ب س + ج (\displaystyle ax^(2)+bx+c). في بعض الأحيان لا تحتوي المتباينة على متغير من الدرجة الأولى ( س (\displaystyle x)) و/أو مصطلح حر (ثابت)، ولكنه يتضمن بالضرورة متغيرًا من الدرجة الثانية ( × 2 (\displaystyle x^(2))). المتغيرات س (\displaystyle x)و ذ (\displaystyle ذ)يجب أن تكون معزولة على جوانب مختلفةعدم المساواة.

      • على سبيل المثال، تحتاج إلى رسم عدم المساواة ذ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. ارسم رسمًا بيانيًا على المستوى الإحداثي.للقيام بذلك، قم بتحويل المتراجحة إلى معادلة ورسمها بيانيًا كما ترسم أي معادلة تربيعية. تذكر أن الرسم البياني للمعادلة التربيعية هو قطع مكافئ.

      • على سبيل المثال، في حالة عدم المساواة ذ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yرسم بياني معادلة تربيعية ص = س 2 − 10 س + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). قمة القطع المكافئ تقع عند هذه النقطة (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9))، ويتقاطع القطع المكافئ مع المحور X عند نقاط (2 , 0) (\displaystyle (2,0))و (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).