كيفية حل مثال مع كسور مختلفة. العمليات على الكسور العادية

إذا تم تحديد الأرقام بأحرف مختلفة، فيمكن للمرء فقط تعيين المنتج؛ دعونا، على سبيل المثال، نحتاج إلى ضرب الرقم أ بالرقم ب - يمكننا الإشارة إلى هذا إما أ ∙ ب ​​أو أب، ولكن لا يمكن أن يكون هناك خطاب حول إجراء هذا الضرب بطريقة أو بأخرى. ومع ذلك، عندما نتعامل مع أحاديات الحد، فبفضل 1) وجود المعاملات و2) حقيقة أن هذه الأحاديات قد تتضمن عوامل تحددها نفس الحروف، فمن الممكن الحديث عن ضرب أحاديات الحد؛ هذا الاحتمال أوسع بالنسبة لكثيرات الحدود. دعونا نلقي نظرة على عدد من الحالات التي يمكن فيها إجراء الضرب، بدءًا من الحالات الأبسط.

1. ضرب القوى مع لنفس الأسباب . لنفترض، على سبيل المثال، أن 3 ∙ a 5 مطلوبة. ولنكتب، ونحن نعرف معنى الأس، نفس الشيء بمزيد من التفصيل:

أ ∙ أ ∙ أ ∙ أ ∙ أ ∙ أ ∙ أ

بالنظر إلى هذا الترميز التفصيلي، نرى أن لدينا مكتوبًا كعامل 8 مرات، أو باختصار، 8 . إذن، 3 ∙ أ 5 = أ 8.

دع ب 42 ∙ ب 28 مطلوب. سيتعين علينا كتابة العامل b أولاً 42 مرة، ثم العامل b مرة أخرى 28 مرة - بشكل عام، سنحصل على أن b يؤخذ كعامل 70 مرة. أي ب 70. لذا، ب 42 ∙ ب 28 = ب 70. ومن هنا يتضح بالفعل أنه عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، يبقى أساس الدرجة دون تغيير، وتضاف أسس القوى. إذا كان لدينا 8 ∙ a، فسيتعين علينا أن نضع في اعتبارنا أن العامل a يتضمن الأس 1 ("a للقوة الأولى")، - وبالتالي، 8 ∙ a = a 9.

أمثلة: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; أ 11 ∙ أ 22 ∙ أ 33 = أ 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (أ + ب) 3 ∙ (أ + ب) 4 = (أ + ب) 7 ; (3س – 1) 4 ∙ (3س – 1) = (3س – 1) 5، إلخ.

في بعض الأحيان يتعين عليك التعامل مع القوى التي يُشار إلى أسسها بالحروف، على سبيل المثال، xn (x أس n). عليك أن تعتاد على التعامل مع مثل هذه التعبيرات. فيما يلي أمثلة:

دعونا نشرح بعض هذه الأمثلة: b n – 3 ∙ b 5 تحتاج إلى ترك الأساس b دون تغيير وإضافة الأسس، أي (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. بالطبع، يجب أن تتعلم تنفيذ مثل هذه الإضافات بسرعة في رأسك.

مثال آخر: x n + 2 ∙ x n – 2, – يجب ترك الأساس x دون تغيير، وإضافة الأس، أي (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

يمكنك الآن التعبير عن الترتيب الموجود أعلاه، كيفية إجراء ضرب القوى بنفس الأساس، بالمساواة:

أ م ∙ أ ن = أ م + ن

2. ضرب أحادية الحد في أحادية الحد.لنفترض، على سبيل المثال، أن نتطلب 3a²b³c ∙ 4ab²d². نرى أنه يتم الإشارة إلى عملية ضرب واحدة هنا بنقطة، لكننا نعلم أن علامة الضرب نفسها متضمنة بين 3 وa²، بين a² وb³، بين b³ وc، بين 4 وa، بين a وb²، بين b² و د². ولذلك، يمكننا أن نرى هنا حاصل ضرب 8 عوامل ويمكننا ضربها في أي مجموعة وبأي ترتيب. دعونا نعيد ترتيبها بحيث تكون المعاملات والقوى ذات القواعد نفسها متقاربة، أي.

3 ∙ 4 ∙ أ² ∙ أ ∙ ب³ ∙ ب² ∙ ج ∙ د².

ثم يمكننا ضرب 1) المعاملات و2) القوى بنفس القواعد ونحصل على 12a³b5cd².

لذلك، عند ضرب وحيدة الحد في وحيدة الحد، يمكننا ضرب المعاملات والقوى بنفس الأساس، ولكن يجب إعادة كتابة العوامل المتبقية دون تغيير.

مزيد من الأمثلة:

3. ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد.لنفترض أنك تحتاج أولًا إلى ضرب كثيرات الحدود، على سبيل المثال، a – b – c + d، بعدد صحيح موجب، على سبيل المثال، +3. لأن أرقام إيجابيةتعتبر متطابقة مع العمليات الحسابية، فهذا هو نفسه (a – b – c + d) ∙ 3، أي a – b – c + d مأخوذ 3 مرات كحد، أو

(أ – ب – ج + د) ∙ (+3) = أ – ب – ج + د + أ – ب – ج + د + أ – ب – ج + د = 3أ – 3ب – 3ج + 3د,

أي، نتيجة لذلك، كان لا بد من ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود بـ 3 (أو بـ +3).

ويترتب على ذلك:

(أ – ب – ج + د) ÷ (+3) = أ – ب – ج + د،

أي أنه يجب تقسيم كل حد من حدود كثيرة الحدود على (+3). وبالتعميم أيضاً نحصل على:

وما إلى ذلك وهلم جرا.

دعونا الآن نحتاج إلى ضرب (أ – ب – ج + د) في جزء إيجابيعلى سبيل المثال، على +. إنه نفس الضرب الكسر الحسابي، وهو ما يعني أخذ أجزاء من (أ – ب – ج + د). من السهل أن تأخذ خمس هذه كثيرة الحدود: تحتاج إلى قسمة (a – b – c + d) على 5، ونحن نعرف بالفعل كيفية القيام بذلك، ونحصل على . يبقى أن نكرر النتيجة 3 مرات أو نضربها في 3، أي.

ونتيجة لذلك، نرى أنه كان علينا ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود بـ أو بـ +.

دعونا الآن نحتاج إلى ضرب (a – b – c + d) في عدد سالب أو عدد صحيح أو كسر،

أي في هذه الحالة، كان لا بد من ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود بـ -.

وبالتالي، مهما كان العدد m، هناك دائمًا (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

نظرًا لأن كل أحادية الحد عبارة عن رقم، فإننا نرى هنا إشارة إلى كيفية ضرب كثيرة الحدود بواحدة الحد - يجب علينا ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود في هذه الوحدة.

4. ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود. فليكن (أ + ب + ج) ∙ (د + ه). بما أن d وe يعنيان أرقامًا، فإن (d + e) ​​يعبر عن أي رقم واحد.

(أ + ب + ج) ∙ (د + ه) ​​= أ(د + ه) ​​+ ب(د + ه) ​​+ ج(د + ه)

(يمكننا تفسير ذلك بهذه الطريقة: لدينا الحق في أن نأخذ d + e مؤقتًا على أنه أحادي الحد).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

في هذه النتيجة، يمكنك تغيير ترتيب الأعضاء.

(أ + ب + ج) ∙ (د + ه) ​​= إعلان + دينار بحريني + إد + أ + بي + م،

أي أنه لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، يجب ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من الحدود الأخرى. من الملائم (لهذا الغرض تم تغيير ترتيب الحدود التي تم الحصول عليها أعلاه) ضرب كل حد من كثير الحدود الأول أولاً بالحد الأول من الثاني (بواسطة +d)، ثم بالحد الثاني من كثير الحدود (بواسطة + هـ)، فإذا كان هناك واحد، فالثالث، وما إلى ذلك. د.؛ وبعد ذلك ينبغي أن يتم تخفيض المصطلحات المشابهة.

في هذه الأمثلة، يتم ضرب ذات الحدين في ذات الحدين؛ في كل ذات الحدين، يتم ترتيب المصطلحات بقوى تنازلية للحرف المشترك لكلا الحدين. من السهل إجراء مثل هذه الضربات في رأسك وكتابة النتيجة النهائية على الفور.

من ضرب الحد الرئيسي من الحدين الأول في الحد الرئيسي من الثانية، أي 4x² في 3x، نحصل على 12x³ الحد الرئيسي للمنتج - من الواضح أنه لن يكون هناك حدود مماثلة. بعد ذلك، نبحث عن ضرب الحدود التي ستؤدي إلى درجة حرف x أقل بمقدار 1، أي بـ x². يمكننا أن نرى بسهولة أنه يتم الحصول على هذه الحدود عن طريق ضرب الحد الثاني من العامل الأول في الحد الأول من العامل الثاني وضرب الحد الأول من العامل الأول في الحد الثاني من العامل الثاني (الأقواس الموجودة أسفل العامل مثال يدل على ذلك). إن إجراء عمليات الضرب هذه في رأسك وكذلك إجراء عملية اختزال هذين المصطلحين المتشابهين (وبعد ذلك نحصل على المصطلح -19x²) ليس بالأمر الصعب. ثم نلاحظ أن الحد التالي الذي يحتوي على حرف x إلى درجة أقل من 1، أي x إلى الدرجة الأولى، لن يحصل إلا بضرب الحد الثاني في الثاني، ولن يكون هناك مثله.

مثال آخر: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

من السهل أيضًا تشغيل الأمثلة في رأسك، مثل ما يلي:

يتم الحصول على الحد الرئيسي بضرب الحد الرئيسي في الحد السابق ولن يكون هناك مصطلحات مشابهة له، وهو = 2a³. ثم نبحث عن الضرب الذي سينتج عنه حدود بـ a² - من ضرب الحد الأول (a²) في الثاني (-5) ومن ضرب الحد الثاني (-3a) في الأول (2a) - يشار إلى ذلك أدناه بين قوسين ; وبعد إجراء عمليات الضرب هذه ودمج الحدود الناتجة في حد واحد، نحصل على -11a². ثم نبحث عن الضربات التي ستنتج حدودًا من الدرجة الأولى - يتم وضع علامة على هذه الضربات بين قوسين في الأعلى. بعد الانتهاء منها ودمج الحدود الناتجة في حد واحد، نحصل على +11a. أخيرًا، نلاحظ أن الحد الأدنى للمنتج (+10)، الذي لا يحتوي على a على الإطلاق، يتم الحصول عليه عن طريق ضرب الحد الأدنى (-2) لأحد كثيرات الحدود في الحد الأدنى (-5) للآخر.

مثال آخر: (4 أ 3 + 3 أ 2 – 2 أ) ∙ (3 أ 2 – 5 أ) = 12 أ 5 – 11 أ 4 – 21 أ 3 + 10 أ 2.

من جميع الأمثلة السابقة نحصل عليها أيضا النتيجة النهائية: يتم الحصول على الحد الرئيسي للمنتج دائمًا عن طريق ضرب الحدود الرئيسية للعوامل، ولا يمكن أن تكون هناك حدود مشابهة له؛ كما يتم الحصول على الحد الأدنى للمنتج من ضرب الحدود المنخفضة للعوامل، ولا يمكن أن تكون هناك حدود مماثلة له أيضًا.

قد تكون الحدود المتبقية التي يتم الحصول عليها عن طريق ضرب كثير الحدود في كثير الحدود متشابهة، وقد يحدث حتى أن يتم تدمير كل هذه الحدود بشكل متبادل، ولا يبقى إلا الأكبر والأصغر.

فيما يلي أمثلة:

(أ² + أ ب + ب²) (أ – ب) = أ³ + أ²ب + أب² – أ²ب – أب² – ب³ = أ³ – ب³
(أ² – أ ب + ب²) (أ – ب) = أ³ – أ²ب + أب² + أ²ب – أب² + ب³ = أ³ + ب³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (نكتب النتيجة فقط)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1، إلخ.

هذه النتائج جديرة بالملاحظة ومفيدة للتذكر.

مهم بشكل محدد الحالة القادمةعمليه الضرب:

(أ + ب) (أ – ب) = أ² + أ – أب – ب² = أ² – ب²
أو (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
أو (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9، إلخ.

في كل هذه الأمثلة، عند تطبيقها على الحساب، لدينا حاصل ضرب مجموع رقمين والفرق بينهما، والنتيجة هي الفرق بين مربعي هذه الأرقام.

إذا رأينا حالة مماثلة، فلن تكون هناك حاجة لإجراء الضرب بالتفصيل، كما حدث أعلاه، ولكن يمكننا كتابة النتيجة على الفور.

على سبيل المثال، (3أ + 1) ∙ (3أ – 1). وهنا العامل الأول من الناحية الحسابية هو مجموع رقمين: الرقم الأول هو 3a والثاني 1، والعامل الثاني هو الفرق بين نفس الأرقام؛ ولذلك يجب أن تكون النتيجة: مربع الرقم الأول (أي 3أ ∙ 3أ = 9أ²) ناقص مربع الرقم الثاني (1 ∙ 1 = 1)، أي.

(3أ + 1) ∙ (3أ – 1) = 9أ² – 1.

أيضًا

(أب – 5) ∙ (أب + 5) = أ²ب² – 25، إلخ.

لذلك دعونا نتذكر

(أ + ب) (أ – ب) = أ² – ب²

أي أن حاصل ضرب مجموع رقمين وفرقهما يساوي فرق مربعي هذين الرقمين.

على هذا الدرسسيتم دراسة عملية ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد، والتي تعتبر أساس دراسة ضرب كثيرات الحدود. دعونا نتذكر قانون توزيع الضرب ونصيغ قاعدة ضرب أي كثيرة حدود في أحادية الحد. ولنتذكر أيضًا بعض خصائص الدرجات. بالإضافة إلى ذلك، سيتم صياغة الأخطاء النموذجية عند تنفيذ أمثلة مختلفة.

موضوع:كثيرات الحدود. العمليات الحسابية على أحاديات الحد

درس:ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد. المهام النموذجية

إن عملية ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد هي الأساس للنظر في عملية ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، ويجب عليك أولاً أن تتعلم كيفية ضرب كثيرات الحدود في أحادية الحد لكي تفهم عملية ضرب كثيرات الحدود.

أساس هذه العملية هو قانون التوزيع للضرب. فلنذكره:

في الأساس، نرى قاعدة ضرب كثيرة الحدود، في في هذه الحالةذات الحدين في أحادية الحد، ويمكن صياغة هذه القاعدة على النحو التالي: لضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد، تحتاج إلى ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود في هذه الوحدة. أضف المنتجات التي تم الحصول عليها جبريًا، ثم قم بتنفيذ الإجراءات اللازمة على كثير الحدود - أي إحضاره إلى طريقة العرض القياسية.

لنلقي نظرة على مثال:

تعليق: هذا المثاليتم حلها باتباع القاعدة بدقة: يتم ضرب كل حد من كثيرات الحدود بواحدة الحد. من أجل فهم واستيعاب قانون التوزيع جيدًا، في هذا المثال، تم استبدال مصطلحات كثيرة الحدود بـ x وy، على التوالي، وmonomial بـ c، وبعد ذلك تم تنفيذ إجراء أولي وفقًا لقانون التوزيع و تم استبدال القيم الأولية. يجب أن تكون حذرًا مع العلامات وأن تضرب في ناقص واحد بشكل صحيح.

دعونا نلقي نظرة على مثال لضرب ثلاثية الحدود بواحدة الحد ونتأكد من أنها لا تختلف عن نفس العملية ذات الحدين:

دعنا ننتقل إلى حل الأمثلة:

تعليق: تم حل هذا المثال وفقًا لقانون التوزيع وعلى غرار المثال السابق - يتم ضرب كل حد من كثيرات الحدود في أحادية الحد، ويكون كثير الحدود الناتج مكتوبًا بالفعل في شكل قياسي، لذلك لا يمكن تبسيطه.

مثال 2 - تنفيذ الإجراءات والحصول على كثير الحدود في شكل قياسي:

تعليق: لحل هذا المثال، سنقوم أولاً بضرب الحدين الأول والثاني وفقًا لقانون التوزيع، ثم سنقوم بتحويل كثير الحدود الناتج إلى شكل قياسي - وسنقدم مصطلحات مماثلة.

الآن دعونا نقوم بصياغة المشاكل الرئيسية المرتبطة بعملية ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد ونعطي أمثلة على حلها.

المهمة 1 - تبسيط التعبير:

تعليق: تم حل هذا المثال بشكل مشابه للمثال السابق، أي أنه يتم أولاً ضرب كثيرات الحدود في أحاديات الحد المقابلة، ثم يتم تقليل تلك المشابهة.

المهمة 2 - تبسيط وحساب:

مثال 1:؛

تعليق: تم حل هذا المثال بشكل مشابه للمثال السابق، مع الإضافة الوحيدة وهي أنه بعد إحضار مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى استبدال قيمته المحددة بدلاً من المتغير وحساب قيمة كثير الحدود. للتذكير، لضرب عدد عشري في عشرة بسهولة، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية خانة واحدة إلى اليمين.

درس الجبر في الصف السابع

أهداف الدرس

تعليمي: صياغة تعريف ضرب أحادي الحد في كثير الحدود؛ تطوير المهارات في العمل مع أحاديات الحد ومتعددات الحدود.

التنموية: تنمية مهارات النشاط المعرفي والعقلي، التفكير المنطقي، تنمية القدرة على التحليل والمقارنة.

تعليمي: تثقيف النشاط المعرفي، مسؤولية؛ تكثيف نشاط عقلىفي عملية القيام بعمل مستقل.

معدات

جهاز عرض الوسائط المتعددة، بطاقات ذات مهام مختلفة، بطاقات لوتو الرياضية، بطاقات بها عمل مستقل"ورقة التقييم".

نوع الدرس

مجموع.

هيكل الدرس

محادثة تحفيزية.

فحص العمل في المنزل. العمل الفرديعن طريق البطاقات.

تحديث المعرفة الأساسية - العمل الشفهي في شكل اللعبة، والتي يتم من خلالها تكرار الحقائق والخصائص الأساسية بناءً على تنظيم المعرفة.

دراسة مواد جديدة - أثناء المحادثة، يقوم الطلاب بصياغة قاعدة ضرب أحادي الحد في كثير الحدود.

توحيد المواد المدروسة.

وقفة جسدية.

العمل المستقل مع الاختبار الذاتي.

انعكاس.

العمل في المنزل.

ملخص الدرس.

خلال الفصول الدراسية

تنظيم الوقت الشريحة 1،2.

المعلم: مرحبا يا شباب! اليوم سيكون شعار درسنا هو كلام الفيلسوف الصيني العظيم كونفوشيوس: "ثلاثة طرق تؤدي إلى المعرفة: طريق التأمل أنبل طريق، وطريق التقليد أسهل طريق، وطريق الخبرة هو الطريق". الطريق الأكثر مرارة." أنا وأنت سوف نسير على الطريق النبيل. دعونا نستمر في تعلم التفكير والعثور على طرق عقلانيةالقرارات والتعبير عن أفكارك. أتمنى لك التوفيق!

اليوم في الدرس تقوم بتقييم أنشطتك في "أوراق التقييم".

ورقة تقييم الطالب ____________________________________________

	خطوات الدرس	علامة للعمل
	العمل في المنزل
	العمل الفردي على البطاقة
	العمل الشفهي"اليانصيب الرياضي"
	تعلم مواد جديدة
	الدمج. العمل من الكتاب المدرسي
	العمل في المجموعة رقم 630
	عمل مستقل
	انعكاس
	كيف تقيمين مشاركتك في العمل؟
	كيف تقيم معرفتك بالموضوع؟
	ما هي المواضيع التي تحتاج إلى تكرارها لتكون ناجحًا؟
	مضاعفة القوى ذات الأساس نفسه.
	تقليل الشروط المماثلة لكثيرة الحدود.
	ضرب أحاديات الحد.
	قم بتوسيع الأقواس باستخدام علامتي "+" و"-".

1. تكرار المواد النظرية حول موضوع "أحاديات الحدود". متعددات الحدود"

التحقق من الواجبات المنزلية. (ثلاثة طلاب، على سبورة معدة مسبقًا، يعيدون إنتاج حلول لأرقام المنازل. بعد التحقق من اكتمالها، يسأل الطلاب في الفصل سؤال إضافي، تم وضع علامة.)

العمل الفردي باستخدام البطاقات. (المرفق 1)

№ 601. الشريحة 3.

2. العمل الشفهي. "اليانصيب الرياضي.

المعلم: يا رفاق، هل تعرفون كيف تلعبون اليانصيب؟ أنت تقوم بالعمل في أزواج. توجد طاولة "Mathematical Lotto" على المكتب. شطب الإجابات الصحيحة. مستعد؟

1). اليانصيب الرياضي.

شطب الإجابات الصحيحة.

			10أب + 10ب2 - 20ب

يعرض المعلم البطاقات ويقوم الطلاب بشطب الإجابات الصحيحة.

2). تبسيط التعبيرات الخاصة بك.

أ5 ∙ أ4 2 6 ∙ 2 9 5 أ ∙ 3 أ-2 يو ∙ 6x4 أب∙ أ2

5 س +(8- س) 12أ - (2 - 6أ) 2 (أ - ب) - أ2 (4 أ - 1) 10 ب (أ + ب - 2)

المعلم: يا رفاق، تحققوا مما إذا كنت قد أكملت هذه المهمة بشكل صحيح؟ الشريحة 4.

ما هي التعبيرات المتبقية؟ (الطلاب: "أحادية الحد ومتعددة الحدود")

ما هي العمليات التي يمكنك تنفيذها مع كثيرات الحدود ووحيدات الحد؟ (الطلاب: ""جمع، وطرح، وضرب، وقسمة، ورفع إلى قوة").

اقرأ التعابير: 5x + (8 - x)؛ 12 - (2 - 6 أ) (يثبتها المعلم على السبورة بالمغناطيس)

ما هي التعبيرات التي تسببت في صعوبات عند التبسيط؟ لماذا؟ (الطلاب: "2(a-b)، -a2(4a - 1)، 10b(a + b - 2)، لا نعرف كيفية تبسيط التعبيرات من هذا النوع.")

اقرأ هذه التعبيرات. (2(a-b)، -a2(4a - 1)، 10b(a + b - 2)، مثبتة على اللوحة بمغناطيس)

ما هي العبارات التي تأتي قبل القوسين تسمى؟ (الطلاب: "أحادية الحد")

ماذا تسمى العبارات الموجودة بين قوسين؟ (الطلاب: "متعددة الحدود")

ما الذي تعتقد أنك ستتعلمه في الفصل اليوم؟ (الطلاب: "ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود")

قم بصياغة موضوع الدرس واكتبه في دفتر ملاحظاتك. (الطلاب: "ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود") الشريحة 5.

كيفية تبسيط هذه التعبيرات؟ من يستطيع ضرب أحادي الحد في كثير الحدود؟ ما هي المعرفة التي اعتمدت عليها؟ (الاستماع إلى إجابات الطلاب).

اليوم سوف تتعلم كيفية إجراء تحويل آخر تعبيرات جبرية، ابحث عن منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود.

3. دراسة المواد الجديدة الشريحة 6.7.

المعلم: اكتب التعبير 7m6(m3 - m2 - 2)= في دفترك

ما هي القواعد التي تحتاج إلى معرفتها لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود؟ (الطلاب: "خاصية التوزيع، ضرب القوى ذات الأساس نفسه، ضرب الموجب والموجب" أرقام سلبية»)

اكتبه التعبير التالي-3a2 (4a3 - أ + 1)=

ما هي القواعد التي تحتاج إلى معرفتها لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود؟

صوغ قاعدة ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود. (الطلاب: "لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، عليك ضرب أحادية الحد في كل حد من كثيرة الحدود")

أحسنت! اقرأ تعريف موضوعنا في الكتاب المدرسي.

4. بناء المواد المكتسبة (العمل مع كتاب مدرسي)

الشريحة 8.

رقم 614 (أ، ب، ج) - الطلاب على السبورة مع الشرح؛

رقم 618 (د) - المعلم مع الطلاب؛

أ) الصف الأول (طالب واحد على السبورة)،

ب) الصف الثاني (طالب واحد على السبورة)،

ب) الصف الثالث (طالب واحد على السبورة)؛

رقم 630 (عمل جماعي)

المعلم: هناك أكواب ملتصقة على مكاتبكم، مختلفة الألوان (6 ألوان مختلفة 4 أكواب لكل منهما). مكتوب عليها رسائل رقم 630. انظر، ابحث عن المهمة في الكتاب المدرسي. نفس الحروف الموجودة على الدوائر هي أعضاء في مجموعتك. اكمل المهمة.

(بعد الانتهاء من العمل، تقوم كل مجموعة بالتعليق على الإجابات والتدقيق وفرز الأخطاء)

أحسنت، لقد أكملت هذه المهمة بنجاح. لا تنسى "ورقة النتائج".

5. فيسباوس الشريحة 9.

وقفوا بسرعة وابتسموا

لقد سحبوا أنفسهم أعلى وأعلى.

حسنًا ، قم بتصويب كتفيك ،

رفع أقل.

التفت يمينا التفت يسارا،

المس يديك بركبتيك.

جلسوا، وقفوا، جلسوا، وقفوا،

وركضوا على الفور.

الشباب يدرسون معك

تطوير كل من الإرادة والبراعة.

6. العمل المستقل (في نسختين، للتحقق من استيعاب المواد الجديدة)

المعلم: على مكاتبك هناك مهام للعمل المستقل. أكمل المهمة المقترحة.

الخيار 1.

أ) _____ (x-y) = 4bx - 4by.

ب) _____ (5أ + ب) = 10

ب) _____(س - 2) = س

د) ______(ج - م + ب) = -ayc + aym - ayb.

الخيار 2.

قام الطالب بضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، وبعد ذلك تم مسح أحادية الحد. استعادته:

أ) _____(x-y) = 9ax - 9ay.

ب) _____(2أ + ب) = 2

ب) ______(س - ) = س

د) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.

المعلم: تأكد من إكمال المهمة بشكل صحيح. الشريحة 10.

8. شريحة التأمل 11.

كيف تقيم مشاركتك في الفصل؟

كيف تقيم معرفتك موضوع جديد?

ما هي المواضيع التي يجب تكرارها لكي تنجح في المستقبل؟

9. الواجبات المنزلية الشريحة 12.

10. نتيجة الدرس.

يا رفاق، لقد عملتم جيدًا في الفصل اليوم، وكنتم نشيطين، وساعدتم بعضكم بعضًا. تسليم الخاص بك أوراق النتيجة. بطاقات مع العمل المستقل. في الدرس التالي سوف تستقبلهم بتقييم المعلم.

شكرا للجميع! مع السلامة! الشريحة 13.

المرفق 1.

البطاقة رقم 1

1. أعط مصطلحات مشابهة لكثيرة الحدود.

أ) 5س + 6ص - 3س - 12ص = _________________________________________.

ب) 3أ ب + 7 ب + 12 ب - أ ب = _________________________________________.

ب) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = _____________________________________________.

2. التعبير عن التعبير كقوة.

أ) ب13 ∙ب ∙ ب7 = __________________.

ب) (x3)2 ∙ x4 = ___________________.

البطاقة رقم 2

1. قم بتوسيع الأقواس باستخدام القاعدة.

أ) 6أ + (س + 3أ - 1) = _________________________________.

ب) 5ص - (2س - أ + ب) = _____________________________________.

2. تبسيط التعبير:

أ) (x3)2 ∙ x4 =____________________________________.

ب) (أ3 ∙ أ5)4 = ________________________________________

ب) (ج6)8: (ج7)5 = _______________________________________

البطاقة رقم 3

تبسيط التعبير:

(8ج2 + 3ج) + (-7ج2 - 11ج + 3) - (-3ج2 - 4) = ______________________________________________.

2. احسب:

أ) 43 ∙ 53 = _______________؛

ب) = ___________________.

البطاقة رقم 4.

1. جمع كثيرات الحدود وجعلها في الصورة القياسية:

أ) 12y2 + 8y - 11 و3y2 - 6y + 3؛

الفرق بين كثيرات الحدود وإحضارها إلى النموذج القياسي:

ب) a2 - 5ab - b2 وa2 + b2.

تبسيط:

x15: x5 ∙ x7 = __________________.

الأدب

1. الجبر: كتاب مدرسي للصف السابع / ن.ماكاريتشيف [إلخ]؛ حرره S. A. Telyakovsky - M.: التعليم، 2014
2. المواد التعليميةفي الجبر للصف السابع / L. P. Zvavich، L. V. Kuznetsova، S. B. Suvorova. - م: التربية، 1012
3. التطورات القائمة على الدرسفي الجبر. الصف السابع / A. N. Rurukin، G. V. Lupenko، I. A. Maslennikova. - م: فاكو، 2007
4. دروس مفتوحةالجبر. 7-8 درجات / ن.ل.بارسوكوفا. - م: فاكو، 2013

هناك حالة خاصة لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود وهي ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد. سنقوم في هذه المقالة بصياغة قاعدة تنفيذ هذا الإجراء وتحليل النظرية باستخدام الأمثلة العملية.

قاعدة ضرب كثيرة الحدود بواحدة الحد

دعونا نتعرف على ما هو أساس ضرب كثيرة الحدود بواحدة الحد. هذا الفعلتعتمد على خاصية التوزيع للضرب بالنسبة إلى الجمع. حرفيا يتم كتابة هذه الخاصية على النحو التالي: (أ + ب) ج = أ ج + ب ج (أ، ب و ج- بعض الأرقام). في هذا الإدخال التعبير (أ + ب) جهو بالضبط نتاج كثير الحدود (أ + ب) ووحيد الحد ج. الجانب الأيمن من المساواة أ · ج + ب · جهو مجموع منتجات أحاديات الحد أو ببواسطة أحادية الحد ج.

يسمح لنا المنطق أعلاه بصياغة قاعدة ضرب كثيرة الحدود بواحدة الحد:

التعريف 1

لتنفيذ عملية ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد، يجب عليك:

• اكتب ناتج كثيرة الحدود ووحيدة الحد التي يجب ضربها؛
• ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود بواحدة معينة؛
• العثور على مجموع المنتجات الناتجة.

دعونا نوضح الخوارزمية المحددة بشكل أكبر.

لتكوين حاصل ضرب كثيرة الحدود وواحدة الحد، يتم وضع كثيرة الحدود الأصلية بين قوسين؛ ثم يتم وضع علامة الضرب بينها وبين أحادية الحد المعطاة. إذا كانت وحيدة الحد تبدأ بعلامة الطرح، فيجب أيضًا وضعها بين قوسين. على سبيل المثال، منتج كثير الحدود − 4 × 2 + س − 2ووحيدة الحد 7 صدعونا نكتبها كما (− 4 x 2 + x − 2) 7 ص، وحاصل ضرب كثير الحدود أ 5 ب − 6 أ بووحيدة الحد - 3 أ 2وضعها في النموذج: (أ 5 ب − 6 أ ب) (− 3 أ 2).

الخطوة التالية من الخوارزمية هي ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود بواحدة حد معينة. مكونات كثيرة الحدود هي أحادية الحد، أي. في الأساس، علينا ضرب أحادية الحد في أحادية الحد. لنفترض أنه بعد الخطوة الأولى من الخوارزمية تلقينا التعبير (2 × 2 + س + 3) 5 ×،ثم الخطوة الثانية هي ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود 2 × 2 + س + 3مع وحيدة الحد 5 ×، وبذلك نحصل على: 2 × 2 5 × = 10 × 3، × 5 × = 5 × 2 و 3 5 س = 15 س. وستكون النتيجة وحيدات الحد 10 × 3، 5 × 2 و 15 ×.

الإجراء الأخير وفقًا للقاعدة هو إضافة المنتجات الناتجة. من المثال المقترح، بعد أن فعلت هذه الخطوةالخوارزمية نحصل على: 10 × 3 + 5 × 2 + 15 ×.

كمعيار، تتم كتابة جميع الخطوات كسلسلة من المساواة. على سبيل المثال، إيجاد حاصل ضرب كثيرة الحدود 2 × 2 + س + 3ووحيدة الحد 5 ×لنكتبها هكذا: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.من خلال القضاء على الحساب الوسيط للخطوة الثانية، حل قصيرويمكن تنسيقه على النحو التالي: (2 × 2 + س + 3) 5 س = 10 × 3 + 5 × 2 + 15 س.

الأمثلة المدروسة تجعل من الممكن ملاحظة ذلك فارق بسيط مهم: ضرب كثيرة الحدود وأحادية الحد ينتج عنها كثيرة الحدود. هذا البيان ينطبق على أي متعدد الحدود ووحيد الحد قابل للضرب.

عن طريق القياس، يتم ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود: يتم ضرب أحادية الحد المحددة في كل حد من حدود كثيرة الحدود ويتم جمع المنتجات الناتجة.

أمثلة على ضرب كثيرة الحدود بواحدة الحد

مثال 1

من الضروري العثور على المنتج: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x.

حل

لقد اكتملت بالفعل الخطوة الأولى من القاعدة - تم تسجيل العمل. نقوم الآن بالخطوة التالية بضرب كل حد من كثيرة الحدود في أحادية الحد المعطاة. في هذه الحالة، من الملائم تحويل الكسور العشرية أولاً إلى كسور عادية. ثم نحصل على:

1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = 1, 4 x 2 - 2 7 x - 3, 5 y - 2 7 x = = - 1, 4 2 7 x 2 x + 3, 5 2 7 س ص = - 7 5 2 س 3 + 7 5 2 7 س ص = - 2 5 س 3 + س ص

إجابة: 1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y.

دعونا نوضح أنه عندما يتم إعطاء كثيرة الحدود و/أو أحادية الحد الأصلية في شكل غير قياسي، قبل العثور على منتجها، فمن المستحسن تقليلها إلى شكل قياسي.

مثال 2

كثير الحدود معين 3 + أ − 2 · أ 2 + 3 · أ − 2ووحيدة الحد − 0 · أ · ب · (− 2) · أ. تحتاج إلى العثور على عملهم.

حل

نرى أن البيانات المصدر مقدمة في نموذج غير قياسي، لذا، لتسهيل إجراء المزيد من الحسابات، سنضعها في نموذج قياسي:

− 0 , 5 · أ · ب · (− 2) · أ = (− 0 , 5) · (− 2) · (أ · أ) · ب = 1 · أ 2 · ب = أ 2 · ب 3 + أ − 2 · أ 2 + 3 · أ − 2 = (3 − 2) + (أ + 3 · أ) − 2 · أ 2 = 1 + 4 · أ − 2 · أ 2

الآن دعونا نضرب أحادية الحد أ 2 بلكل مصطلح من كثير الحدود 1 + 4 · أ − 2 · أ 2

أ 2 ب (1 + 4 أ − 2 أ 2) = أ 2 ب 1 + أ 2 ب 4 أ + أ 2 ب (− 2 أ 2) = أ 2 · ب + 4 · أ 3 · ب − 2 · أ 4 · ب

لم نتمكن من تقليل البيانات الأولية إلى نموذج قياسي: فالحل سيكون أكثر تعقيدًا. وفي هذه الحالة، ستكون الخطوة الأخيرة هي الحاجة إلى جلب أعضاء مماثلين. للفهم، إليك الحل وفقًا لهذا المخطط:

− 0 , 5 · أ · ب · (− 2) · أ · (3 + أ − 2 · أ 2 + 3 · أ − 2) = = − 0 , 5 · أ · ب · (− 2) · أ · 3 − 0 , 5 · أ · ب · (− 2) · أ · أ − 0 , 5 · أ · · ب · (− 2) · أ · (− 2 · أ 2) − 0 , 5 · أ · ب · (− 2) · أ · 3 · أ − 0, 5 · أ · ب · (− 2) · أ · (− 2) = = 3 · أ 2 · ب + أ 3 · ب − 2 · أ 4 · ب + 3 · أ 3 · ب − 2 · أ 2 · ب = أ 2 · ب + 4 · أ 3 · ب − 2 · أ 4 · ب

إجابة: − 0 , 5 · أ · ب · (− 2) · أ · (3 + أ − 2 · أ 2 + 3 · أ − 2) = أ 2 · ب + 4 · أ 3 · ب − 2 · أ 4 · ب.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

عند ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد، سنستخدم أحد قوانين الضرب. ويسمى في الرياضيات بقانون توزيع الضرب. قانون التوزيع للضرب:

1. (أ + ب)*ج = أ*ج + ب*ج

2. (أ - ب)*ج = أ*ج - ب*ج

من أجل ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يكفي ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود في أحادية الحد. بعد ذلك، قم بإضافة المنتجات الناتجة. يوضح الشكل التالي رسمًا تخطيطيًا لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود.

ترتيب الضرب ليس مهمًا؛ على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد، فيجب عليك القيام بذلك بنفس الطريقة تمامًا. وبالتالي، لا يوجد فرق بين الإدخالات 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) و (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.

دعونا نضرب متعدد الحدود ووحيد الحد المكتوب أعلاه. وسنعرض لك مثال محددكيفية القيام بذلك بشكل صحيح:

4*س * (5*س^2*ص - 4*س*ص)

باستخدام قانون التوزيع للضرب، نشكل المنتج:

4*س*5*س^2*ص - 4*س*4*س*ص.

في المجموع الناتج، نقوم بتقليل كل من أحاديات الحد إلى الشكل القياسي ونحصل على:

20*س^3*ص - 16*س^2*ص.

سيكون هذا حاصل ضرب وحيدة الحد ومتعددة الحدود: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.

أمثلة:

1. اضرب وحيدة الحد 4*x^2 في كثيرة الحدود (5*x^2+4*x+3). باستخدام قانون التوزيع للضرب، نقوم بتكوين المنتج. لدينا
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*س^4 +16*س^3 +12*س^2.

سيكون هذا حاصل ضرب وحيدة الحد ومتعددة الحدود: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. اضرب أحادية الحد (-3*x^2) في كثيرة الحدود (2*x^3-5*x+7).

أستخدم قانون التوزيع للضرب وأنشئ منتجًا. لدينا:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

في المجموع الناتج، نقوم بتقليل كل من أحاديات الحد إلى شكلها القياسي. نحن نحصل:

6*س^5 +15*س^3 -21*س^2.

سيكون هذا حاصل ضرب وحيدة الحد ومتعددة الحدود: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* س ^ 2.