كيفية إضافة المصفوفات. العمليات الأساسية على المصفوفات (الجمع والضرب والتحويل) وخصائصها

السنة الأولى، الرياضيات العليا، دراسة المصفوفاتوالإجراءات الأساسية عليها. نحن هنا ننظم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المصفوفات. من أين تبدأ التعرف على المصفوفات؟ بالطبع من أبسط الأشياء - التعاريف والمفاهيم الأساسية والعمليات البسيطة. نؤكد لك أن المصفوفات سوف يفهمها كل من يخصص لها القليل من الوقت على الأقل!

تعريف المصفوفة

مصفوفةهو جدول مستطيل من العناصر. حسنا، بعبارات بسيطة – جدول الأرقام.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة. على سبيل المثال، مصفوفة أ ، مصفوفة ب وما إلى ذلك وهلم جرا. يمكن أن تكون المصفوفات بأحجام مختلفة: مستطيلة ومربعة، وهناك أيضًا مصفوفات صفوف وأعمدة تسمى المتجهات. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، لنكتب مصفوفة مستطيلة الحجم م على ن ، أين م - عدد الأسطر، و ن - عدد الأعمدة.

العناصر التي ط=ي (a11، a22، .. ) تشكل القطر الرئيسي للمصفوفة وتسمى قطري.

ماذا يمكنك أن تفعل بالمصفوفات؟ إضافة/طرح, اضرب برقم, تتكاثر فيما بينها, تبديل موضع. الآن عن كل هذه العمليات الأساسية على المصفوفات بالترتيب.

عمليات الجمع والطرح للمصفوفات

دعنا نحذرك على الفور أنه لا يمكنك سوى إضافة مصفوفات من نفس الحجم. وستكون النتيجة مصفوفة من نفس الحجم. إن إضافة (أو طرح) المصفوفات أمر بسيط - تحتاج فقط إلى إضافة العناصر المقابلة لها . دعونا نعطي مثالا. لنجري عملية جمع مصفوفتين A وB بحجم اثنين في اثنين.

يتم إجراء الطرح عن طريق القياس، فقط مع الإشارة المعاكسة.

يمكن ضرب أي مصفوفة برقم عشوائي. لفعل هذا، تحتاج إلى مضاعفة كل عنصر من عناصره بهذا الرقم. على سبيل المثال، لنضرب المصفوفة A من المثال الأول بالرقم 5:

عملية ضرب المصفوفة

لا يمكن ضرب كل المصفوفات معًا. على سبيل المثال، لدينا مصفوفتان - A وB. ويمكن ضربهما في بعضهما البعض فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. في هذه الحالة سيكون كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة، الموجود في الصف الأول والعمود j، مساويًا لمجموع منتجات العناصر المقابلة في الصف الأول من العامل الأول والعمود j من الثاني. لفهم هذه الخوارزمية، دعونا نكتب كيفية ضرب مصفوفتين مربعتين:

ومثال مع الأعداد الحقيقية. دعونا نضرب المصفوفات:

عملية تبديل المصفوفة

تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل الصفوف والأعمدة المقابلة. على سبيل المثال، لننقل المصفوفة A من المثال الأول:

محدد المصفوفة

المحدد أو المحدد هو أحد المفاهيم الأساسية للجبر الخطي. ذات مرة، توصل الناس إلى معادلات خطية، وبعدها كان عليهم أن يتوصلوا إلى محدد. في النهاية، الأمر متروك لك للتعامل مع كل هذا، لذا، الدفعة الأخيرة!

المحدد هو خاصية عددية للمصفوفة المربعة، وهي ضرورية لحل العديد من المسائل.
لحساب محدد أبسط مصفوفة مربعة، تحتاج إلى حساب الفرق بين منتجات عناصر الأقطار الرئيسية والثانوية.

محدد المصفوفة من الدرجة الأولى، أي التي تتكون من عنصر واحد، يساوي هذا العنصر.

ماذا لو كانت المصفوفة ثلاثة في ثلاثة؟ وهذا أكثر صعوبة، ولكن يمكنك التعامل معه.

بالنسبة لمثل هذه المصفوفة، تكون قيمة المحدد تساوي مجموع منتجات عناصر القطر الرئيسي ومنتجات العناصر الموجودة على المثلثات ذات الوجه الموازي للقطر الرئيسي، والتي منها منتج القطر الرئيسي يتم طرح عناصر القطر الثانوي وحاصل ضرب العناصر الموجودة على المثلثات ذات وجه القطر الثانوي الموازي.

ولحسن الحظ، نادرا ما يكون من الضروري حساب محددات المصفوفات ذات الأحجام الكبيرة.

لقد نظرنا هنا إلى العمليات الأساسية على المصفوفات. بالطبع، في الحياة الواقعية، قد لا تواجه أبدًا حتى تلميحًا لنظام مصفوفة من المعادلات، أو على العكس من ذلك، قد تواجه حالات أكثر تعقيدًا عندما تضطر حقًا إلى إرهاق عقلك. في مثل هذه الحالات توجد خدمات طلابية محترفة. اطلب المساعدة، واحصل على حل مفصل وعالي الجودة، واستمتع بالنجاح الأكاديمي ووقت الفراغ.

في هذا الموضوع سوف نتناول مفهوم المصفوفة، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع، سأضيف ملخصًا مختصرًا لتسهيل التنقل في المادة.

تعريف المصفوفة وعنصرها. الرموز.

مصفوفةعبارة عن جدول يتكون من صفوف $m$ وأعمدة $n$. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة مختلفة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو مصفوفات أخرى على سبيل المثال. على سبيل المثال، تحتوي المصفوفة $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ على 3 صفوف وعمودين؛ عناصرها هي الأعداد الصحيحة. المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ يحتوي على صفين و4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار\إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط في شكل دائري، ولكن أيضًا بين قوسين مربعين أو مزدوجين مستقيمين. أي أن الإدخالات أدناه تعني نفس المصفوفة:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

يتم استدعاء المنتج $m\times n$ حجم المصفوفة. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و3 أعمدة، فإننا نتحدث عن مصفوفة حجمها $5\×3$. المصفوفة $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ لها حجم $3 \times 2$.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $A$، $B$، $C$، وهكذا. على سبيل المثال، $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. يبدأ ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل؛ الأعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $B$ على العناصر 5 و3، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3، -87، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال، يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفة $A$ بالرمز $a_(ij)$. يحتوي الفهرس المزدوج $ij$ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $i$ هو رقم الصف، والرقم $j$ هو رقم العمود، عند تقاطعه يوجد العنصر $a_(ij)$. على سبيل المثال، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ العنصر $a_(25)= 59 دولارًا:

وبنفس الطريقة، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول لدينا العنصر $a_(11)=51$; عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $a_(32)=-15$ وهكذا. لاحظ أن الإدخال $a_(32)$ يقرأ "a ثلاثة اثنان"، وليس "اثنان وثلاثون".

لاختصار المصفوفة $A$، التي يكون حجمها $m\times n$، يتم استخدام الترميز $A_(m\times n)$. يمكنك كتابتها بمزيد من التفاصيل:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

حيث تشير العلامة $(a_(ij))$ إلى عناصر المصفوفة $A$. في صورتها الموسعة بالكامل، يمكن كتابة المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ كما يلي:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

دعونا نقدم مصطلح آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ متساوي، إذا كانت العناصر المتناظرة متساوية، أي. $a_(ij)=b_(ij)$ للجميع $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$.

شرح للمدخل $i=\overline(1,m)$: show\hide

الترميز "$i=\overline(1,m)$" يعني أن المعلمة $i$ تختلف من 1 إلى m. على سبيل المثال، تشير العلامة $i=\overline(1,5)$ إلى أن المعلمة $i$ تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5.

لذا، لكي تكون المصفوفات متساوية، يجب توافر شرطين: تطابق الأحجام، وتساوي العناصر المتناظرة. على سبيل المثال، المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ لا تساوي المصفوفة $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ لأن المصفوفة $A$ لها حجم $3\times 2$ والمصفوفة $B$ حجمه $2\times $2. كما أن المصفوفة $A$ لا تساوي المصفوفة $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ، منذ $a_( 21)\neq c_(21)$ (أي $0\neq 98$). لكن بالنسبة للمصفوفة $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ يمكننا كتابة $A= بأمان F$ لأن كلا من الأحجام والعناصر المقابلة للمصفوفات $A$ و$F$ متطابقة.

المثال رقم 1

تحديد حجم المصفوفة $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. وضح ما تساويه العناصر $a_(12)$، $a_(33)$، $a_(43)$.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و3 أعمدة، لذا فإن حجمها هو $5\×3$. يمكنك أيضًا استخدام الرمز $A_(5\times 3)$ لهذه المصفوفة.

العنصر $a_(12)$ يقع عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني، لذا $a_(12)=-2$. العنصر $a_(33)$ يقع عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث، لذا فإن $a_(33)=23$. العنصر $a_(43)$ يقع عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث، لذا $a_(43)=-5$.

إجابة: $a_(12)=-2$، $a_(33)=23$، $a_(43)=-5$.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والثانوية. تتبع المصفوفة.

دع مصفوفة معينة $A_(m\times n)$ تعطى. إذا كان $m=1$ (تتكون المصفوفة من صف واحد)، فسيتم استدعاء المصفوفة المحددة صف المصفوفة. إذا كان $n=1$ (تتكون المصفوفة من عمود واحد)، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة عمود المصفوفة. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ هي مصفوفة صف، و $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ هي مصفوفة أعمدة.

إذا كانت المصفوفة $A_(m\times n)$ تحقق الشرط $m\neq n$ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة)، فغالبًا ما يقال أن $A$ عبارة عن مصفوفة مستطيلة مصفوفة. على سبيل المثال، المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ لها حجم $2\times 4 $، هؤلاء. يحتوي على صفين و4 أعمدة. وبما أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة، فإن هذه المصفوفة مستطيلة الشكل.

إذا كانت المصفوفة $A_(m\times n)$ تستوفي الشرط $m=n$ (أي أن عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة)، فيقال إن $A$ عبارة عن مصفوفة مربعة من الرتبة $ ن $. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية؛ $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. بشكل عام، يمكن كتابة المصفوفة المربعة $A_(n\times n)$ كما يلي:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

يقال أن العناصر $a_(11)$، $a_(22)$، $\ldots$، $a_(nn)$ موجودة قطري الرئيسيالمصفوفات $A_(n\times n)$. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $a_(1n)$، $a_(2 \; n-1)$، $\ldots$، $a_(n1)$ موجودة الجانب (الصغرى) قطري; يطلق عليهم عناصر قطرية جانبية. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ لدينا:

العناصر $c_(11)=2$، $c_(22)=9$، $c_(33)=4$، $c_(44)=6$ هي العناصر القطرية الرئيسية؛ العناصر $c_(14)=1$، $c_(23)=8$، $c_(32)=0$، $c_(41)=-4$ هي عناصر قطرية جانبية.

يسمى مجموع العناصر القطرية الرئيسية تليها المصفوفةويشار إليه بـ $\Tr A$ (أو $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ لدينا:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

يُستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ستكون العناصر القطرية الرئيسية هي $b_(11)=2$، $b_(22)=-9$، $b_(33)=4$.

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $A_(m\times n)$ تساوي الصفر، فإن هذه المصفوفة تسمى باطلوعادةً ما يُشار إليه بالحرف $O$. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - صفر مصفوفات.

اجعل المصفوفة $A_(m\times n)$ بالشكل التالي:

ثم يتم استدعاء هذه المصفوفة شبه منحرف. قد لا تحتوي على صفوف صفرية، ولكن إذا كانت موجودة، فهي تقع في أسفل المصفوفة. وبشكل أكثر عمومية، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

مرة أخرى، الأسطر الفارغة الزائدة غير مطلوبة. أولئك. رسميًا، يمكننا التمييز بين الشروط التالية للمصفوفة شبه المنحرفة:

جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي هي صفر.
جميع العناصر من $a_(11)$ إلى $a_(rr)$ الواقعة على القطر الرئيسي لا تساوي الصفر: $a_(11)\neq 0, \; أ_(22)\neq 0، \ldots، a_(rr)\neq 0$.
إما أن تكون جميع عناصر الصفوف $m-r$ الأخيرة صفرًا، أو $m=r$ (أي لا توجد صفوف صفرية على الإطلاق).

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. يتم استدعاء المصفوفة $A_(m\times n)$ صعدت، إذا كانت مستوفية للشروط التالية:

على سبيل المثال، المصفوفات الخطوة ستكون:

للمقارنة، المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ليس في المستوى لأن الصف الثالث يحتوي على نفس الجزء الصفري الموجود في الصف الثاني. وهذا يعني أن مبدأ "كلما انخفض الخط، كلما زاد الجزء الصفري" هو انتهاك. سأضيف أن المصفوفة شبه المنحرفة هي حالة خاصة للمصفوفة المتدرجة.

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة تحت القطر الرئيسي تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة المصفوفة الثلاثية العليا. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مثلثية عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يذكر شيئًا عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. يمكن أن تكون صفرًا أم لا - لا يهم. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ هي أيضًا مصفوفة مثلثية عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثية سفلية. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - المصفوفة المثلثية السفلية. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يذكر شيئًا عن قيم العناصر الموجودة أسفل أو على القطر الرئيسي. قد تكون صفرًا أم لا - لا يهم. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ و$\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ هي أيضًا مصفوفات مثلثية أقل.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة التي لا تقع على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ النهاية(صفيف)\يمين)$. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (يساوي صفرًا أم لا) - لا يهم.

تسمى المصفوفة القطرية أعزب، إذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - مصفوفة هوية من الدرجة الرابعة؛ $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ هي مصفوفة هوية من الدرجة الثانية.

تعريف المصفوفة. أنواع المصفوفات

مصفوفة الحجم م× نتسمى مجموعة م · نالأعداد مرتبة في جدول مستطيل مخطوط و نأعمدة. عادة ما يتم وضع هذا الجدول بين قوسين. على سبيل المثال، قد تبدو المصفوفة كما يلي:

للإيجاز، يمكن الإشارة إلى المصفوفة بحرف كبير واحد، على سبيل المثال، أأو في.

بشكل عام، مصفوفة الحجم م× ناكتبها مثل هذا

يتم استدعاء الأرقام التي تشكل المصفوفة عناصر المصفوفة. من الملائم تزويد عناصر المصفوفة بمؤشرين آي جي: الأول يشير إلى رقم الصف والثاني يشير إلى رقم العمود. على سبيل المثال، 23- العنصر موجود في الصف الثاني، العمود الثالث.

إذا كانت المصفوفة تحتوي على نفس عدد الصفوف مثل عدد الأعمدة، فسيتم استدعاء المصفوفة مربع، ويسمى عدد صفوفه أو أعمدته مرتبالمصفوفات. في الأمثلة السابقة المصفوفة الثانية مربعة ترتيبها 3 والمصفوفة الرابعة ترتيبها 1.

تسمى المصفوفة التي لا يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة مستطيلي. في الأمثلة هذه هي المصفوفة الأولى والثالثة.

هناك أيضًا مصفوفات تحتوي على صف واحد أو عمود واحد فقط.

تسمى مصفوفة ذات صف واحد فقط مصفوفة - صف(أو سلسلة)، ومصفوفة ذات عمود واحد فقط مصفوفة - عمود.

تسمى المصفوفة التي عناصرها كلها صفر باطلويشار إليه بـ (0)، أو ببساطة 0. على سبيل المثال،

قطري رئيسيمن المصفوفة المربعة نسميها القطر الممتد من الزاوية العلوية اليسرى إلى الزاوية اليمنى السفلى.

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي مساوية للصفر الثلاثيمصفوفة.

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون جميع عناصرها، باستثناء العناصر الموجودة على القطر الرئيسي، مساوية للصفر قطريمصفوفة. على سبيل المثال، أو.

تسمى المصفوفة القطرية التي تكون فيها جميع العناصر القطرية مساوية لواحد أعزبالمصفوفة ويشار إليها بالحرف E. على سبيل المثال، مصفوفة الهوية من الدرجة الثالثة لها الشكل .

الإجراءات على المصفوفات

المساواة المصفوفة. مصفوفتان أو بيقال أنهم متساوون إذا كان لديهم نفس عدد الصفوف والأعمدة وكانت العناصر المقابلة لها متساوية آي جي = ب ي. حتى إذا و ، الذي - التي أ = ب، لو أ 11 = ب 11، أ 12 = ب 12، أ 21 = ب 21و أ 22 = ب 22.

تبديل موضع. النظر في مصفوفة تعسفية أمن مخطوط و نأعمدة. ويمكن ربطه بالمصفوفة التالية بمن نخطوط و مالأعمدة، حيث يكون كل صف عبارة عن عمود مصفوفة أبنفس الرقم (وبالتالي كل عمود هو صف من المصفوفة أبنفس الرقم). حتى إذا ، الذي - التي .

هذه المصفوفة بمُسَمًّى منقولمصفوفة أ، والانتقال من أل ب التحويل.

وبالتالي، فإن التبديل هو عكس أدوار صفوف وأعمدة المصفوفة. مصفوفة نقلها إلى مصفوفة أ، يُشار إليه عادة في.

التواصل بين المصفوفة أويمكن كتابة منقوله على الشكل .

على سبيل المثال.أوجد المصفوفة المنقولة للمصفوفة المعطاة.

إضافة مصفوفة.دع المصفوفات أو بتتكون من نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة، أي. يملك نفس الأحجام. ثم من أجل إضافة المصفوفات أو باللازمة لعناصر المصفوفة أإضافة عناصر المصفوفة بيقف في نفس الأماكن. وهكذا، مجموع مصفوفتين أو بتسمى المصفوفة ج، والتي تحددها القاعدة، على سبيل المثال،

أمثلة.أوجد مجموع المصفوفات:

من السهل التحقق من أن إضافة المصفوفة تخضع للقوانين التالية: التبادلية أ+ب=ب+أوالجمعي ( أ+ب)+ج=أ+(ب+ج).

ضرب مصفوفة بعدد.لضرب المصفوفة ألكل رقم كهناك حاجة إلى كل عنصر من عناصر المصفوفة أاضرب بهذا الرقم. وبالتالي فإن منتج المصفوفة ألكل رقم كهناك مصفوفة جديدة، والتي تحددها القاعدة أو .

لأي أرقام أو بوالمصفوفات أو بالمساواة التالية تحمل:

أمثلة.

ضرب المصفوفة.يتم تنفيذ هذه العملية وفقًا لقانون خاص. أولًا، نلاحظ أن أحجام مصفوفات العوامل يجب أن تكون متسقة. يمكنك ضرب فقط تلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية (أي أن طول الصف الأول يساوي ارتفاع العمود الثاني). العملالمصفوفات أليست مصفوفة بتسمى المصفوفة الجديدة ج = أبوالتي تتكون عناصرها على النحو التالي:

وبالتالي، على سبيل المثال، للحصول على المنتج (أي في المصفوفة ج) العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث من 13، عليك أن تأخذ الصف الأول في المصفوفة الأولى، والعمود الثالث في العمود الثاني، ثم تضرب عناصر الصف في عناصر العمود المقابلة وتضيف المنتجات الناتجة. ويتم الحصول على عناصر أخرى من مصفوفة حاصل الضرب باستخدام حاصل ضرب مماثل لصفوف المصفوفة الأولى وأعمدة المصفوفة الثانية.

بشكل عام، إذا قمنا بضرب المصفوفة ا = (ايج)مقاس م× نإلى المصفوفة ب = (ب ي)مقاس ن× ص، ثم نحصل على المصفوفة جمقاس م× ص، والتي يتم حساب عناصرها على النحو التالي: element ج ييتم الحصول عليها نتيجة لمنتج العناصر أناالصف العاشر من المصفوفة أإلى العناصر المقابلة يعمود المصفوفة بوإضافاتهم.

يتبع من هذه القاعدة أنه يمكنك دائمًا ضرب مصفوفتين مربعتين من نفس الترتيب، ونتيجة لذلك نحصل على مصفوفة مربعة من نفس الترتيب. على وجه الخصوص، يمكن دائمًا ضرب المصفوفة المربعة بنفسها، أي. مربع عليه.

هناك حالة أخرى مهمة وهي ضرب مصفوفة صف في مصفوفة عمود، ويجب أن يكون عرض الأولى مساويًا لارتفاع الثانية، مما ينتج عنه مصفوفة من الدرجة الأولى (أي عنصر واحد). حقًا،

أمثلة.

وبالتالي، تظهر هذه الأمثلة البسيطة أن المصفوفات، بشكل عام، لا تتنقل مع بعضها البعض، أي. أ∙ب ≠ ب∙أ . لذلك، عند ضرب المصفوفات، تحتاج إلى مراقبة ترتيب العوامل بعناية.

يمكن التحقق من أن ضرب المصفوفة يخضع لقوانين الترابط والتوزيع، أي. (أ ب) ج = أ (ق م)و (أ+ب)ج=أ+ب.

ومن السهل أيضًا التحقق من ذلك عند ضرب مصفوفة مربعة أإلى مصفوفة الهوية هبنفس الترتيب نحصل مرة أخرى على مصفوفة أ، و إ = إي = أ.

يمكن ملاحظة الحقيقة المثيرة للاهتمام التالية. كما تعلم، فإن حاصل ضرب رقمين غير الصفر لا يساوي 0. وقد لا يكون هذا هو الحال بالنسبة للمصفوفات، أي. قد يتبين أن حاصل ضرب مصفوفتين غير الصفر يساوي المصفوفة الصفرية.

على سبيل المثال، لو ، الذي - التي

مفهوم المحددات

دعونا نعطي مصفوفة من الدرجة الثانية - مصفوفة مربعة تتكون من صفين وعمودين .

محدد الدرجة الثانيةالموافق لمصفوفة معينة هو الرقم الذي تم الحصول عليه على النحو التالي: 11 أ 22 - أ 12 أ 21.

يتم الإشارة إلى المحدد بالرمز .

لذا، لإيجاد المحدد الثاني، عليك طرح حاصل ضرب العناصر على طول القطر الثاني من حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي.

أمثلة.حساب محددات الدرجة الثانية.

وبالمثل، يمكننا النظر إلى مصفوفة من الدرجة الثالثة والمحددة المقابلة لها.

محدد الدرجة الثالثة، الموافق لمصفوفة مربعة معينة من الدرجة الثالثة، هو الرقم المشار إليه ويتم الحصول عليه على النحو التالي:

وبالتالي، فإن هذه الصيغة تعطي مفكوك المحدد الثالث بدلالة عناصر الصف الأول أ11، أ12، أ13ويقلل حساب المحدد من الدرجة الثالثة إلى حساب المحددات من الدرجة الثانية.

أمثلة.احسب محدد الدرجة الثالثة.

وبالمثل، يمكننا تقديم مفاهيم محددات الرابع والخامس وما إلى ذلك. الأوامر، وخفض ترتيبها من خلال التوسع في عناصر الصف الأول، مع تناوب علامتي "+" و"-" للمصطلحات.

لذلك، على عكس المصفوفة، التي هي عبارة عن جدول أرقام، فإن المحدد هو رقم يتم تعيينه للمصفوفة بطريقة معينة.

سيساعدك هذا الدليل على تعلم كيفية الأداء العمليات مع المصفوفات: جمع (طرح) المصفوفات، تبديل المصفوفات، ضرب المصفوفات، إيجاد المصفوفة العكسية. يتم تقديم جميع المواد في شكل بسيط وسهل الوصول إليه، ويتم تقديم الأمثلة ذات الصلة، لذلك حتى الشخص غير المستعد يمكنه تعلم كيفية تنفيذ الإجراءات باستخدام المصفوفات. للمراقبة الذاتية والاختبار الذاتي، يمكنك تنزيل حاسبة المصفوفات مجانًا >>>.

سأحاول تقليل الحسابات النظرية؛ في بعض الأماكن، من الممكن تقديم تفسيرات "على الأصابع" واستخدام مصطلحات غير علمية. عشاق النظرية الصلبة، يرجى عدم الانخراط في النقد، مهمتنا هي تعلم كيفية إجراء العمليات مع المصفوفات.

للتحضير بسرعة فائقة حول موضوع (من هو "المشتعل")، هناك دورة تدريبية مكثفة بتنسيق pdf مصفوفة ومحددة واختبار!

المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل للبعض عناصر. مثل عناصرسننظر في الأرقام، أي المصفوفات العددية. عنصرهو مصطلح. من المستحسن أن تتذكر هذا المصطلح، فهو سيظهر كثيرًا، وليس من قبيل الصدفة أنني استخدمت الخط العريض لتسليط الضوء عليه.

تعيين:يُشار إلى المصفوفات عادةً بأحرف لاتينية كبيرة

مثال:النظر في مصفوفة اثنين في ثلاثة:

تتكون هذه المصفوفة من ستة عناصر:

جميع الأرقام (العناصر) الموجودة داخل المصفوفة موجودة من تلقاء نفسها، أي أنه ليس هناك شك في أي طرح:

إنه مجرد جدول (مجموعة) من الأرقام!

سوف نتفق أيضا لا إعادة ترتيبالأرقام، ما لم ينص على خلاف ذلك في التوضيحات. كل رقم له موقعه الخاص ولا يمكن خلطه!

تحتوي المصفوفة المعنية على صفين:

وثلاثة أعمدة:

معيار: عند الحديث عن أحجام المصفوفة، إذن في البدايهتشير إلى عدد الصفوف، وبعد ذلك فقط عدد الأعمدة. لقد قمنا للتو بتفكيك المصفوفة التي تساوي اثنين في ثلاثة.

إذا كان عدد صفوف وأعمدة المصفوفة هو نفسه، يتم استدعاء المصفوفة مربع، على سبيل المثال: - مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.

إذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد أو صف واحد، فإن هذه المصفوفات تسمى أيضًا ثلاثة أبعاد.

في الواقع، لقد عرفنا مفهوم المصفوفة منذ المدرسة؛ لنأخذ على سبيل المثال نقطة ذات إحداثيات "x" و"y": . بشكل أساسي، تتم كتابة إحداثيات النقطة في مصفوفة واحدة تلو الأخرى. بالمناسبة، هنا مثال على أهمية ترتيب الأرقام: وهما نقطتان مختلفتان تمامًا على المستوى.

الآن دعنا ننتقل إلى الدراسة العمليات مع المصفوفات:

1) الفعل الأول. إزالة علامة ناقص من المصفوفة (إدخال علامة ناقص في المصفوفة).

دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا . كما لاحظت على الأرجح، يوجد عدد كبير جدًا من الأرقام السالبة في هذه المصفوفة. هذا غير مريح للغاية من وجهة نظر تنفيذ إجراءات مختلفة باستخدام المصفوفة، ومن غير الملائم كتابة الكثير من السلبيات، وهو ببساطة يبدو قبيحًا في التصميم.

دعونا ننقل الطرح خارج المصفوفة، مع تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:

عند الصفر، كما تفهم، فإن العلامة لا تتغير؛ الصفر هو أيضًا صفر في أفريقيا.

مثال عكسي: . يبدو قبيحا.

دعونا نقدم علامة ناقص في المصفوفة عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:

حسنا، اتضح أجمل بكثير. والأهم من ذلك أنه سيكون من الأسهل تنفيذ أي إجراءات باستخدام المصفوفة. لأن هناك مثل هذه العلامة الشعبية الرياضية: والمزيد من السلبيات، والمزيد من الارتباك والأخطاء.

2) الفعل الثاني. ضرب مصفوفة بعدد.

مثال:

الأمر بسيط، من أجل ضرب مصفوفة برقم، تحتاج كلعنصر المصفوفة مضروبا في عدد معين. في هذه الحالة - ثلاثة.

مثال مفيد آخر:

- ضرب المصفوفة بكسر

أولا دعونا ننظر إلى ما يجب القيام به لا حاجة:

ليست هناك حاجة لإدخال كسر في المصفوفة أولاً، فهذا يؤدي فقط إلى تعقيد الإجراءات الإضافية مع المصفوفة، وثانيًا، يجعل من الصعب على المعلم التحقق من الحل (خاصة إذا كان ذلك ممكنًا). - الإجابة النهائية للمهمة).

وخاصة، لا حاجةقسّم كل عنصر من عناصر المصفوفة على ناقص سبعة:

من المقال الرياضيات للدمى أو من أين تبدأنتذكر أنه في الرياضيات العليا يحاولون تجنب الكسور العشرية بفواصل بكل طريقة ممكنة.

الشيء الوحيد هو ويفضلما يجب فعله في هذا المثال هو إضافة علامة ناقص إلى المصفوفة:

ولكن إذا فقط الجميعتم تقسيم عناصر المصفوفة على 7 دون أن يترك أثرا، فسيكون من الممكن (والضروري!) التقسيم.

مثال:

في هذه الحالة، يمكنك بحاجة لاضرب جميع عناصر المصفوفة في، حيث أن جميع أرقام المصفوفات قابلة للقسمة على 2 دون أن يترك أثرا.

ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "القسمة". بدلًا من قول "هذا مقسومًا على ذاك"، يمكنك دائمًا أن تقول "هذا مضروبًا في كسر". أي أن القسمة هي حالة خاصة من الضرب.

3) الفعل الثالث. تبديل المصفوفة.

من أجل تبديل مصفوفة، تحتاج إلى كتابة صفوفها في أعمدة المصفوفة المنقولة.

مثال:

تبديل المصفوفة

يوجد سطر واحد فقط هنا، ووفقًا للقاعدة، يجب كتابته في عمود:

- مصفوفة منقولة.

يُشار عادةً إلى المصفوفة المنقولة بحرف مرتفع أو أولي في أعلى اليمين.

مثال خطوة بخطوة:

تبديل المصفوفة

أولاً نعيد كتابة الصف الأول في العمود الأول:

ثم نعيد كتابة السطر الثاني في العمود الثاني:

وأخيرًا، نعيد كتابة الصف الثالث في العمود الثالث:

مستعد. بشكل تقريبي، النقل يعني قلب المصفوفة على جانبها.

4) الفصل الرابع. مجموع (الفرق) من المصفوفات.

مجموع المصفوفات عملية بسيطة
لا يمكن طي جميع المصفوفات. لإجراء عملية الجمع (الطرح) للمصفوفات، من الضروري أن تكون بنفس الحجم.

على سبيل المثال، إذا تم إعطاء مصفوفة اثنين في اثنين، فلا يمكن إضافتها إلا بمصفوفة اثنين في اثنين وليس غيرها!

مثال:

إضافة المصفوفات و

من أجل إضافة المصفوفات، تحتاج إلى إضافة العناصر المقابلة لها:

بالنسبة لاختلاف المصفوفات فإن القاعدة متشابهة، من الضروري إيجاد الفرق بين العناصر المقابلة.

مثال:

أوجد اختلاف المصفوفة ,

كيف يمكنك حل هذا المثال بسهولة أكبر حتى لا تتشوش؟ يُنصح بالتخلص من السلبيات غير الضرورية؛ للقيام بذلك، أضف علامة ناقص إلى المصفوفة:

ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "الطرح". بدلًا من قول "اطرح هذا من هذا"، يمكنك دائمًا أن تقول "أضف عددًا سالبًا إلى هذا". أي أن الطرح هو حالة خاصة من عمليات الجمع.

5) الفعل الخامس. ضرب المصفوفة.

ما المصفوفات التي يمكن ضربها؟

من أجل ضرب المصفوفة بمصفوفة، فمن الضروري بحيث يكون عدد أعمدة المصفوفة مساوياً لعدد صفوف المصفوفة.

مثال:
هل من الممكن ضرب مصفوفة بمصفوفة؟

وهذا يعني أنه يمكن ضرب بيانات المصفوفة.

ولكن إذا تم إعادة ترتيب المصفوفات، ففي هذه الحالة، لم يعد الضرب ممكنًا!

ولذلك فإن الضرب غير ممكن:

ليس من النادر أن تواجه المهام بخدعة، عندما يُطلب من الطالب ضرب المصفوفات، ومن الواضح أن ضربها مستحيل.

وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الحالات يمكن ضرب المصفوفات في كلا الاتجاهين.
على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفات، وكل من الضرب والضرب ممكنان

إضافة مصفوفة$ A $ و $ B $ هي عملية حسابية، ونتيجة لذلك يجب الحصول على المصفوفة $ C $، كل عنصر منها يساوي مجموع العناصر المقابلة للمصفوفات المضافة:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

بالتفصيل تبدو صيغة إضافة مصفوفتين كما يلي:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ ب_(31) & ب_(32) & ب_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+ب_(22) & أ_(23)+ب_(23) \\ أ_(31)+ب_(31) & أ_(32)+ب_(32) & أ_(33)+ب_(33) \ النهاية (بماتريكس) = C$$

يرجى ملاحظة أنه يمكنك فقط جمع وطرح المصفوفات ذات البعد نفسه. مع المجموع أو الفرق، ستكون النتيجة مصفوفة $ C $ لها نفس البعد مثل الحدود (المطروحة) للمصفوفات $ A $ و $ B $. إذا كانت المصفوفات $ A $ و $ B $ تختلف عن بعضها البعض في الحجم، فإن إضافة (طرح) هذه المصفوفات سيكون خطأ!

تضيف الصيغة مصفوفات 3 × 3، مما يعني أن النتيجة يجب أن تكون مصفوفة 3 × 3.

طرح المصفوفاتتشبه تمامًا خوارزمية الجمع، مع وجود علامة الطرح فقط. يتم الحصول على كل عنصر من عناصر المصفوفة المطلوبة $C$ عن طريق طرح العناصر المقابلة للمصفوفات $A$ و$B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

دعونا نكتب التفاصيل صيغة لطرح مصفوفتين:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ ب_(31) & ب_(32) & ب_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-ب_(22) & أ_(23)-ب_(23) \\ أ_(31)-ب_(31) & أ_(32)-ب_(32) & أ_(33)-ب_(33) \ النهاية (بماتريكس) = C$$

ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه لا يمكنك جمع وطرح المصفوفات ذات الأعداد العادية، وكذلك مع بعض العناصر الأخرى

سيكون من المفيد معرفة خصائص الجمع (الطرح) لمزيد من الحلول لمشاكل المصفوفات.

ملكيات

إذا كانت المصفوفات $ A,B,C $ متساوية في الحجم، فإن خاصية الترابط تنطبق عليها: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
لكل مصفوفة هناك مصفوفة صفرية، يُشار إليها بـ $O $، عند الجمع (الطرح) والتي لا تتغير بها المصفوفة الأصلية: $$ A \pm O = A $$
لكل مصفوفة غير الصفر $ A $ هناك مصفوفة معاكسة $ (-A) $ يختفي مجموعها: $ $ A + (-A) = 0 $ $
عند إضافة (طرح) المصفوفات، يُسمح بخاصية التبادلية، أي أنه يمكن تبديل المصفوفات $ A $ و $ B $: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

أمثلة على الحلول

مثال 1
المصفوفات المعطاة $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ و $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. إجراء عملية جمع المصفوفات ثم الطرح.
حل
أولًا، نتحقق من المصفوفات للتأكد من أبعادها. المصفوفة $ A $ لها البعد $ 2 × 2 $، والمصفوفة الثانية $ B $ لها البعد $ 2 × 2 $. وهذا يعني أنه باستخدام هذه المصفوفات من الممكن إجراء عملية جمع وطرح مشتركة. تذكر أنه بالنسبة للمجموع، من الضروري إجراء عملية إضافة زوجية للعناصر المقابلة للمصفوفات $ A \text( and ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( بماتريكس) $$ وبالمثل، يمكننا إيجاد الفرق بين المصفوفات عن طريق استبدال علامة "الزائد" بعلامة "الطرح": $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ نهاية (بماتريكس) $$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب!
إجابة
$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); أ - ب = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

في المقال: تم تقديم التعاريف والقواعد والتعليقات وخصائص العمليات وأمثلة عملية للحلول في "جمع وطرح المصفوفات".