متوسط ​​في الرياضيات قيمة حسابيةالأرقام (أو المتوسط ​​فقط) هو مجموع كل الأرقام الموجودة في هذه المجموعةمقسومة على عددهم. هذا هو المفهوم الأكثر عمومية وانتشارًا. مقاس متوسط. كما فهمت بالفعل ، من أجل العثور عليك تحتاج إلى تلخيص جميع الأرقام المعطاة لك ، وقسمة النتيجة على عدد المصطلحات.

ما هو المعنى الحسابي؟

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 1. يتم إعطاء الأرقام: 6 ، 7 ، 11. أنت بحاجة إلى إيجاد متوسط ​​قيمتها.

حل.

أولًا ، لنجد مجموع كل الأعداد المعطاة.

الآن نقسم المجموع الناتج على عدد الحدود. بما أن لدينا ثلاثة حدود ، على التوالي ، فسنقسم على ثلاثة.

إذن ، متوسط ​​6 و 7 و 11 هو 8. لماذا 8؟ نعم ، لأن مجموع 6 و 7 و 11 سيكون هو نفسه ثلاثة ثمانية. هذا واضح في الرسم التوضيحي.

يذكرنا متوسط ​​القيمة إلى حد ما بـ "محاذاة" سلسلة من الأرقام. كما ترون ، أصبحت أكوام أقلام الرصاص مستوى واحدًا.

فكر في مثال آخر لتعزيز المعرفة المكتسبة.

مثال 2يتم إعطاء الأرقام: 3 ، 7 ، 5 ، 13 ، 20 ، 23 ، 39 ، 23 ، 40 ، 23 ، 14 ، 12 ، 56 ، 23 ، 29. تحتاج إلى إيجاد الوسط الحسابي لها.

حل.

نجد المجموع.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

اقسم على عدد المصطلحات (في هذه الحالة ، 15).

لذلك ، متوسط ​​قيمة هذه السلسلة من الأرقام هو 22.

فكر الآن أرقام سالبة. دعونا نتذكر كيف نلخصها. على سبيل المثال ، لديك رقمان 1 و -4. دعونا نجد مجموعها.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

مع العلم بهذا ، فكر في مثال آخر.

مثال 3أوجد متوسط ​​قيمة سلسلة من الأرقام: 3 ، -7 ، 5 ، 13 ، -2.

حل.

إيجاد مجموع الأعداد.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

نظرًا لوجود 5 حدود ، نقسم المجموع الناتج على 5.

لذلك ، فإن المتوسط ​​الحسابي للأرقام 3 ، -7 ، 5 ، 13 ، -2 هو 2.4.

في عصرنا من التقدم التكنولوجي ، من الأنسب استخدام للعثور على متوسط ​​القيمة برامج الحاسوب. مايكروسوفت أوفيسالتفوق هو واحد منهم. العثور على المتوسط ​​في Excel سريع وسهل. علاوة على ذلك ، يتم تضمين هذا البرنامج في حزمة البرامج من Microsoft Office. يعتبر تعليمات موجزة، قيمة باستخدام هذا البرنامج.

لحساب القيمة المتوسطة لسلسلة من الأرقام ، يجب عليك استخدام الدالة AVERAGE. صيغة هذه الوظيفة هي:
= متوسط ​​(وسيطة 1 ، وسيطة 2 ، ... وسيطة 255)
حيث الوسيطة 1 ، الوسيطة 2 ، ... الوسيطة 255 هي إما أرقام أو مراجع خلايا (الخلايا تعني النطاقات والصفائف).

لتوضيح الأمر ، دعنا نختبر المعرفة المكتسبة.

1. أدخل الأرقام 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 في الخلايا C1 - C6.
2. حدد الخلية C7 بالنقر فوقها. في هذه الخلية ، سنعرض متوسط ​​القيمة.
3. انقر فوق علامة التبويب "الصيغ".
4. حدد المزيد من الوظائف> إحصائي للفتح
5. حدد AVERAGE. بعد ذلك ، يجب فتح مربع حوار.
6. حدد واسحب الخلايا C1-C6 هناك لتعيين النطاق في مربع الحوار.
7. قم بتأكيد أفعالك باستخدام الزر "موافق".
8. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح ، في الخلية C7 يجب أن يكون لديك الإجابة - 13.7. عند النقر فوق الخلية C7 ، سيتم عرض الوظيفة (= المتوسط ​​(C1: C6)) في شريط الصيغة.

من المفيد جدًا استخدام هذه الوظيفة في المحاسبة أو الفواتير أو عندما تحتاج فقط إلى العثور على متوسط ​​نطاق طويل جدًا من الأرقام. لذلك ، غالبًا ما يتم استخدامه في المكاتب والشركات الكبيرة. يتيح لك ذلك الاحتفاظ بالسجلات بالترتيب ويسمح لك بحساب شيء ما بسرعة (على سبيل المثال ، متوسط ​​الدخل شهريًا). أيضا مع باستخدام Excelيمكنك العثور على متوسط ​​قيمة الوظيفة.

كيفية حساب متوسط ​​الأرقام في Excel

ابحث عن المتوسط الأرقام الحسابيةفي Excel ، يمكنك استخدام ملف.

متوسط ​​بناء الجملة

= AVERAGE (number1، [number2]،…) - النسخة الروسية

الحجج متوسط

• رقم 1- العدد الأول أو نطاق الأرقام لحساب المتوسط ​​الحسابي ؛
• رقم 2(اختياري) - الرقم الثاني أو نطاق الأرقام لحساب المتوسط ​​الحسابي. الحد الأقصى للمبلغوسيطات الوظيفة - 255.

للحساب ، قم بالخطوات التالية:

• حدد أي خلية ؛
• اكتب صيغة فيه = متوسط ​​(
• حدد نطاق الخلايا التي تريد إجراء عملية حسابية لها ؛
• اضغط على مفتاح "Enter" على لوحة المفاتيح

ستحسب الوظيفة متوسط ​​القيمة في النطاق المحدد بين تلك الخلايا التي تحتوي على أرقام.

كيفية العثور على متوسط ​​قيمة نص معين

إذا كانت هناك سطور أو نص فارغ في نطاق البيانات ، فإن الوظيفة تعاملها على أنها "صفر". إذا كانت البيانات تحتوي على تعابير منطقية FALSE أو TRUE ، ثم تعامل الدالة FALSE على أنها "صفر" و TRUE على أنها "1".

كيفية إيجاد المتوسط ​​الحسابي حسب الشرط

تُستخدم الوظيفة لحساب المتوسط ​​حسب شرط أو معيار. على سبيل المثال ، لنفترض أن لدينا بيانات مبيعات المنتج:

مهمتنا هي حساب متوسط ​​مبيعات الأقلام. للقيام بذلك ، سنتخذ الخطوات التالية:

• في الخلية أ 13اكتب اسم المنتج "أقلام" ؛
• في الخلية ب 13دعنا ندخل الصيغة:

= AVERAGEIF (A2: A10، A13، B2: B10)

نطاق الخلايا " ج 2: أ 10"يشير إلى قائمة المنتجات التي سنبحث فيها عن كلمة" أقلام ". دعوى أ 13هذا رابط لخلية بها نص سنبحث عنه ضمن قائمة المنتجات الكاملة. نطاق الخلايا " B2: B10"هو نطاق يحتوي على بيانات مبيعات المنتج ، ومن بينها ستعثر الوظيفة على" أقلام "وتحسب متوسط ​​القيمة.

متوسط ​​القيمة هو مؤشر معمم يميز المستوى النموذجي للظاهرة. إنه يعبر عن قيمة السمة المرتبطة بوحدة السكان.

متوسط ​​القيمة هو:

1) القيمة الأكثر نموذجية للسمة للسكان ؛

2) حجم إشارة السكان ، موزعة بالتساوي بين وحدات السكان.

تسمى الخاصية التي يتم من أجلها حساب متوسط ​​القيمة بـ "المتوسط" في الإحصاء.

يعمم المتوسط ​​دائمًا التباين الكمي للسمة ، أي يسدد بمبالغ متوسطة الفروقات الفرديةالوحدات السكانية بسبب الظروف العشوائية. على عكس المتوسط قيمه مطلقه، الذي يميز مستوى السمة لوحدة منفصلة من السكان ، لا يسمح بمقارنة قيم السمة للوحدات التي تنتمي إلى مجموعات سكانية مختلفة. لذلك ، إذا كنت بحاجة إلى مقارنة مستويات أجور العاملين في مؤسستين ، فلا يمكنك مقارنة موظفين من مؤسستين مختلفتين على هذا الأساس. قد لا تكون أجور العمال المختارين للمقارنة نموذجية لهذه الشركات. إذا قارنا حجم أموال الأجور في المؤسسات قيد النظر ، فلن يتم أخذ عدد الموظفين في الاعتبار ، وبالتالي ، من المستحيل تحديد مستوى الأجور الأعلى. في النهاية ، يمكن مقارنة المتوسطات فقط ، أي كم يكسب عامل واحد في المتوسط ​​في كل شركة؟ وبالتالي ، هناك حاجة لحساب متوسط ​​القيمة كخاصية عامة للسكان.

من المهم ملاحظة أنه في عملية حساب المتوسط ​​، يجب أن تظل القيمة الإجمالية لمستويات البيانات الجدولية أو قيمتها النهائية (في حالة حساب المستويات المتوسطة في سلسلة زمنية) دون تغيير. بمعنى آخر ، عند حساب متوسط ​​القيمة ، لا ينبغي تشويه حجم السمة قيد الدراسة ، ويجب بالضرورة أن تكون التعبيرات التي يتم إجراؤها عند حساب المتوسط ​​منطقية.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الشائعة ؛ متوسطينكر ما هو شائع (نموذجي) لجميع وحدات السكان المدروسين ، وفي نفس الوقت ، يتجاهل الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وفي تطورها ، هناك مزيج من الصدفة والضرورة. عند حساب المتوسطات بحكم عمل القانون أعداد كبيرةيتم إلغاء الحوادث بشكل متبادل ، ومتوازنة ، لذلك من الممكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة ، من القيم الكميةميزة في كل حالة معينة. القدرة على التجرد من عشوائية القيم الفردية والتقلبات والأكاذيب القيمة العلميةالمتوسطات كتعميم لخصائص السكان.

لكي يكون المتوسط ​​مميزًا حقًا ، يجب حسابه مع مراعاة مبادئ معينة.

دعونا أسهب في الحديث عن البعض المبادئ العامةاستخدام المتوسطات.

1. يجب تحديد المتوسط ​​للسكان المكونين من وحدات متجانسة نوعياً.

2. يجب حساب المتوسط ​​لمجتمع يتكون من عدد كبير بدرجة كافية من الوحدات.

3. يجب حساب المتوسط ​​للسكان الذين تكون وحداتهم في حالة طبيعية وطبيعية.

4. يجب حساب المتوسط ​​مع مراعاة المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة.

5.2 أنواع المتوسطات وطرق حسابها

دعونا الآن نفكر في أنواع المتوسطات وخصائص حسابها ومجالات التطبيق. تنقسم القيم المتوسطة إلى فئتين كبيرتين: متوسطات القوة والمتوسطات الهيكلية.

تتضمن متوسطات قانون القوة الأنواع الأكثر شهرة وشائعة الاستخدام ، مثل الوسط الهندسي والمتوسط ​​الحسابي والمربع المتوسط.

يعتبر الوضع والوسيط متوسطات هيكلية.

دعونا نتحدث عن متوسطات القوة. يمكن أن تكون متوسطات القوة ، اعتمادًا على عرض البيانات الأولية ، بسيطة ومرجحة. متوسط ​​بسيطيتم حسابها من البيانات غير المبوبة ولها الشكل العام التالي:

,

حيث X i هو متغير (قيمة) السمة المتوسطة ؛

n هو عدد الخيارات.

متوسط ​​الوزنيتم حسابها من خلال البيانات المجمعة ولها شكل عام

,

حيث X i هو المتغير (القيمة) للميزة المتوسطة أو القيمة المتوسطة للفاصل الذي يتم فيه قياس المتغير ؛

م هو الأس الوسط ؛

f i - تردد يوضح عدد مرات حدوثه قيمة العلامة متوسطة.

إذا قمنا بحساب جميع أنواع المتوسطات لنفس البيانات الأولية ، فلن تكون قيمها هي نفسها. هنا تنطبق قاعدة أغلبية المتوسطات: مع زيادة الأس م ، تزداد القيمة المتوسطة المقابلة أيضًا:

في الممارسة الإحصائية ، في كثير من الأحيان أكثر من الأنواع الأخرى من المتوسطات الموزونة ، يتم استخدام المتوسطات الحسابية والتوافقية المرجحة.

أنواع وسائل القوة

نوع القوة وسط	فِهرِس درجات (م)	صيغة الحساب
		بسيط	موزون
متناسق
هندسي
علم الحساب
من الدرجة الثانية
مكعب

يحتوي المتوسط ​​التوافقي على بنية أكثر تعقيدًا من المتوسط ​​الحسابي. يتم استخدام الوسط التوافقي في الحسابات عندما لا تكون الأوزان هي وحدات السكان - حاملات السمة ، ولكن منتجات هذه الوحدات وقيم السمة (أي م = Xf). يجب استخدام متوسط ​​وقت التوقف التوافقي في حالات تحديد ، على سبيل المثال ، متوسط ​​تكاليف العمالة والوقت والمواد لكل وحدة إنتاج ، لكل جزء لمؤسستين (ثلاثة ، أربعة ، إلخ) ، عمال يعملون في تصنيع نفس نوع المنتج ، نفس الجزء ، المنتج.

الشرط الرئيسي لصيغة حساب متوسط ​​القيمة هو أن جميع مراحل الحساب لها مبرر حقيقي ذي مغزى ؛ يجب أن يحل المتوسط ​​الناتج محل القيم الفرديةعلامة لكل كائن دون قطع الاتصال بين الفردية والمؤشرات الموجزة. بمعنى آخر ، يجب حساب متوسط ​​القيمة بحيث عندما يتم استبدال كل قيمة فردية للمؤشر المتوسط ​​بقيمته المتوسطة ، يظل بعض مؤشر الملخص النهائي بدون تغيير ، متعلق بأو بطريقة أخرى مع المتوسط. هذه النتيجة تسمى تحديدلأن طبيعة علاقتها بالقيم الفردية تحدد الصيغة المحددة لحساب متوسط ​​القيمة. دعنا نظهر هذه القاعدة في مثال المتوسط ​​الهندسي.

صيغة المتوسط ​​الهندسي

غالبًا ما تستخدم عند حساب متوسط ​​قيمة القيم النسبية الفردية للديناميكيات.

يتم استخدام المتوسط ​​الهندسي إذا تم إعطاء سلسلة من القيم النسبية للديناميكيات ، مما يشير ، على سبيل المثال ، إلى زيادة في الإنتاج مقارنة بالمستوى السنة الماضية: أنا 1 ، أنا 2 ، أنا 3 ، ... ، أنا ن. من الواضح أن حجم الإنتاج العام الماضييتحدد بمستواه الأولي (q 0) والنمو اللاحق على مر السنين:

q n = q 0 × i 1 × i 2 ×… × i n.

بأخذ q n كمؤشر تعريف واستبدال القيم الفردية لمؤشرات الديناميكيات بأخرى متوسطة ، نصل إلى العلاقة

من هنا

يتم استخدام نوع خاص من المتوسطات - المتوسطات الهيكلية - للدراسة الهيكل الداخليسلسلة توزيع القيم المميزة ، وكذلك لتقدير متوسط ​​القيمة (نوع قانون القوة) ، إذا كان لا يمكن إجراء حسابها وفقًا للبيانات الإحصائية المتاحة (على سبيل المثال ، إذا لم تكن هناك بيانات عن كليهما في المثال المدروس) حجم الإنتاج ومقدار التكاليف حسب مجموعات الشركات).

غالبًا ما تستخدم المؤشرات كمتوسطات هيكلية. موضة -قيمة الميزة الأكثر تكرارًا - و الوسيط -قيمة الميزة التي تقسم التسلسل المرتب لقيمها إلى جزأين متساويين في العدد. نتيجة لذلك ، في نصف عدد الوحدات السكانية ، لا تتجاوز قيمة السمة المستوى المتوسط ​​، وفي النصف الآخر لا تقل عنها.

إذا كانت السمة قيد الدراسة قيم منفصلة، فلا توجد صعوبات خاصة في حساب الوضع والوسيط. إذا تم تقديم البيانات الخاصة بقيم السمة X في شكل فترات زمنية مرتبة لتغييرها (سلسلة الفترات) ، يصبح حساب الوضع والوسيط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. بسبب ال قيمة متوسطةيقسم السكان بالكامل إلى جزأين متساويين في العدد ، ويتضح أنه في إحدى فترات العلامة X. باستخدام الاستيفاء ، تم العثور على القيمة المتوسطة في هذا الفاصل الزمني الوسيط:

,

حيث X Me هو الحد الأدنى للفاصل الزمني الوسيط ؛

ح أنا هي قيمته ؛

(مجموع م) / 2 - نصف العدد الإجمالي للملاحظات أو نصف حجم المؤشر المستخدم كوزن في الصيغ لحساب متوسط ​​القيمة (بالقيمة المطلقة أو النسبية) ؛

S Me-1 هو مجموع المشاهدات (أو حجم خاصية الترجيح) المتراكمة قبل بداية الفترة الوسيطة ؛

m Me هو عدد المشاهدات أو حجم ميزة الترجيح في الفاصل المتوسط ​​(أيضًا بشكل مطلق أو نسبي).

عند حساب القيمة النموذجية لميزة وفقًا للبيانات سلسلة فاصلةمن الضروري الانتباه إلى حقيقة أن الفواصل الزمنية هي نفسها ، لأن مؤشر تواتر قيم السمة X يعتمد على ذلك. بالنسبة لسلسلة الفواصل الزمنية مع على فترات متساويةيتم تعريف قيمة الوضع على أنها

,

حيث X Mo هي القيمة الأدنى للفاصل الزمني الشرطي ؛

m Mo هو عدد الملاحظات أو حجم ميزة الترجيح في الفاصل الزمني النموذجي (بشكل مطلق أو نسبي) ؛

m Mo-1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني السابق للوضع ؛

m Mo + 1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الذي يلي الوسيط ؛

h هي قيمة الفاصل الزمني لتغيير السمة في المجموعات.

مهمة 1

المجموعة لديها البيانات التالية المؤسسات الصناعيةللسنة المشمولة بالتقرير

№ الشركات	حجم الإنتاج ، مليون روبل		متوسط ​​عدد الموظفين ، بيرس.	الربح ألف روبل
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

يشترط إجراء مجموعة من المؤسسات لتبادل المنتجات ، مع أخذ الفترات الزمنية التالية:

ما يصل إلى 200 مليون روبل


من 200 إلى 400 مليون روبل


1. من 400 إلى 600 مليون روبل
   

   لكل مجموعة وللجميع معًا ، حدد عدد المؤسسات ، وحجم الإنتاج ، ومتوسط ​​عدد الموظفين ، ومتوسط ​​الإنتاج لكل موظف. يجب تقديم نتائج التجميع في شكل جدول إحصائي. صياغة الاستنتاج.
   

   حل
   

   لنقم بتجميع المؤسسات من أجل تبادل المنتجات ، وحساب عدد المؤسسات ، وحجم الإنتاج ، ومتوسط ​​عدد الموظفين وفقًا لمعادلة المتوسط ​​البسيط. يتم تلخيص نتائج التجميع والحسابات في جدول.
   

   المجموعات حسب حجم الإنتاج	№ الشركات	حجم الإنتاج ، مليون روبل	متوسط ​​التكلفة السنوية للأصول الثابتة مليون روبل	متوسط ​​النوم عدد الموظفين العصير ، بيرس.	الربح ألف روبل	متوسط ​​الإنتاج لكل عامل
   مجموعة واحدة ما يصل إلى 200 مليون روبل	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   مستوى متوسط		198,3			24,9
   2 مجموعة من 200 إلى 400 مليون روبل	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   مستوى متوسط		282,3	37,6	1530	64,0
   3 مجموعة من 400 إلى 600 مليون	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   مستوى متوسط		512,9	34,4	1421	120,9
   المجموع في المجموع		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   المتوسط ​​الإجمالي		379,6	59,9	1223,6	79,5

   خاتمة. وبالتالي ، في المجموع قيد النظر ، وقع أكبر عدد من الشركات من حيث الإنتاج في المجموعة الثالثة - سبع أو نصف الشركات. قيمة متوسط ​​القيمة السنوية للأصول الثابتة موجودة أيضًا في هذه المجموعة ، وكذلك القيمة الكبيرة لمتوسط ​​عدد الموظفين - 9974 شخصًا ، ومؤسسات المجموعة الأولى هي الأقل ربحية.
   

   المهمة 2
   

   لدينا البيانات التالية عن مؤسسات الشركة
   

   رقم المؤسسة التابعة للشركة	أنا ربع		الثاني الربع
   	الناتج ، ألف روبل		عملت بأيام عمل	متوسط ​​الإنتاج لكل عامل في اليوم الواحد ، فرك.
   	59390,13

الموضوع 5. المتوسطات كمؤشرات إحصائية

مفهوم المتوسط. نطاق متوسط ​​القيم في دراسة إحصائية

يتم استخدام القيم المتوسطة في مرحلة معالجة وتلخيص البيانات الإحصائية الأولية التي تم الحصول عليها. ترجع الحاجة إلى تحديد القيم المتوسطة إلى حقيقة أنه بالنسبة للوحدات المختلفة من المجموعات السكانية المدروسة ، فإن القيم الفردية لنفس السمة ، كقاعدة عامة ، ليست هي نفسها.

متوسط ​​القيمةاستدعاء مؤشر يميز القيمة المعممة لميزة أو مجموعة من الميزات في مجتمع الدراسة.

إذا قمنا بدراسة مجموعة مع نوعيًا ميزات متجانسة، ثم يظهر متوسط ​​القيمة هنا على شكل متوسط ​​نموذجي. على سبيل المثال ، بالنسبة لمجموعات العمال في صناعة معينة بمستوى دخل ثابت ، يتم تحديد متوسط ​​الإنفاق النموذجي على الضروريات الأساسية ، أي يعمم المتوسط ​​النموذجي القيم المتجانسة نوعياً للسمة في مجموعة سكانية معينة ، وهي حصة نفقات العمال في هذه المجموعة على السلع الأساسية.

في دراسة السكان ذوي الخصائص غير المتجانسة نوعياً ، قد تظهر مؤشرات المتوسط ​​غير النموذجي في المقدمة. هذه ، على سبيل المثال ، هي متوسط ​​مؤشرات الدخل القومي المنتج للفرد (مختلف الفئات العمرية) ، متوسط ​​غلة محاصيل الحبوب في جميع أنحاء روسيا (مناطق مناطق مناخية مختلفة ومحاصيل حبوب مختلفة) ، متوسط ​​معدلات المواليد للسكان في جميع مناطق البلاد ، متوسط ​​درجات الحرارة فوق فترة معينةإلخ. هنا ، تعمم القيم المتوسطة القيم غير المتجانسة نوعياً للسمات أو المجاميع المكانية النظامية (المجتمع الدولي ، القارة ، الولاية ، المنطقة ، المنطقة ، إلخ) أو المجاميع الديناميكية الممتدة في الوقت (القرن ، العقد ، السنة ، الموسم ، إلخ. ). تسمى هذه المتوسطات متوسطات النظام.

وبالتالي ، فإن معنى القيم المتوسطة يتكون من وظيفتها التعميمية. يستبدل المتوسط رقم ضخمالقيم الفردية للسمة ، كاشفة الخصائص العامة، متأصلة في جميع وحدات السكان. وهذا بدوره يسمح لك بتجنب الأسباب العشوائية والتعرف عليها الأنماط العامةلأسباب شائعة.

أنواع القيم المتوسطة وطرق حسابها

في هذه المرحلة المعالجة الإحصائيةيمكن تعيين مجموعة متنوعة من مشاكل البحث ، والتي من الضروري حلها اختيار المتوسط ​​المناسب. في هذه الحالة ، من الضروري الاسترشاد بالقاعدة التالية: يجب أن ترتبط القيم التي تمثل بسط المتوسط ​​ومقامه منطقيًا ببعضها البعض.

متوسطات القوة;

المتوسطات الهيكلية.

دعونا نقدم الترميز التالي:

القيم التي يتم حساب المتوسط ​​لها ؛

المتوسط ​​، حيث يشير السطر أعلاه إلى أن متوسط ​​القيم الفردية يحدث ؛

التردد (تكرار قيم السمات الفردية).

متوسطات مختلفة مشتقة من الصيغة العامةالقوة تعني:

(5.1)

لـ k = 1 - الوسط الحسابي ؛ ك = -1 - الوسط التوافقي ؛ ك = 0 - الوسط الهندسي ؛ ك = -2 - جذر متوسط ​​التربيع.

المتوسطات إما بسيطة أو مرجحة. المتوسطات المرجحةتسمى الكميات التي تأخذ في الاعتبار أن بعض المتغيرات لقيم السمة قد يكون لها أرقام مختلفة ، وبالتالي يجب ضرب كل متغير في هذا الرقم. بمعنى آخر ، "الأوزان" هي عدد الوحدات السكانية في مجموعات مختلفة ، أي كل خيار "مرجح" بتردده. التردد f يسمى الوزن الإحصائيأو متوسط ​​الوزن.

المتوسط ​​الحسابي- النوع الأكثر شيوعًا من الوسيط. يتم استخدامه عند إجراء الحساب على بيانات إحصائية غير مجمعة ، حيث تريد الحصول على متوسط ​​الجمع. المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​قيمة العنصر ، وعند استلامه يظل الحجم الإجمالي للعنصر في المجتمع كما هو.

صيغة المتوسط ​​الحسابي (البسيط) لها الشكل

أين ن هو حجم السكان.

على سبيل المثال ، يتم حساب متوسط ​​الراتب لموظفي المؤسسة على أنه المتوسط ​​الحسابي:

المؤشرات المحددة هنا هي أجور كل موظف وعدد موظفي المؤسسة. عند حساب المتوسط ​​، ظل المبلغ الإجمالي للأجور على حاله ، لكن توزيعه ، كما هو ، بالتساوي بين جميع العمال. على سبيل المثال ، من الضروري حساب متوسط ​​الراتب لموظفي شركة صغيرة حيث يعمل 8 أشخاص:

عند حساب متوسط ​​القيم القيم الفرديةيمكن تكرار الميزة التي تم حساب متوسطها ، لذلك يتم حساب متوسط ​​القيمة على أساس البيانات المجمعة. في هذه الحالة نحن نتكلمحول استخدام حسابي يعني مرجح، الذي يبدو

(5.3)

لذلك ، نحتاج إلى حساب متوسط ​​سعر سهم شركة مساهمة في البورصة. من المعروف أنه تم تنفيذ الصفقات خلال 5 أيام (5 صفقات) ، حيث تم توزيع عدد الأسهم المباعة بسعر البيع على النحو التالي:

1 - 800 ف. - 1010 روبل

2 - 650 ف. - 990 فرك.

3 - 700 أك. - 1015 روبل.

4-550 ف. - 900 فرك.

5 - 850 ك. - 1150 روبل.

النسبة الأولية لتحديد متوسط ​​سعر السهم هي النسبة المبلغ الإجماليالمعاملات (OSS) لعدد الأسهم المباعة (KPA):

OSS = 1010800 + 990650 + 1015700 + 900550 + 1150850 = 3634500 ؛

تكلفة الاكتساب = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.

في هذه الحالة ، كان متوسط ​​سعر السهم يساوي

من الضروري معرفة خصائص المتوسط ​​الحسابي ، وهو أمر مهم للغاية لاستخدامه وحسابه. يمكن تمييز ثلاثة الخصائص الأساسية، الأمر الذي أدى في المقام الأول إلى انتشار استخدام المتوسط ​​الحسابي في الحسابات الإحصائية والاقتصادية.

الخاصية الأولى (صفر): مجموع الانحرافات الإيجابية للقيم الفردية للسمة عن متوسط ​​قيمتها يساوي المجموع الانحرافات السلبية. هذه خاصية مهمة للغاية ، لأنها توضح أن أي انحرافات (مع + ومع -) بسبب أسباب عشوائية سيتم إلغاؤها بشكل متبادل.

دليل:

الخاصية الثانية (الحد الأدنى): مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفردية للسمة من المتوسط ​​الحسابي أقل من أي رقم آخر (أ) ، أي هو الحد الأدنى للرقم.

دليل.

قم بتكوين مجموع الانحرافات التربيعية من المتغير أ:

(5.4)

لإيجاد الحد الأقصى لهذه الدالة ، من الضروري معادلة مشتقها بالنسبة إلى أ إلى صفر:

من هنا نحصل على:

(5.5)

لذلك ، يتم الوصول إلى الحد الأقصى لمجموع الانحرافات التربيعية عند. هذا الحد الأقصى هو الحد الأدنى ، حيث لا يمكن أن يكون للدالة حد أقصى.

الخاصية الثالثة: الوسط الحسابي قيمة ثابتةيساوي هذا الثابت: لـ a = const.

بالإضافة إلى هؤلاء الثلاثة أهم الخصائصيعني الحسابي ، وهناك ما يسمى خصائص التصميمالتي تفقد أهميتها تدريجياً بسبب استخدام أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية:

إذا كانت القيمة الفردية لسمة كل وحدة مضروبة أو مقسومة على رقم ثابت، ثم يزيد المتوسط ​​الحسابي أو ينقص بنفس المقدار ؛

لن يتغير المتوسط ​​الحسابي إذا كان وزن (تردد) كل قيمة ميزة مقسومًا على رقم ثابت ؛

إذا تم تقليل أو زيادة القيم الفردية لسمة كل وحدة بنفس المقدار ، فإن المتوسط ​​الحسابي سينخفض ​​أو يزيد بنفس المقدار.

متوسط ​​متناسق. يسمى هذا المتوسط ​​بالمتوسط ​​الحسابي المتبادل ، حيث يتم استخدام هذه القيمة عندما تكون k = -1.

يعني التوافقية البسيطةيستخدم عندما تكون أوزان القيم المميزة هي نفسها. يمكن اشتقاق صيغتها من الصيغة الأساسية، استبدال k = -1:

على سبيل المثال ، نحن بحاجة إلى الحساب متوسط ​​السرعةسيارتان سارتا في نفس المسار ، ولكن بسرعات مختلفة: الأولى - بسرعة 100 كم / ساعة ، والثانية - 90 كم / ساعة. باستخدام طريقة المتوسط ​​التوافقي ، نحسب متوسط ​​السرعة:

في الممارسة الإحصائية ، غالبًا ما يتم استخدام الترجيح التوافقي ، والذي يكون لصيغته الشكل

تُستخدم هذه الصيغة في الحالات التي لا تتساوى فيها الأوزان (أو أحجام الظواهر) لكل سمة. في النسبة الأصلية ، من المعروف أن البسط يحسب المتوسط ​​، لكن المقام غير معروف.

المتوسط ​​الحسابي البسيط هو متوسط ​​المصطلح ، في تحديد الحجم الإجمالي لسمة معينة تجمعاتيتم توزيع البيانات بالتساوي بين جميع الوحدات المدرجة في هذه المجموعة. لذا ، فإن متوسط ​​الإنتاج السنوي لكل عامل هو مقدار المخرجات التي ستقع على كل موظف إذا تم توزيع حجم الإنتاج بالكامل بالتساوي بين جميع موظفي المنظمة. يتم حساب المتوسط ​​الحسابي للقيمة البسيطة بواسطة الصيغة:

متوسط ​​حسابي بسيط- يساوي نسبة مجموع القيم الفردية للسمة إلى عدد السمات في الإجمالي

مثال 1. يتلقى فريق مكون من 6 عمال 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ألف روبل شهريًا.

أوجد حل متوسط ​​الأجر: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ألف روبل.

المتوسط ​​المرجح الحسابي

إذا كان حجم مجموعة البيانات كبيرًا ويمثل سلسلة توزيع ، فسيتم حساب المتوسط ​​الحسابي المرجح. هذه هي الطريقة التي يتم بها تحديد متوسط ​​السعر المرجح لكل وحدة إنتاج: يتم قسمة التكلفة الإجمالية للإنتاج (مجموع المنتجات من كميتها وسعر وحدة الإنتاج) على الكمية الإجمالية للإنتاج.

نحن نمثل هذا في شكل الصيغة التالية:

المتوسط ​​الحسابي المرجح- تساوي النسبة (مجموع حاصل ضرب قيمة السمة إلى تكرار تكرار هذه السمة) إلى (مجموع ترددات جميع الصفات). وتستخدم عندما تحدث متغيرات المجتمع المدروس بشكل غير متساو عدد الاوقات.

مثال 2. أوجد متوسط ​​أجور عمال المتجر في الشهر

راتب عامل ألف روبل. X	عدد العمال F

يمكن الحصول على متوسط ​​الأجر بقسمة إجمالي الأجر على الرقم الإجماليعمال:

الجواب: 3.35 الف روبل.

المتوسط ​​الحسابي لسلسلة فاصلة

عند حساب المتوسط ​​الحسابي لسلسلة تباين الفاصل الزمني ، حدد أولاً متوسط ​​كل فترة زمنية كنصف مجموع الحد الأعلى والحدود الدنيا ، ثم متوسط ​​السلسلة بأكملها. في حالة الفواصل الزمنية المفتوحة ، يتم تحديد قيمة الفاصل الزمني السفلي أو العلوي بقيمة الفترات المجاورة لها.

المتوسطات المحسوبة من سلسلة الفترات تقريبية.

مثال 3. يُعرِّف متوسط ​​العمرطلاب المساء.

العمر بالسنين !! x ؟؟	عدد الطلاب	الفاصل الزمني يعني	ناتج منتصف الفترة (العمر) وعدد الطلاب
		(18 + 20) / 2 = 19 18 بوصة هذه القضيةالحد الأدنى للفاصل الزمني. محسوبة على أنها 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 أو أكثر		(30 + 34) / 2 = 32

المتوسطات المحسوبة من سلسلة الفترات تقريبية. تعتمد درجة تقريبها على المدى الذي يقترب فيه التوزيع الفعلي للوحدات السكانية داخل الفاصل الزمني موحدًا.

عند حساب المتوسطات ، ليس فقط المطلق ، ولكن أيضًا القيم النسبية(تكرار).