كيف يتم طرح المتجهات في الفيزياء. قواعد لإضافة ناقلات خطية

التعريف القياسى: "المتجه هو قطعة مستقيمة موجهة." عادة ما يكون هذا هو حد معرفة الخريج بالناقلات. من يحتاج إلى نوع من "الشرائح الموجهة"؟

ولكن في الواقع ، ما هي النواقل ولماذا هي؟
النشرة الجوية. "الرياح شمالية غربية بسرعة 18 متر في الثانية". توافق على كل من اتجاه الريح (من أين تهب) والوحدة (أي ، قيمه مطلقه) سرعته.

الكميات التي ليس لها اتجاه تسمى الحجميات. الوزن والعمل الشحنة الكهربائيةلا ترسل إلى أي مكان. تتميز فقط قيمة عددية- "كم كيلو جرام" أو "كم جول".

الكميات المادية التي ليس لها فقط قيمه مطلقه، ولكن أيضًا الاتجاه ، يُطلق عليه اسم ناقل.

السرعة والقوة والتسارع - ناقلات. بالنسبة لهم ، من المهم "كم" ومن المهم "أين". على سبيل المثال ، التسارع السقوط الحر موجه إلى سطح الأرض ، وقيمته 9.8 م / ث 2. الزخم والتوتر الحقل الكهربائي، تعريفي حقل مغناطيسيهي أيضًا كميات متجهة.

هل تتذكر ذلك كميات فيزيائيةيشار إليها بالحروف اللاتينية أو اليونانية. يشير السهم الموجود أعلى الحرف إلى أن الكمية متجه:

هنا مثال آخر.
تتحرك السيارة من A إلى B. والنتيجة النهائية هي تحركها من النقطة أ إلى النقطة ب ، أي الحركة بواسطة متجه.

من الواضح الآن سبب كون المتجه مقطعًا موجهًا. انتبه ، نهاية المتجه هي مكان السهم. طول المتجهيسمى طول هذا المقطع. معين: أو

حتى الآن ، كنا نعمل مع الكميات العددية ، وفقًا لقواعد الحساب والجبر الأولي. النواقل مفهوم جديد. هذه فئة مختلفة كائنات رياضية. لديهم قواعدهم الخاصة.

ذات مرة ، لم نكن نعرف حتى عن الأرقام. بدأ التعارف معهم في الصفوف الدنيا. اتضح أنه يمكن مقارنة الأرقام مع بعضها البعض ، وجمعها وطرحها وضربها وتقسيمها. علمنا أن هناك رقم واحد ورقم صفر.
الآن نتعرف على النواقل.

لا توجد مفاهيم "أكبر من" و "أقل من" للناقلات - بعد كل شيء ، يمكن أن تكون اتجاهاتهم مختلفة. يمكنك فقط مقارنة أطوال المتجهات.

لكن مفهوم المساواة للناقلات.
متساويتسمى نواقل لها نفس الأطوالونفس الاتجاه. هذا يعني أنه يمكن تحريك المتجه موازيًا لنفسه إلى أي نقطة في المستوى.
أعزبيسمى متجه طوله 1. صفر - متجه طوله يساوي صفرًا ، أي أن بدايته تتزامن مع النهاية.

من الأنسب العمل مع النواقل في نظام مستطيلالإحداثيات - نفس الشيء الذي نرسم فيه الرسوم البيانية للوظائف. تتوافق كل نقطة في نظام الإحداثيات مع رقمين - إحداثياتها x و y والإحداثيات السارية والإحداثية.
يُعطى المتجه أيضًا بإحداثيتين:

هنا ، إحداثيات المتجه مكتوبة بين قوسين - في x و y.
يسهل العثور عليها: تنسيق نهاية المتجه مطروحًا منه إحداثيات بدايته.

إذا تم إعطاء إحداثيات المتجه ، يتم حساب طوله بواسطة الصيغة

إضافة المتجه

هناك طريقتان لإضافة المتجهات.

1. حكم متوازي الأضلاع. لإضافة المتجهات ونضع أصول كلاهما في نفس النقطة. نكمل متوازي الأضلاع ونرسم قطري متوازي الأضلاع من نفس النقطة. سيكون هذا مجموع المتجهات و.

هل تتذكر حكاية البجعة والسرطان والبايك؟ لقد حاولوا بجد ، لكنهم لم يحركوا العربة أبدًا. بعد كل شيء ، كان مجموع متجه للقوى المطبقة من قبلهم على العربة يساوي صفرًا.

2. الطريقة الثانية لإضافة المتجهات هي قاعدة المثلث. لنأخذ نفس المتجهات و. نضيف بداية الثانية إلى نهاية المتجه الأول. الآن دعنا نربط بداية الأول ونهاية الثانية. هذا هو مجموع المتجهات و.

وفقًا لنفس القاعدة ، يمكنك إضافة عدة متجهات. نعلقهم واحدًا تلو الآخر ، ثم نربط بداية الأول بنهاية الأخير.

تخيل أنك تنتقل من النقطة أ إلى النقطة ب ، ومن ب إلى ج ، ومن ج إلى د ، ثم إلى هـ ثم إلى ف. النتيجة النهائية لهذه الإجراءات هي الانتقال من A إلى F.

عند إضافة المتجهات ونحصل على:

الطرح المتجه

يتم توجيه المتجه عكس المتجه. أطوال المتجهات ومتساوية.

الآن أصبح من الواضح ما هو طرح المتجهات. الفرق بين المتجهات هو مجموع المتجه والمتجه.

اضرب المتجه برقم

ينتج عن ضرب المتجه برقم k متجه يختلف طوله k مرة عن الطول. إنه اتجاهي مع المتجه إذا كان k فوق الصفر، ويتم توجيهه في الاتجاه المعاكس إذا كان k أقل من صفر.

حاصل الضرب النقطي للناقلات

يمكن مضاعفة المتجهات ليس فقط بالأرقام ، ولكن أيضًا ببعضها البعض.

الناتج القياسي للمتجهات هو حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.

انتبه - قمنا بضرب متجهين ، وحصلنا على عدد قياسي ، أي عدد. على سبيل المثال ، في الفيزياء عمل ميكانيكييساوي الناتج القياسي لمتجهين - القوة والإزاحة:

إذا كانت المتجهات متعامدة ، فإن حاصل الضرب النقطي لها يساوي صفرًا.
وهذه هي الطريقة التي يتم بها التعبير عن الضرب القياسي من حيث إحداثيات المتجهات و:

من صيغة المنتج نقطةيمكنك إيجاد الزاوية بين المتجهات:

هذه الصيغة مناسبة بشكل خاص في القياس الفراغي. على سبيل المثال ، في المشكلة 14 امتحان الملف الشخصيفي الرياضيات ، تحتاج إلى إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة أو بين الخط والمستوى. غالبًا ما يتم حل المشكلة 14 بشكل أسرع عدة مرات باستخدام طريقة المتجه مقارنة بالطريقة التقليدية.

في المناهج الدراسيةفي الرياضيات ، تتم دراسة الناتج القياسي للناقلات فقط.
اتضح أنه بالإضافة إلى العدد القياسي ، يوجد أيضًا منتج متجه ، عندما يتم الحصول على متجه نتيجة لضرب متجهين. من يجتاز امتحان الفيزياء ، يعرف ما هي قوة لورنتز وقوة أمبير. تتضمن الصيغ الخاصة بإيجاد هذه القوى منتجات متجهة بالضبط.

المتجهات هي أداة رياضية مفيدة للغاية. سوف تقتنع بهذا في الدورة الأولى.

تعريف

إضافة نواقل ويتم وفقا ل حكم المثلث.

مجموع نواقل اثنينويسمى هذا المتجه الثالث ، وتتزامن بدايته مع البداية ، والنهاية مع النهاية ، بشرط أن تتزامن نهاية المتجه وبداية المتجه (الشكل 1).

للإضافة ثلاثة أبعادتنطبق قاعدة متوازي الأضلاع أيضًا.

تعريف

حكم متوازي الأضلاع- إذا أدى المتجهان غير المتصلين u إلى أصل مشترك ، فإن المتجه يتطابق مع قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهين u (الشكل 2). علاوة على ذلك ، فإن بداية المتجه تتزامن مع بداية المتجهات المعطاة.

تعريف

المتجه يسمى ناقلات المعاكسإلى المتجه إذا كان علاقة خطية متداخلةمتجه ، يساوي طوله ، لكنه موجه في الاتجاه المعاكس للناقل.

عملية إضافة المتجه لها الخصائص التالية:

تعريف

اختلاف ثلاثة أبعادويسمى المتجه بحيث يتم استيفاء الشرط: (الشكل 3).

اضرب المتجه برقم

تعريف

عمل المتجه لكل رقميسمى ناقل يستوفي الشروط:

خصائص ضرب المتجه برقم:

هنا نواقل عشوائية ، وأرقام عشوائية.

الفضاء الإقليدي(أيضًا الفضاء الإقليدي) - بالمعنى الأصلي ، المساحة الموصوفة خصائصها البديهيات الهندسة الإقليدية. في هذه الحالة ، من المفترض أن المساحة بها البعديساوي 3.

بالمعنى الحديث ، بمعنى أكثر عمومية ، يمكن أن تشير إلى أحد الأشياء المتشابهة والمرتبطة ارتباطًا وثيقًا: متناهية الأبعاد حقيقي ناقلات الفضاءمع ايجابية محددة منتج عددي، أو مساحة متريةالمقابلة لمثل هذا الفضاء المتجه. في هذه المقالة ، سيتم اعتبار التعريف الأول هو التعريف الأولي.

غالبًا ما يتم استخدام الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد (إذا كان واضحًا من السياق أن الفضاء له بنية إقليدية).

لتحديد الفضاء الإقليدي ، من الأسهل اعتباره المفهوم الرئيسي المنتج نقطة. يتم تعريف الفضاء المتجه الإقليدي على أنه متناهية الأبعاد ناقلات الفضاءفوق مجال أرقام حقيقية، على نواقلها دالة ذات قيمة حقيقيةبالخصائص الثلاث التالية:

مساحة أفيني، المقابلة لمثل هذا الفضاء المتجه ، يسمى الفضاء الأفيني الإقليدي ، أو ببساطة الفضاء الإقليدي .

مثال على الفضاء الإقليدي هو مساحة إحداثيات تتكون من كل ما هو ممكن ن-الأرقام الحقيقية المنتج القياسي الذي تحدده الصيغة

إحداثيات الأساس والمتجه

أساس (اليونانية الأخرىβασις ، أساس) - مجموعة من هؤلاء ثلاثة أبعادالخامس ناقلات الفضاءأن أي متجه لهذه المساحة يمكن تمثيله بشكل فريد على أنه تركيبة خطيةناقلات من هذه المجموعة - ناقلات الأساس.

في الحالة التي يكون فيها الأساس غير محدود ، يجب توضيح مفهوم "التركيبة الخطية". يؤدي هذا إلى نوعين رئيسيين من التعريف:

أساس هامل، الذي يعتبر تعريفه مجموعات خطية محدودة فقط. يستخدم أساس هامل بشكل رئيسي في الجبر المجرد (على وجه الخصوص ، في الجبر الخطي).

أساس شودر، الذي يعتبر تعريفه أيضًا مجموعات خطية لا نهائية ، أي التوسع في الرتب. يستخدم هذا التعريف بشكل رئيسي في التحليل الوظيفي ، على وجه الخصوص فضاء هيلبرت,

في الفراغات ذات الأبعاد المحدودة ، يتطابق كلا النوعين من الأساس.

إحداثيات المتجهاتهي معاملات الممكن الوحيد تركيبة خطية أساسي ثلاثة أبعادفي المحدد نظام الإحداثياتيساوي المتجه المحدد.

أين إحداثيات المتجه.

منتج عددي.

عملية على اثنين ثلاثة أبعاد، والنتيجة هي رقم[عندما يتم أخذ النواقل في الاعتبار ، غالبًا ما يتم استدعاء الأرقام عددي] ، والتي لا تعتمد على نظام الإحداثيات وتميز أطوال متجهات العوامل و ركنبينهم. هذه العملية تتوافق مع الضرب طولالمتجه xعلى تنبؤالمتجه ذلكل متجه x. عادة ما تعتبر هذه العملية كما تبادليو خطيلكل عامل.

منتج عدديمتجهان يساوي مجموع حاصل ضرب إحداثيات كل منهما:

ناقلات المنتج

هذا كاذب, عموديالمستوى الذي تم إنشاؤه بواسطة عاملين ، والذي ينتج عن عملية ثنائية"الضرب المتجه" أكثر ثلاثة أبعادثلاثي الأبعاد الفضاء الإقليدي. لا يحتوي منتج المتجه على خصائص التبديلو الترابطية(يكون مضاد) وعلى النقيض من حاصل الضرب النقطي للناقلات، هو ناقل. تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات التقنية والفيزيائية. على سبيل المثال، الزخم الزاويو قوة لورنتزمكتوبًا رياضيًا كمنتج متجه. يكون حاصل الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودية المتجهات - معامل الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي حاصل ضرب معامليهما إذا كانا متعامدين ، وينخفض إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو مضادة متوازية.

ناقلات المنتجيمكن حساب متجهين باستخدام محدد المصفوفات

منتج مختلط

منتج مختلط ثلاثة أبعاد -منتج عددي المتجهعلى ناقلات المنتج ثلاثة أبعادو:

في بعض الأحيان يطلق عليه منتج عددي ثلاثيناقلات ، على ما يبدو بسبب حقيقة أن النتيجة العددية(أكثر دقة - المنظار الكاذب).

المعنى الهندسي:معامل حاصل الضرب المخلوط يساوي عدديًا الحجم متوازي السطوحمتعلم ثلاثة أبعاد .منتج مختلطيمكن إيجاد ثلاثة نواقل من خلال المحدد

طائرة في الفضاء

طائرة - سطح جبريالترتيب الأول: في نظام الإحداثيات الديكارتيةيمكن ضبط الطائرة معادلةالدرجة الأولى.

بعض الخصائص المميزة للطائرة

طائرة - سطح، تحتوي على كل منها بالكامل مباشر، يربط أي نقاط;

مستويان إما متوازيان أو متقاطعان في خط مستقيم.

الخط إما موازٍ للمستوى ، أو يتقاطع معه عند نقطة واحدة ، أو على المستوى.

خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيان مع بعضهما البعض.

مستويان متعامدان على نفس الخط متوازيان مع بعضهما البعض.

بصورة مماثلة شريحةو فاصلة، يمكن تسمية المستوى الذي لا يحتوي على نقاط متطرفة بمستوى فاصل أو مستوى مفتوح.

المعادلة العامة (كاملة) للمستوى

أين و هي ثوابت ، وفي نفس الوقت لا تساوي الصفر ؛ الخامس المتجهاستمارة:

أين متجه نصف قطر النقطة ، المتجه عمودي على المستوى (متجه عادي). خطوط إرشادجيب التمام المتجه :

يمكن النظر إلى المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) على أنه نقل نقطة من الموضع \ (A \) (بداية الحركة) إلى الموضع \ (B \) (نهاية الحركة). أي أن مسار الحركة في هذه الحالة ليس مهمًا ، فقط البداية والنهاية مهمان!

\ (\ blacktriangleright \) متجهان على خط واحد إذا كانا يقعان على نفس الخط أو على خطين متوازيين.
خلاف ذلك ، تسمى المتجهات غير متداخلة.

\ (\ blacktriangleright \) يُقال إن متجهين خطيين يكونان متشابهين إذا كانت اتجاهاتهما متطابقة.
إذا كانت اتجاهاتهم معاكسة ، فسيتم استدعاؤهم بالتوجيه المعاكس.

قواعد الإضافة ناقلات خطية:

الاتجاه المشترك نهايةأولاً. ثم يكون مجموعهم متجهًا ، تتزامن بدايته مع بداية المتجه الأول ، وتتزامن النهاية مع نهاية المتجه الثاني (الشكل 1).

\ (\ blacktriangleright \) لإضافة اثنين اتجاهين متعاكسينمتجه ، يمكنك تأجيل المتجه الثاني من يبدأأولاً. ثم يكون مجموعهم متجهًا ، تتزامن بدايته مع بداية كلا المتجهين ، والطول يساوي الفرق في أطوال المتجهات ، ويتزامن الاتجاه مع اتجاه المتجه الأطول (الشكل 2).

قواعد إضافة نواقل غير خطية متداخلة \ (\ overrightarrow (a) \) و \ (\ overrightarrow (b) \):

\ (\ blacktriangleright \) قاعدة المثلث (الشكل 3).

من الضروري تأجيل المتجه \ (\ overrightarrow (b) \) من نهاية المتجه \ (\ overrightarrow (a) \). ثم يكون المجموع متجهًا تتزامن بدايته مع بداية المتجه \ (\ overrightarrow (a) \) ، وتتزامن نهايته مع نهاية المتجه \ (\ overrightarrow (b) \).

\ (\ blacktriangleright \) قاعدة متوازي الأضلاع (الشكل 4).

من الضروري تأجيل المتجه \ (\ overrightarrow (b) \) من بداية المتجه \ (\ overrightarrow (a) \). ثم المجموع \ (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \)هو متجه يتزامن مع قطري متوازي الأضلاع مبني على المتجهات \ (\ overrightarrow (a) \) و \ (\ overrightarrow (b) \) (تتزامن بدايته مع بداية كلا المتجهين).

\ (\ blacktriangleright \) لإيجاد الفرق بين متجهين \ (\ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) \)، تحتاج إلى العثور على مجموع المتجهات \ (\ overrightarrow (a) \) و \ (- \ overrightarrow (b) \): \ (\ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (a) + (- \ overrightarrow (b)) \)(الشكل 5).

المهمة 1 # 2638

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

بالنظر إلى مثلث قائم الزاوية \ (ABC \) بزاوية قائمة \ (A \) ، فإن النقطة \ (O \) هي مركز الدائرة المحددة حول المثلث المحدد. إحداثيات المتجهات \ (\ overrightarrow (AB) = \ (1 ؛ 1 \) \), \ (\ overrightarrow (AC) = \ (- 1 ؛ 1 \) \). أوجد مجموع إحداثيات المتجه \ (\ overrightarrow (OC) \).

لأن المثلث \ (ABC \) قائم الزاوية ، ثم يقع مركز الدائرة المحصورة في منتصف الوتر ، أي \ (O \) هو منتصف \ (BC \).

لاحظ أن \ (\ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) - \ overrightarrow (AB) \)، لذلك، \ (\ overrightarrow (BC) = \ (- 1-1 ؛ 1-1 \) = \ (- 2 ؛ 0 \) \).

لأن \ (\ overrightarrow (OC) = \ dfrac12 \ overrightarrow (BC) \)، الذي - التي \ (\ overrightarrow (OC) = \ (- 1 ؛ 0 \) \).

ومن ثم ، فإن مجموع إحداثيات المتجه \ (\ overrightarrow (OC) \) يساوي \ (- 1 + 0 = -1 \).

الجواب: -1

المهمة 2 # 674

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

\ (ABCD \) رباعي الأضلاع تحتوي جوانبه على المتجهات \ (\ overrightarrow (AB) \) ، \ (\ overrightarrow (BC) \) ، \ (\ overrightarrow (CD) \) ، \ (\ overrightarrow (DA) \). أوجد طول المتجه \ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) \).

\ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) \), \ (\ overrightarrow (AC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AD) \)، ثم
\ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) = \ overrightarrow (AC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) = \ overrightarrow (AD) + \ overrightarrow (DA) = \ overrightarrow (AD) - \ overrightarrow (AD) = \ vec (0) \).
المتجه الفارغ له طول يساوي \ (0 \).

يمكن اعتبار المتجه بمثابة إزاحة ، إذن \ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) \)- الانتقال من \ (أ \) إلى \ (ب \) ، ثم من \ (ب \) إلى \ (ج \) - في النهاية يكون الانتقال من \ (أ \) إلى \ (ج \).

مع هذا التفسير ، يتضح ذلك \ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) = \ vec (0) \)، لأنه نتيجة لذلك ، انتقلنا هنا من النقطة \ (A \) إلى النقطة \ (A \) ، أي أن طول هذه الحركة يساوي \ (0 \) ، مما يعني أن متجه هذه الحركة نفسها هي \ (\ vec (0) \).

الجواب: 0

المهمة 3 # 1805

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

إعطاء متوازي الأضلاع (ABCD \). تتقاطع الأقطار \ (AC \) و \ (BD \) عند النقطة \ (O \). دعنا إذن \ (\ overrightarrow (OA) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \)

\ [\ overrightarrow (OA) = \ frac (1) (2) \ overrightarrow (CA) = \ frac (1) (2) (\ overrightarrow (CB) + \ overrightarrow (BA)) = \ frac (1) ( 2) (\ overrightarrow (DA) + \ overrightarrow (BA)) = \ frac (1) (2) (- \ vec (b) - \ vec (a)) = - \ frac (1) (2) \ vec (أ) - \ frac (1) (2) \ vec (b) \]\ (\ Rightarrow \) \ (x = - \ frac (1) (2) \)، \ (y = - \ frac (1) (2) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x + y = - 1 \).

الجواب: -1

المهمة 4 # 1806

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

إعطاء متوازي الأضلاع (ABCD \). النقاط \ (K \) و \ (L \) تقع على الجانبين \ (BC \) و \ (CD \) ، على التوالي ، و \ (BK: KC = 3: 1 \) ، و \ (L \) هي نقطة المنتصف \ (CD \). يترك \ (\ overrightarrow (AB) = \ vec (a) \), \ (\ overrightarrow (AD) = \ vec (b) \)، ثم \ (\ overrightarrow (KL) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \)، حيث \ (س \) و \ (ص \) بعض الأرقام. أوجد العدد الذي يساوي \ (x + y \).

\ [\ overrightarrow (KL) = \ overrightarrow (KC) + \ overrightarrow (CL) = \ frac (1) (4) \ overrightarrow (BC) + \ frac (1) (2) \ overrightarrow (CD) = \ frac (1) (4) \ overrightarrow (AD) + \ frac (1) (2) \ overrightarrow (BA) = \ frac (1) (4) \ vec (b) - \ frac (1) (2) \ vec (أ)\]\ (\ Rightarrow \) \ (x = - \ frac (1) (2) \) ، \ (y = \ frac (1) (4) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x + y = -0 25 \).

الجواب: -0.25

المهمة 5 # 1807

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

إعطاء متوازي الأضلاع (ABCD \). تقع النقاط \ (M \) و \ (N \) على الجانبين \ (AD \) و \ (BC \) على التوالي ، حيث \ (AM: MD = 2: 3 \) و \ (BN: NC = 3 ): 1 \). يترك \ (\ overrightarrow (AB) = \ vec (a) \), \ (\ overrightarrow (AD) = \ vec (b) \)، ثم \ (\ overrightarrow (MN) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \)

\ [\ overrightarrow (MN) = \ overrightarrow (MA) + \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BN) = \ frac (2) (5) \ overrightarrow (DA) + \ overrightarrow (AB) + \ frac (3 ) (4) \ overrightarrow (BC) = - \ frac (2) (5) \ overrightarrow (AD) + \ overrightarrow (AB) + \ frac (3) (4) \ overrightarrow (BC) = - \ frac (2 ) (5) \ vec (b) + \ vec (a) + \ frac (3) (4) \ vec (b) = \ vec (a) + \ frac (7) (20) \ vec (b) \ ]\ (\ Rightarrow \) \ (x = 1 \) ، \ (y = \ frac (7) (20) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x \ cdot y = 0.35 \).

الجواب: 0.35

المهمة 6 # 1808

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

إعطاء متوازي الأضلاع (ABCD \). النقطة \ (P \) تقع على القطر \ (BD \) ، والنقطة \ (Q \) تقع على الجانب \ (CD \) ، حيث \ (BP: PD = 4: 1 \) ، و \ ( CQ: QD = 1: 9 \). يترك \ (\ overrightarrow (AB) = \ vec (a) \), \ (\ overrightarrow (AD) = \ vec (b) \)، ثم \ (\ overrightarrow (PQ) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \)، حيث \ (س \) و \ (ص \) بعض الأرقام. أوجد العدد الذي يساوي \ (x \ cdot y \).

\ [\ start (مجمعة) \ overrightarrow (PQ) = \ overrightarrow (PD) + \ overrightarrow (DQ) = \ frac (1) (5) \ overrightarrow (BD) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow ( DC) = \ frac (1) (5) (\ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD)) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow (AB) = \\ = \ frac (1) (5) (\ overrightarrow (AD) + \ overrightarrow (BA)) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow (AB) = \ frac (1) (5) (\ overrightarrow (AD) - \ overrightarrow (AB)) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow (AB) = \ frac (1) (5) \ overrightarrow (AD) + \ frac (7) (10) \ overrightarrow (AB) = \ frac (1) (5) \ vec (b) + \ frac (7) (10) \ vec (a) \ end (مجمّع) \]

\ (\ Rightarrow \) \ (x = \ frac (7) (10) \) ، \ (y = \ frac (1) (5) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x \ cdot y = 0 ، 14 \). و \ (ABCO \) متوازي أضلاع ؛ \ (AF \ متوازي BE \) و \ (ABOF \) - متوازي أضلاع \ (\ Rightarrow \) \ [\ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AO) = \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BO) = \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (AF) = \ vec (a) + \ vec (b) \ ]\ (\ Rightarrow \) \ (x = 1 \) ، \ (y = 1 \) \ (\ Rightarrow \) \ (x + y = 2 \).

الجواب: 2

طلاب المدارس الثانوية يستعدون ل اجتياز الامتحانفي الرياضيات وفي نفس الوقت يتوقعون الحصول على نقاط لائقة ، يجب عليهم بالتأكيد تكرار موضوع "قواعد إضافة وطرح عدة نواقل". كما يتضح من سنوات عديدة من الممارسة ، يتم تضمين هذه المهام في اختبار الشهادة كل عام. إذا واجه الخريج صعوبات في المهام من قسم "الهندسة على مستوى" ، على سبيل المثال ، حيث يلزم تطبيق قواعد الجمع والطرح للمتجهات ، فعليه بالتأكيد تكرار أو إعادة فهم المادة من أجل النجاح في تخطى الامتحان.

يقدم المشروع التعليمي "شكلكوفو" نهج جديداستعدادًا لاختبار الشهادة. تم بناء مواردنا بطريقة تمكن الطلاب من تحديد الأقسام الأكثر صعوبة لأنفسهم وسد الفجوات المعرفية. أعد متخصصو شكولكوفو ونظموا جميع المواد اللازمة للتحضير لاختبار الشهادة.

بغرض مهام الاستخدام، حيث من الضروري تطبيق قواعد الجمع والطرح لمتجهين ، لا يسبب صعوبات ، نوصيك أولاً وقبل كل شيء بتحديث ذاكرتك مفاهيم أساسية. يمكن للطلاب العثور على هذه المادة في قسم "المرجع النظري".

إذا كنت قد تذكرت بالفعل قاعدة الطرح المتجه والتعاريف الأساسية في هذا الموضوع ، فنحن نقترح عليك دمج معرفتك من خلال إكمال التمارين المناسبة التي تم اختيارها من قبل الخبراء البوابة التعليمية"شكولكوفو". لكل مشكلة ، يقدم الموقع خوارزمية حل ويعطي الإجابة الصحيحة. يعرض موضوع "قواعد إضافة المتجهات" تمارين مختلفة؛ بعد الانتهاء من مهمتين أو ثلاث مهام سهلة نسبيًا ، يمكن للطلاب الانتقال تباعاً إلى مهام أكثر صعوبة.

لصقل مهاراتهم الخاصة في مثل هذه المهام ، على سبيل المثال ، تتاح الفرصة لأطفال المدارس عبر الإنترنت ، أو التواجد في موسكو أو أي مدينة أخرى في روسيا. إذا لزم الأمر ، يمكن حفظ المهمة في قسم "المفضلة". بفضل هذا ، يمكنك العثور بسرعة على أمثلة مهمة ومناقشة الخوارزميات للعثور على الإجابة الصحيحة مع المعلم.

في الرياضيات والفيزياء ، غالبًا ما يصادف الطلاب وأطفال المدارس مهام بكميات متجهية وأداء عمليات مختلفة عليها. ما هو الفرق بين الكميات المتجهة والكميات العددية المألوفة لدينا ، والسمة الوحيدة لها هي القيمة العددية؟ لأن لديهم اتجاه.

يتم شرح استخدام كميات المتجهات بشكل أوضح في الفيزياء. على الأكثر أمثلة بسيطةهي القوى (قوة الاحتكاك ، القوة المرنة ، الوزن) ، السرعة والتسارع ، لأنها بالإضافة إلى القيم العددية لها أيضًا اتجاه للعمل. للمقارنة ، دعنا نأخذ مثال عددي : يمكن أن تكون هذه المسافة بين نقطتين أو كتلة الجسم. لماذا من الضروري إجراء عمليات على الكميات المتجهة مثل الجمع أو الطرح؟ يعد هذا ضروريًا حتى تتمكن من تحديد نتيجة عمل نظام ناقل يتكون من عنصرين أو أكثر.

تعاريف رياضيات المتجهات

دعونا نقدم التعريفات الرئيسية المستخدمة في التنفيذ عمليات الخط.

المتجه هو مقطع موجه (له نقطة بداية ونقطة نهاية).
الطول (المعامل) هو طول المقطع الموجه.
المتجهات الخطية هي متجهان موازيان لنفس الخط أو يقعان عليه في وقت واحد.
نواقل الاتجاه المعاكس تسمى خطية متداخلة وفي نفس الوقت موجهة نحو الداخل جوانب مختلفة. إذا تزامن اتجاههم ، فإنهم يكونون في اتجاه مشترك.
تكون المتجهات متساوية عندما تكون ذات اتجاه مشفر ولها نفس القيمة المطلقة.
مجموع متجهين أو بهو مثل هذا المتجه ج، التي تتزامن بدايتها مع بداية الأول ، والنهاية - مع نهاية الثانية ، بشرط أن بيبدأ في نفس النقطة وينتهي أ.
فرق المتجه أو باتصل بالمبلغ أو ( - ب ), أين ( - ب ) - مقابل المتجه ب. أيضًا ، يمكن تعريف الفرق بين متجهين على النحو التالي: بالفرق جناقلات زوجين أو باتصل بهذا ج، والتي عند إضافتها إلى المطروح بتشكل مخفضة أ.

المنهج التحليلي

تتضمن الطريقة التحليلية الحصول على إحداثيات الفرق وفقًا للصيغة بدون بناء. من الممكن حساب المستوى المسطح (2D) أو الحجم (3D) أو ن الأبعاد الفضاء.

للفضاء ثنائي الأبعاد و كميات ناقلات أ {أ₁ ؛أ₂) و ب {ب ؛ب₂} ستكون الحسابات العرض التالي: ج {ج. ج} = {أ - ب ؛ أ - ب}.

في حالة إضافة إحداثي ثالث ، سيتم إجراء الحساب بطريقة مماثلة ، ومن أجل أ {أ₁ ؛أ₂؛ أ₃) و ب {ب ؛ب ؛ ب₃) سيتم أيضًا الحصول على إحداثيات الفرق عن طريق الطرح الزوجي: ج {ج. ج. ج} = {أ - ب ؛ أ - ب ؛ a₃ – b₃}.

حساب الفرق بيانيا

من أجل بناء الاختلاف بيانيا، استخدم قاعدة المثلث. للقيام بذلك ، يجب عليك تنفيذ التسلسل التالي من الإجراءات:

بواسطة إحداثيات معينةبناء المتجهات التي تحتاج إلى إيجاد الفرق.
اجمع بين نهاياتها (على سبيل المثال ، قم ببناء جزأين موجهين متساويين مع الأجزاء المحددة ، والتي ستنتهي عند نفس النقطة).
قم بتوصيل بدايات كل من المقاطع الموجهة وبيان الاتجاه ؛ سيبدأ الناتج الناتج في نفس النقطة التي يبدأ فيها المتجه الذي يتم تصغيره وينتهي عند نقطة بداية المتجه الذي يتم طرحه.

تظهر نتيجة عملية الطرح في الشكل أدناه..

هناك أيضًا طريقة لتكوين فرق تختلف قليلاً عن الطريقة السابقة. يكمن جوهرها في تطبيق النظرية على اختلاف المتجهات ، والتي تتم صياغتها على النحو التالي: من أجل إيجاد الفرق بين زوج من المقاطع الموجهة ، يكفي إيجاد مجموع أولهما مع المقطع المقابل إلى الثانية. ستبدو خوارزمية البناء كما يلي:

بناء المقاطع الأولية الموجهة.
يجب أن ينعكس الجزء المطروح ، أي إنشاء جزء متساوٍ وموجه بشكل معاكس ؛ ثم اجمع بدايتها مع البداية المصغرة.
قم ببناء المجموع: قم بتوصيل بداية المقطع الأول بنهاية الجزء الثاني.

تظهر نتيجة هذا القرار في الشكل:

حل المشاكل

لتوحيد المهارة ، سنقوم بتحليل العديد من المهام التي تتطلب حساب الفرق بشكل تحليلي أو بياني.

مهمة 1. هناك 4 نقاط على المستوى: أ (1 ؛ -3) ، ب (0 ؛ 4) ، ج (5 ؛ 8) ، د (-3 ؛ 2). أوجد إحداثيات المتجه q = AB - CD ، واحسب أيضًا طوله.

حل. تحتاج أولاً إلى إيجاد الإحداثيات ABو قرص مضغوط. للقيام بذلك ، اطرح إحداثيات النقاط الأولية من إحداثيات نقاط النهاية. ل ABالبداية أ(1 ؛ -3) ، والنهاية - ب(0 ؛ 4). احسب إحداثيات المقطع الموجه:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

يتم إجراء حساب مماثل لـ قرص مضغوط:

قرص مضغوط {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

الآن ، بمعرفة الإحداثيات ، يمكنك إيجاد فرق المتجهات. صيغة الحل التحليلي المهام المسطحةتمت مناقشته سابقًا: ج = أ- بالإحداثيات تبدو مثل ( ج. ج} = {أ - ب ؛ أ - ب). بالنسبة لحالة معينة ، يمكنك كتابة:

ف = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

للعثور على الطول ف، نستخدم الصيغة | ف| = √(q₁² + q₂²) = √ ((- 9) ² + (- 1) ²) = √ (81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

المهمة 2. يوضح الشكل المتجهات m و n و p.

من الضروري بناء اختلافات لهم: ص- ن؛ م- ن؛ م-ن- ص. اكتشف أيهما يحتوي على أصغر مقياس.

حل. تتطلب المهمة ثلاثة إنشاءات. دعنا نلقي نظرة على كل جزء من المهمة بمزيد من التفصيل.

الجزء 1.من أجل تصوير ص-ن،دعنا نستخدم قاعدة المثلث. للقيام بذلك ، باستخدام الترجمة المتوازية ، نقوم بتوصيل المقاطع بحيث تتطابق نقطة النهاية الخاصة بهم. الآن دعنا نربط نقاط البداية ونحدد الاتجاه. في حالتنا ، يبدأ متجه الفرق في نفس مكان المتجه المطروح. ن.

الجزء 2.دعونا نصور م ن. الآن بالنسبة للحل ، نستخدم نظرية الفرق بين المتجهات. للقيام بذلك ، قم ببناء متجه عكسي ن،ثم ابحث عن مجموعها مع م.ستبدو النتيجة كما يلي:

الجزء 3من أجل إيجاد الفرق م ن ف ،قسّم التعبير إلى خطوتين. لأنه في ناقلات الجبرهناك قوانين مشابهة لقوانين الحساب ، ثم الخيارات التالية ممكنة:

م- (ن + ع): في هذه الحالة ، يتم بناء المجموع أولاً ن + ص، والتي يتم طرحها بعد ذلك من م;
(م ن) - ص: هنا أولا تحتاج إلى العثور عليه م ن، ثم اطرح من هذا الاختلاف ص;
(م - ع) - ن: يتم تحديد الإجراء الأول م ص، وبعد ذلك من النتيجة تحتاج إلى طرح ن.

منذ الجزء السابق من المشكلة وجدنا الفرق بالفعل م ن، يمكننا فقط أن نطرح منه ص. دعونا نبني الفرق بين متجهين معطينين باستخدام نظرية الفرق. الإجابة موضحة في الصورة أدناه (يشير اللون الأحمر نتيجة وسيطةوالأخضر - نهائي).

يبقى تحديد أي من الأجزاء يحتوي على أصغر معامل. تذكر أن مفاهيم الطول والمعامل في رياضيات المتجهات متطابقة. تقدير الأطوال بصريًا ص- ن ، م-نو م-ن-p. من الواضح أن الإجابة في الجزء الأخير من المشكلة هي الأقصر ولها أصغر معامل ، أي م-ن-p.

مجموع النواقل. طول المتجه. أصدقائي الأعزاء، هناك مجموعة من المهام مع نواقل في أنواع الاختبارات الخلفية. مجموعة كبيرة من المهام (من المهم أن تعرفها اساس نظرى). يتم حل معظمها شفويا. تتعلق الأسئلة بإيجاد طول المتجه ، ومجموع (فرق) المتجهات ، والمنتج القياسي. هناك أيضًا العديد من المهام ، التي من الضروري في حلها تنفيذ إجراءات باستخدام إحداثيات المتجهات.

النظرية الكامنة وراء النواقل بسيطة ويجب أن تكون مفهومة جيدًا. في هذه المقالة ، سنحلل المهام المرتبطة بإيجاد طول المتجه ، وكذلك مجموع (فرق) المتجهات. بعض النقاط النظرية:

مفهوم المتجهات

المتجه هو قطعة مستقيمة موجهة.

جميع المتجهات التي لها نفس الاتجاه ومتساوية في الطول متساوية.

* جميع النواقل الأربعة أعلاه متساوية!

أي ، إذا استخدمنا الترجمة المتوازية لتحريك المتجه المعطى لنا ، فسنحصل دائمًا على متجه يساوي المتجه الأصلي. وبالتالي ، يمكن أن يكون هناك عدد لا حصر له من النواقل المتساوية.

تدوين المتجه

يمكن الإشارة إلى المتجه باللاتينية بأحرف كبيرة، على سبيل المثال:

باستخدام هذا الشكل من التدوين ، تتم كتابة الحرف الذي يشير إلى بداية المتجه أولاً ، ثم الحرف الذي يشير إلى نهاية المتجه.

يتم الإشارة إلى متجه آخر بحرف واحد الأبجدية اللاتينية(الأحرف الكبيرة):

من الممكن أيضًا تعيين بدون أسهم:

سيكون مجموع المتجهين AB و BC هو المتجه AC.
تتم كتابته كـ AB + BC \ u003d AC.

هذه القاعدة تسمى - حكم المثلث.

أي ، إذا كان لدينا متجهان - دعنا نسميهما شرطيًا (1) و (2) ، ونهاية المتجه (1) تتزامن مع بداية المتجه (2) ، فسيكون مجموع هذين المتجهين المتجه الذي تتزامن بدايته مع بداية المتجه (1) ، وتتزامن نهايته مع نهاية المتجه (2).

الخلاصة: إذا كان لدينا متجهان على المستوى ، فيمكننا دائمًا إيجاد مجموعهما. باستخدام الترجمة المتوازية ، يمكنك تحريك أي من هذه المتجهات وربط بدايتها بنهاية الآخر. على سبيل المثال: