شبه المنحرف هو شكل هندسي رباعي الزوايا له ضلعان متوازيان، يُسمىان القاعدتان، وضلعان غير متوازيين. إذا كانت الجوانب متساوية، فإن الشكل يسمى شبه منحرف متساوي الساقين. شبه منحرف مستطيل - عندما يشكل أحد جوانبه زاوية قائمة مع القاعدة. للعثور على محيط شبه المنحرف، يمكنك استخدام إحدى الطرق، اعتمادًا على البيانات المصدر.

كيفية العثور على محيط شبه المنحرف عندما تكون أطوال الجوانب والقواعد معروفة

في هذه الحالة لا توجد صعوبات. باستخدام الصيغة P=a+b+c+d واستبدال جميع البيانات المعروفة، يمكننا بسهولة العثور على محيط شبه المنحرف. على سبيل المثال: أ=5، ب=4، ج=6، د=4. باستخدام الصيغة، نحصل على P=5+4+6+4=19

لا يمكن استخدام هذه الطريقة إذا كان طول أحد الجوانب على الأقل غير معروف.

كيفية العثور على محيط شبه المنحرف عندما تكون أطوال الجوانب والقاعدة العلوية والارتفاع معروفة

نقسم شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل.

من أجل استخدام الصيغة P=a+b+c+d، من الضروري العثور على القاعدة السفلية. ويمكن تمثيله بالتعبير k+a+n.

بعد ذلك، سوف نستخدم نظرية فيثاغورس. لنكتب صيغة المثلث الأول c^2=h^2+k^2. بعد التحويلات نحصل على k=(c^2-h^2)^1/2. بالنسبة للمثلث الثاني: b^2=h^2+n^2، إجمالي n=(b^2-h^2)^1/2. بعد كل الحسابات نحصل على P=a+b+(n+a+k)+c.

كيفية العثور على محيط شبه منحرف عندما تكون القاعدتان والارتفاع معروفين (للشبه منحرف متساوي الساقين)

كما في الطريقة السابقة، تحتاج إلى تقسيم شبه المنحرف إلى مستطيل ومثلثين. إن أوتار المثلثات هي أيضًا الجوانب الجانبية لشبه المنحرف التي يجب العثور عليها. نجد الساق الأصغر على النحو التالي.

وبما أن شبه المنحرف متساوي الساقين، فإننا نطرح طول الأصغر من طول القاعدة الأكبر ونقسمه إلى نصفين، أي. د1=د2=(د-أ)/2.

باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد الجوانب c=(d(1)^2+h^2)^1/2. بعد ذلك، باستخدام الصيغة P=a+2c+d، نحسب المحيط.

كيفية العثور على محيط شبه المنحرف عندما تكون القاعدة السفلية والجوانب والزوايا السفلية معروفة

لنفكر في مثال عندما تكون القاعدة السفلية AD، والجوانب AB وCD، بالإضافة إلى الزوايا BAD وCDA معروفة.

من القمم B و C نرسم ارتفاعين يشكلان مستطيلاً ومثلثين قائمين. في المثلث ABK، الضلع AB هو الوتر. يبقى العثور على الأرجل باستخدام الصيغة BK=AB*sin(BAK) وAK=AB*cos(BAK). بما أن BK وCN ارتفاعان، فهما متساويان. باستخدام نفس الصيغة نجد ND=CD*cos(CDN). يبقى حساب BC = AD-AK-ND. أنت الآن بحاجة إلى جمع جميع الجوانب والإجابة جاهزة.

كيفية العثور على محيط شبه منحرف عندما تكون أطوال الجوانب وخط المنتصف معروفة

الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع أطوال قاعدتيه، أي. و=(أ+د)/2. عندما يكون طول القواعد غير معروف، ولكن أبعاد الجوانب و خط الوسط، تم العثور على المحيط بالصيغة P=2*f+c+b.

كما ترون، فإن العثور على محيط شبه المنحرف ليس بالأمر الصعب. عند البدء في حل مشكلة ما، ما عليك سوى تحديد الكميات المعروفة والطريقة التي يمكن استخدامها. ومن ثم تقرر حتى مهمة صعبةلن يكون صعبا.

شبه المنحرف هو شكل رباعي له قاعدتان متوازيتان وضلعان غير متوازيين. شبه منحرف مستطيل له زاوية قائمة على جانب واحد.

تعليمات

1. محيطمستطيلي شبه منحرف يساوي المبلغأطوال جوانب قاعدتين وجانبين. المهمة 1. أوجد محيط المستطيل شبه منحرفإذا علمت أطوال جميع أضلاعه. للقيام بذلك، قم بجمع القيم الأربع: P (المحيط) = a + b + c + d. هذا هو الخيار الأكثر بدائية للعثور على المحيط، ويتم تقليل المشكلات المتعلقة بالبيانات الأولية الأخرى إليه في الاستنتاج النهائي. دعونا نلقي نظرة على الخيارات.

2. المهمة 2. أوجد محيط المستطيل شبه منحرف، إذا كانت القاعدة السفلية AD = a معروفة، فإن الجانب CD = d غير المتعامد معها، والزاوية عند هذا الجانب ADC تساوي الحل Alpha شبه منحرفمن قمة الرأس C إلى قاعدة أكبر، نحصل على القطعة CE، وينقسم شبه المنحرف إلى شكلين - المستطيل ABCE والمثلث القائم ECD. الوتر في المثلث هو الضلع الجانبي المعروف لدينا شبه منحرف CD، إحدى الأرجل تساوي الجانب المتعامد شبه منحرف(وفقًا لقاعدة المستطيل، الضلعان المتوازيان متساويان - AB = CE)، والآخر عبارة عن قطعة طولها يساوي فرق القاعدتين شبه منحرفإد = م - قبل الميلاد.

3. أوجد أضلاع المثلث: باستخدام الصيغتين المعطاتين CE = CD*sin(ADC) وED = CD*cos(ADC) الآن احسب القاعدة العلوية – BC = AD – ED = a – CD*cos(ADC) = أ - د*كوس (ألفا). أوجد طول الضلع المتعامد - AB = CE = d*sin (ألفا). وتبين أنك حصلت على أطوال جميع جوانب المستطيل شبه منحرف .

4. أضف القيم الناتجة، وسيكون هذا هو محيط المستطيل شبه منحرف😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alpha) + (a – d*cos(Alpha)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alpha) – cos(Alpha) + 1 ).

5. المهمة 3. أوجد محيط المستطيل شبه منحرف، إذا علمنا أطوال قاعدتيه AD = a، BC = c، وطول الضلع العمودي AB = b والزاوية الحادة في الضلع الآخر ADC = Alpha الحل ارسم عموديًا CE واحصل على مستطيل ABCE و مثلث CED الآن أوجد طول الوتر في المثلث CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Alpha).

6. أضف القيم الناتجة: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

لقد تعلم كل واحد منا ما هو المحيط الذي عاد إليه فصول المبتدئين. عادةً لا يظهر العثور على أضلاع مربع معروف محيطه حتى بالنسبة لأولئك الذين تخرجوا من المدرسة منذ فترة طويلة ونسوا دورة الرياضيات. ومع ذلك، حل مشكلة مماثلة فيما يتعلق بمستطيل أو مثلث قائملا يستطيع الجميع القيام بذلك دون مطالبة.

تعليمات

1. كيف تحل مشكلة هندسية يتم فيها إعطاء المحيط والزوايا فقط؟ بالطبع إذا نحن نتحدث عنيا مثلث حاد الزواياأو مضلع فمن المستحيل حل مثل هذه المشكلة دون معرفة طول أحد أضلاعه. ومع ذلك، إذا كنا نتحدث عن مثلث أو مستطيل قائم الزاوية، فمن الممكن اكتشاف جوانبه على طول محيط معين. المستطيل لديه طولو عرض. إذا قمت برسم قطري لمستطيل، فستجد أنه يقسم المستطيل إلى مثلثين قائمين. القطر هو الوتر، والطول والعرض هما أرجل هذه المثلثات. المربع، وهو حالة خاصة للمستطيل، له قطر يمثل وتر المستطيل. مثلث متساوي الساقين.

2. لنتخيل أن هناك مثلثًا قائم الزاوية أضلاعه أ، ب، ج، حيث قياس إحدى الزوايا 30 والزاوية الثانية 60. يوضح الشكل أن a = c*sin?، وb = c*cos?. بمعرفة أن محيط أي شكل، بما في ذلك المثلث، يساوي مجموع جميع أضلاعه، نحصل على:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pمن هذا التعبير يمكننا اكتشاف غير المألوف الضلع ج، وهو الوتر للمثلث. لأن الزاوية؟ = 30، وبعد الإصلاح نحصل على: c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=p ويترتب على ذلك أن c=2p/ وبناء على ذلك a = c *الخطيئة ?= ع/,ب=ج*كوس ?=ص*sqrt(3)/

3. كما ذكرنا سابقًا، فإن قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين قائمين بزوايا 30 و60 درجة. بما أن محيط المستطيل هو p=2(a + b)، عرضأ و طوليمكن إيجاد b للمستطيل بناءً على حقيقة أن القطر هو الوتر في المثلثات القائمة:a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2يتم التعبير عن هاتين المعادلتين بدلالة محيط المستطيل. منها يتم حساب طول وعرض هذا المستطيل مع مراعاة الزوايا الناتجة عند رسم قطره.

فيديو حول الموضوع

ملحوظة!
كيف تجد طول المستطيل إذا كان المحيط والعرض معروفين؟ اطرح ضعف العرض من المحيط، ثم نحصل على ضعف الطول. ثم نقسمه إلى نصفين لإيجاد الطول.

نصائح مفيدة
حتى من المدرسة الابتدائية، يتذكر الكثيرون كيفية العثور على محيط أي الشكل الهندسي: يكفي معرفة أطوال أضلاعه واكتشاف مجموعها. ومن المعروف أنه في الشكل مثل المستطيل تكون أطوال أضلاعه متساوية في أزواج. إذا كان المستطيل متساوي الطول والعرض والارتفاع فإنه يسمى مربعاً. عادةً ما يسمى طول المستطيل بأكبر الجوانب، والعرض هو الأصغر.

محيط(P) هو مجموع أطوال جميع أضلاع الشكل، والشكل الرباعي يتكون من أربعة أضلاع. هذا يعني أنه من أجل إيجاد محيط الشكل الرباعي، من الضروري جمع أطوال جميع أضلاعه بسهولة. لكننا نعرف أشكالًا مثل المستطيل والمربع والمعين، أي رباعيات موجبة. يتم تحديد محيطها بطرق خاصة.

تعليمات

1. إذا كان هذا الشكل مستطيلًا (أو متوازي أضلاع) ABCD، فإنه يمتلك الخصائص التالية: الأضلاع المتوازية متساوية في أزواج (انظر الصورة). AB = SD وAC = VD. وبمعرفة هذه النسبة بين أضلاع هذا الشكل، من الممكن استنتاج المحيط مستطيل(ومتوازي الأضلاع): P = AB + SD + AC + VD. دع بعض الجوانب تساوي الرقم أ، والبعض الآخر يساوي الرقم ب، ثم P = أ + أ + ب + ب = 2*أ = 2* ب = 2*(أ + ب). مثال 1. في المستطيل ABCD، أضلاعه تساوي AB = CD = 7 سم وAC = WD = 3 سم. الحل: P = 2*(أ + ب). ف = 2*(7 +3) = 20 سم.

2. عند حل المسائل التي تتضمن مجموع أطوال أضلاع شكل يسمى المربع أو المعين، يجب عليك استخدام صيغة محيط معدلة قليلاً. المربع والمعين هما شكلان لهما أربعة جوانب متطابقة. بناءً على تعريف المحيط، P = AB + SD + AC + VD والسماح بتحديد الطول بالحرف a، ثم P = a + a + a + a = 4*a. مثال 2. معين طول ضلعه 2 سم. الحل: 4*2 سم = 8 سم.

3. إذا كان الشكل الرباعي الموضح شبه منحرف، فمن السهل في هذه الحالة جمع أطوال أضلاعه الأربعة. ف = AB + SD + AC + VD. مثال 3. أوجد محيط شبه المنحرف ABCD إذا كانت أضلاعه متساوية: AB = 1 سم، CD = 3 سم، AC = 4 سم، VD = 2 سم الحل: P = AB + CD + AC + VD = 1 سم + 3 سم + 4 سم + 2 سم = 10 سم من الممكن أن يتبين أن شبه المنحرف متساوي الساقين (ضلعاه متساويان)، فيمكن اختزال محيطه إلى الصيغة: P = AB + CD + AC+ VD. = أ + ب + أ + ج = 2*أ + ب + ج. مثال 4. أوجد محيط شبه منحرف متساوي الساقين إذا كان كذلك وجوه جانبية 4 سم، والقواعد 2 سم و 6 سم. الحل: P = 2*a + b + c = 2*4cm + 2 cm + 6 cm = 16 cm.

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة
لا أحد يزعجك في إيجاد محيط الشكل الرباعي (وأي شكل آخر) كمجموع أطوال الجوانب، دون تطبيق الصيغ المشتقة. يتم توفيرها للراحة وسهولة الحساب. طريقة الحل ليست سهواً، المهم هو النتيجة الصحيحة والقدرة على استخدام المصطلحات الرياضية.

نصيحة 4: كيفية اكتشاف قواعد شبه منحرف مستطيل

يُسمى الشكل الرياضي ذو الأربع زوايا شبه منحرف إذا كان زوج من ضلعيه المتقابلين متوازيين والزوج الآخر ليس كذلك. تسمى الجوانب المتوازية الأسباب شبه منحرفوالاثنان الآخران جانبيان. بشكل مستطيل شبه منحرفأن تكون إحدى الزوايا الموجودة على الجانب مستقيمة.

تعليمات

1. المهمة 1. أوجد القاعدتين BC وAD للمستطيل شبه منحرف، إذا كان طول القطر المعروف AC = f؛ طول الضلع CD = c وزاويته ADC = ? الحل: انظر إلى المثلث القائم CED. الوتر الشهير c والزاوية الواقعة بين الوتر والساق EDC. أوجد أطوال الضلعين CE وED: باستخدام صيغة الزاوية CE = CD*sin(ADC); إد = CD*كوس(ADC). اتضح: CE = ج*الخطيئة؟; إد=ج*كوس؟.

2. انظر إلى المثلث الأيمن ACE. الوتر AC والساق CE معروفان لك، ابحث عن الضلع AE باستخدام قاعدة المثلث القائم: مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر. اتضح: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sin?. احسب الجذر التربيعيمن الجانب الأيمن للمساواة. لقد اكتشفت القاعدة العلوية للمستطيل شبه منحرف .

3. طول القاعدة AD هو مجموع أطوال جزأين AE وED. AE = الجذر التربيعي(f(2) – c*sin?); ED = c*cos?).تبين أن: AD = الجذر التربيعي(f(2) – c*sin?) + c*cos?. لقد اكتشفت القاعدة السفلية للمستطيل شبه منحرف .

4. المهمة 2. أوجد القاعدتين BC وAD للمستطيل شبه منحرف، إذا كان طول القطر المعروف BD = f؛ طول الضلع CD = c وزاويته ADC = ? الحل: انظر إلى المثلث القائم CED. أوجد أطوال الجانبين CE وED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. انظر إلى المستطيل ABCE. من خلال خاصية المستطيل، AB = CE = c*sin?. انظر إلى المثلث القائم ABD. وفقًا لخاصية المثلث القائم الزاوية، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين. وبالتالي AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?. لقد اكتشفت القاعدة السفلية للمستطيل شبه منحرفم = الجذر التربيعي(و(2) – ج*الخطيئة؟).

6. وفقًا لقاعدة المستطيل، BC = AE = AD – ED = الجذر التربيعي(f(2) – c*sin?) – c*cos?. لقد اكتشفت القاعدة العلوية للمستطيل شبه منحرف .

شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه اثنان متوازيان واثنان غير متوازيين جوانب متوازية. من أجل حساب محيطه، عليك أن تعرف أبعاد جميع جوانب شبه المنحرف. ومع ذلك، قد تكون البيانات الموجودة في المهام مختلفة.

سوف تحتاج

• - آلة حاسبة؛
• - جداول الجيب وجيب التمام والظل؛
• - ورق؛
• – لوازم الرسم .

تعليمات

1. النسخة الأكثر بدائية من المشكلة هي عندما يتم إعطاء جميع جوانب شبه المنحرف. في هذه الحالة، يجب طيها بسهولة. يمكنك استخدام الصيغة التالية: p=a+b+c+d، حيث p هو المحيط، والحروف a وb وc وd تشير إلى الجوانب المقابلة للزوايا المشار إليها بالأحرف الكبيرة المقابلة.

2. هناك معين شبه منحرف متساوي الساقين، فقط قم بطي قاعدتيها وأضف إليهما ضعف حجم الجانب. أي أنه يتم حساب المحيط في هذه الحالة بالصيغة: p=a+c+2b، حيث b هو جانب شبه المنحرف، وc هي القاعدة.

3. ستستغرق الحسابات وقتًا أطول قليلاً إذا كان من الضروري حساب أحد الطرفين. لنفترض أن هناك قاعدة طويلة، والزوايا المجاورة لها والارتفاع. تحتاج إلى حساب القاعدة القصيرة والجانب. للقيام بذلك، رسم شبه منحرف ABCD من الزاوية العلياب ارسم الارتفاع BE . سوف تحصل على المثلث ABE. نخبرك بالزاوية A، حتى تعرف جيبها. تشير بيانات المشكلة أيضًا إلى الارتفاع BE، وهو أيضًا ساق المثلث القائم مقابل الزاوية التي تعرفها. من أجل العثور على الوتر AB، والذي هو أيضًا جانب من شبه المنحرف، ما عليك سوى قسمة BE على sinA. ابحث أيضًا عن طول الجانب الثاني بشكل صحيح. للقيام بذلك، تحتاج إلى رسم الارتفاع من زاوية عليا أخرى، أي CF. الآن أنت تعرف السبب والجوانب الأكبر. لحساب المحيط، هذا لا يكفي؛ فأنت بحاجة أيضًا إلى حجم قاعدة أصغر. وفقا لذلك، في المثلثين المتكونين داخل شبه المنحرف، تحتاج إلى العثور على أحجام القطع AE و DF. يمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، من خلال جيب التمام للزاوية A وD التي تعرفها. جيب التمام هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. من أجل العثور على الساق، تحتاج إلى ضرب الوتر في جيب التمام. بعد ذلك، احسب المحيط باستخدام نفس الصيغة المستخدمة في الخطوة الأولى، أي إضافة جميع الجوانب.

4. خيار آخر: بالنظر إلى قاعدتين، والارتفاع وأحد الجانبين، فأنت بحاجة إلى العثور على الجانب الثاني. ومن الأفضل أيضًا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية. للقيام بذلك، رسم شبه منحرف. من الممكن أن تعرف القاعدتين AD وBC، وكذلك الضلع AB والارتفاع BF. باستخدام هذه البيانات، يمكنك العثور على الزاوية A (من خلال الجيب، أي نسبة الارتفاع إلى الجانب المعروف)، والقطعة AF (من خلال جيب التمام أو الظل، لأن الزاوية معروفة لك بالفعل. تذكر أيضًا خصائص زوايا شبه المنحرف - مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد هو 180 درجة ارسم الارتفاع CF لديك مثلث قائم آخر، حيث تحتاج إلى العثور على الوتر CD والساق DF تبدأ الساق، اطرح طول الجزء العلوي من طول الجزء السفلي، وطول القطعة التي تعرفها من النتيجة AF الآن في المثلث الأيمن CFD تعرف ساقين، أي يمكنك العثور على الظل من الزاوية D، ومنها - الزاوية نفسها، يبقى حساب القرص المضغوط الجانبي من خلال جيب الزاوية نفسها، كما سبق وصفه أعلاه.

فيديو حول الموضوع

أوجد محيط شبه المنحرف. مرحبًا! في هذا المنشور، سننظر في حل المشكلات النموذجية المدرجة في امتحان الرياضيات. تحتاج إلى حساب محيط شبه منحرف. يمكننا القول أن هذه مهام للحسابات الذهنية، فهي بسيطة. قبل اتخاذ القرار، أوصي بالاطلاع على المقال "". دعونا نفكر في المهام:

27834. في شبه المنحرف متساوي الساقين، القاعدتان هي 12 و 27، والزاوية الحادة هي 60 0. أوجد محيطها.

من أجل العثور على المحيط، علينا حساب الجانب. من رؤوس القاعدة الأصغر نخفض الارتفاعات:

AD هو الوتر في المثلث الأيمن ADF. يمكننا حسابها باستخدام تعريف جيب التمام:

AF يمكننا حساب:

لذلك:

وبالتالي فإن المحيط هو 12+27+15+15=69.

*عند حل المشكلة أمكن أيضاً استخدام خاصية استلقاء الساق مقابل زاوية 30°. ينظر:

∠ADF يساوي 30 درجة، والساق AF يساوي نصف الوتر AD. AF = 7.5 وبالتالي AD سوف يساوي 15.

27835. الخط المستقيم الموازي لجانب شبه المنحرف من نهاية القاعدة الصغرى، يساوي 4، يقطع مثلثًا محيطه يساوي 15. أوجد محيط شبه المنحرف.

الحل واضح! دعونا نلقي نظرة على الرسم: AD وAE هما جزء من المحيط، وDE=CB هما الضلعان المتقابلان لمتوازي الأضلاع. إنه

كل ما تبقى هو إضافة DC وEB. الشرط يقول أن DC = 4. بما أن DC وEB وجهان متقابلان في متوازي الأضلاع، فإنهما متساويان:

وبالتالي فإن المحيط هو 15+4+4=23.

هذا كل شيء، حظا سعيدا لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

شبه المنحرف هو شكل هندسي ثنائي الأبعاد له أربعة رؤوس وضلعان متوازيان فقط. إذا كان طول ضلعيه غير المتوازيين متطابقين، فإن شبه المنحرف يسمى متساوي الساقين أو متساوي الساقين. عادة ما يتم الإشارة إلى حدود هذا المضلع المكون من جوانبه كلمة اليونانية"محيط". اعتمادا على مجموعة البيانات الأولية، يجب حساب طول المحيط باستخدام صيغ مختلفة.

تعليمات

1. إذا كان طول القاعدتين (أ و ب) وطول الضلع (ج) معروفين، فسيتم حساب محيط (P) لهذا الشكل الهندسي بطريقة بدائية للغاية. نظرًا لأن شبه المنحرف متساوي الساقين، فإن أضلاعه لها أطوال متطابقة، مما يعني أنك تعرف أطوال جميع الجوانب - ما عليك سوى جمعها: P = a+b+2*c.

2. إذا كان طولا قاعدتي شبه المنحرف غير معروفين، ولكن تم إعطاء طول خط المنتصف (l) والضلع (c)، فإن هذه البيانات كافية لحساب المحيط (P). الخط الأوسط يوازي القاعدتين ويساوي في الطول نصف مجموعهما. ضاعف هذه القيمة وأضف إليها أيضًا ضعف طول الضلع - سيكون هذا محيط شبه منحرف متساوي الساقين: P = 2*l+2*c.

3. إذا كان من شروط المشكلة معرفة أطوال القاعدتين (أ و ب) وارتفاع (ح) شبه المنحرف متساوي الساقين، فبمساعدة هذه البيانات من الممكن استعادة طول الجانب المفقود. يمكنك القيام بذلك من خلال النظر إلى مثلث قائم الزاوية، حيث الوتر هو الضلع المجهول، والأرجل هي الارتفاع والقطعة القصيرة، وهي القطعة التي يقطعها من القاعدة الطويلة لشبه المنحرف. ويمكن حساب طول هذا المقطع من خلال قسمة الفرق بين أطوال القاعدتين الأكبر والأصغر إلى النصف: (a-b)/2. طول الوتر (ضلع شبه المنحرف)، وفقا لنظرية فيثاغورس، سيكون مساويا للجذر التربيعي لمجموع الأطوال المربعة لكلا الجانبين. استبدل طول الضلع في الصيغة من الخطوة الأولى بالتعبير الناتج، وستحصل على الصيغة التالية للمحيط: P = a+b+2*?(h?+(a-b)?/4).

4. إذا كانت شروط المشكلة تعطي أطوال القاعدة الأصغر (ب) والضلع (ج)، وكذلك ارتفاع شبه منحرف متساوي الساقين (ح)، ثم النظر في نفس المثلث المساعد كما في الخطوة السابقة، فسيتعين عليك حساب طول الساق. مرة أخرى، استخدم نظرية فيثاغورس - القيمة المطلوبة ستكون مساوية لجذر الفرق بين مربع طول الضلع (الوتر) والارتفاع (الساق): ?(c?-h?). من هذا الجزء من القاعدة غير المعروفة لشبه المنحرف، يمكنك استعادة طوله - ضاعف هذا التعبير وأضف طول القاعدة القصيرة إلى الإجمالي: b+2*?(c?-h?). عوض بهذا التعبير في الصيغة من الخطوة الأولى وأوجد محيط شبه منحرف متساوي الساقين: P = b+2*?(c?-h?)+b+2*c = 2*(?(c?-h? )+ب+ج).

نصيحة 2: كيفية العثور على جوانب شبه منحرف متساوي الساقين

شبه المنحرف هو شكل رباعي له ضلعان متوازيان. وتسمى هذه الجوانب القواعد. يتم توحيد نقاطهم النهائية بواسطة شرائح تسمى الجوانب. شبه منحرف متساوي الساقين له جوانب متساوية.

سوف تحتاج

• – شبه منحرف متساوي الساقين.
• – طول قواعد شبه منحرف.
• - ارتفاع شبه المنحرف؛
• - ورق؛
• - قلم؛
• - مسطرة.

تعليمات

1. بناء شبه منحرف وفقا لشروط المشكلة. يجب أن تحصل على عدة معلمات. كالعادة، هذه هي القواعد والمرتفعات. لكن البيانات الأخرى مقبولة أيضًا - إحدى القواعد وميلها الجانبي إليها وارتفاعها. قم بتسمية شبه المنحرف ABCD، لتكن قاعدتاه a وb، والارتفاع h، والجوانب x. وبما أن شبه المنحرف متساوي الساقين، فإن أضلاعه متساوية.

2. من القمم B وC، ارسم الارتفاعات إلى القاعدة السفلية. قم بتعيين نقاط التقاطع كـ M وN. لديك الآن مثلثين قائمين - AMB وCND. إنهما متساويان لأنه، وفقًا لشروط المشكلة، فإن الوترين AB وCD، وكذلك الساقين BM وCN، متساويان. وبناءً على ذلك، فإن المقطعين AM وDN متساويان أيضًا مع بعضهما البعض. قم بتسمية طولها كـ y.

3. من أجل العثور على طول مجموع هذه القطع، تحتاج إلى طرح طول القاعدة ب من طول القاعدة أ. 2у=أ-ب. وبناء على ذلك، فإن قطعة واحدة من هذا القبيل ستكون مساوية لفرق القواعد مقسوما على 2. y=(a-b)/2.

4. أوجد طول ضلع شبه المنحرف، وهو أيضًا وتر المثلث القائم بأرجله التي تعرفها. احسبها باستخدام نظرية فيثاغورس. سيكون مساويًا للجذر التربيعي لمجموع مربعات الارتفاع وفرق القاعدتين مقسومًا على 2. أي x=?y2+h2=?(a-b)2/4+h2.

5. معرفة الارتفاع وزاوية ميل الجانب إلى القاعدة، قم بعمل نفس الإنشاءات. في هذه الحالة، ليست هناك حاجة لحساب الفرق بين القواعد. استخدم قانون الجيب. الوتر يساوي طول الساق مضروبًا في جيب الزاوية المقابلة له. في في هذه الحالة x=h*sinCDN أو x=h*sinBAM.

6. إذا أعطيت لك زاوية ميل جانب شبه المنحرف ليس إلى الأسفل، بل إلى القاعدة العلوية، فابحث عن الزاوية المطلوبة بناءً على خاصية الخطوط المتوازية. تذكر إحدى خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين، والتي بموجبها تكون الزوايا بين إحدى القاعدتين والأضلاع متساوية.

ملحوظة!
مراجعة خصائص شبه منحرف متساوي الساقين. إذا قسمت قاعدتيه إلى نصفين ورسمت خطًا عبر هذه النقاط، فسيكون محور هذا الشكل الهندسي، وإذا خفضت الارتفاع من أحد رؤوس القاعدة العلوية إلى الأسفل، فهذا الأخير أنت سوف تحصل على جزأين. لنفترض، في هذه الحالة، أن هذه المقاطع هي AM وDM. أحدهما يساوي نصف مجموع القاعدتين a وb، والآخر يساوي نصف الفرق بينهما.

نصيحة 3: كيفية العثور على خط الوسط لشبه منحرف متساوي الساقين

شبه المنحرف هو شكل رباعي له ضلعان متوازيان فقط - يُطلق عليهما أساس هذا الشكل. إذا كانت أطوال الضلعين الآخرين متطابقة، فإن شبه المنحرف يسمى متساوي الساقين أو متساوي الساقين. يسمى الخط الذي يصل بين منتصف الجوانب بخط الوسط لشبه المنحرف ويمكن حسابه بعدة طرق.

تعليمات

1. إذا كان طول القاعدتين (A و B) معروفين، لحساب طول خط الوسط (L) استخدم الجودة الرئيسية لهذا العنصر من شبه منحرف متساوي الساقين - وهو يساوي نصف مجموع أطوال القواعد: ل = ؟*(أ+ب). لنفترض أنه في شبه منحرف طول قاعدتيه 10 سم و20 سم، يجب أن يكون الخط الأوسط مساويًا لـ؟*(10+20) = 15 سم.

2. يعد الخط الأوسط (L) مع الارتفاع (h) لشبه منحرف متساوي الساقين عاملاً في صيغة حساب المساحة (S) لهذا الشكل. إذا تم إعطاء هاتين المعلمتين الشروط الأوليةمشكلة، لحساب طول خط الوسط، قم بتقسيم المساحة على الارتفاع: L = S/h. قل بمساحة 75 سم؟ يجب أن يكون شبه منحرف متساوي الساقين بارتفاع 15 سم وخط وسط 75/15 = 5 سم.

3. بالنظر إلى المحيط (P) وطول الجانب (C) لشبه منحرف متساوي الساقين، فإن حساب خط الوسط (L) للشكل ليس أمرًا صعبًا أيضًا. اطرح طولي ضلعين من المحيط، وستكون القيمة المتبقية هي مجموع أطوال القاعدتين - اقسمها إلى نصفين، وسيتم حل المشكلة: L = (P-2*C)/2. لنفترض أنه بمحيط 150 سم وطول ضلع 25 سم، يجب أن يكون طول خط المنتصف (150-2*25)/2 = 50 سم.

4. معرفة طول المحيط (P) والارتفاع (h) وكذلك قيمة أحدهما زوايا حادة(؟) لشبه منحرف متساوي الساقين، يمكنك أيضًا حساب طول خط الوسط (L). في المثلث المكون من ارتفاع وضلع وجزء من القاعدة تكون إحدى الزوايا قائمة، ويعرف حجم الأخرى. سيسمح لك ذلك بحساب طول الضلع باستخدام قانون الجيب - قسمة الارتفاع على جيب الزاوية المطلوبة: h/sin(?). بعد ذلك، استبدل هذا التعبير في صيغة الخطوة السابقة وستحصل على المساواة التالية: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?). لنفترض أنه إذا كانت الزاوية المرجعية 30 درجة، والارتفاع 10 سم، والمحيط 150 سم، فيجب حساب طول خط المنتصف على النحو التالي: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55 سم .

نصيحة 4: كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الساقين

المحيط هو مجموع جميع جوانب المضلع. في المضلعات العادية، تسهل الاتصالات المحددة بدقة بين الجوانب العثور على المحيط.

تعليمات

1. في الشكل التعسفي الذي يحده أجزاء مختلفة من خط متقطع، يتم تحديد المحيط عن طريق قياس الجوانب بشكل تسلسلي وتلخيص نتائج القياس. بالنسبة للمضلعات الموجبة، يمكن العثور على المحيط عن طريق الحساب باستخدام الصيغ التي تأخذ في الاعتبار الروابط بين جوانب الشكل.

2. في مثلث تعسفيمع الجوانب أ، ب، ج، يتم حساب المحيط P بالصيغة: P = a + b + c. المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان: أ=ب، ويتم تبسيط صيغة إيجاد المحيط إلى P=2*a+c.

3. إذا لم يتم إعطاء أبعاد جميع الجوانب في مثلث متساوي الساقين، فمن الممكن للعثور على المحيط استخدام معلمات أخرى معروفة، على سبيل المثال، مساحة المثلث وزواياه وارتفاعاته ومنصفاته ومتوسطاته . قل لو أن اثنين فقط مشهوران جوانب متساويةمثلث متساوي الساقين وكل زاوية من زواياه، ثم أوجد الضلع الثالث باستخدام نظرية الجيب، والتي يترتب عليها أن نسبة جانب المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة هي كمية متصلة لمثلث معين. ثم يمكن التعبير عن الضلع غير المألوف بالضلع المشهور: a=b*SinA/SinB، حيث A هي الزاوية المقابلة للضلع المجهول a، B هي الزاوية المقابلة للضلع المشهور b.

4. إذا كانت المساحة S لمثلث متساوي الساقين وقاعدته b معروفة، فمن صيغة تحديد مساحة المثلث S=b*h/2، ابحث عن الارتفاع h: h=2*S/b. هذا الارتفاع، الذي تم تخفيضه إلى القاعدة b، يقسم المثلث المتساوي الساقين إلى مثلثين متساويين قائمي الزاوية. الجوانب الجانبية أ للمثلث متساوي الساقين الأولي هي وتر المثلثات القائمة. وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين b وh. ثم يتم حساب محيط P لمثلث متساوي الساقين بالصيغة: P=b+2*?(b?/4) +4*S?/b?).

نصيحة 5: كيفية العثور على قاعدة شبه منحرف متساوي الساقين

شبه المنحرف هو شكل رباعي تقع قاعدتاه على خطين متوازيين، بينما الضلعان الآخران ليسا متوازيين. مطلوب العثور على قاعدة شبه منحرف متساوي الساقين عند تمرير النظرية وحل المشكلات المؤسسات التعليمية، وفي عدد من المهن (الهندسة، العمارة، التصميم).

تعليمات

1. شبه منحرف متساوي الساقين (أو متساوي الساقين) له جوانب غير متوازية، وكذلك الزوايا التي تتشكل عند عبور القاعدة السفلية متساوية.

2. شبه المنحرف له قاعدتان، ولكي تكتشفهما، عليك أولاً التعرف على الشكل. دعونا نحصل على شبه منحرف متساوي الساقين ABCD مع القاعدتين AD وBC. في هذه الحالة، جميع المعلمات معروفة، بالإضافة إلى الأسباب. الجانب الجانبي AB=CD=a، الارتفاع BH=h والمساحة تساوي S.

3. لحل مشكلة قاعدة شبه المنحرف، سيكون من الأسهل على الجميع إنشاء نظام من المعادلات من أجل اكتشاف الأسس اللازمة من خلال الكميات المترابطة.

4. قم بتسمية المقطع BC كـ x، وAD كـ y، بحيث يكون من السهل في المستقبل التعامل مع الصيغ وفهمها. إذا لم تفعل ذلك على الفور، فقد تشعر بالارتباك.

5. اكتب جميع الصيغ التي ستعمل على حل المشكلة باستخدام البيانات المعروفة. صيغة مساحة شبه منحرف متساوي الساقين: S=((AD+BC)*h)/2. نظرية فيثاغورس: أ*أ = ح*ح +آه*آه.

6. تذكر جودة شبه منحرف متساوي الساقين: الارتفاعات الخارجة من قمة شبه المنحرف تقطع أجزاء متساوية على قاعدة كبيرة. ويترتب على ذلك أنه يمكن ربط قاعدتين حسب الصيغة الناتجة عن هذه الخاصية: AD=BC+2AH أو y=x+2AH

7. ابحث عن الضلع AH باتباع نظرية فيثاغورس التي كتبتها سابقًا. فليكن مساوياً لعدد معين ك. عندها ستكون الصيغة الناتجة عن خاصية شبه المنحرف متساوي الساقين كما يلي: y=x+2k.

8. عبر عن الكمية المجهولة بدلالة مساحة شبه المنحرف. يجب أن تحصل على: AD=2*S/h-BC أو y=2*S/h-x.

9. بعد ذلك، قم باستبدال البيانات القيم الرقميةفي نظام المعادلات الناتج وحلها. يمكن إيجاد حل أي نظام من المعادلات ميكانيكياً في برنامج MathCAD.

نصائح مفيدة
عند حل المشكلات، حاول دائمًا تبسيط الرموز والصيغ قدر الإمكان. بهذه الطريقة سيتم العثور على الحل بشكل أسرع.

شبه المنحرف هو شكل رباعي له ضلعان متوازيان وضلعان غير متوازيين. من أجل حساب محيطه، عليك أن تعرف أبعاد جميع جوانب شبه المنحرف. ومع ذلك، قد تكون البيانات الموجودة في المهام مختلفة.

سوف تحتاج

• - آلة حاسبة؛
• - جداول الجيب وجيب التمام والظل؛
• - ورق؛
• – لوازم الرسم .

تعليمات

1. النسخة الأكثر بدائية من المشكلة هي عندما يتم إعطاء جميع جوانب شبه المنحرف. في هذه الحالة، يجب طيها بشكل بدائي. يمكنك استخدام الصيغة التالية: p=a+b+c+d، حيث p هو المحيط، والحروف a وb وc وd تشير إلى الجوانب المقابلة للزوايا المشار إليها بالأحرف الكبيرة المقابلة.

2. إذا كان لديك شبه منحرف متساوي الساقين، فما عليك سوى طي قاعدتيه وإضافة ضعف حجم الجانب إليهما. أي أنه يتم حساب المحيط في هذه الحالة بالصيغة: p=a+c+2b، حيث b هو جانب شبه المنحرف، وc هي القاعدة.

3. ستستغرق الحسابات وقتًا أطول قليلاً إذا كان من الضروري حساب أحد الطرفين. لنفترض قاعدة طويلة، زواياها وارتفاعاتها المجاورة لها مشهورة. تحتاج إلى حساب القاعدة القصيرة والجانب. للقيام بذلك، ارسم شبه منحرف ABCD وارسم الارتفاع BE من الزاوية العلوية B. سوف تحصل على المثلث ABE. أنت تعرف الزاوية A، لذا تعرف جيبها. تشير بيانات المشكلة أيضًا إلى الارتفاع BE، وهو أيضًا ساق المثلث القائم مقابل الزاوية التي تعرفها. من أجل العثور على الوتر AB، والذي هو أيضًا جانب من شبه المنحرف، ما عليك سوى قسمة BE على sinA. ابحث أيضًا عن طول الجانب الثاني بشكل صحيح. للقيام بذلك، تحتاج إلى رسم الارتفاع من زاوية عليا أخرى، أي CF. الآن أنت تعرف القاعدة والجوانب الأكبر. لحساب المحيط، هذا لا يكفي؛ فأنت بحاجة أيضًا إلى حجم قاعدة أصغر. وفقا لذلك، في المثلثين المتكونين داخل شبه المنحرف، تحتاج إلى العثور على أحجام القطع AE و DF. يمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، من خلال جيب التمام للزاوية A وD التي تعرفها. جيب التمام هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. من أجل العثور على الساق، تحتاج إلى ضرب الوتر في جيب التمام. بعد ذلك، احسب المحيط باستخدام نفس الصيغة المستخدمة في الخطوة الأولى، أي إضافة جميع الجوانب.

4. خيار آخر: بالنظر إلى قاعدتين، والارتفاع وأحد الجانبين، فأنت بحاجة إلى العثور على الجانب الثاني. ومن الأفضل أيضًا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية. للقيام بذلك، رسم شبه منحرف. ربما تعرف القاعدتين AD وBC، بالإضافة إلى الضلع AB والارتفاع BF. باستخدام هذه البيانات، يمكنك العثور على الزاوية A (من خلال الجيب، أي نسبة الارتفاع إلى الجانب المعلوم)، والقطعة AF (من خلال جيب التمام أو الظل، أي زاوية تعرفها أكثر. تذكر أيضًا خصائص زوايا شبه المنحرف - مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد هو 180 درجة. ارسم الارتفاع CF. لديك مثلث قائم آخر، حيث تحتاج إلى العثور على الوتر CD والساق DF، ابدأ بالساق. اطرح طول الجزء العلوي من طول الجزء السفلي، وطول القطعة التي تعرفها من النتيجة AF الآن في المثلث الأيمن CFD تعرف ساقين، أي يمكنك العثور على ظل الزاوية D، ومنها - الزاوية نفسها، ويبقى لحساب القرص المضغوط الجانبي من خلال جيب الزاوية نفسها، كما سبق وصفه أعلاه.

فيديو حول الموضوع

محتوى:

شبه المنحرف هو شكل رباعي له ضلعان متوازيان. للعثور على محيط شبه منحرف، تحتاج إلى جمع أطوال الجوانب الأربعة. في كثير من الأحيان، في المسائل لا يتم تحديد أطوال بعض الأضلاع، ولكن يتم معرفة كميات أخرى، على سبيل المثال، ارتفاع أو زاوية شبه المنحرف. باستخدام الكميات المعروفة، وكذلك الهندسية و القواعد المثلثيةيمكن ايجاده أطراف غير معروفةشبه منحرف.

خطوات

1- على أساس الجوانب والقواعد المعلومة

1. 1 اكتب الصيغة لحساب محيط شبه المنحرف.الصيغة: P = T + B + L + R
2. 2 استبدال في الصيغة أطوال معروفةالجانبينلا تستخدم هذه الطريقة إلا إذا تم إعطاء قيم الجوانب الأربعة.
   • على سبيل المثال، القاعدة العلوية لشبه المنحرف تساوي 2 سم، والقاعدة السفلية 3 سم، وكل ضلع 1 سم، وفي هذه الحالة ستكون الصيغة العرض التالي:
     ع = 2 + 3 + 1 + 1 3 أضف أطوال الجوانب.سيعطيك هذا محيط شبه المنحرف.
     • في مثالنا:
       ف = 2 + 3 + 1 + 1

       2 على أساس الارتفاع والجوانب والقاعدة العلوية المعروفة

       1. 2 قم بتسمية كل ارتفاع.
       2. 3. هذا الجزء يساوي القاعدة العلوية (أي الجانب العلوي من المستطيل)، حيث أن الأضلاع المتقابلة للمستطيل متساوية. لا تستخدم هذه الطريقة إلا إذا تم إعطاء قيمة للقاعدة العلوية.
       3. 4 الصيغة: أ 2 + ب 2 = ج 2
       4. 5 استبدل ضلع شبه المنحرف بدلًا من ج 6 قم بتربيع القيم المعروفة.ثم استخدم الطرح لعزل المتغير ب 7 خذ الجذر التربيعي لتجد ب.) ستجد قاعدة المثلث الأيمن الأول. اكتب القيمة التي تجدها أسفل قاعدة المثلث المقابل.
          • في مثالنا:
            ب2=458 أوجد الضلع المجهول للمثلث الثاني الأيمن.للقيام بذلك، اكتب نظرية فيثاغورس للمثلث الثاني وتابع كما هو موضح أعلاه. إذا أعطيت شبه منحرف متساوي الساقين وأضلاعه متساوية، فإن مثلثين قائمين متطابقان، أي أن أي ضلع في أحد المثلثين يساوي الضلع المقابل للآخر.
            • على سبيل المثال، إذا كان الضلع الثاني من شبه المنحرف 7 سم، فستكتب الصيغة على النحو التالي:
              a 2 + b 2 = c 2 9 محيط أي مضلع يساوي مجموع جميع أضلاعه: P = T + B + L + R

              3 بناءً على الارتفاعات والقواعد والزوايا السفلية المعروفة

              1. 1 قسم شبه المنحرف إلى مستطيل ومثلثين قائمين.للقيام بذلك، ارسم ارتفاعًا من كل قمة لشبه المنحرف.
                 • إذا كان أحد جوانب شبه المنحرف متعامدًا مع القاعدتين، فلن تتمكن من الحصول على مثلثين قائمين. في هذه الحالة يكون الضلع المتعامد على القاعدتين يساوي الارتفاع، وينقسم شبه المنحرف إلى مستطيل ومثلث واحد قائم الزاوية.
              2. 2 قم بتسمية كل ارتفاع.بما أن الارتفاعين متقابلان في المستطيل، فهما متساويان.
                 • على سبيل المثال، ارتفاع شبه منحرف هو 6 سم، من رؤوس شبه المنحرف، ارسم ارتفاعين (إلى القاعدة السفلية). بجوار كل ارتفاع اكتب "6 سم" (بدون علامتي الاقتباس).
              3. 3 حدد الجزء الأوسط من القاعدة السفلية (هذا هو الجانب السفلي من المستطيل).وهذا الجزء يساوي القاعدة العلوية (أي الجانب العلوي من المستطيل)، حيث أن الأضلاع المتقابلة للمستطيل متساوية.
                 • على سبيل المثال، إذا كانت القاعدة العلوية لشبه المنحرف 6 سم، فإن الجزء الأوسط من القاعدة السفلية هو أيضًا 6 سم.
              4. 4 اكتب الدالة (الصيغة) لجيب زاوية المثلث الأيمن الأول.الدالة: الخطيئة ⁡ θ = B H 5 عوّض بكميات معروفة في صيغة الجيب.بدلاً من الجانب المعاكساستبدل ارتفاع المثلث سوف تجد الوتر، وهو جانب شبه المنحرف.
                 • على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية السفلية لشبه المنحرف 35 درجة، وارتفاع المثلث 6 سم، فستكتب الصيغة على النحو التالي:
                   الخطيئة ⁡ (35) = 6 ح 6 أوجد جيب الزاوية.ويتم ذلك باستخدام الآلة الحاسبة العلمية، وهي مفتاح SIN. استبدل القيمة التي تم العثور عليها في الصيغة.
                   • باستخدام الآلة الحاسبة، ستجد أن جيب الزاوية 35 درجة يساوي 0.5738 تقريبًا. وبالتالي فإن الصيغة سوف تأخذ الشكل التالي:
                     0.5738 = 6ح7 أوجد المتغير Hللقيام بذلك، اضرب كل طرف من المعادلة (الصيغة) بـ H، ثم اقسم كل طرف من المعادلة على جيب الزاوية. أو ببساطة قم بتقسيم ارتفاع المثلث على جيب الزاوية.
                     • في مثالنا:
                       0.5738 = 6ح8 أوجد وتر المثلث الأيمن الثاني.اكتب الدالة (الصيغة) لجيب زاوية المثلث الأيمن الثاني: sin ⁡ θ = B H 9 اكتب نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية الأول.الصيغة: أ 2 + ب 2 = ج 2 10 استبدل القيم المعروفة للمثلث الأول في الصيغة.استبدل ضلع شبه المنحرف بـ c 11 ابحث عن ب 12 أوجد قاعدة المثلث الأيمن الثاني.للقيام بذلك، استخدم نظرية فيثاغورس (أ 2 + ب 2 = ج 2 13 أضف قيم جميع جوانب شبه المنحرف.محيط أي مضلع يساوي مجموع جميع أضلاعه: P = T + B + L + R أو مثلث 90-45-45) هناك صيغ يمكنك من خلالها العثور على جوانب مجهولة دون استخدام دالة الجيب أو فيثاغورس نظرية.
                     • للعثور على جيب الزاوية، استخدم الآلة الحاسبة العلمية عن طريق إدخال الزاوية ثم الضغط على مفتاح SIN. أو استخدم الجداول المثلثية.

                     ما سوف تحتاجه

                     • آلة حاسبة
                     • قلم
                     • ورق