كيفية رسم 2 Lobachevskys متوازيين من خلال نقطة. تطبيقات عملية لهندسة لوباتشيفسكي

هندسة لوباتشيفسكي

مقدمة

الفصل الأول. تاريخ ظهور الهندسة غير الإقليدية

الباب الثاني. هندسة لوباتشيفسكي

2.1 المفاهيم الأساسية

2.2 اتساق هندسة لوباتشيفسكي

2.3 نماذج هندسة لوباتشيفسكي

2.4 عيب المثلث والمضلع

2.5 وحدة الطول المطلقة في هندسة لوباتشيفسكي

2.6 تحديد الخط الموازي. الدالة P(x)

2.7 نموذج بوانكاريه

الجزء العملي

1. مجموع زوايا المثلث

2. مسألة وجود مثل هذه الشخصيات

3. الخاصية الرئيسية للتوازي

4. خصائص الدالة P(x)

خاتمة. الاستنتاجات

التطبيقات

قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

يوضح هذا العمل أوجه التشابه والاختلاف بين الهندستين باستخدام مثال إثبات إحدى مسلمات إقليدس واستمرار هذه المفاهيم في هندسة لوباتشيفسكي، مع مراعاة إنجازات العلم في ذلك الوقت.

تعتبر أي نظرية للعلم الحديث صحيحة حتى يتم إنشاء النظرية التالية. هذا نوع من البديهية لتطوير العلوم. وقد تم تأكيد هذه الحقيقة عدة مرات.

تطورت فيزياء نيوتن إلى النسبية، ومن ثم إلى الكم. أصبحت نظرية الفلوجستون كيمياء. وهذا هو مصير كل العلوم. هذا المصير لم يسلم الهندسة. تطورت هندسة إقليدس التقليدية إلى هندسة. لوباتشيفسكي. هذا العمل مخصص لهذا الفرع من العلوم.

الغرض من هذا العمل: دراسة الفرق بين هندسة لوباتشيفسكي وهندسة إقليدس.

أهداف هذا العمل: مقارنة نظريات هندسة إقليدس مع نظريات مماثلة في هندسة لوباتشيفسكي؛

من خلال حل المشاكل، واستخلاص أحكام هندسة Lobachevsky.

الاستنتاجات: 1. تعتمد هندسة لوباتشيفسكي على رفض مسلمة إقليدس الخامسة.

2. في هندسة لوباتشيفسكي:

ولا يوجد مثلثات متشابهة غير متساوية؛

يتطابق مثلثان إذا كانت زواياهما متساوية؛

مجموع زوايا المثلث لا يساوي 180 0، بل أقل (مجموع زوايا المثلث يعتمد على حجمه: كلما كبرت المساحة، زاد اختلاف المجموع عن 180 0؛ والعكس صحيح، أصغر المساحة، كلما اقترب مجموع زواياها من 180 0)؛

من خلال نقطة خارج الخط يمكن رسم أكثر من خط موازي للخط المعطى.

الفصل الأول. تاريخ ظهور الهندسة غير الإقليدية

1.1 مسلمة إقليدس، ومحاولات إثباتها

إقليدس هو مؤلف أول بناء منطقي صارم للهندسة وصل إلينا. يعد عرضه مثاليًا جدًا بالنسبة لوقته لدرجة أنه لمدة ألفي عام بعد ظهور عمله "المبادئ" كان الدليل الوحيد لطلاب الهندسة.

يتكون "المبادئ" من 13 كتابًا مخصصًا للهندسة والحساب في عرض هندسي.

يبدأ كل كتاب من كتاب العناصر بتحديد المفاهيم التي تتم مواجهتها لأول مرة. باتباع التعريفات، يعطي إقليدس المسلمات والبديهيات، أي الأقوال المقبولة دون دليل.

تنص المسلمة الخامسة لإقليدس على أنه عندما يتقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين آخرين يشكل معهما زوايا داخلية من جانب واحد مجموعها أقل من خطين مستقيمين، فإن هذه الخطوط المستقيمة تتقاطع في الضلع الذي علىهما. والذي يكون هذا المجموع أقل من خطين مستقيمين.

إن أهم عيب في نظام البديهيات الإقليدية، بما في ذلك مسلماته، هو عدم اكتماله، أي عدم كفايته لبناء منطقي صارم للهندسة، حيث يجب أن تكون كل جملة، إذا لم تظهر في قائمة البديهيات، يستنتج منطقيا من الأخيرة. لذلك، عند إثبات النظريات، لم يكن إقليدس يعتمد دائمًا على البديهيات، بل لجأ إلى الحدس والوضوح والتصورات "الحسية". على سبيل المثال، أرجع شخصية بصرية بحتة إلى مفهوم "بين"؛ لقد افترض ضمنيًا أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة داخلية للدائرة يجب بالتأكيد أن يتقاطع معها عند نقطتين. علاوة على ذلك، كان يعتمد فقط على الوضوح، وليس على المنطق؛ ولم يقدم دليلا على هذه الحقيقة في أي مكان، ولم يستطع تقديمه، لأنه لم يكن لديه بديهيات الاستمرارية. كما أنه ليس لديه بعض البديهيات الأخرى، والتي بدونها لا يمكن إثبات نظريات منطقية بدقة.

لكن لم يشك أحد في صحة مسلمات إقليدس، بما في ذلك المسلمة V. وفي الوقت نفسه، في العصور القديمة، كانت مسلمة المتوازيات هي التي جذبت اهتمامًا خاصًا لعدد من علماء الهندسة، الذين اعتبروا أنه من غير الطبيعي وضعها بين الافتراضات. ربما كان هذا بسبب الوضوح والوضوح الأقل نسبيًا للمسلمة V: في شكلها الضمني، تفترض إمكانية الوصول إلى أي جزء من المستوى، مهما كان بعيدًا، معبرة عن خاصية لا يتم الكشف عنها إلا مع الاستمرار اللانهائي للخطوط المستقيمة.

حاول إقليدس نفسه والعديد من العلماء إثبات الافتراض الموازي. حاول البعض إثبات مسلمة المتوازيات، باستخدام المسلمات الأخرى فقط وتلك النظريات التي يمكن استخلاصها من الأخيرة، دون استخدام مسلمة V نفسها. كل هذه المحاولات باءت بالفشل. عيبهم المشترك هو أن الدليل استخدم ضمنيًا بعض الافتراضات المكافئة للافتراض الذي تم إثباته. واقترح آخرون إعادة تعريف الخطوط المتوازية أو استبدال مسلمة V بما اعتقدوا أنه اقتراح أكثر وضوحًا.

لكن المحاولات التي استمرت قرونًا لإثبات مسلمة إقليدس الخامسة أدت في النهاية إلى ظهور هندسة جديدة تتميز بحقيقة عدم استيفاء المسلمة الخامسة فيها. تسمى هذه الهندسة الآن غير الإقليدية، وفي روسيا تحمل اسم لوباتشيفسكي، الذي نشر لأول مرة عملاً يعرضها.

وأحد المتطلبات الأساسية للاكتشافات الهندسية لـ N. I. كان Lobachevsky (1792-1856) على وجه التحديد نهجه المادي في التعامل مع مشاكل المعرفة. Lobachevsky، كان مقتنعا بقوة بالوجود الموضوعي للعالم المادي وإمكانية معرفته بشكل مستقل عن الوعي البشري. في خطابه "حول أهم مواضيع التعليم" (كازان، 1828)، يقتبس لوباتشيفسكي متعاطفًا كلمات ف. بيكون: "اترك العمل عبثًا، محاولًا استخراج كل الحكمة من عقل واحد؛ " اسأل الطبيعة، فهي تحتفظ بكل الحقائق وستجيب على جميع أسئلتك دون فشل وبشكل مرضي. في مقالته “في مبادئ الهندسة”، والتي كانت أول منشور للهندسة اكتشفها، كتب لوباتشيفسكي: “إن المفاهيم الأولى التي يبدأ بها أي علم يجب أن تكون واضحة ومختزلة إلى أصغر عدد. عندها فقط يمكنهم أن يكونوا بمثابة أساس متين وكافي للتدريس. يتم الحصول على مثل هذه المفاهيم عن طريق الحواس. فطري - لا ينبغي تصديقه."

تعود محاولات لوباتشيفسكي الأولى لإثبات الافتراض الخامس إلى عام 1823. بحلول عام 1826، توصل إلى قناعة بأن الافتراض V لا يعتمد على البديهيات الأخرى لهندسة إقليدس وفي 11 (23) فبراير 1826، في اجتماع لأعضاء هيئة التدريس بجامعة كازان، قدم تقريرًا بعنوان “عرض تقديمي مكثف لـ مبادئ الهندسة مع إثبات صارم لنظرية التوازي"، والتي حددت فيها بدايات "الهندسة التخيلية" التي اكتشفها، كما أسماها النظام الذي أصبح يعرف فيما بعد بالهندسة غير الإقليدية. تم تضمين تقرير عام 1826 في أول منشور لوباشيفسكي حول الهندسة غير الإقليدية - مقال "حول مبادئ الهندسة"، الذي نُشر في مجلة جامعة كازان "كازانسكي فيستنيك" في 1829-1830. تم تخصيص المزيد من التطوير والتطبيقات للهندسة التي اكتشفها لمذكرات "الهندسة التخيلية"، و"تطبيق الهندسة التخيلية على تكاملات معينة" و"المبادئ الجديدة للهندسة مع النظرية الكاملة للتوازي"، المنشورة في "الملاحظات العلمية" على التوالي. في أعوام 1835 و1836 و1835-1838. ظهر النص المنقح لكتاب "الهندسة التخيلية" في ترجمة فرنسية في برلين هناك عام 1840. نُشر في كتاب منفصل باللغة الألمانية بعنوان "دراسات هندسية في نظرية الخطوط المتوازية" بقلم لوباتشيفسكي. وأخيرا، في عامي 1855 و 1856. نشر كتاب "قياس المساحة" في قازان باللغتين الروسية والفرنسية. أشاد غاوس بشدة بـ "الأبحاث الهندسية"، التي جعلت لوباتشيفسكي (1842) عضوًا مناظرًا في جمعية غوتنغن العلمية، والتي كانت في الأساس أكاديمية العلوم في مملكة هانوفر. ومع ذلك، لم يقم غاوس بتقييم النظام الهندسي الجديد في الطباعة.

1.2 مسلمات التوازي لإقليدس ولوباتشيفسكي

النقطة الأساسية التي يبدأ منها تقسيم الهندسة إلى إقليدية عادية (عادية) وغير إقليدية (هندسة خيالية أو "هندسة واسعة النطاق") هي، كما هو معروف، مسلمة الخطوط المتوازية.

تعتمد الهندسة التقليدية على افتراض أنه من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن رسم المستوى المحدد بهذه النقطة والخط بما لا يزيد عن خط مستقيم واحد لا يتقاطع مع الخط المحدد. إن حقيقة أنه من نقطة لا تقع على خط معين يمر خط واحد على الأقل لا يتقاطع مع هذا الخط يشير إلى "الهندسة المطلقة"، أي. يمكن إثباته بدون الاستعانة بمسلمة الخطوط المتوازية.

الخط المستقيم BB الذي يمر عبر P بزوايا قائمة إلى PQ المتعامد الذي انخفض إلى AA 1 لا يتقاطع مع الخط المستقيم AA 1؛ هذا الخط في الهندسة الإقليدية يسمى بالتوازي مع AA 1.

وعلى النقيض من مسلمة إقليدس، يتخذ لوباشيفسكي البديهية التالية كأساس لبناء نظرية الخطوط المتوازية:

من نقطة لا تقع على خط معين يمكن رسم أكثر من خط مستقيم في المستوى الذي تحدده هذه النقطة والخط الذي لا يتقاطع مع الخط المعطى.

وهذا يعني بشكل مباشر وجود عدد لا نهائي من الخطوط التي تمر بنفس النقطة ولا تتقاطع مع خط معين. دع الخط المستقيم CC 1 لا يتقاطع مع AA 1؛ فإن جميع الخطوط المستقيمة التي تمر داخل زاويتين رأسيتين VRS و B 1 RS 1 لا تتقاطع أيضًا مع الخط المستقيم AA 1.

الفصل 2. هندسة لوباتشيفسكي.

2.1 المفاهيم الأساسية

في مذكراته "حول مبادئ الهندسة" (1829)، أعاد لوباتشيفسكي أولاً إنتاج تقريره لعام 1826.

في 7 فبراير 1832، قدم نيكولاي لوباتشيفسكي عمله الأول في الهندسة غير الإقليدية لزملائه. كان هذا اليوم بمثابة بداية ثورة في الرياضيات، وكان عمل لوباتشيفسكي بمثابة الخطوة الأولى نحو النظرية النسبية لأينشتاين. اليوم قامت "آر جي" بجمع المفاهيم الخمسة الخاطئة الأكثر شيوعاً حول نظرية لوباتشيفسكي والموجودة بين الناس البعيدين عن العلوم الرياضية

أسطورة واحدة. لا يوجد شيء مشترك بين هندسة لوباتشيفسكي والهندسة الإقليدية.

في الواقع، لا تختلف هندسة لوباتشيفسكي كثيرًا عن الهندسة الإقليدية التي اعتدنا عليها. والحقيقة هي أنه من بين الافتراضات الخمس لإقليدس، ترك لوباشيفسكي الافتراضات الأربعة الأولى دون تغيير. أي أنه يتفق مع إقليدس على أنه يمكن رسم خط مستقيم بين أي نقطتين، وأنه يمكن دائمًا تمديده إلى ما لا نهاية، وأنه يمكن رسم دائرة بأي نصف قطر من أي مركز، وأن جميع الزوايا القائمة متساوية آخر. لم يختلف لوباشيفسكي إلا مع الافتراض الخامس، الأكثر إثارة للريبة من وجهة نظره، وهو مسلمة إقليدس. تبدو صياغته متطورة للغاية، لكن إذا ترجمتها إلى لغة مفهومة للرجل العادي، يتبين أنه وفقًا لإقليدس، سيتقاطع خطان غير متوازيين بالتأكيد. تمكن Lobachevsky من إثبات زيف هذه الفرضية.

الأسطورة الثانية. في نظرية لوباشيفسكي، تتقاطع الخطوط المتوازية

هذا خطأ. في الواقع، تبدو مسلمة لوباتشيفسكي الخامسة كما يلي: "على المستوى، عبر نقطة لا تقع على خط معين، يمر أكثر من خط واحد لا يتقاطع مع الخط المعطى". بمعنى آخر، لخط واحد، يمكنك رسم خطين على الأقل من خلال نقطة واحدة لن تتقاطع معه. وهذا هو، في هذه الافتراض من Lobachevsky لا يوجد حديث عن خطوط متوازية على الإطلاق! نحن نتحدث فقط عن وجود عدة خطوط غير متقاطعة على نفس المستوى. وهكذا، فإن الافتراض حول تقاطع الخطوط المتوازية ولد بسبب الجهل المبتذل لجوهر نظرية عالم الرياضيات الروسي العظيم.

الأسطورة الثالثة. هندسة لوباتشيفسكي هي الهندسة الوحيدة غير الإقليدية

الهندسة غير الإقليدية هي طبقة كاملة من النظريات في الرياضيات، حيث الأساس هو مسلمة خامسة مختلفة عن الإقليدية. Lobachevsky، على عكس إقليدس، على سبيل المثال، يصف الفضاء الزائدي. هناك أيضًا نظرية تصف الفضاء الكروي - وهي هندسة ريمان. هذا هو المكان الذي تتقاطع فيه الخطوط المتوازية. والمثال الكلاسيكي على ذلك من المناهج المدرسية هو خطوط الطول على الكرة الأرضية. إذا نظرت إلى نمط الكرة الأرضية، يتبين أن جميع خطوط الطول متوازية. وفي الوقت نفسه، بمجرد تطبيق نمط على الكرة، نرى أن جميع خطوط الطول المتوازية سابقًا تتلاقى عند نقطتين - عند القطبين. يُطلق على نظريات إقليدس ولوباشيفسكي وريمان معًا اسم "الهندسات الثلاثة العظيمة".

الأسطورة الرابعة. هندسة Lobachevsky غير قابلة للتطبيق في الحياة الواقعية

على العكس من ذلك، توصل العلم الحديث إلى فهم مفاده أن الهندسة الإقليدية ليست سوى حالة خاصة من هندسة لوباتشيفسكي، وأن العالم الحقيقي يتم وصفه بدقة أكبر من خلال صيغ العالم الروسي. كان الدافع الأقوى لمزيد من التطوير لهندسة لوباتشيفسكي هو النظرية النسبية لألبرت أينشتاين، والتي أظهرت أن مساحة كوننا نفسه ليست خطية، ولكنها كرة زائدية. وفي الوقت نفسه، فإن لوباتشيفسكي نفسه، على الرغم من أنه عمل طوال حياته على تطوير نظريته، أطلق عليها اسم "الهندسة الخيالية".

الأسطورة الخامسة. كان لوباتشيفسكي أول من ابتكر الهندسة غير الإقليدية

هذا ليس صحيحا تماما. بالتوازي معه وبشكل مستقل عنه، توصل عالم الرياضيات المجري يانوس بولياي والعالم الألماني الشهير كارل فريدريش غاوس إلى استنتاجات مماثلة. ومع ذلك، لم يلاحظ عامة الناس أعمال يانوس، واختار كارل غاوس عدم النشر على الإطلاق. ولذلك فإن عالمنا هو الذي يعتبر رائد هذه النظرية. ومع ذلك، هناك وجهة نظر متناقضة إلى حد ما مفادها أن إقليدس نفسه كان أول من توصل إلى الهندسة غير الإقليدية. والحقيقة أنه اعتبر نقداً ذاتياً مسلمته الخامسة غير واضحة، فأثبت معظم نظرياته دون اللجوء إليها.

نظريات الهندسة لوباتشيفسكي

1. المفاهيم الأساسية لهندسة لوباتشيفسكي

في الهندسة الإقليدية، وفقا للمسلمة الخامسة، على مستوى من خلال نقطة ص،الكذب خارج الخط أ"أ،هناك خط مستقيم واحد فقط الخامس "الخامس،لا تتقاطع أ"أ.مستقيم ب"بيسمى بالتوازي إلى أأويكفي في هذه الحالة اشتراط عدم مرور أكثر من خط واحد من هذا القبيل، إذ يمكن إثبات وجود خط غير متقاطع عن طريق رسم الخطوط المتتابعة PQA "أو PBPQ.في هندسة لوباشيفسكي، تتطلب بديهية التوازي ذلك من خلال نقطة ما ركان هناك أكثر من خط مستقيم لا يتقاطع أ "أ.

الخطوط غير المتقاطعة تملأ جزء الحزمة بالقمة ص،تقع داخل زوج من الزوايا العمودية تي بي يوو يو "بي تي"، تقع بشكل متناظر بالنسبة للعمودي ص.الخطوط المستقيمة التي تشكل جوانب الزوايا الرأسية تفصل الخطوط المتقاطعة عن الخطوط غير المتقاطعة وهي أيضًا غير متقاطعة. تسمى هذه الخطوط الحدودية المتوازيات عند النقطة P للخط أ"أعلى التوالي في اتجاهين: تي تيموازي أ "أفي الاتجاه أ"أ،أ يو يو"موازي أ "أفي الاتجاه أ أ."يتم استدعاء الخطوط المتبقية غير المتقاطعة خطوط مستقيمة متباعدة مع أ "أ.

ركن , 0< رأشكال مع عمودي ص. QPT=QPU"=,مُسَمًّى زاوية التوازي شريحة PQ=أويشار إليه ب . في أ = 0الزاوية =/2؛ مع زيادة أتتناقص الزاوية بحيث يكون لكل معطى 0<أ.وتسمى هذه التبعية وظيفة لوباتشيفسكي :

P (أ) = 2arctg (),

أين ل- بعض الثوابت التي تحدد شريحة ذات حجم ثابت. ويسمى نصف قطر انحناء فضاء لوباتشيفسكي. كما هو الحال مع الهندسة الكروية، هناك عدد لا حصر له من مساحات لوباتشيفسكي، تختلف في الحجم ل.

خطان مستقيمان مختلفان على طول المستوى يشكلان زوجًا من ثلاثة أنواع.

خطوط متقاطعة . تزداد المسافة من النقاط الواقعة على خط إلى خط آخر إلى أجل غير مسمى عندما تبتعد النقطة عن تقاطع الخطوط. إذا لم تكن الخطوط متعامدة، فسيتم إسقاط كل منها بشكل متعامد على الآخر في قطعة مفتوحة ذات حجم محدود.

خطوط متوازية . على المستوى، يمر عبر نقطة معينة خط مستقيم موازي للخط المعطى في الاتجاه المحدد على الأخير. موازية عند نقطة ما ريحتفظ عند كل نقطة من نقاطه بخاصية الموازية لنفس الخط في نفس الاتجاه. التوازي متبادل (إذا أ||بفي اتجاه معين إذن ب||أفي الاتجاه المناسب) والعبورية (إذا أ||بو|| بفي اتجاه واحد إذن أ||سفي الاتجاه المناسب). في اتجاه التوازي، تقترب المتوازيات من بعضها البعض إلى ما لا نهاية، وفي الاتجاه المعاكس تبتعد إلى ما لا نهاية (بمعنى المسافة من نقطة الحركة في خط إلى خط آخر). الإسقاط المتعامد لخط على آخر هو نصف خط مفتوح.

خطوط متباينة . لديهم عمودي مشترك واحد، الجزء الذي يعطي الحد الأدنى للمسافة. على جانبي المتعامد تتباعد الخطوط بلا حدود. يتم عرض كل خط مستقيم على الآخر في قطعة مفتوحة ذات حجم محدود.

ثلاثة أنواع من الخطوط المستقيمة تتوافق على المستوى مع ثلاثة أنواع من أقلام الرصاص ذات الخطوط المستقيمة، كل منها يغطي المستوى بأكمله: شعاع من النوع الأول - مجموعة الخطوط التي تمر بنقطة واحدة ( مركزالحزم)؛ شعاع من النوع الثاني - مجموعة الخطوط المتعامدة مع خط واحد ( قاعدة البياناتالحزم)؛ شعاع من النوع الثالث - مجموعة الخطوط الموازية لخط واحد في اتجاه معين بما في ذلك هذا الخط.

تشكل المسارات المتعامدة للخطوط المستقيمة لهذه الحزم نظائرها لدائرة المستوى الإقليدي: دائرةبالمعنى الصحيح؛ على مسافة متساوية , أو خط متساوي المسافات (إذا لم نعتبر القاعدة) وهي مقعرة نحو القاعدة؛ خط الحد ، أو horocycle, ويمكن اعتبارها دائرة مركزها ما لا نهاية. خطوط النهاية متطابقة. فهي ليست مغلقة ومقعرة نحو التوازي. خطان محددان تم إنشاؤهما بواسطة قلم رصاص واحد متحدان المركز (يقطعان أجزاء متساوية على الخطوط المستقيمة للقلم الرصاص). تتناقص نسبة أطوال الأقواس متحدة المركز المحصورة بين خطين مستقيمين من الحزمة باتجاه التوازي كدالة أسية للمسافة Xبين الأقواس:

ق" / ق = ه.

يمكن لكل من نظائرها أن تنزلق على نفسها، مما يؤدي إلى ثلاثة أنواع من حركات المستوى ذات المعلمة الواحدة: الدوران حول مركزها؛ الدوران حول مركز مثالي (أحد المسارات هو القاعدة، والباقي على مسافة متساوية)؛ الدوران حول مركز بعيد بشكل لا نهائي (جميع المسارات هي خطوط حدية).

يؤدي دوران نظائرها من الدوائر حول خط شعاع التوليد إلى نظائرها من الكرة: الكرة المناسبة، والسطح ذو المسافات المتساوية، والغلاف الجوي، أو ذروة الأسطح .

على الكرة، هندسة الدوائر الكبرى هي هندسة كروية عادية؛ على سطح مسافات متساوية - هندسة متساوية البعد، وهي هندسة لوباتشيفسكي، ولكن بقيمة أكبر ل؛على السطح الحدي - الهندسة الإقليدية لخطوط الحد.

إن العلاقة بين أطوال الأقواس وأوتار خطوط النهاية والعلاقات المثلثية الإقليدية على السطح الحدي تجعل من الممكن استخلاص العلاقات المثلثية على المستوى، أي الصيغ المثلثية للمثلثات المستقيمة.

2. بعض نظريات هندسة لوباتشيفسكي

النظرية 1. مجموع زوايا أي مثلث أقل من 2d.

دعونا نفكر أولاً في المثلث القائم ABC (الشكل 2). جوانبه أ، ب، جتم تصويرها على التوالي في شكل قطعة من الخط الإقليدي المتعامد مع الخط و، أقواس دائرة إقليدية مركزها موأقواس دائرة إقليدية مركزها ن. ركن مع--مستقيم. ركن أتساوي الزاوية بين مماسات الدوائر بو مععند هذه النقطة أأو ما هو نفسه الزاوية بين نصفي القطر لا.و ماجستيرهذه الدوائر. أخيراً، ب = البنك المركزي الماليزي.

دعونا نبني على هذا الجزء بنمثل قطر الدائرة الإقليدية س؛لديها دائرة معنقطة مشتركة واحدة فقط فيلأن قطرها هو نصف قطر الدائرة مع. ولذلك نقطة أيقع خارج الدائرة التي يحدها المحيط ف،لذلك،

أ = رجل< MBN.

وبالتالي بحكم المساواة محمد بن نون + ب = دلدينا:

أ + ب< d; (1)

إذن أ + ب + ج< 2d, что и требовалось доказать.

لاحظ أنه بمساعدة الحركة الزائدية الصحيحة، يمكن وضع أي مثلث قائم الزاوية بحيث تقع إحدى أرجله على الخط الإقليدي المتعامد مع الخط و؛وبالتالي، فإن الطريقة التي استخدمناها لاشتقاق المتباينة (1) ينطبق على أي مثلث قائم الزاوية.

إذا تم إعطاء مثلث مائل، فإننا نقسمه مع أحد الارتفاعات إلى مثلثين قائمين. مجموع الزوايا الحادة لهذه المثلثات القائمة يساوي مجموع زوايا المثلث المائل المحدد. ومن ثم، مع الأخذ في الاعتبار عدم المساواة (1) نستنتج أن النظرية صالحة لأي مثلث.

النظرية 2 . مجموع زوايا الشكل الرباعي أقل من 4 د.

ولإثبات ذلك، يكفي تقسيم الشكل الرباعي قطريًا إلى مثلثين.

النظرية 3 . يوجد خطان متباعدان يشتركان في خط متعامد واحد فقط.

دع أحد هذه الخطوط المتباعدة يصور على الخريطة كخط إقليدي متعامد رإلى خط مستقيم وعند هذه النقطة موالآخر - على شكل نصف دائرة إقليدية سمركز على ... - ركز على و، و رو سليس لديهم نقاط مشتركة (الشكل 3). يمكن دائمًا تحقيق هذا الترتيب لخطين زائديين متباعدين على الخريطة من خلال الحركة الزائدية المناسبة.

لننفذ من مالظل الإقليدي مينيسوتال سووصف من المركز منصف القطر مينيسوتانصف دائرة إقليدية م. انه واضح م- خط زائدي متقاطع و رو سبزوايا قائمة. لذلك، ميصور على الخريطة المتعامد المشترك المطلوب لهذه الخطوط المتباعدة.

لا يمكن لخطين متباعدين أن يكون لهما عموديان مشتركان، لأنه في هذه الحالة سيكون هناك شكل رباعي بأربع زوايا قائمة، وهو ما يتعارض مع النظرية الثانية.

. النظرية 4. القطع المستطيل لضلع زاوية حادة على ضلعها الآخر هو القطعة المستقيمة(وليس نصف خط كما في الهندسة الإقليدية).

صحة النظرية واضحة من الشكل. 4، أين هو الجزء أ.بهناك إسقاط مستطيل للجانب أ.بزاوية حادة أنتإلى جانبه تكييف.

وفي نفس الشكل القوس ديدائرة إقليدية مركزها معمودي على الخط الزائدي تكييف. وهذا العمودي لا يتقاطع مع المائل أ.ب.وبالتالي، فإن الافتراض بأن الخط المتعامد والمائل على نفس الخط يتقاطعان دائمًا يتعارض مع بديهية التوازي لوباشيفسكي؛ وهو يعادل بديهية التوازي لإقليدس.

النظرية 5. إذا كانت ثلاث زوايا للمثلث ABC تساوي ثلاث زوايا للمثلث A"B"C، فإن هذين المثلثين متطابقان.

ولنفترض العكس ونضعه على الأشعة بناء على ذلك أ.بو تكييفشرائح أب = أ"ب"، أس = أ"ج".من الواضح أن المثلثات اي بي سيو أ"ب"ج"متساوية في الجانبين والزاوية بينهما. نقطة بغير متطابق فينقطة جغير متطابق معإذ في أي من هذه الحالات يكون هناك تساوي بين هذه المثلثات، وهو ما يناقض الفرضية.

دعونا نفكر في الاحتمالات التالية.

أ) تقع النقطة B بينهما أو فينقطة مع-- بين أو مع(الشكل 5)؛ في هذا الشكل والشكل التالي، يتم تصوير الخطوط الزائدية بشكل تقليدي على شكل خطوط إقليدية). من السهل التحقق من مجموع زوايا الشكل الرباعي WSSVيساوي 4 دوهو أمر مستحيل بسبب النظرية 2.

6) نقطة فيتقع بين أو فينقطة مع-- بين أو مع(الشكل 6). دعونا نشير بواسطة دنقطة تقاطع القطاعات شمسو قبل الميلادلأن ج=ج"و ج" = ج،الذي - التي ج=مع , وهو أمر مستحيل، لأن الزاوية C خارج المثلث CCD.

يتم التعامل مع الحالات المحتملة الأخرى بالمثل.

لقد تم إثبات النظرية لأن الافتراض أدى إلى تناقض.

من النظرية 5، يترتب على ذلك أنه في هندسة Lobachevsky لا يوجد مثلث مشابه للمثلث المحدد، ولكنه لا يساويه.

لقد اعتدنا على الاعتقاد بأن هندسة العالم المرصود هي هندسة إقليدية، أي. فهو يحقق قوانين الهندسة التي يتم دراستها في المدرسة. في الواقع، هذا ليس صحيحا. في هذه المقالة سنلقي نظرة على المظاهر الواقعية لهندسة لوباتشيفسكي، والتي تبدو للوهلة الأولى مجردة تمامًا.

تختلف هندسة لوباتشيفسكي عن الهندسة الإقليدية المعتادة في أنه من خلال نقطة لا تقع على خط معين يمر خطان مستقيمان على الأقل يقعان في نفس المستوى مع الخط المحدد ولا يتقاطعان معه. وتسمى أيضًا الهندسة الزائدية.

1. الهندسة الإقليدية - يمر عبر النقطة البيضاء خط واحد فقط لا يتقاطع مع الخط الأصفر
2. هندسة ريمان - أي خطين يتقاطعان (لا يوجد خطوط متوازية)
3. هندسة لوباتشيفسكي - هناك عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة التي لا تتقاطع مع الخط الأصفر وتمر عبر النقطة البيضاء

ولكي يتمكن القارئ من تصور ذلك، سنصف بإيجاز نموذج كلاين. وفي هذا النموذج يتحقق مستوى لوباتشيفسكي باعتباره الجزء الداخلي من دائرة نصف قطرها واحد، حيث تكون نقاط المستوى هي نقاط هذه الدائرة، والخطوط المستقيمة هي الأوتار. الوتر هو خط مستقيم يصل بين نقطتين في الدائرة. من الصعب جدًا تحديد المسافة بين نقطتين، لكننا لن نحتاج إليها. يتضح من الشكل أعلاه أنه من خلال النقطة P يوجد عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة التي لا تتقاطع مع الخط المستقيم a. في الهندسة الإقليدية القياسية، هناك خط واحد فقط يمر عبر النقطة P ولا يتقاطع مع الخط a. هذا الخط موازي.

الآن دعنا ننتقل إلى الشيء الرئيسي - التطبيقات العملية لهندسة Lobachevsky.

تتكون أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية (GPS وGLONASS) من جزأين: كوكبة مدارية مكونة من 24-29 قمرًا صناعيًا موزعة بالتساوي حول الأرض، وجزء تحكم على الأرض يضمن مزامنة الوقت على الأقمار الصناعية واستخدامها لنظام إحداثي واحد. الأقمار الصناعية مزودة بساعات ذرية دقيقة للغاية، وأجهزة الاستقبال (GPS) مزودة بساعات كوارتز عادية. تحتوي أجهزة الاستقبال أيضًا على معلومات حول إحداثيات جميع الأقمار الصناعية في أي وقت. ترسل الأقمار الصناعية إشارة على فترات قصيرة تحتوي على بيانات حول وقت بدء الإرسال. بعد استقبال إشارة من أربعة أقمار صناعية على الأقل، يمكن لجهاز الاستقبال ضبط ساعته وحساب المسافات إلى هذه الأقمار الصناعية باستخدام الصيغة ((زمن إرسال الإشارة عبر القمر الصناعي) - (وقت استقبال الإشارة من القمر الصناعي)) × (سرعة الضوء ) = (المسافة إلى القمر الصناعي). يتم أيضًا تصحيح المسافات المحسوبة باستخدام الصيغ المضمنة في جهاز الاستقبال. بعد ذلك، يجد المتلقي إحداثيات نقطة تقاطع المجالات مع المراكز في الأقمار الصناعية وأنصاف أقطار تساوي المسافات المحسوبة لهم. من الواضح أن هذه ستكون إحداثيات جهاز الاستقبال.

وربما يعلم القارئ أنه بفضل تأثير في النظرية النسبية الخاصة، بسبب السرعة العالية للقمر الصناعي، فإن الوقت في المدار يختلف عن الوقت على الأرض. ولكن هناك أيضًا تأثير مماثل في النظرية النسبية العامة، يرتبط تحديدًا بالهندسة غير الإقليدية للزمكان. مرة أخرى، لن نخوض في التفاصيل الرياضية لأنها مجردة تمامًا. ولكن، إذا توقفت عن أخذ هذه التأثيرات في الاعتبار، ففي غضون يوم من التشغيل، سيتراكم خطأ يبلغ حوالي 10 كيلومترات في قراءات نظام الملاحة.

تُستخدم صيغ هندسة Lobachevsky أيضًا في فيزياء الطاقة العالية، أي في حسابات مسرعات الجسيمات المشحونة. المساحات الزائدية (أي المساحات التي تعمل فيها قوانين الهندسة القطعية) موجودة في الطبيعة نفسها. دعونا نعطي المزيد من الأمثلة:

تظهر هندسة لوباتشيفسكي في هياكل المرجان، وفي تنظيم الهياكل الخلوية في النبات، وفي الهندسة المعمارية، وفي بعض الزهور، وما إلى ذلك. وبالمناسبة، إذا تذكرون تحدثنا في العدد الأخير عن الأشكال السداسية في الطبيعة، لذا، في الطبيعة الزائدية، البديل هو الأشكال السباعية، وهي منتشرة أيضًا.

تم التصويت شكرا!

كنت قد تكون مهتمة في:

• 
  

المستوى 1. (بديهية التوازي لوباشيفسكي). يوجد في أي مستوى خط 0 ونقطة A 0 لا تنتمي إلى هذا الخط، بحيث يمر خطان مستقيمان على الأقل عبر هذه النقطة ولا يتقاطعان مع 0.

مجموعة النقاط والخطوط والمستويات التي تلبي بديهيات الانتماء والنظام والتطابق والاستمرارية وبديهية لوباتشيفسكي للتوازي ستطلق عليها مساحة لوباتشيفسكي ثلاثية الأبعاد ويشار إليها بالرمز L 3. سنأخذ في الاعتبار معظم الخصائص الهندسية للأشكال على مستوى الفضاء A3، أي. على متن طائرة لوباتشيفسكي. دعونا ننتبه إلى حقيقة أن النفي المنطقي الرسمي للبديهية V 1، بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية، له بالضبط الصيغة التي قدمناها كبديهية LV 1. هناك على الأقل نقطة واحدة وخط واحد على المستوى الذي لا تنطبق عليه بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية. دعونا نثبت نظرية يستنتج منها أن عبارة بديهية التوازي لوباتشيفسكي صحيحة بالنسبة لأي نقطة وأي خط مستقيم في مستوى لوباتشيفسكي.

نظرية 13.1.ليكن خطًا اعتباطيًا، نقطة لا تقع على هذا الخط. ثم في المستوى المحدد بالنقطة A والخط a، يوجد على الأقل خطان يمران عبر A ولا يتقاطعان مع الخط a.

دليل.سنقوم بتنفيذ البرهان بالتناقض باستخدام النظرية 11.1 (انظر الفقرة 11). يجب أن تكون هناك نقطة A وخط a في فضاء Lobachevsky بحيث يوجد في المستوى المحدد بهذه النقطة والخط خط مستقيم واحد فقط يمر عبر النقطة A ولا يتقاطع مع a. دعونا نخفض النقطة A المتعامدة AB على الخط a وعند النقطة A نستعيد h المتعامدة على الخط AB (الشكل 50). على النحو التالي من النظرية 4.2 (انظر الفقرة 4) لا يتقاطع الخطان h و a. على افتراض أن الخط h هو الخط الوحيد الذي يمر عبر A ولا يتقاطع مع a. دعونا نختار نقطة عشوائية C على الخط المستقيم A. دعونا نطرح من الشعاع AC في نصف المستوى ذو الحد AB، الذي لا يحتوي على النقطة B، زاوية CAM تساوي ACB. ثم، كما يلي من نفس النظرية 4.2، فإن الخط المستقيم AM لا يتقاطع مع a. ويترتب على افتراضنا أنه يتزامن مع h. وبالتالي فإن النقطة M تنتمي إلى السطر h. المثلث ABC مثلث قائم الزاوية. دعونا نحسب مجموع زوايا المثلث ABC : . ويترتب على ذلك من النظرية 11.1 أن شرط بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية قد تم استيفاءه. ولذلك، في المستوى قيد النظر لا يمكن أن توجد نقطة A 0 وخط 0 بحيث يمر خطان مستقيمان على الأقل عبر هذه النقطة ولا يتقاطعان مع 0 . لقد وصلنا إلى تناقض مع شرط بديهية التوازي عند لوباتشيفسكي. لقد تم إثبات النظرية.

تجدر الإشارة إلى أننا سنستخدم فيما يلي عبارة النظرية 13.1، ونستبدلها بشكل أساسي ببيان بديهية التوازي لوباتشيفسكي. بالمناسبة، في العديد من الكتب المدرسية يتم قبول هذا البيان كبديهية للتوازي في هندسة لوباتشيفسكي.

من النظرية 13.1 من السهل الحصول على النتيجة الطبيعية التالية.

النتيجة الطبيعية 13.2. في مستوى لوباتشيفسكي، من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر عدد لا حصر له من الخطوط التي لا تتقاطع مع الخط المعطى.

في الواقع، ليكن a خطًا معينًا، وA نقطة لا تنتمي إليه، ويكون h 1 وh 2 خطين يمران عبر A ولا يتقاطعان مع a (الشكل 51). ومن الواضح أن جميع الخطوط التي تمر عبر النقطة A وتقع في إحدى الزوايا التي تشكلها h 1 و h 2 (انظر الشكل 51) لا تتقاطع مع الخط a.

لقد أثبتنا في الفصل الثاني عددا من العبارات المكافئة لبديهية التوازي في الهندسة الإقليدية. إن نفيهم المنطقي يميز خصائص الأشكال الموجودة على مستوى Lobachevsky.

أولاً، النفي المنطقي لمسلمة إقليدس الخامسة صالح على مستوى لوباتشيفسكي. في الفقرة 9، قمنا بصياغة المسلمة نفسها وأثبتنا نظرية حول تكافؤها مع بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية (انظر النظرية 9.1). يبدو النفي المنطقي كما يلي:

البيان 13.3.يوجد على مستوى Lobachevsky خطان مستقيمان غير متقاطعين، عند تقاطعهما مع خط ثالث يشكلان زاويتين داخليتين من جانب واحد، مجموعهما أقل من زاويتين قائمتين.

في الفقرة 12 قمنا بصياغة اقتراح بوسيدونيوس: يوجد على المستوى ثلاث نقاط على استقامة واحدة على الأقل تقع في نفس نصف المستوى من خط معين وعلى مسافة متساوية منه.لقد أثبتنا أيضًا النظرية 12.6: إن اقتراح بوسيدونيوس يعادل بيان بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية.وبالتالي، فإن نفي هذا البيان يعمل على مستوى Lobachevsky.

البيان 13.4. مجموعة النقاط المتساوية البعد عن خط على مستوى لوباتشيفسكي وتقع في نفس نصف المستوى بالنسبة إليه، بدورها، لا تقع على نفس الخط.

على مستوى Lobachevsky، تشكل مجموعة النقاط المتساوية البعد عن الخط والتي تنتمي إلى نفس نصف المستوى بالنسبة لهذا الخط خطًا منحنيًا، يسمى متساوي البعد. وسنتحدث عن خصائصه لاحقًا.

دعونا الآن نفكر في اقتراح ليجيندر: ص تنص النظرية 11.6 التي أثبتناها (انظر الفقرة 11) على ذلك ويترتب على ذلك أنه على مستوى Lobachevsky يكون النفي المنطقي لهذا الاقتراح صالحًا.

البيان 13.5. توجد على جانب أي زاوية حادة نقطة بحيث لا يتقاطع العمودي معها القائم عند هذه النقطة مع الضلع الثاني من الزاوية.

دعونا نلاحظ خصائص المثلثات والأشكال الرباعية في مستوى لوباتشيفسكي، والتي تتبع مباشرة نتائج القسمين 9 و11. أولًا، النظرية 11.1. ينص علي إن افتراض وجود مثلث يتطابق مجموع زواياه مع مجموع زاويتين قائمتين يعادل بديهية التوازي في المستوى الإقليدي.من هذا ومن نظرية ليجيندر الأولى (انظر النظرية 10.1، § 10) يتبع البيان التالي:

البيان 13.6. على مستوى لوباتشيفسكي، مجموع زوايا أي مثلث أقل من 2د.

ويترتب على ذلك مباشرة أن مجموع زوايا أي شكل رباعي محدب أقل من 4d، ومجموع زوايا أي شكل رباعي محدب أقل من 2(n-1)d.

نظرًا لأن الزوايا المجاورة للقاعدة العلوية لمربع ساشيري على المستوى الإقليدي تساوي الزوايا القائمة، والتي وفقًا للنظرية 12.3 (انظر الفقرة 12)، تعادل بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية، فيمكننا رسم ما يلي خاتمة.

البيان 13.7. الزوايا المجاورة للقاعدة العلوية لمربع ساشيري حادة.

يبقى لنا أن نفكر في خاصيتين أخريين للمثلثات على مستوى Lobachevsky. الأول يتعلق باقتراح واليس: يوجد على المستوى زوج واحد على الأقل من المثلثات ذات زوايا متساوية ولكن ليست متساوية الجوانب.أثبتنا في القسم 11 أن هذا الاقتراح يعادل بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية (انظر النظرية 11.5). إن النفي المنطقي لهذا البيان يقودنا إلى الاستنتاج التالي: على مستوى Lobachevsky لا توجد مثلثات ذات زوايا متساوية، ولكن ليس جوانب متساوية. وبالتالي، فإن الاقتراح التالي صحيح.

البيان 13.8. (المعيار الرابع لمساواة المثلثات على مستوى لوباتشيفسكي).أي مثلثين على مستوى لوباتشيفسكي لهما زوايا متساوية متساويان يكونان متطابقين.

دعونا الآن نفكر في السؤال التالي. هل من الممكن وصف دائرة حول أي مثلث على مستوى لوباتشيفسكي؟ الجواب على ذلك يتم تقديمه من خلال النظرية 9.4 (انظر الفقرة 9). وفقًا لهذه النظرية، إذا كان من الممكن وصف دائرة حول أي مثلث على المستوى، فإن شرط بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية يكون محققًا على المستوى. ولذلك فإن النفي المنطقي لبيان هذه النظرية يقودنا إلى الفرضية التالية.

البيان 13.9. يوجد على مستوى Lobachevsky مثلث لا يمكن وصف الدائرة حوله.

من السهل بناء مثال لمثل هذا المثلث. دعونا نختار خطًا مستقيمًا (أ) ونقطة (أ) لا تنتمي إليه. دعونا نسقط h عموديًا من النقطة A إلى الخط المستقيم a. بحكم بديهية التوازي لوباشيفسكي، هناك خط مستقيم ب يمر عبر A وليس عموديا على ح، والذي لا يتقاطع مع أ (الشكل 52). كما تعلم، إذا كانت الدائرة محاطة بمثلث، فإن مركزها يقع عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لأضلاع المثلث. ولذلك يكفي أن نعطي مثالاً لمثلث لا تتقاطع منصفاته. لنختار النقطة M على السطر h، كما هو موضح في الشكل 52. لنعرضها بشكل متماثل بالنسبة للخطين a وb، نحصل على النقطتين N وP. وبما أن الخط b ليس متعامدًا مع h، فإن النقطة P لا تنتمي إلى h. ولذلك فإن النقاط M وN وP تشكل رؤوس المثلث. يعمل الخطان a وb كمنصفين متعامدين. فهي، كما ذكرنا أعلاه، لا تتقاطع. المثلث MNP هو المطلوب.

من السهل إنشاء مثال لمثلث في مستوى لوباتشيفسكي يمكن وصف الدائرة حوله. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ خطين متقاطعين، واختيار النقطة التي لا تنتمي إليهم، وتعكسها بالنسبة لهذه الخطوط. قم بإجراء البناء التفصيلي بنفسك.

التعريف 14.1. دع خطين موجهين ويعطى. وتسمى بالتوازي إذا تم استيفاء الشروط التالية:

1. الخطان أ و ب لا يتقاطعان؛

2. بالنسبة للنقطتين الاختياريتين A وB للخطين المستقيمين a وb، فإن أي شعاع داخلي h للزاوية ABB 2 يتقاطع مع الخط المستقيم a (الشكل 52).

سنشير إلى الخطوط المتوازية بنفس الطريقة المعتادة في دورة الهندسة المدرسية: أ || ب. لاحظ أن الخطوط المتوازية على المستوى الإقليدي تلبي هذا التعريف.

نظرية 14.3. دع الخط الموجه والنقطة B التي لا تنتمي إليه تُعطى على مستوى Lobachevsky. ثم هناك خط موجه واحد فقط يمر عبر هذه النقطة، بحيث يكون الخط a موازيًا للخط b.

دليل.دعونا نخفض الخط العمودي BA من النقطة B إلى الخط a ومن النقطة B نستعيد الخط العمودي p إلى الخط BA (الشكل 56 أ). الخط المستقيم p، كما أشرنا مراراً وتكراراً، لا يتقاطع مع الخط المستقيم المعطى a. دعونا نختار نقطة عشوائية C عليها ونقسم نقاط المقطع AC إلى فئتين و . ستشمل الفئة الأولى النقاط S من هذا المقطع التي يتقاطع فيها الشعاع BS مع الشعاع AA 2، وستتضمن الفئة الثانية النقاط T التي لا يتقاطع فيها الشعاع BT مع الشعاع AA 2. دعونا نبين أن مثل هذا التقسيم إلى فئات ينتج قسم Dedekind من المقطع AC. وفقًا للنظرية 4.3 (انظر الفقرة 4) يجب علينا التحقق مما يلي:

2. والفئات وتحتوي على نقاط أخرى غير A وC؛

3. أي نقطة من الدرجة تختلف عن النقطة أ تقع بين النقطة أ وأي نقطة من الدرجة.

الشرط الأول واضح، جميع نقاط المقطع تنتمي إلى فئة معينة، في حين أن الفئات نفسها، بناء على تعريفها، ليس لديها نقاط مشتركة.

الشرط الثاني من السهل أيضًا التحقق منه. من الواضح أن . يحتوي الصنف على نقاط غير A، وللتحقق من هذه العبارة يكفي اختيار أي نقطة على الشعاع AA 2 وتوصيلها بالنقطة B. وهذا الشعاع سيتقاطع مع القطعة BC عند نقطة من الصنف الأول. يحتوي الفصل أيضًا على نقاط أخرى غير C، وإلا فإننا سنصل إلى تناقض مع بديهية التوازي لوباشيفسكي.

دعونا نثبت الشرط الثالث. لتكن هناك نقطة S من الصنف الأول تختلف عن A، ونقطة T من الصنف الثاني بحيث تقع النقطة T بين A وS (انظر الشكل 56 أ). وبما أن الشعاع BS يتقاطع مع الشعاع AA 2 عند نقطة ما R. خذ بعين الاعتبار الشعاع BT. إنه يتقاطع مع الجانب AS للمثلث ASR عند النقطة T. وفقًا لبديهية باش، يجب أن يتقاطع هذا الشعاع مع الجانب AR أو الجانب SR من هذا المثلث. لنفترض أن الشعاع BT يتقاطع مع الجانب SR في نقطة ما O. ثم يمر خطان مستقيمان مختلفان BT وBR عبر النقطتين B وO، وهو ما يتعارض مع بديهيات هيلبرت. وبالتالي، فإن الشعاع BT يتقاطع مع الجانب AR، مما يعني أن النقطة T لا تنتمي إلى الفئة K 2. ويؤدي التناقض الناتج إلى القول بأن النقطة S تقع بين A وT. وقد تم التحقق من شروط النظرية 4.3 بشكل كامل.

وفقا لخلاصة النظرية 4.3 في قسم ديديكيند على المقطع AC، هناك نقطة تكون أي نقطة تقع بين A تنتمي إلى الصنف، وأي نقطة تقع بين و C تنتمي إلى الصنف. دعونا نبين أن الخط الموجه موازي للخط . وفي الحقيقة ما بقي علينا أن نثبته هو أن المستقيم a لا يتقاطع، لأنه بسبب اختيار نقاط الصنف K 1، يتقاطع أي شعاع داخلي للزاوية. لنفترض أن الخط يتقاطع مع الخط a عند نقطة ما H (الشكل 56 ب). دعونا نختار نقطة عشوائية P على الشعاع HA 2 ونفكر في الشعاع BP. ثم يتقاطع مع القطعة M 0 C عند نقطة ما Q (أثبت هذه العبارة بنفسك). لكن النقاط الداخلية للقطعة M 0 C تنتمي إلى الصنف الثاني، فالشعاع BP لا يمكن أن يكون له نقاط مشتركة مع الخط المستقيم a. وبالتالي، فإن افتراضنا حول تقاطع الخطين BM 0 و a غير صحيح.

من السهل التحقق من أن الخط هو الخط الموجه الوحيد الذي يمر عبر النقطة B وموازٍ لـ . في الواقع، دع خطًا موجهًا آخر يمر عبر النقطة B، والتي تكون موازية لـ . في هذه الحالة، سنفترض أن M 1 هي نقطة على القطعة AC. ثم، بناءً على تعريف الفئة K 2، . ولذلك فإن الشعاع BM 0 هو شعاع داخلي للزاوية، وبالتالي، بحكم التعريف 14.1، فإنه يتقاطع مع الخط المستقيم. وقد توصلنا إلى تناقض مع ما ثبت أعلاه. تم إثبات النظرية 14.3 بشكل كامل.

خذ بعين الاعتبار النقطة B والخط الموجه الذي لا يحتوي عليها. وفقًا للنظرية المثبتة 14.3، يمر خط موجه موازٍ للنقطة B. دعونا نخفض الخط المتعامد BH من النقطة B إلى الخط المستقيم a (الشكل 57). من السهل رؤية ذلك زاوية HBB 2 – حادة. في الواقع، إذا افترضنا أن هذه الزاوية صحيحة، فمن التعريف 14.1 يترتب على ذلك أن أي خط يمر عبر النقطة B يتقاطع مع الخط أ، وهو ما يتعارض مع النظرية 13.1، أي. بديهية التوازي لوباشيفسكي LV 1 (انظر الفقرة 13). من السهل أن نرى أن افتراض أن هذه الزاوية منفرجة يؤدي أيضًا إلى تناقض الآن مع التعريف 14.1 والنظرية 4.2 (انظر الفقرة 4)، حيث أن الشعاع الداخلي للزاوية HBB 2 المتعامدة مع BH لا يتقاطع مع الشعاع AA 2 . وبالتالي فإن العبارة التالية صحيحة.

نظرية 14.4. ليكن الخط الموجه موازيا للخط الموجه. إذا تم إنزال العمود BH من النقطة B على الخط المستقيم، فإن الزاوية HBB 2 حادة.

النتيجة الطبيعية التالية تتبع بوضوح هذه النظرية.

عاقبة.إذا كان هناك عمودي مشترك على الخطوط الموجهة و، فإن الخط المستقيم غير موازي للخط.

دعونا نقدم مفهوم التوازي للخطوط غير الموجهة. سوف نفترض ذلك خطان غير اتجاهيين متوازيان إذا أمكن اختيار الاتجاهات عليهما بحيث يستوفيان التعريف 14.1.كما تعلمون، الخط المستقيم له اتجاهان. لذلك، من النظرية 14.3، يترتب على ذلك أنه من خلال النقطة B، التي لا تنتمي إلى الخط أ، يمر خطان غير اتجاهيين موازيين لهذا الخط. من الواضح أنهما متناظرتان بالنسبة للخط العمودي الذي يسقط من النقطة B على الخط المستقيم A. هذان الخطان هما نفس الخطوط الحدودية التي تفصل بين مجموعة الخطوط التي تمر عبر النقطة B وتتقاطع مع حزمة الخطوط التي تمر عبر B ولا تتقاطع مع الخط a (الشكل 57).

نظرية 15.2. (خاصية تناظر الخطوط المتوازية على مستوى لوباتشيفسكي).ليكن الخط الموجه موازيا للخط الموجه. ثم الخط الموجه موازي للخط.

خاصية التناظر لمفهوم الخطوط المتوازية على مستوى Lobachevsky تسمح لنا بعدم الإشارة إلى ترتيب الخطوط المتوازية الموجهة، أي. لا تحدد أي سطر هو الأول والذي هو الثاني. ومن الواضح أن خاصية التناظر لمفهوم الخطوط المتوازية تنطبق أيضًا على المستوى الإقليدي. ويترتب مباشرة على تعريف الخطوط المتوازية في الهندسة الإقليدية. في الهندسة الإقليدية، تنطبق خاصية العبور أيضًا على الخطوط المتوازية. إذا كان المستقيم أ موازيا للخط ب، والمستقيم ب موازيا للخط ج. فإن الخطين a وc متوازيان أيضًا مع بعضهما البعض. تنطبق خاصية مماثلة على الخطوط الموجهة على مستوى Lobachevsky.

نظرية 15.3. (خاصية العبور للخطوط المتوازية على مستوى لوباتشيفسكي).دع ثلاثة خطوط موجهة مختلفة تعطى. لو و ، الذي - التي .

خذ بعين الاعتبار خطًا موجهًا موازيًا لخط موجه. دعونا نعبرهم بخط مستقيم. النقطتان A و B، على التوالي، هما نقطتي تقاطع الخطين و ، (الشكل 60). النظرية التالية صحيحة.

نظرية 15.4. الزاوية أكبر من الزاوية.

نظرية 15.5. الزاوية الخارجية للمثلث المنحل أكبر من الزاوية الداخلية غير المجاورة لها.

والدليل يتبع مباشرة من نظرية 15.4. افعلها بنفسك.

النظر في قطعة تعسفية AB. من خلال النقطة أ نرسم خطًا مستقيمًا أ، متعامدًا مع AB، ومن خلال النقطة ب، نرسم خطًا مستقيمًا ب، موازيًا لـ أ (الشكل 63). كما يلي من النظرية 14.4 (انظر الفقرة 14)، فإن الخط b ليس متعامدًا مع الخط AB.

التعريف 16.1. تسمى الزاوية الحادة التي يتكونها الخطان AB و b بزاوية توازي القطعة AB.

ومن الواضح أن كل قطعة تتوافق مع زاوية معينة من التوازي. النظرية التالية صحيحة.

نظرية 16.2. تتوافق الأجزاء المتساوية مع زوايا متساوية من التوازي.

دليل.دع جزأين متساويين AB و A ™ B ™ يعطىان. دعونا نرسم من خلال النقطتين A و A ™ خطوطًا مستقيمة موجهة و، متعامدة مع AB و A ™ B ™، على التوالي، ومن خلال النقطتين B و B ™ خطوطًا مستقيمة موجهة و، موازية لـ وعلى التوالي (الشكل 64). ثم على التوالي، زوايا التوازي للقطاعين AB وA™B™. دعونا نتظاهر بذلك

دعونا نضع جانباً الزاوية a 2 من الشعاع BA في نصف المستوى BAA 2 (انظر الشكل 64). بسبب المتباينة (1)، فإن الشعاع l هو الشعاع الداخلي للزاوية ABV 2. بما أن ½½، فإن l يتقاطع مع الشعاع AA 2 عند نقطة ما P. دعونا نرسم على الشعاع A¢A 2 ¢ من النقطة A ¢ قطعة A ™ P تساوي AP. خذ بعين الاعتبار المثلثين АВР و АВР. إنها مستطيلة، وفقًا لشروط النظرية، فإن لها أرجل متساوية AB وA¢B™، ومن خلال البناء فإن الزوج الثاني من الأرجل AP وA™P™ متساويان مع بعضهما البعض. وبالتالي، فإن المثلث القائم ABP يساوي المثلث A ™ B ™ P . لهذا . من ناحية أخرى، يتقاطع العارضة B ™ P مع العارضة A ™ A 2 ¢، والخط المستقيم الموجه B 1 ¢ B 2 ¢ يوازي الخط المستقيم A 1 ¢ A 2 ¢. ولذلك، فإن الشعاع Â ™ هو الشعاع الداخلي للزاوية Â ™ В 2 ¢، . التناقض الناتج يدحض افتراضنا، عدم المساواة (1) غير صحيح. وثبت كذلك أن الزاوية لا يمكن أن تكون أقل من الزاوية . لقد تم إثبات النظرية.

دعونا الآن نفكر في كيفية ارتباط زوايا التوازي للأجزاء غير المتساوية ببعضها البعض.

نظرية 16.3. اجعل القطعة AB أكبر من القطعة A ™ B، وتكون الزوايا، وبالتالي زواياها، متوازية. ثم .

دليل.يأتي إثبات هذه النظرية مباشرةً من النظرية 15.5 (انظر الفقرة 15) حول الزاوية الخارجية للمثلث المنحل. خذ بعين الاعتبار الجزء AB. دعونا نرسم من خلال النقطة A خطًا موجهًا متعامدًا مع AB، ومن خلال النقطة B خطًا موجهًا موازيًا له (الشكل 65). دعونا نرسم على الشعاع AB قطعة AP تساوي A ™ B ™. وبما أن P هي النقطة الداخلية للقطعة AB. دعونا نرسم من خلال P خطًا موجهًا C 1 C 2، موازيًا أيضًا. تعمل الزاوية بمثابة زاوية التوازي للقطعة A ™ B ™، وتكون الزاوية بمثابة زاوية التوازي للقطعة AB. من ناحية أخرى، من النظرية 15.2 حول تناظر مفهوم توازي الخطوط (انظر الفقرة 15)، يترتب على ذلك أن الخط C 1 C 2 موازي للخط. ولذلك فإن المثلث PBC 2 A 2 منحط وزواياه الخارجية وزواياه الداخلية. من النظرية 15.5 يترتب على ذلك أن العبارة التي تم إثباتها صحيحة.

ومن السهل إثبات العكس.

نظرية 16.4.دع وتكون زوايا التوازي للقطاعات AB و A ™ B ™. ثم، إذا، ثم AB > A ™ B ™.

دليل.ولنفترض العكس، . ثم من النظريات 16.2 و16.3 يتبع ذلك مما يتعارض مع شروط النظرية.

وبذلك أثبتنا أن كل قطعة تقابل زاوية التوازي الخاصة بها، والقطعة الأكبر تقابل زاوية توازي أصغر. فكر في عبارة تثبت أنه لأي زاوية حادة هناك قطعة تكون هذه الزاوية فيها زاوية توازي. سيؤدي هذا إلى إنشاء مراسلات فردية بين المقاطع والزوايا الحادة على مستوى Lobachevsky.

نظرية 16.5. لأي زاوية حادة، هناك قطعة تكون هذه الزاوية فيها زاوية توازي.

دليل.دع الزاوية الحادة ABC تعطى (الشكل 66). سنفترض أن جميع النقاط الواقعة على الشعاعين BA وBC المذكورة في الشكل التالي تقع بين النقاط B وA وB وC. دعونا نسمي الشعاع مقبولًا إذا كان أصله ينتمي إلى جانب الزاوية BA، وهو عمودي على الخط المستقيم BA ويقع في نفس نصف المستوى بالنسبة إلى الخط المستقيم BA مثل الضلع BC للزاوية المعطاة.دعونا ننتقل إلى اقتراح ليجيندر: ص العمود المرسوم على جانب زاوية حادة عند أي نقطة من هذا الجانب يتقاطع مع الضلع الثاني من الزاوية.لقد أثبتنا النظرية 11.6 (انظر الفقرة 11)، التي تنص على ذلك إن اقتراح ليجيندر يعادل بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية.ومن هنا استنتجنا أنه على مستوى لوباتشيفسكي يكون النفي المنطقي لهذه العبارة صحيحا، أي: توجد على جانب أي زاوية حادة نقطة بحيث لا يتقاطع العمودي معها القائم عند هذه النقطة مع الضلع الثاني من الزاوية(انظر الفقرة 13). وبالتالي، هناك شعاع مقبول m يبدأ من النقطة M ولا يتقاطع مع الجانب BC لزاوية معينة (انظر الشكل 66).

دعونا نقسم نقاط المقطع VM إلى فئتين. الى الصف سوف تنتمي إلى تلك النقاط من هذا المقطع التي تتقاطع فيها الأشعة المسموح بها التي لها أصول عند هذه النقاط مع الجانب BC لزاوية معينة، والطبقة تنتمي إلى تلك النقاط من المقطع BC التي لا تتقاطع فيها الأشعة المسموح بها التي لها أصول عند هذه النقاط مع الجانب BC. دعونا نبين أن مثل هذا التقسيم للقطعة BM يشكل قسم Dedekind (انظر النظرية 4.3، الفقرة 4). للقيام بذلك، يجب عليك التحقق من ذلك

5. والفئات وتحتوي على نقاط أخرى غير B وM؛

6. أي نقطة من الدرجة تختلف عن النقطة B تقع بين النقطة B وأي نقطة من الدرجة.

الشرط الأول مستوفي بشكل واضح. تنتمي أي نقطة في المقطع VM إلى الفئة K 1 أو الفئة K 2. علاوة على ذلك، فإن النقطة، بحكم تعريف هذه الفئات، لا يمكن أن تنتمي إلى فئتين في نفس الوقت. من الواضح أنه يمكننا أن نفترض أن النقطة M تنتمي إلى K 2، لأن الشعاع المقبول الذي يبدأ عند النقطة M لا يتقاطع مع BC. تحتوي الفئة K 1 على نقطة واحدة على الأقل مختلفة عن B. ولإنشاءها، يكفي تحديد نقطة تعسفية P على الجانب BC وخفض PQ المتعامد منها إلى الشعاع BA. إذا افترضنا أن النقطة Q تقع بين النقطتين M وA، فإن النقطتين P وQ تقعان في أنصاف مستويات مختلفة بالنسبة إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع m (انظر الشكل 66). ولذلك فإن القطعة PQ تتقاطع مع الشعاع m عند نقطة ما R. ونجد أنه قد تم إسقاط عموديين من النقطة R إلى الخط BA، وهو ما يتناقض مع النظرية 4.2 (انظر الفقرة 4). وبالتالي فإن النقطة Q تنتمي إلى القطعة BM، والفئة K 1 تحتوي على نقاط أخرى غير B. ومن السهل شرح سبب وجود قطعة على الشعاع BA تحتوي على نقطة واحدة على الأقل تنتمي إلى الفئة K 2 وتختلف عن نهايتها. في الواقع، إذا كانت الفئة K 2 من المقطع BM قيد النظر تحتوي على نقطة واحدة M، فإننا نختار نقطة اختيارية M ¢ بين M وA. فكر في شعاع مقبول m ¢ يبدأ عند النقطة M ™. وهو لا يتقاطع مع الشعاع m، وإلا فإنه يسقط عموديان من النقطة على الخط AB، وبالتالي فإن m¢ لا يتقاطع مع الشعاع BC. المقطع VM ™ هو المقطع المطلوب، ويجب تنفيذ جميع الأسباب الإضافية للمقطع VM ™.

دعونا نتحقق من صحة الشرط الثالث للنظرية 4.3. لنفترض أن هناك مثل هذه النقاط وأن النقطة P تقع بين النقطتين U وM (الشكل 67). دعونا نرسم الشعاعين u وp المسموح بهما عند النقطتين U وP. وبما أن الشعاع p يتقاطع مع الضلع BC لزاوية معينة عند نقطة ما Q. يتقاطع الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع u مع الضلع BP للمثلث BPQ لذلك، وفقًا لبديهية هيلبرت (بديهية باش، انظر الفقرة 3) فإنه يتقاطع مع الجانب BQ أو الجانب PQ لهذا المثلث. ولكن، وبالتالي، فإن الشعاع u لا يتقاطع مع الجانب BQ، وبالتالي، يتقاطع الشعاعان p وu عند نقطة ما R. لقد توصلنا مرة أخرى إلى تناقض، لأننا قمنا ببناء نقطة تم إسقاط عموديين منها على الخط AB. تم استيفاء شروط النظرية 4.3 بالكامل.

م. ويترتب على ذلك. لقد حصلنا على التناقض، إذ قمنا ببناء نقطة من الصنف K 1 تقع بين النقطتين وM. ويبقى علينا أن نبين أن أي شعاع داخلي لزاوية يتقاطع مع الشعاع BC. النظر في شعاع داخلي تعسفي ح من هذه الزاوية. دعونا نختار عليها نقطة تعسفية K، تنتمي إلى الزاوية، ونسقط منها عموديًا على الخط المستقيم BA (الشكل 69). من الواضح أن القاعدة S لهذا العمودي تنتمي إلى القطعة BM 0، أي. فئة K 1 (أثبت هذه الحقيقة بنفسك). ويترتب على ذلك أن الخط المتعامد KS يتقاطع مع الجانب BC لزاوية معينة عند نقطة ما T (انظر الشكل 69). الشعاع h يتقاطع مع الجانب ST من المثلث BST عند النقطة K، وبحسب البديهية (بديهية باش)، فإنه يجب أن يتقاطع إما مع الجانب BS أو الجانب BT من هذا المثلث. ومن الواضح أن h لا يتقاطع مع القطعة BS، وإلا فإن الخطين h و BA يمران بنقطتين، ونقطة التقاطع هذه. وهكذا، h يتقاطع مع الجانب BT، أي. شعاع فا. تم إثبات النظرية بشكل كامل.

وهكذا، أثبتنا أن كل قطعة في هندسة لوباشيفسكي يمكن ربطها بزاوية حادة - زاوية التوازي. سنفترض أننا قدمنا ​​قياس الزوايا والقطاعات، ونلاحظ أننا سنقدم قياس القطاعات لاحقًا في الفقرة. نقوم بتنفيذ التعريف التالي.

التعريف 16.6. إذا كنا نعني بـ x طول القطعة، وبـ j حجم الزاوية، فإن الاعتماد j = P(x)، الذي يعين قيمة زاوية التوازي الخاصة بها على طول القطعة، يسمى وظيفة لوباتشيفسكي.

انه واضح . باستخدام خصائص زاوية التوازي لقطعة مثبتة أعلاه (انظر النظريتين 16.3 و16.4)، يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي: وظيفة Lobachevsky تتناقص بشكل رتيب.حصل نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي على الصيغة الرائعة التالية:

,

حيث k هو عدد موجب. وهو مهم في هندسة فضاء لوباتشيفسكي، ويسمى نصف قطر انحناءه. إن فضاءين لوباتشيفسكي لهما نفس نصف قطر الانحناء متساويان القياس. من الصيغة أعلاه، كما هو واضح، يترتب على ذلك أيضًا أن j = P(x) هي دالة مستمرة متناقصة بشكل رتيب، تنتمي قيمها إلى الفاصل الزمني.

على المستوى الإقليدي نرسم دائرة w مركزها عند نقطة ما O ونصف قطرها يساوي الوحدة، وهو ما سنسميه مطلق. نشير إلى مجموعة جميع نقاط الدائرة التي تحدها الدائرة w بـ W، ومجموعة جميع النقاط الداخلية لهذه الدائرة بـ W. وهكذا، . سوف نسمي نقاط المجموعة W نقاط Lالمجموعة W لجميع نقاط L هي طائرة Lوالتي سنبني عليها نموذج كايلي كلاين لطائرة لوباتشيفسكي. سنطالب L-مستقيمالحبال التعسفية للدائرة ث. سنفترض أن النقطة L X تنتمي إلى الخط L x إذا وفقط إذا كانت النقطة X كنقطة في المستوى الإقليدي تنتمي إلى وتر x المطلق.

في المستوى L، تنص بديهية التوازي لوباتشيفسكي على ما يلي:من خلال النقطة L B التي لا تقع على الخط L a، يمر خطان L على الأقل b وc ليس لهما نقاط مشتركة مع الخط L a. ويقدم الشكل 94 توضيحًا لهذا البيان. من السهل أيضًا فهم الخطوط الموجهة المتوازية للمستوى L. خذ بعين الاعتبار الشكل 95. يمر الخط L ب عبر نقطة تقاطع الخط L a مع المطلق. ولذلك فإن الخط L الموجه A 1 A 2 يوازي الخط L الموجه B 1 A 2. في الواقع، هذه الخطوط لا تتقاطع، وإذا اخترنا بشكل عشوائي النقطتين L A و B المنتمين على التوالي إلى هذه الخطوط، فإن أي شعاع داخلي h للزاوية A 2 BA يتقاطع مع الخط a. وبالتالي، يكون الخطان L متوازيين إذا كان لهما نقطة تقاطع مشتركة مع المطلقة. ومن الواضح أن خاصية التناظر والعبورية لمفهوم التوازي للخطوط L قد استوفيت. في الفقرة 15، أثبتنا خاصية التناظر، وخاصية العبور موضحة في الشكل 95. الخط A 1 A 2 موازي للخط B 1 A 2، ويتقاطعان مع المطلق عند النقطة A 2. الخطان B 1 A 2 و C 1 A 2 متوازيان أيضًا، ويتقاطعان أيضًا مع المطلق عند نفس النقطة A 2. ولذلك، فإن الخطين A 1 A 2 و C 1 A 2 متوازيان مع بعضهما البعض.

وبالتالي، فإن المفاهيم الأساسية المحددة أعلاه تلبي متطلبات البديهيات I 1 -I 3، II، III، IV مجموعات من بديهيات هيلبرت وبديهية التوازي لوباتشيفسكي، وبالتالي فهي نموذج لمستوى Lobachevsky. لقد أثبتنا الاتساق الموضوعي في قياسات لوباتشيفسكي. دعونا صياغة هذا البيان على النحو النظرية التالية.

النظرية 1. هندسة Lobachevsky متسقة بشكل جوهري.

لقد قمنا ببناء نموذج لطائرة لوباتشيفسكي، ويمكن العثور على بناء نموذج مكاني مماثل لذلك الذي تم النظر فيه على الطائرة في الدليل.

الاستنتاج الأكثر أهمية يأتي من النظرية 1. بديهية التوازي ليست نتيجة للبديهيات من الأول إلى الرابع من بديهيات هيلبرت. وبما أن مسلمة إقليدس الخامسة تعادل بديهية التوازي في الهندسة الإقليدية، فإن هذه المسلمة أيضًا لا تعتمد على بقية مسلمات هيلبرت.