فقط. حسب الصيغ وواضح قواعد بسيطة. في المرحلة الأولى

ضروري معادلة معينةتؤدي طريقة العرض القياسية، أي. للعرض:

إذا تم تقديم المعادلة لك بالفعل في هذا النموذج ، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى. أهم شيء هو الصحيح

تحديد جميع المعاملات أ, بو ج.

صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر مميز . كما ترى ، لإيجاد x ، نحن

يستخدم فقط أ ، ب ، ج. أولئك. احتمالات من معادلة من الدرجة الثانية. فقط أدخل بعناية

قيم أ ، ب ، جفي هذه الصيغة والعد. استبدل بـ هُمعلامات!

على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج = -4.

استبدل القيم واكتب:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا هو الجواب.

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط مع علامات القيم أ ، بو مع. بدلا من ذلك ، مع الاستبدال

القيم السالبةفي صيغة حساب الجذور. هنا تحفظ الصيغة التفصيلية

مع أرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات ، فقم بذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

نرسم كل شيء بالتفصيل ، بعناية ، دون فقد أي شيء بكل العلامات والأقواس:

غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلاً. على سبيل المثال ، مثل هذا:

لاحظ الآن تقنيات عمليةمما يقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء.

أول استقبال. لا تكن كسولاً من قبل حل المعادلة التربيعيةأحضره إلى الشكل القياسي.

ماذا يعني هذا؟

لنفترض ، بعد أي تحويلات ، أنك حصلت على المعادلة التالية:

لا تتسرع في كتابة صيغة الجذور! من شبه المؤكد أنك ستخلط الاحتمالات أ ، ب ، ج.

بناء المثال بشكل صحيح. أولاً ، x تربيع ، ثم بدون مربع ، ثم عضو حر. مثله:

تخلص من الطرح. كيف؟ علينا ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

والآن يمكنك كتابة معادلة الجذور بأمان وحساب المميز وإكمال المثال.

تقرر بنفسك. يجب أن ينتهي بك الأمر مع الجذور 2 و -1.

الاستقبال الثاني.تحقق من جذورك! بواسطة نظرية فييتا.

لحل المعادلات التربيعية المعطاة ، أي إذا كان المعامل

س 2 + ب س + ج = 0 ،

ثم× 1 × 2 = ج

x1 + x2 = -ب

للحصول على معادلة تربيعية كاملة فيها أ ≠ 1:

× 2 +بx +ج=0,

قسّم المعادلة بأكملها على أ:

→ →

أين × 1و x 2 - جذور المعادلة.

استقبال ثالث. إذا كانت المعادلة الخاصة بك احتمالات كسرية، - تخلص من الكسور! تتضاعف

معادلة القاسم المشترك.

خاتمة. نصائح عملية:

1. قبل الحل ، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة القياسية ، ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام x في المربع ، فإننا نحذفه بضرب كل شيء

معادلات لـ -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية ، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في المقابل

عامل.

4. إذا كانت x تربيع نظيفة ، فإن المعامل عندها يساوي واحد، يمكن التحقق من الحل بسهولة بواسطة

ياكوبوفا م. 1

سميرنوفا يو. 1

1 ميزانية البلدية مؤسسة تعليميةمتوسط مدرسة شاملة № 11

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

تاريخ المعادلات التربيعية

بابل

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد المناطق قطع ارض، مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. كانت المعادلات التربيعية قادرة على حل حوالي 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون. قواعد حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، تتطابق بشكل أساسي مع القواعد الحديثة ، لكن هذه النصوص تفتقر إلى المفهوم. عدد السلبيو الطرق الشائعةحلول المعادلات التربيعية.

اليونان القديمة

تم أيضًا حل المعادلات التربيعية في اليونان القديمةعلماء مثل ديوفانتوس وإقليدس وهيرون. ديوفانتوس ديوفانتوس الإسكندري هو عالم رياضيات يوناني قديم يفترض أنه عاش في القرن الثالث الميلادي. العمل الرئيسي لديوفانتوس هو "الحساب" في 13 كتابا. إقليدس. إقليدس هو عالم رياضيات يوناني قديم ، وهو مؤلف أول رسالة نظرية في الرياضيات وصلت إلينا ، هيرون. هيرون - عالم رياضيات يوناني ومهندس لأول مرة في اليونان في القرن الأول الميلادي. يعطي طريقة جبرية بحتة لحل المعادلة التربيعية

الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، شرح قاعدة عامةحلول المعادلات التربيعية مختزلة إلى واحد شكل قانوني: ax2 + bх = с، a> 0. (1) في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا. في الهند ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "بما أن الشمس تشرق على النجوم بتألقها ، رجل عالمكسوف المجد في المحافل الشعبية ، وتقديم وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

"قطيع مرح من القرود

واثنا عشر على طول الكرمة

بدأوا في القفز ، معلقين

مربعهم الجزء الثامن

كم عدد القردة

يلهون في المرج

أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية. يكتب بهاسكار المعادلة المقابلة للمسألة بالصيغة x2 - 64x = - 768 ، ومن أجل إكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف 322 إلى كلا الجزأين ، ثم يحصل على: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024 ، (x - 32) 2 \ u003d 256 ، x - 32 \ u003d ± 16 ، x1 \ u003d 16 ، x2 \ u003d 48.

المعادلات التربيعية في أوروبا XVIIقرن

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات ، في كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الجديد أمثلة جبريةحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من "كتاب العداد" إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر. اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية في نظرة عامةفييت ، ولكن فييت معترف بها فقط الجذور الإيجابية. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الإيجابية ، و الجذور السلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد وديكارت ونيوتن وآخرين طريقة العلماءحل المعادلات التربيعية يتخذ شكلًا حديثًا.

تعريف المعادلة التربيعية

معادلة على شكل فأس 2 + ب س + ج = 0 ، حيث أ ، ب ، ج أرقام ، تسمى معادلة مربعة.

معاملات المعادلة التربيعية

الأرقام أ ، ب ، ج هي معاملات المعادلة التربيعية. أ هو المعامل الأول (قبل س²) ، أ 0 ؛ ب هو المعامل الثاني (قبل س) ؛ ج هو المصطلح الحر (بدون س).

أي من هذه المعادلات ليست تربيعية?

1. 4x² + 4x + 1 \ u003d 0 ؛ 2. 5x - 7 \ u003d 0 ؛ 3. - س² - 5 س - 1 \ u003d 0 ؛ 4. 2 / س² + 3 س + 4 = 0 ؛ 5. ¼ س² - 6 س + 1 \ u003d 0 ؛ 6. 2 ײ = 0 ؛

7. 4x² + 1 \ u003d 0 ؛ 8. س² - 1 / س \ u003d 0 ؛ 9. 2x² - x \ u003d 0 ؛ 10. س² -16 = 0 ؛ 11. 7 س² + 5 س = 0 ؛ 12. -8х² = 0 ؛ 13. 5x³ + 6x -8 = 0.

أنواع المعادلات التربيعية

اسم	منظر عام للمعادلة	الميزة (ما هي المعاملات)	أمثلة المعادلة
	الفأس 2 + ب س + ج = 0	أ ، ب ، ج - أرقام أخرى غير 0	1/3 س 2 + 5 س - 1 = 0
غير مكتمل
			× 2-1 / 5 س = 0
منح	س 2 + ب س + ج = 0		س 2 - 3 س + 5 = 0

يتم استدعاء معادلة تربيعية مخفضة ، حيث يكون المعامل الرئيسي مساويًا لواحد. يمكن الحصول على مثل هذه المعادلة بقسمة التعبير بالكامل على المعامل الرئيسي أ:

x 2 + px + q = 0 ، p = b / a ، q = c / a

يُقال أن المعادلة التربيعية كاملة إذا كانت جميع معاملاتها غير صفرية.

تسمى هذه المعادلة التربيعية غير مكتملة إذا كان أحد المعاملات على الأقل ، باستثناء المعامل الأعلى (إما المعامل الثاني أو المصطلح المجاني) ، يساوي صفرًا.

طرق حل المعادلات التربيعية

ط الطريق. الصيغة العامة لحساب الجذور

لإيجاد جذور المعادلة التربيعية فأس 2 + ب + ج = 0الخامس الحالة العامةيجب استخدام الخوارزمية التالية:

احسب قيمة مميز المعادلة التربيعية: هذا هو التعبير عنها د =ب 2 - 4 أ

اشتقاق الصيغة:

ملحوظة:من الواضح أن صيغة جذر التعددية 2 هي حالة خاصة من الصيغة العامة ، يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المساواة D = 0 فيها ، والاستنتاج حول عدم وجود جذور حقيقية مع D0 ، و (displaystyle ( الجذر التربيعي (-1)) = أنا) = أنا.

الطريقة الموصوفة عالمية ، لكنها ليست الطريقة الوحيدة. يمكن التعامل مع حل معادلة واحدة بطرق مختلفة ، وعادة ما تعتمد التفضيلات على الحل نفسه. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما تكون بعض الأساليب لهذا الغرض أكثر أناقة وأبسط وأقل استهلاكا للوقت من الطريقة القياسية.

الطريقة الثانية. جذور معادلة تربيعية ذات معامل زوجيب ثالثا الطريق. حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

رابعا الطريق. استخدام النسب الجزئية للمعاملات

هناك حالات خاصة من المعادلات التربيعية تكون فيها المعاملات متناسبة مع بعضها البعض ، مما يجعل حلها أسهل بكثير.

جذور المعادلة التربيعية التي يكون فيها مجموع المعامل الرئيسي والمصطلح الحر مساويًا للمعامل الثاني

إذا كان في معادلة من الدرجة الثانية فأس 2 + ب س + ج = 0مجموع المعامل الأول والمصطلح المجاني يساوي المعامل الثاني: أ + ب = ج، ثم جذوره هي -1 والرقم على العكس منمصطلح مجاني للمعامل الرئيسي ( ج / أ).

ومن ثم ، قبل حل أي معادلة من الدرجة الثانية ، يجب على المرء التحقق من إمكانية تطبيق هذه النظرية عليها: قارن مجموع المعامل الرئيسي والمصطلح المجاني بالمعامل الثاني.

جذور المعادلة التربيعية التي يكون مجموع كل المعاملات فيها صفرًا

إذا كان مجموع جميع معاملاتها في معادلة تربيعية يساوي صفرًا ، فإن جذور هذه المعادلة هي 1 ونسبة المصطلح المجاني إلى المعامل الرئيسي ( ج / أ).

ومن ثم ، قبل حل المعادلة بالطرق القياسية ، يجب على المرء التحقق من قابلية تطبيق هذه النظرية عليها: أضف جميع المعاملات معادلة معينةومعرفة ما إذا كان هذا المجموع هو صفر.

طريقة V. تحلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل خطية

إذا كانت ثلاثية من النموذج (displaystyle ax ^ (2) + bx + c (anot = 0)) ax 2 + ب س + ج (أ ≠ 0)يمكن تمثيلها بطريقة ما كمنتج لعوامل خطية (displaystyle (kx + m) (lx + n) = 0) (kx + m) (lx + n) ، ثم يمكننا إيجاد جذور المعادلة فأس 2 + ب س + ج = 0- سيكونون -m / k و n / l ، في الواقع ، لأن (displaystyle (kx + m) (lx + n) = 0 Longleftrightarrow kx + m = 0cup lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx +ن ، وحل المشار إليه المعادلات الخطية، حصلنا على ما ورد أعلاه. لاحظ أن ثلاثي الحدود مربعلا تتحلل دائمًا إلى عوامل خطية ذات معاملات حقيقية: هذا ممكن إذا كانت المعادلة المقابلة لها لها جذور حقيقية.

ضع في اعتبارك بعض الحالات الخاصة

استخدام صيغة مربع المجموع (الفرق)

إذا كانت ثلاثية الحدود مربعة الشكل (displaystyle (ax) ^ (2) + 2abx + b ^ (2)) ax 2 + 2abx + b 2 ، ثم تطبيق الصيغة أعلاه عليها ، يمكننا تحليلها في عوامل خطية و ، لذلك ابحث عن الجذور:

(فأس) 2 + 2abx + b 2 = (فأس + ب) 2

اختيار مربع كاملالمبالغ (الفروق)

أيضًا ، يتم استخدام الصيغة المسماة باستخدام طريقة تسمى "اختيار المربع الكامل للمبلغ (الفرق)". فيما يتعلق بالمعادلة التربيعية المحددة مع الترميز الذي تم تقديمه سابقًا ، فإن هذا يعني ما يلي:

ملحوظة:إذا لاحظت صيغة معينةيتطابق مع ذلك المقترح في قسم "جذور المعادلة التربيعية المختصرة" ، والتي بدورها يمكن الحصول عليها من الصيغة العامة (1) عن طريق استبدال المساواة أ = 1. هذه الحقيقة ليست مجرد مصادفة: بالطريقة الموصوفة ، بعد بعض التفكير الإضافي ، من الممكن استنتاج و الصيغة العامة، وكذلك لإثبات خصائص المميز.

سادسا الطريق. استخدام نظرية فيتا المباشرة والمعكوسة

تسمح لنا نظرية فييتا المباشرة (انظر أدناه في القسم الذي يحمل نفس الاسم) ونظريتها العكسية بحل المعادلات التربيعية المختزلة شفهيًا دون اللجوء إلى حسابات مرهقة إلى حد ما باستخدام الصيغة (1).

وفق نظرية الحديث، أي زوج من الأرقام (عدد) (displaystyle x_ (1) ، x_ (2)) x 1 ، x 2 هو حل نظام المعادلات أدناه ، هي جذور المعادلة

في الحالة العامة ، أي للمعادلة التربيعية غير المختزلة ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \ u003d -b / a ، x 1 * x 2 \ u003d ج ​​/ أ

ستساعدك النظرية المباشرة في تحديد الأرقام التي تحقق هذه المعادلات شفهيًا. بمساعدتها ، يمكنك تحديد علامات الجذور دون معرفة الجذور نفسها. للقيام بذلك ، اتبع القاعدة:

1) إذا كان المصطلح الحر سالبًا ، فيكون للجذور علامة مختلفة، وأكبر معامل للجذور هو الإشارة المقابلة لإشارة المعامل الثاني للمعادلة ؛

2) إذا كان المصطلح الحر موجبًا ، فإن كلا الجذور لهما نفس العلامة، وهذه هي الإشارة المعاكسة للمعامل الثاني.

الطريقة السابعة. طريقة التحويل

تتيح طريقة "النقل" المزعومة اختزال حل المعادلات غير المختزلة وغير القابلة للتحويل إلى شكل المعادلات المختزلة ذات المعاملات الصحيحة عن طريق تقسيمها على المعامل الرئيسي للمعادلات إلى حل المعادلات المختزلة بعدد صحيح معاملات. وهي كالاتي:

بعد ذلك ، يتم حل المعادلة شفهيًا بالطريقة الموضحة أعلاه ، ثم يعودون إلى المتغير الأصلي ويجدون جذور المعادلات (displaystyle y_ (1) = ax_ (1)) ذ 1 = الفأس 1 و ذ 2 = الفأس 2 . (displaystyle y_ (2) = ax_ (2))

المعنى الهندسي

التمثيل البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. الحلول (الجذور) للمعادلة التربيعية هي حدود نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثيات. إذا وصف القطع المكافئ وظيفة من الدرجة الثانية، لا تتقاطع مع المحور السيني ، فالمعادلة ليس لها جذور حقيقية. إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني عند نقطة واحدة (عند رأس القطع المكافئ) ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد (يُقال أيضًا أن للمعادلة جذران متطابقان). إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور x عند نقطتين ، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين (انظر الصورة على اليمين).

إذا كان المعامل (displaystyle a) أموجب ، يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى والعكس صحيح. إذا كان المعامل (نمط العرض ب)إيجابي (عندما يكون موجبًا (نمط العرض أ) أ، إذا كان سالبًا ، والعكس صحيح) ، فإن رأس القطع المكافئ يقع في نصف المستوى الأيسر والعكس صحيح.

تطبيق المعادلات التربيعية في الحياة

المعادلة التربيعية منتشرة. يتم استخدامه في العديد من العمليات الحسابية والهياكل والرياضات وكذلك حولنا.

تأمل واعط بعض الأمثلة لتطبيق المعادلة التربيعية.

رياضة. القفزات العالية: أثناء تشغيل العبور للحصول على أدق ضربة على شريط التنافر و رحلة عاليةاستخدم الحسابات المرتبطة بالقطع المكافئ.

أيضا ، هناك حاجة إلى حسابات مماثلة في الرمي. يعتمد مدى طيران كائن ما على معادلة تربيعية.

الفلك. يمكن إيجاد مسار الكواكب باستخدام معادلة تربيعية.

رحلة الطائرة. إقلاع الطائرة هو المكون الرئيسي للرحلة. هنا يتم حساب المقاومة الصغيرة وتسريع الإقلاع.

أيضا ، يتم استخدام المعادلات التربيعية في مختلف التخصصات الاقتصادية، في برامج معالجة الرسومات الصوتية ، والفيديو ، والمتجهات ، والنقطية.

خاتمة

نتيجة العمل المنجز ، اتضح أن المعادلات التربيعية جذبت العلماء في العصور القديمة ، فقد واجهوها بالفعل عند حل بعض المشكلات وحاولوا حلها. مع مراعاة طرق مختلفةمن خلال حل المعادلات التربيعية ، توصلت إلى استنتاج مفاده أن كل هذه المعادلات ليست بسيطة. في رأيي أكثر أفضل طريقةحل المعادلات التربيعية هو حل بالصيغ. من السهل تذكر الصيغ ، هذه الطريقة عالمية. تم تأكيد الفرضية القائلة بأن المعادلات تستخدم على نطاق واسع في الحياة والرياضيات. بعد أن درست الموضوع ، تعلمت الكثير حقائق مثيرة للاهتماما المعادلات التربيعيةاستخدامها أنواع الحلول. وسأستمر في دراستها بسرور. آمل أن يساعدني هذا في تحقيق أداء جيد في امتحاناتي.

قائمة الأدب المستخدم

مواد الموقع:

ويكيبيديا

افتح الدرس

كتيب الرياضيات الابتدائية Vygodsky M. Ya.

يبدو تحويل معادلة تربيعية كاملة إلى معادلة غير مكتملة كما يلي (للحالة \ (ب = 0 \)):

في الحالات التي يكون فيها \ (c = 0 \) أو عندما يكون كلا المعاملين مساويًا للصفر ، يكون كل شيء متشابهًا.

يرجى ملاحظة أن \ (a \) لا يساوي الصفر ، ولا يمكن أن يكون مساويًا للصفر ، لأنه في هذه الحالة يتحول إلى:

حل معادلات تربيعية غير كاملة.

بادئ ذي بدء ، عليك أن تفهم أن المعادلة التربيعية غير المكتملة لا تزال ، وبالتالي ، يمكن حلها بنفس الطريقة التي يتم بها حل المعادلة التربيعية المعتادة (من خلال). للقيام بذلك ، نضيف ببساطة المكون المفقود من المعادلة بمعامل صفري.

مثال : أوجد جذور المعادلة \ (3x ^ 2-27 = 0 \)
حل :

		لدينا معادلة تربيعية غير كاملة مع المعامل \ (ب = 0 \). أي يمكننا كتابة المعادلة فيها النموذج التالي:
\ (3x ^ 2 + 0 \ cdot x-27 = 0 \)		في الواقع ، هذه هي المعادلة نفسها كما في البداية ، ولكن الآن يمكن حلها كمربع عادي. أولاً نكتب المعاملات.
\ (أ = 3 ؛ \) \ (ب = 0 ؛ \) \ (ج = -27 ؛ \)		احسب المميز باستخدام الصيغة \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = 0 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-27) = \) \(=0+324=324\)		لنجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) و \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D) ) (2 أ) \)
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-0+ \ sqrt (324)) (2 \ cdot3) \)\ (= \) \ (\ فارك (18) (6) \) \ (= 3 \) \ (س_ (2) = \) \ (\ فارك (-0- \ sqrt (324)) (2 \ cdot3) \)\ (= \) \ (\ فارك (-18) (6) \) \ (= - 3 \)		اكتب الجواب

إجابة : \ (x_ (1) = 3 \) ؛ \ (س_ (2) = - 3 \)

مثال : أوجد جذور المعادلة \ (- x ^ 2 + x = 0 \)
حل :

		مرة أخرى معادلة غير كاملة من الدرجة الثانية ، ولكن الآن صفر يساوي المعامل\ (ج \). نكتب المعادلة كاملة.

المعادلات التربيعية. مميز. الحل أمثلة.

انتباه!
هناك المزيد
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

أنواع المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟ كيف تبدو؟ في فترة معادلة من الدرجة الثانيةالكلمة الرئيسية هي "مربع".هذا يعني ذلك في المعادلة بالضرورةيجب أن يكون هناك x تربيع. بالإضافة إلى ذلك ، في المعادلة قد يكون هناك (أو قد لا يكون!) فقط x (إلى الدرجة الأولى) ورقم فقط (عضو مجاني).ولا ينبغي أن يكون هناك x في درجة أكبر من اثنين.

تتحدث لغة رياضية، المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة:

هنا أ ، ب ، ج- بعض الأرقام. ب و ج- على الاطلاق أي ولكن أ- أي شيء ما عدا الصفر. على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

جيد، لقد وصلتك الفكرة...

في هذه المعادلات التربيعية ، يوجد على اليسار طقم كامل أعضاء. x تربيع مع المعامل أ، x مرفوعًا للقوة الأولى ذات المعامل بو عضو مجاني في

تسمى هذه المعادلات التربيعية مكتمل.

و إذا ب= 0 ماذا سنحصل؟ لدينا سيختفي X من الدرجة الأولى.يحدث هذا من الضرب في صفر.) واتضح ، على سبيل المثال:

5 × 2-25 = 0 ،

2 × 2 -6 × = 0 ،

-x 2 + 4x = 0

وما إلى ذلك وهلم جرا. وإذا كان كلا المعاملين بو جتساوي الصفر ، فهي أبسط:

2x 2 \ u003d 0 ،

-0.3x 2 \ u003d 0

يتم استدعاء مثل هذه المعادلات ، حيث يكون هناك شيء مفقود معادلات تربيعية غير مكتملة.وهو أمر منطقي تمامًا.) يرجى ملاحظة أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

بالمناسبة لماذا ألا يمكن أن تكون صفرا؟ وأنت تستبدل بدلا من ذلك أصفر.) سوف تختفي علامة X في المربع! تصبح المعادلة خطي.ويتم ذلك بشكل مختلف ...

هذه هي كل الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية. كاملة وغير كاملة.

حل المعادلات التربيعية.

حل المعادلات التربيعية الكاملة.

من السهل حل المعادلات التربيعية. حسب الصيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى ، من الضروري إحضار المعادلة المحددة إلى النموذج القياسي ، أي للعرض:

إذا تم تقديم المعادلة لك بالفعل في هذا النموذج ، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى.) الشيء الرئيسي هو تحديد جميع المعاملات بشكل صحيح ، أ, بو ج.

تبدو صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية كما يلي:

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر مميز. لكن المزيد عنه أدناه. كما ترى ، لإيجاد x ، نستخدم فقط أ ، ب ، ج. أولئك. معاملات المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ ، ب ، جفي هذه الصيغة والعد. بديل مع علاماتك! على سبيل المثال ، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج= -4. نكتب هنا:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا هو الجواب.

كل شيء بسيط للغاية. وما رأيك ، لا يمكنك أن تخطئ؟ حسنًا ، نعم ، كيف ...

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط مع علامات القيم أ ، ب ، ج. أو بالأحرى ، ليس بعلاماتهم (أين يجب الخلط؟) ، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. هنا ، يحفظ سجل مفصل للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات ، اذا افعلها!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا ، لا تكن كسولًا. سوف يستغرق الأمر 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف ينخفض ​​بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع كل الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب للغاية الرسم بعناية. لكن على ما يبدو فقط. جربها. حسنًا ، أو اختر. أيهما أفضل ، سريع أم صحيح؟ الى جانب ذلك ، سأجعلك سعيدا. بعد فترة ، لن تكون هناك حاجة لرسم كل شيء بعناية. سوف يتحول بشكل صحيح. خاصة إذا قمت بتطبيق تقنيات عملية موضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات سيتم حله بسهولة وبدون أخطاء!

لكن في كثير من الأحيان ، تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلاً. على سبيل المثال ، مثل هذا:

هل تعلم؟) نعم! هذا معادلات تربيعية غير مكتملة.

حل معادلات تربيعية غير كاملة.

يمكن أيضًا حلها بالصيغة العامة. تحتاج فقط إلى معرفة ما هو متساوٍ هنا بشكل صحيح أ ، ب ، ج.

أدرك؟ في المثال الأول أ = 1 ؛ ب = -4 ؛أ ج؟ لا وجود لها إطلاقا! حسنًا ، نعم ، هذا صحيح. في الرياضيات ، هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بصفر في الصيغة بدلاً من ج ،وكل شيء سينجح بالنسبة لنا. وبالمثل مع المثال الثاني. فقط صفر ليس لدينا هنا مع، أ ب !

لكن المعادلات التربيعية غير المكتملة يمكن حلها بسهولة أكبر. بدون أي صيغ. النظر في الأول معادلة غير كاملة. ما الذي يمكن عمله على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعنا نخرجها.

وماذا من هذا؟ وحقيقة أن حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا ، وفقط إذا كان أي من العوامل يساوي صفرًا! لا تصدق؟ حسنًا ، إذن ابتكر رقمين غير صفريين ، عند ضربهما ، سيعطينا صفرًا!
لا يعمل؟ شئ ما...
لذلك ، يمكننا أن نكتب بثقة: × 1 = 0, × 2 = 4.

الجميع. ستكون هذه جذور معادلتنا. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية ، نحصل على المتطابقة الصحيحة 0 = 0. كما ترى ، الحل أبسط بكثير من الصيغة العامة. ألاحظ ، بالمناسبة ، أي X سيكون الأول ، وأيهما سيكون الثاني - إنه غير مبال على الإطلاق. من السهل الكتابة بالترتيب × 1- ايهما اقل × 2- ما هو أكثر.

يمكن أيضًا حل المعادلة الثانية بسهولة. تحويل 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

يبقى استخراج الجذر من 9 ، وهذا كل شيء. يحصل:

أيضا اثنين من الجذور . × 1 = -3, س 2 = 3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير المكتملة. إما بإخراج X من الأقواس ، أو ببساطة عن طريق نقل الرقم إلى اليمين ، متبوعًا باستخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه الأساليب. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيكون عليك استخراج الجذر من X ، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما ، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء لإزالته من الأقواس ...

مميز. صيغة مميزة.

كلمة سحرية مميز ! لم يسمع طالب ثانوي نادر هذه الكلمة! إن عبارة "قرر من خلال التمييز" مطمئنة ومطمئنة. لأنه لا داعي لانتظار الحيل من المميز! إنه بسيط وخالي من المتاعب للاستخدام.) أذكرك بالصيغة الأكثر عمومية للحل أيالمعادلات التربيعية:

يسمى التعبير الموجود أسفل علامة الجذر المميز. عادة ما يتم الإشارة إلى المميز بالحرف د. صيغة مميزة:

د = ب 2 - 4 أ

وما الذي يميز هذا التعبير؟ لماذا تستحق اسما خاصا؟ ماذا معنى المميز؟بعد كل ذلك -ب،أو 2 أفي هذه الصيغة لا يسمون على وجه التحديد ... حروفًا وأحرفًا.

هذه هي النقطة. عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذه الصيغة ، فمن الممكن ثلاث حالات فقط.

1. المميز موجب.هذا يعني أنه يمكنك استخراج الجذر منه. هل يتم استخلاص الجذر جيدًا أم بشكل سيئ هو سؤال آخر. من المهم ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. بعد ذلك ، يكون لمعادلتك التربيعية جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر.ثم لديك حل واحد. بما أن إضافة صفر أو طرحه في البسط لا يغير شيئًا. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا ليس جذرًا واحدًا ، ولكن اثنان متطابقان. ولكن ، في نسخة مبسطة ، من المعتاد التحدث عنها حل واحد.

3. المميز سلبي.من رقم سالب لا يؤخذ الجذر التربيعي.حسنًا ، حسنًا. هذا يعني أنه لا توجد حلول.

لنكون صادقين ، في حل بسيطالمعادلات التربيعية ، مفهوم التمييز ليس مطلوبًا بشكل خاص. نعوض بقيم المعاملات في الصيغة ، ونأخذ في الاعتبار. هناك كل شيء يتحول من تلقاء نفسه ، وجذران ، وواحد ، وليس واحدًا. ومع ذلك ، عند حل المزيد مهام صعبةبدون علم المعنى والصيغة المميزةليس كافي. خاصة - في المعادلات مع المعلمات. هذه المعادلات الأكروباتفي امتحان GIA و Unified State Examination!)

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال التمييز الذي تذكرته. أو تعلمت ، وهذا ليس سيئًا أيضًا). أنت تعرف كيفية التعرف بشكل صحيح أ ، ب ، ج. هل تعرف كيف بانتباهاستبدلهم في صيغة الجذر و بانتباهعد النتيجة. هل فهمت ذلك كلمة رئيسيةهنا - بانتباه؟

لاحظ الآن الأساليب العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. تلك التي ترجع إلى الغفلة ... وهي إذن مؤلمة ومهينة ...

أول استقبال . لا تكن كسولًا قبل حل المعادلة التربيعية للوصول بها إلى الشكل القياسي. ماذا يعني هذا؟
لنفترض ، بعد أي تحويلات ، أنك حصلت على المعادلة التالية:

لا تتسرع في كتابة صيغة الجذور! من شبه المؤكد أنك ستخلط الاحتمالات أ ، ب ، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً ، x تربيع ، ثم بدون مربع ، ثم عضو حر. مثله:

ومرة أخرى ، لا تتعجل! يمكن أن يزعجك الطرح الموجود قبل x تربيع كثيرًا. النسيان سهل ... تخلص من الناقص. كيف؟ نعم ، كما تم تدريسه في الموضوع السابق!علينا ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

والآن يمكنك كتابة معادلة الجذور بأمان وحساب المميز وإكمال المثال. تقرر بنفسك. يجب أن ينتهي بك الأمر مع الجذور 2 و -1.

الاستقبال الثاني. تحقق من جذورك! وفقًا لنظرية فييتا. لا تقلق ، سأشرح كل شيء! تدقيق آخر شيءالمعادلة. أولئك. الذي كتبنا بواسطته صيغة الجذور. إذا (كما في هذا المثال) المعامل أ = 1، فحص الجذور بسهولة. يكفي أن نضاعفهم. يجب أن تحصل على مصطلح مجاني ، أي في حالتنا -2. انتبه ، ليس 2 ، بل -2! عضو مجاني مع برجك . إذا لم ينجح الأمر ، فهذا يعني أنهم أفسدوا بالفعل في مكان ما. ابحث عن خطأ.

إذا نجحت ، فأنت بحاجة إلى ثني الجذور. الاختيار الأخير والنهائي. يجب أن تكون نسبة بمع عكس لافتة. في حالتنا -1 + 2 = +1. معامل ب، وهي قبل x ، تساوي -1. لذا ، كل شيء صحيح!
إنه لأمر مؤسف أن يكون الأمر بسيطًا جدًا فقط للأمثلة التي يكون فيها x تربيع نقيًا ، بمعامل أ = 1.لكن على الأقل تحقق في مثل هذه المعادلات! سيكون هناك أخطاء أقل.

استقبال ثالث . إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية ، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة في المقام المشترك كما هو موضح في الدرس "كيف تحل المعادلات؟ تحولات الهوية".عند العمل مع الكسور والأخطاء ، لسبب ما ، تسلق ...

بالمناسبة ، لقد وعدت بمثال شرير مع مجموعة من السلبيات للتبسيط. لو سمحت! ها هو.

حتى لا يتم الخلط بين السلبيات ، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! اتخاذ القرار ممتع!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصائح عملية:

1. قبل الحل ، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة القياسية ، ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام x في المربع ، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية ، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x تربيع نقية ، فإن المعامل الخاص بها يساوي واحدًا ، فيمكن بسهولة التحقق من الحل باستخدام نظرية فييتا. افعلها!

الآن يمكنك أن تقرر.)

حل المعادلات:

8 س 2-6 س + 1 = 0

س 2 + 3 س + 8 = 0

س 2 - 4 س + 4 = 0

(س + 1) 2 + س + 1 = (س + 1) (س + 2)

الإجابات (في حالة فوضى):

× 1 = 0
س 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 \ u003d -0.5

س - أي رقم

× 1 = -3
س 2 = 3

لا توجد حلول

× 1 = 0.25
× 2 \ u003d 0.5

هل كل شيء مناسب؟ عظيم! المعادلات التربيعية ليست صداعك. تحول الثلاثة الأوائل ، لكن البقية لم يفعلوا؟ إذن المشكلة ليست في المعادلات التربيعية. مشكلة في تحولات متطابقة من المعادلات.ألق نظرة على الرابط ، إنه مفيد.

لا يعمل تماما؟ أم أنها لا تعمل على الإطلاق؟ ثم يساعدك القسم 555.هناك ، كل هذه الأمثلة مرتبة حسب العظام. عرض رئيسيأخطاء في الحل. بالطبع ، يتحدث أيضًا عن الاستخدام تحولات متطابقةفي القرار معادلات مختلفة. يساعد كثيرا!

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.