عندما يكون للمعادلة التربيعية جذران مختلفان. حل المعادلات التربيعية: صيغة الجذر، أمثلة

بطريقة أبسط. للقيام بذلك، ضع z خارج الأقواس. سوف تحصل على: z(аz + b) = 0. يمكن كتابة العوامل: z=0 و аz + b = 0، حيث أن كليهما يمكن أن يؤدي إلى صفر. في الترميز az + b = 0، نحرك النقطة الثانية إلى اليمين بإشارة مختلفة. من هنا نحصل على z1 = 0 و z2 = -b/a. هذه هي جذور الأصل.

إذا كانت هناك معادلة غير كاملة بالصيغة az² + c = 0، ففي هذه الحالة يتم العثور عليها ببساطة عن طريق تحريك الحد الحر إلى الجانب الأيمن من المعادلة. قم أيضًا بتغيير علامته. ستكون النتيجة az² = -с. التعبير عن z² = -c/a. خذ الجذر واكتب حلين - جذر تربيعي موجب وسالب.

ملحوظة

إذا كانت هناك معاملات كسرية في المعادلة، فاضرب المعادلة بأكملها في العامل المناسب للتخلص من الكسور.

إن معرفة كيفية حل المعادلات التربيعية أمر ضروري لكل من تلاميذ المدارس والطلاب؛ وفي بعض الأحيان يمكن أن يساعد ذلك أيضًا شخصًا بالغًا في الحياة اليومية. هناك عدة طرق حل محددة.

حل المعادلات التربيعية

معادلة تربيعية على الصورة a*x^2+b*x+c=0. المعامل x هو المتغير المطلوب، a، b، c هي معاملات عددية. تذكر أن علامة "+" يمكن أن تتغير إلى علامة "-".

لحل هذه المعادلة، من الضروري استخدام نظرية فيتا أو إيجاد المميز. الطريقة الأكثر شيوعًا هي العثور على المميز، لأنه بالنسبة لبعض قيم a، b، c، لا يمكن استخدام نظرية فييتا.

للعثور على المميز (D)، عليك كتابة الصيغة D=b^2 - 4*a*c. يمكن أن تكون قيمة D أكبر من أو أقل من أو تساوي الصفر. إذا كان D أكبر أو أقل من الصفر، فسيكون هناك جذرين، وإذا كان D = 0، فسيبقى جذر واحد فقط بشكل أكثر دقة، يمكننا القول أن D في هذه الحالة له جذرين متكافئين؛ عوّض بالمعاملات المعروفة a، b، c في الصيغة واحسب القيمة.

بعد العثور على المميز، استخدم الصيغ للعثور على x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a، حيث sqrt هي دالة تعني أخذ الجذر التربيعي لرقم معين. بعد حساب هذه التعبيرات، ستجد جذرين لمعادلتك، وبعد ذلك تعتبر المعادلة محلولة.

إذا كان D أقل من الصفر، فلا يزال له جذور. عمليا لم تتم دراسة هذا القسم في المدرسة. يجب على طلاب الجامعة أن يدركوا أن الرقم السالب يظهر تحت الجذر. ويتخلصون منه بإبراز الجزء التخيلي، أي -1 تحت الجذر يساوي دائمًا العنصر التخيلي "i" الذي مضروبًا في الجذر بنفس الرقم الموجب. على سبيل المثال، إذا كان D=sqrt(-20)، بعد التحويل، يصبح D=sqrt(20)*i. بعد هذا التحويل، يتم تقليل حل المعادلة إلى نفس نتيجة الجذور كما هو موضح أعلاه.

تتكون نظرية فييتا من اختيار قيم x(1) وx(2). يتم استخدام معادلتين متطابقتين: x(1) + x(2)= -b; س(1)*س(2)=ج. علاوة على ذلك، هناك نقطة مهمة جدًا وهي الإشارة الموجودة أمام المعامل b؛ تذكر أن هذه الإشارة معاكسة للإشارة الموجودة في المعادلة. للوهلة الأولى، يبدو أن حساب x(1) وx(2) بسيط للغاية، ولكن عند الحل، ستواجه حقيقة أنه سيتعين عليك تحديد الأرقام.

عناصر حل المعادلات التربيعية

وفقًا لقواعد الرياضيات، يمكن تحليل بعضها إلى عوامل: (a+x(1))*(b-x(2))=0، إذا تمكنت من تحويل هذه المعادلة التربيعية بطريقة مماثلة باستخدام الصيغ الرياضية، فلا تتردد في اكتب الجواب. س(1) و س(2) سيكونان مساويين للمعاملات المجاورة بين قوسين، ولكن مع الإشارة المعاكسة.

لا تنس أيضًا المعادلات التربيعية غير المكتملة. ربما تفتقد بعض الحدود، إذا كان الأمر كذلك، فإن جميع معاملاتها تساوي الصفر. إذا لم يكن هناك شيء أمام x^2 أو x، فإن المعاملات a وb تساوي 1.

تتطلب بعض المسائل في الرياضيات القدرة على حساب قيمة الجذر التربيعي. وتشمل هذه المشاكل حل المعادلات من الدرجة الثانية. سنقدم في هذه المقالة طريقة فعالة لحساب الجذور التربيعية ونستخدمها عند التعامل مع صيغ جذور المعادلة التربيعية.

ما هو الجذر التربيعي؟

في الرياضيات، يتوافق هذا المفهوم مع الرمز √. تقول البيانات التاريخية أنه تم استخدامه لأول مرة في النصف الأول من القرن السادس عشر في ألمانيا (أول عمل ألماني عن الجبر لكريستوف رودولف). يعتقد العلماء أن الرمز هو حرف لاتيني متحول r (الجذر يعني "الجذر" باللاتينية).

جذر أي رقم يساوي القيمة التي يتوافق مربعها مع التعبير الجذري. في لغة الرياضيات، سيبدو هذا التعريف كما يلي: √x = y، إذا y 2 = x.

جذر الرقم الموجب (x > 0) هو أيضًا رقم موجب (y > 0)، ولكن إذا أخذت جذر الرقم السالب (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

فيما يلي مثالين بسيطين:

√9 = 3، بما أن 3 2 = 9؛ √(-9) = 3i، بما أن i 2 = -1.

صيغة هيرون التكرارية لإيجاد قيم الجذور التربيعية

الأمثلة المذكورة أعلاه بسيطة للغاية، وحساب الجذور فيها ليس بالأمر الصعب. تبدأ الصعوبات بالظهور حتى عند إيجاد القيم الجذرية لأي قيمة لا يمكن تمثيلها كمربع لعدد طبيعي، على سبيل المثال √10، √11، √12، √13، ناهيك عن أنه من الناحية العملية يتم ذلك من الضروري العثور على جذور للأعداد غير الصحيحة: على سبيل المثال √(12.15)، √(8.5) وهكذا.

وفي جميع الحالات المذكورة أعلاه يجب استخدام طريقة خاصة لحساب الجذر التربيعي. حاليًا، هناك العديد من هذه الطرق معروفة: على سبيل المثال، توسيع سلسلة تايلور، وتقسيم الأعمدة وبعض الطرق الأخرى. من بين جميع الطرق المعروفة، ربما يكون أبسطها وأكثرها فعالية هو استخدام صيغة هيرون التكرارية، والتي تُعرف أيضًا بالطريقة البابلية لتحديد الجذور التربيعية (هناك أدلة على أن البابليين القدماء استخدموها في حساباتهم العملية).

فليكن من الضروري تحديد قيمة √x. صيغة العثور على الجذر التربيعي هي كما يلي:

أ n+1 = 1/2(a n +x/a n)، حيث lim n->∞ (a n) => x.

دعونا فك هذا الترميز الرياضي. لحساب √x، يجب أن تأخذ رقمًا معينًا a 0 (يمكن أن يكون عشوائيًا، ولكن للحصول على النتيجة بسرعة، يجب عليك اختياره بحيث يكون (a 0) 2 أقرب ما يمكن إلى x. ثم استبدله في الصيغة المحددة لحساب الجذر التربيعي والحصول على رقم جديد 1، والذي سيكون بالفعل أقرب إلى القيمة المطلوبة، بعد ذلك، من الضروري استبدال 1 في التعبير والحصول على 2. يجب تكرار هذا الإجراء حتى يتم الحصول على الدقة المطلوبة.

مثال على استخدام صيغة هيرون التكرارية

قد تبدو الخوارزمية الموصوفة أعلاه للحصول على الجذر التربيعي لعدد معين معقدة للغاية ومربكة للكثيرين، ولكن في الواقع يتبين أن كل شيء أبسط بكثير، لأن هذه الصيغة تتقارب بسرعة كبيرة (خاصة إذا تم اختيار رقم ناجح 0) .

لنعطي مثالًا بسيطًا: عليك حساب √11. لنختار 0 = 3، بما أن 3 2 = 9، وهي أقرب إلى 11 من 4 2 = 16. بالتعويض في الصيغة، نحصل على:

أ 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333؛

أ 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668؛

أ 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

لا فائدة من مواصلة الحسابات، لأننا وجدنا أن 2 و 3 يبدأان في الاختلاف فقط في العلامة العشرية الخامسة. وبالتالي، كان يكفي تطبيق الصيغة مرتين فقط لحساب √11 بدقة 0.0001.

في الوقت الحاضر، تُستخدم الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر على نطاق واسع لحساب الجذور، ومع ذلك، من المفيد تذكر الصيغة المحددة حتى تتمكن من حساب قيمتها الدقيقة يدويًا.

معادلات من الدرجة الثانية

يتم استخدام فهم ماهية الجذر التربيعي والقدرة على حسابه في حل المعادلات التربيعية. تسمى هذه المعادلات معادلات بمجهول واحد، ويظهر الشكل العام لها في الشكل أدناه.

هنا تمثل c وb وa بعض الأرقام، ويجب ألا تساوي a صفرًا، ويمكن أن تكون قيم c وb عشوائية تمامًا، بما في ذلك يساوي الصفر.

أي قيم x التي تحقق المساواة الموضحة في الشكل تسمى جذورها (لا ينبغي الخلط بين هذا المفهوم والجذر التربيعي √). بما أن المعادلة قيد النظر هي من الرتبة الثانية (× 2)، فلا يمكن أن يكون لها أكثر من جذرين. دعونا ننظر بمزيد من التفصيل في المقالة حول كيفية العثور على هذه الجذور.

إيجاد جذور المعادلة التربيعية (الصيغة)

وتسمى هذه الطريقة لحل نوع المساواة قيد النظر أيضًا الطريقة الشاملة، أو الطريقة التمييزية. ويمكن استخدامه لأي معادلات من الدرجة الثانية. صيغة المميز وجذور المعادلة التربيعية هي كما يلي:

ويبين أن الجذور تعتمد على قيمة كل من المعاملات الثلاثة للمعادلة. علاوة على ذلك، فإن حساب x 1 يختلف عن حساب x 2 فقط بالإشارة الموجودة أمام الجذر التربيعي. إن التعبير الجذري الذي يساوي b 2 - 4ac ليس أكثر من تمييز المساواة المعنية. يلعب المميز في صيغة جذور المعادلة التربيعية دورًا مهمًا لأنه يحدد عدد الحلول ونوعها. فإذا كانت تساوي صفرًا، فلن يكون هناك سوى حل واحد، وإذا كانت موجبة، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين، وأخيرًا، يؤدي المميز السالب إلى جذرين مركبين x 1 و x 2.

نظرية فيتا أو بعض خواص جذور المعادلات من الدرجة الثانية

وفي نهاية القرن السادس عشر، تمكن أحد مؤسسي الجبر الحديث، وهو فرنسي يدرس معادلات الدرجة الثانية، من الحصول على خصائص جذوره. رياضيا يمكن كتابتها على النحو التالي:

س 1 + س 2 = -ب / أ و س 1 * س 2 = ج / أ.

يمكن لأي شخص الحصول على كلا المتساويتين بسهولة؛ للقيام بذلك، تحتاج فقط إلى إجراء العمليات الحسابية المناسبة مع الجذور التي تم الحصول عليها من خلال الصيغة مع المميز.

يمكن تسمية الجمع بين هذين التعبيرين بالصيغة الثانية لجذور المعادلة التربيعية، مما يجعل من الممكن تخمين حلولها دون استخدام المميز. هنا تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن كلا التعبيرين صالحان دائمًا، إلا أنه من المناسب استخدامهما لحل المعادلة فقط إذا كان من الممكن تحليلها.

مهمة توحيد المعرفة المكتسبة

دعونا نحل مسألة رياضية سنوضح فيها جميع التقنيات التي تمت مناقشتها في المقالة. شروط المشكلة هي كما يلي: تحتاج إلى العثور على رقمين حاصل ضربهما -13 ومجموعهما 4.

هذا الشرط يذكرنا فورًا بنظرية فيتا؛ حيث نكتب باستخدام صيغ مجموع الجذور التربيعية وحاصل ضربها:

س 1 + س 2 = -ب / أ = 4؛

س 1 * س 2 = ج / أ = -13.

إذا افترضنا أن أ = 1، فإن ب = -4 و ج = -13. تسمح لنا هذه المعاملات بإنشاء معادلة من الدرجة الثانية:

× 2 - 4س - 13 = 0.

دعونا نستخدم الصيغة مع المميز ونحصل على الجذور التالية:

× 1.2 = (4 ± √عمق)/2، عمق = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

أي أن المشكلة اقتصرت على إيجاد الرقم √68. لاحظ أن 68 = 4 * 17، إذن باستخدام خاصية الجذر التربيعي نحصل على: √68 = 2√17.

الآن دعونا نستخدم صيغة الجذر التربيعي: أ 0 = 4، ثم:

أ 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125؛

أ 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

ليست هناك حاجة لحساب 3 لأن القيم الموجودة تختلف بمقدار 0.02 فقط. وبالتالي، √68 = 8.246. وبالتعويض في صيغة x 1,2 نحصل على:

× 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 و × 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

وكما نرى فإن مجموع الأعداد التي تم العثور عليها يساوي في الواقع 4، ولكن إذا وجدنا حاصل ضربها فسيكون مساوياً لـ -12.999، وهو ما يحقق شروط المشكلة بدقة 0.001.

الوصف الببليوغرافي: Gasanov A. R.، Kuramshin A. A.، Elkov A. A.، Shilnenkov N. V.، Ulanov D. D.، Shmeleva O. V. طرق حل المعادلات التربيعية // عالم شاب. 2016. رقم 6.1. ص17-20.03.2019).

يدور مشروعنا حول طرق حل المعادلات التربيعية. هدف المشروع: تعلم حل المعادلات التربيعية بطرق غير مدرجة في المنهج المدرسي. المهمة: ابحث عن جميع الطرق الممكنة لحل المعادلات التربيعية وتعلم كيفية استخدامها بنفسك وقدم هذه الطرق لزملائك في الفصل.

ما هي "المعادلات التربيعية"؟

معادلة من الدرجة الثانية- معادلة النموذج فأس2 + ب س + ج = 0، أين أ, ب, ج- بعض الأرقام ( أ ≠ 0), س- مجهول.

تسمى الأرقام أ، ب، ج معاملات المعادلة التربيعية.

ويسمى المعامل الأول.
ب يسمى المعامل الثاني.
ج - عضو حر.

من هو أول من "اخترع" المعادلات التربيعية؟

كانت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية معروفة منذ 4000 عام في بابل القديمة. إن اكتشاف الألواح الطينية البابلية القديمة، التي يعود تاريخها إلى ما بين 1800 و 1600 قبل الميلاد، يقدم أول دليل على دراسة المعادلات التربيعية. تحتوي نفس الأجهزة اللوحية على طرق لحل أنواع معينة من المعادلات التربيعية.

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها.

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

علماء الرياضيات البابليين من حوالي القرن الرابع قبل الميلاد. استخدم طريقة تكملة المربع لحل المعادلات ذات الجذور الموجبة. حوالي 300 قبل الميلاد توصل إقليدس إلى طريقة حل هندسية أكثر عمومية. أول عالم رياضيات وجد حلولاً للمعادلات ذات الجذور السالبة على شكل صيغة جبرية كان عالماً هندياً براهماجوبتا(الهند، القرن السابع الميلادي).

وضع Brahmagupta قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

ax2 + بكس = ج، أ>0

يمكن أن تكون المعاملات في هذه المعادلة سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

كانت المسابقات العامة لحل المشكلات الصعبة شائعة في الهند. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: «كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتألق العالم بمجده في المجالس العامة باقتراح المسائل الجبرية وحلها». غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

في رسالة جبرية الخوارزميويرد تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي ax2 = bx.

2) "المربعات تساوي أرقامًا" أي ax2 = c.

3) "الجذور تساوي العدد" أي ax2 = c.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي ax2 + c = bx.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" أي ax2 + bx = c.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات"، أي bx + c == ax2.

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقبل. قراره بالطبع لا يتطابق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول، فإن الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات حتى القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في عملية محددة لا يهم في المهام. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ومن ثم براهينها الهندسية.

تم توضيح نماذج حل المعادلات التربيعية على غرار نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة.

ساهم هذا الكتاب في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المشكلات الواردة في هذا الكتاب في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد x2 + bx = с لجميع المجموعات الممكنة من العلامات والمعاملات b,c تمت صياغتها في أوروبا عام 1544. م. ستيفل.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. علماء رياضيات إيطاليون تارتاليا، كاردانو، بومبيليمن بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل الجهود جيرارد، ديكارت، نيوتنوغيرهم من العلماء، فإن طريقة حل المعادلات التربيعية تأخذ شكلا حديثا.

دعونا نلقي نظرة على عدة طرق لحل المعادلات التربيعية.

الطرق القياسية لحل المعادلات التربيعية من المنهج المدرسي:

تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.
طريقة اختيار مربع كامل
حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.
الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.
حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول حل المعادلات التربيعية المختزلة وغير المختزلة باستخدام نظرية فييتا.

تذكر أنه لحل المعادلات التربيعية المذكورة أعلاه، يكفي العثور على رقمين حاصل ضربهما يساوي الحد الحر، ومجموعهما يساوي المعامل الثاني بالإشارة المعاكسة.

مثال.س 2 -5س+6=0

أنت بحاجة إلى العثور على أرقام حاصل ضربها 6 ومجموعها 5. هذه الأرقام ستكون 3 و2.

الجواب: × 1 =2، س 2 =3.

لكن يمكنك أيضًا استخدام هذه الطريقة للمعادلات التي معاملها الأول لا يساوي واحدًا.

مثال.3x 2 +2س-5=0

خذ المعامل الأول واضربه في الحد الحر: x 2 +2x-15=0

جذور هذه المعادلة ستكون أرقام حاصل ضربها يساوي - 15، ومجموعها يساوي - 2. هذه الأرقام هي 5 و3. للعثور على جذور المعادلة الأصلية، قم بقسمة الجذور الناتجة على المعامل الأول.

الجواب: × 1 =-5/3، س 2 =1

6. حل المعادلات بطريقة الرمي.

خذ بعين الاعتبار المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0، حيث a≠0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة a 2 x 2 + abx + ac = 0.

دع الفأس = ص، حيث س = ص / أ؛ ثم نصل إلى المعادلة y 2 + by + ac = 0، أي ما يعادل المعادلة المعطاة. نجد جذوره عند 1 و2 باستخدام نظرية فييتا.

وأخيرا نحصل على x 1 = y 1 /a و x 2 = y 2 /a.

وبهذه الطريقة يتم ضرب المعامل a بالحد الحر، كما لو "ألقيت" إليه، ولهذا سميت بطريقة "الرمي". يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.2x 2 - 11س + 15 = 0.

دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر ونقوم بالتعويض ونحصل على المعادلة y 2 - 11y + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا العكسية

ص 1 = 5، × 1 = 5/2، × 1 = 2.5؛ ص 2 = 6، × 2 = 6/2، × 2 = 3؛

الجواب: × 1 =2.5؛ X 2 = 3.

7. خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

دع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0، a ≠ 0 تعطى.

1. إذا كان a+ b + c = 0 (أي مجموع معاملات المعادلة صفر)، فإن x 1 = 1.

2. إذا كان أ - ب + ج = 0، أو ب = أ + ج، فإن س 1 = - 1.

مثال.345x 2 - 137س - 208 = 0.

بما أن a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)، إذن x 1 = 1، x 2 = -208/345.

الجواب: × 1 =1; X 2 = -208/345 .

مثال.132x 2 + 247س + 115 = 0

لأن أ-ب+ج = 0 (132 - 247 +115=0)، ثم x 1 = - 1، x 2 = - 115/132

الجواب: × 1 = - 1؛ X 2 =- 115/132

هناك خصائص أخرى لمعاملات المعادلة التربيعية. لكن استخدامها أكثر تعقيدًا.

8. حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني.

الشكل 1. الرسم البياني

وهذه طريقة قديمة ومنسية حاليًا لحل المعادلات التربيعية، موضوعة في ص 83 من المجموعة: Bradis V.M. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام. - م. تربية، 1990.

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلة ض 2 + بز + ف = 0. يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة من خلال معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 1):

الاعتقاد نظام التشغيل = ع، إد = ف، عمر الفاروق = أ(الكل في سم)، من الشكل 1 أوجه التشابه في المثلثات سانو سي دي إفنحصل على النسبة

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة ض 2 + pz + ف = 0،والرسالة ضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

أرز. 2 حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني

أمثلة.

1) للمعادلة ض 2 - 9ز + 8 = 0يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 8.0 و z 2 = 1.0

الجواب:8.0؛ 1.0.

2) باستخدام الرسم البياني، نحل المعادلة

2z 2 - 9ز + 2 = 0.

بقسمة معاملات هذه المعادلة على 2 نحصل على المعادلة z 2 - 4.5z + 1 = 0.

يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 4 و z 2 = 0.5.

الجواب: 4؛ 0.5.

9. الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.

مثال.X 2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "التربيع والجذور العشرة يساويان 39".

لنفترض مربعًا ضلعه x، تم إنشاء مستطيلات على جوانبه بحيث يكون الضلع الآخر لكل منها 2.5، وبالتالي تكون مساحة كل منها 2.5x. يتم بعد ذلك إضافة الشكل الناتج إلى مربع جديد ABCD، وبناء أربعة مربعات متساوية في الزوايا، طول ضلع كل منها 2.5، والمساحة 6.25

أرز. 3 طريقة رسومية لحل المعادلة x 2 + 10x = 39

يمكن تمثيل المساحة S للمربع ABCD كمجموع مساحات: المربع الأصلي × 2، وأربعة مستطيلات (4∙2.5x = 10x) وأربعة مربعات إضافية (6.25∙4 = 25)، أي. S = x 2 + 10x = 25. وباستبدال x 2 + 10x بالرقم 39، نحصل على S = 39 + 25 = 64، مما يعني أن ضلع المربع هو ABCD، أي. القطعة AB = 8. بالنسبة للجانب المطلوب x من المربع الأصلي نحصل عليه

10. حل المعادلات باستخدام نظرية بيزوت.

نظرية بيزوت. ما تبقى من قسمة كثيرة الحدود P(x) على ذات الحدين x - α يساوي P(α) (أي قيمة P(x) عند x = α).

إذا كان الرقم α هو جذر كثير الحدود P(x)، فإن كثير الحدود هذا قابل للقسمة على x -α بدون باقي.

مثال.س²-4س+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. اقسم P(x) على (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

س²-4س+3=(س-1)(س-3)، (س-1)(س-3)=0

س-1=0; س=1، أو س-3=0، س=3؛ الجواب: ×1 =2، س2 =3.

خاتمة:تعد القدرة على حل المعادلات التربيعية بسرعة وعقلانية أمرًا ضروريًا لحل المعادلات الأكثر تعقيدًا، مثل المعادلات الكسرية، ومعادلات الطاقة الأعلى، والمعادلات التربيعية، وفي المدرسة الثانوية، المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية. بعد دراسة جميع الطرق الموجودة لحل المعادلات التربيعية، يمكننا أن ننصح زملائنا، بالإضافة إلى الطرق القياسية، بحل طريقة النقل (6) وحل المعادلات باستخدام خاصية المعاملات (7)، لأنها أكثر سهولة إلى الفهم.

الأدب:

براديس ف.م. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام. - م. تربية، 1990.
الجبر الصف الثامن: كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات Makarychev Yu.، Mindyuk N. G.، Neshkov K. I.، Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky الطبعة الخامسة عشرة، المنقحة. - م: التربية، 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. دليل للمعلمين. / إد. ف.ن. اصغر سنا. - م: التربية، 1964.

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام عشوائية وa ≠ 0.

قبل دراسة طرق حل محددة، لاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

ليس لديهم جذور.
لديك جذر واحد بالضبط؛
لديهم جذور مختلفة.

وهذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، حيث يكون الجذر موجودًا دائمًا وفريدًا. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.

مميز

لنفترض أن المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 يكون المميز ببساطة هو الرقم D = b 2 − 4ac.

عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

إذا د< 0, корней нет;
إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:

س 2 − 8س + 12 = 0;

5س 2 + 3س + 7 = 0؛

س 2 − 6س + 9 = 0.

لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

المميز هو صفر، وسيكون الجذر واحدًا.

يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

س 2 − 2س − 3 = 0;

15 − 2س − س 2 = 0;

× 2 + 12س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:

المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:

كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.

المعادلات التربيعية غير الكاملة

يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

س 2 + 9س = 0؛
س 2 − 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع، هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا هذين المعاملين مساويًا للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 + c = 0. فلنحولها قليلاً:

بما أن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط لعدد غير سالب، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط بالنسبة لـ (−c /a) ≥ 0. الخلاصة:

إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 فإن المتباينة (−c /a) ≥ 0 قد تحققت، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.

كما ترون، لم يكن المميز مطلوبًا، إذ لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في المعادلات التربيعية غير المكتملة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك عدد موجب، فسيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن تكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات من الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

أخذ العامل المشترك من بين قوسين

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

س 2 − 7س = 0;

5س 2 + 30 = 0؛

4س 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.