الحل الرسومي التقريبي للمعادلات. الحل التقريبي للمعادلات الجبرية

الصفحة الرئيسية > الدرس

مدرس:كاساتكينا أولغا ألكساندروفنا، مؤسسة تعليمية:المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 81 لمدينة نوفوسيبيرسك غرض: الجبر وعلوم الكمبيوتر فصل:الصف الحادي عشر مع دراسة متعمقة للرياضيات. موضوع:الطرق التقريبية لحل المعادلات الغرض من الدرس:دراسة الطرق التقريبية لحل المعادلات، دراسة إمكانية حل المعادلات التقريبية باستخدام الحاسوب. أهداف الدرس:مواصلة دراسة الطرق التقريبية لحل المعادلات، وتعريف الطلاب بهذه الطريقة نصف الانقسامإنشاء خوارزمية لحل المعادلات بطريقة النصفين باللغة الخوارزمية، تعريف الطلاب بطريقة تقريبية لحل المعادلات باستخدام الإلكترونية جداول اكسل، لتنمية قدرة الطلاب على حل المعادلات تقريبًا باستخدام جداول البيانات Excel، لخلق حاجة للطلاب لاستخدامه تقنيات المعلوماتفي حل مشاكل الرياضيات، تطوير اتصالات متعددة التخصصات. نوع الدرس: درس في تعلم مواد جديدة. معدات:فئة كمبيوتر مجهزة بـ Pentium I وأجهزة كمبيوتر أعلى وبرامج مرخصة: نظام التشغيل Windows 97/2000/XP، وMS Office 2000 والإصدارات الأحدث، وبيئة برمجة Visual Basic، وسبورة بيضاء تفاعلية، وجهاز عرض.

تنظيم الوقت. الإعلان عن موضوع الدرس والغرض منه وأهدافه.

تحديث المعرفة اللازمة لدراسة المواد الجديدة:

ألواح الكتابة التفاعلية

"جدول"

البحث عن حل

تعلم مواد جديدة.

محادثة محاضرة مشكلة "طرق الحل التقريبي للمعادلات".خطة المحاضرة. حل المعادلات باستخدام طريقة التنصيف. لتقريب حل المعادلة f(x)=0 بطريقة القسمة النصفية، يُفترض أن الدالة f(x) محددة على المقطع، وهي متصلة ولها طرفي المقطع علامات مختلفة: و(أ) و(ب)<0. مهمة:حل المعادلة تقريبًا f(x)=0.

منح: - مجال التعريف، ه - دقة التقريب.

تحتاج لتجد: с – الحل التقريبي, |f(c)|

تعتمد طريقة البحث عن التقريبات على حساب منتصف القطعة c=(a+b)/2 وتحليل قيمة الدالة f(c) عند هذه النقطة. إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أقل من e المعطاة، فقد تم العثور على حل تقريبي. إذا كانت قيمة الدالة في منتصف المقطع أكبر من e، فمن المقاطع و [c؛ ب] تم تحديد الجزء الذي تكون فيه الدالة f(x) ذات علامات مختلفة في نهاياتها، ويتم البحث عن الحل في هذا الجزء.

وضع خوارزمية لحل المعادلات باستخدام طريقة التنصيف.يتم تنفيذها بمشاركة نشطة من الطلاب. أثناء تجميع الخوارزمية، يتم عرضها على السبورة التفاعلية أو يمكن كتابتها على السبورة البيضاء العادية. خوارزمية، المطابق لطريقة النصف، له الشكل:

لوو(أ)·و(ب)≥0

الذي - التيج=(أ+ب)/2

الوداع|و(ج)|>ه

نورث كارولاينا لوو (أ) و (ب)<0

الذي - التيب=ج

خلاف ذلكأ = ج

نهاية الفرع

مظاهرة للبرنامج,مكتوبة بلغة البرمجة مرئيأساسيوالتي تطبق طريقة الأنصاف (يتم عرض البرنامج على سبورة تفاعلية، ويتم تجميع البرنامج من قبل المعلم أو الطلاب المهتمين بالبرمجة مسبقًا). ( البرنامج في مجلد Kasatkin_equations ) الحل التقريبي للمعادلات باستخدام جداول بيانات Excel. مهمة: حل المعادلة x 3 /10=sinx (استخدم الملف "جدول") لحل المعادلة بيانيا نقدم الدالة y=x 3 /10- sinx يتم توضيح جدول قيم الدالة على الفترة (-2.5; 2.5) بخطوة 0.5 (معدة مسبقا) على اللوحة التفاعلية. دعونا نرسم هذه الوظيفة. في الفترة (-2.5؛ 2.5) يحتوي الرسم البياني على ثلاث نقاط تقاطع مع المحور السيني، مما يعني أن المعادلة في هذه الفترة لها ثلاثة جذور. سؤال للطلاب:كيفية العثور على حل تقريبي للمعادلة؟ إقترح إجابة: من بين قيم الدالة في الجدول نختار الأقرب إلى الصفر، ثم تكون قيمة x المقابلة لقيمة الدالة هذه حلاً تقريبيًا للمعادلة. سؤال للطلاب:كيف يمكنني استخدام Excel للعثور على قيمة جذر أكثر دقة؟ إقترح إجابة:باستخدام الوظيفة البحث عن حلنقوم بتعيين خلية الجدول التي تكون قيمتها الأقرب إلى 0 إلى 0، ويبحث Excel عن قيمة x المطلوبة.

تحديد المواد. التحقق من جودة استيعاب المواد.

العمل على أجهزة الكمبيوتر. يتم تثبيت برنامج حل المعادلات باستخدام طريقة التنصيف على كل جهاز كمبيوتر مسبقًا. يتلقى الطلاب مهمة على بطاقات لحل المعادلات في برنامج Excel والتحقق من صحة المهمة باستخدام هذا البرنامج. نظرًا لأن هذا الدرس هو درس في تعلم مواد جديدة، توجد في كل محطة عمل تعليمات لحل المعادلات تقريبًا على جهاز كمبيوتر في Excel. أمثلة على بطاقات المهام المقترحة للحل: tgx+x 2 =0, x 3 +x=-1, log(x 2 -x)=x. بناءً على نتائج العمل، من الممكن الحكم على جودة استيعاب الطلاب للمادة.

العمل في المنزل.

إنشاء برنامج في لغة VB يقوم بتنفيذ خوارزمية لحل المعادلات باستخدام طريقة التنصيف. باستخدام البرنامج، قم بحل المعادلات من الكتاب المدرسي رقم 323 (يتم إعطاء المهمة مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن جميع الطلاب في الفصل لديهم الفرصة للعمل على أجهزة الكمبيوتر في فصل علوم الكمبيوتر في المدرسة أو في المنزل). تعليمات الحل الرسومي للمعادلة يمارس: حل المعادلة x 3 /10 = sin x بيانياً.

= س

/10

خطيئة

الرسم البياني مع علامات

المهمة: حل المعادلة x 3 /10 = sin x عن طريق تحديد المعلمة. عند تحديد معلمة، تتغير القيمة الموجودة في خلية وسيطة الدالة حتى يصبح الرقم الموجود في خلية قيمة الدالة مساويًا للرقم المحدد. تعتمد دقة التحديد على الدقة المحددة لتمثيل الأرقام في خلايا الجدول.

= س

/10 -

خطيئة

اختيار الخدمة/المعلمة

اختيار المعلمة

معنى

تغيير قيمة الخلية

نتيجة اختيار المعلمة

نعم

طلب

Chart.xls

على سبيل المثال:

دعونا نحدد المهمة للعثور عليها صالحجذور هذه المعادلة

وهناك بالتأكيد! - من المقالات حول الرسوم البيانية الوظيفيةو معادلات الرياضيات العلياأنت تعرف جيدًا ما هو الجدول الزمني الدالة متعددة الحدود درجة غريبةيتقاطع مع المحور مرة واحدة على الأقل، وبالتالي فإن المعادلة لدينا على الأقلجذر حقيقي واحد. واحد. او اثنين. أو ثلاثة.

أولا، فإنه يطرح للتحقق من توافرها عاقِلجذور. وفق النظرية المقابلة، فقط الأرقام 1، -1، 3، -3 يمكنها المطالبة بهذا "اللقب"، ومن خلال الاستبدال المباشر، من السهل التأكد من أن أيًا منها "لا يناسب". وهكذا تبقى القيم غير العقلانية. يمكن العثور على الجذر (الجذور) غير المنطقية لكثيرة الحدود من الدرجة 3 بالضبط (التعبير عن طريق الجذور)باستخدام ما يسمى صيغ كاردانو ومع ذلك، فإن هذه الطريقة مرهقة للغاية. لكن بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة فما فوق، لا توجد طريقة تحليلية عامة على الإطلاق، وبالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من المعادلات الأخرى في الممارسة العملية القيم الدقيقةمن المستحيل الحصول على جذور حقيقية (رغم وجودها).

ومع ذلك، في التطبيقية (على سبيل المثال، الهندسة)المشاكل، فمن المقبول استخدام القيم التقريبية المحسوبة بدقة معينة.

دعونا نضبط الدقة لمثالنا. ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة تقريبية للجذر (الجذور)فيها نحن نحن نضمن أن نكون مخطئين بما لا يزيد عن 0.001 (ألف) .

من الواضح تمامًا أنه لا يمكن بدء الحل "عشوائيًا" وبالتالي في الخطوة الأولى الجذور متفرق. يعني فصل الجذر العثور على جزء صغير بدرجة كافية (مفرد عادةً) ينتمي إليه هذا الجذر، ولا توجد عليه جذور أخرى. أبسط وأكثر سهولة الطريقة الرسومية لفصل الجذر. لنبني نقطة بنقطةرسم بياني للدالة :

يتبين من الرسم أن المعادلة، على ما يبدو، لها جذر حقيقي واحد ينتمي إلى القطعة. في نهايات هذه الفترة الفاصلة الدالة يأخذ قيم علامات مختلفة: ومن الحقيقة استمرارية الوظيفة على الجزءتظهر على الفور طريقة أولية لتوضيح الجذر: نقسم الفاصل الزمني إلى نصفين ونختار الجزء الذي تأخذ الدالة في نهايته إشارات مختلفة. في هذه الحالة، من الواضح أنه جزء. نقسم الفاصل الزمني الناتج إلى النصف ونختار مرة أخرى مقطع "العلامة المختلفة". وما إلى ذلك وهلم جرا. تسمى هذه الإجراءات المتسلسلة التكرارات. في هذه الحالة، يجب تنفيذها حتى يصبح طول المقطع أقل من ضعف دقة الحساب، ويجب اختيار منتصف المقطع الأخير "بعلامة مختلفة" كقيمة تقريبية للجذر.

حصل المخطط المدروس على اسم طبيعي - طريقة القسمة النصفية. وعيب هذه الطريقة هو السرعة. ببطء. بطيء جدا. سيكون هناك الكثير من التكرارات قبل أن نحقق الدقة المطلوبة. مع تطور تكنولوجيا الكمبيوتر، هذه، بالطبع، ليست مشكلة، ولكن الرياضيات هي الرياضيات، للبحث عن الحلول الأكثر عقلانية.

وإحدى الطرق الأكثر فعالية للعثور على القيمة التقريبية للجذر هي بالتحديد طريقة الظل. الجوهر الهندسي الموجز للطريقة هو كما يلي: أولاً، باستخدام معيار خاص (المزيد عن ذلك بعد قليل)يتم تحديد أحد طرفي المقطع. وتسمى هذه النهاية أوليتقريب الجذر، في مثالنا: . الآن نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني (النقطة الزرقاء والظل الأرجواني):

لقد عبر هذا المماس المحور السيني عند النقطة الصفراء، ولاحظ أننا في الخطوة الأولى تقريبًا "وصلنا إلى الجذر"! سيكون ذلك أولاًنهج الجذر. بعد ذلك، نقوم بخفض اللون الأصفر المتعامد على الرسم البياني للدالة و"الوصول" إلى النقطة البرتقالية. نرسم مرة أخرى مماسًا عبر النقطة البرتقالية التي ستتقاطع مع المحور بالقرب من الجذر! وما إلى ذلك وهلم جرا. ليس من الصعب أن نفهم أنه باستخدام طريقة الظل، فإننا نقترب من الهدف بسرعة فائقة، وسوف يستغرق الأمر عدة تكرارات حرفيًا لتحقيق الدقة.

منذ يتم تعريف الظل من خلال مشتق من الوظيفةثم انتهى هذا الدرس إلى قسم "المشتقات" كأحد تطبيقاته. ودون الخوض في التفاصيل التبرير النظري للطريقةسأفكر في الجانب الفني للمشكلة. من الناحية العملية، تحدث المشكلة الموضحة أعلاه تقريبًا في الصيغة التالية:

مثال 1

باستخدام الطريقة الرسومية، أوجد الفترة التي يقع فيها الجذر الحقيقي للمعادلة. باستخدام طريقة نيوتن، احصل على قيمة تقريبية للجذر بدقة 0.001

إليك "نسخة احتياطية" من المهمة، حيث يُذكر على الفور وجود جذر واحد صالح.

حل: في الخطوة الأولىيجب فصل الجذر بيانياً. يمكن القيام بذلك عن طريق التخطيط (انظر الرسوم التوضيحية أعلاه)، ولكن هذا النهج له عدد من العيوب. أولاً، ليس حقيقة أن الرسم البياني بسيط (لا نعرف مقدما)، والبرنامج ليس في متناول اليد دائمًا. وثانيا (النتيجة الطبيعية من 1)، مع احتمال كبير، لن تكون النتيجة حتى رسمًا تخطيطيًا، بل رسمًا تقريبيًا، وهو بالطبع ليس جيدًا.

حسنا، لماذا نحتاج إلى صعوبات غير ضرورية؟ دعنا نتخيل المعادلةفي النموذج، قم بإنشاء الرسوم البيانية بعناية ووضع علامة على الجذر في الرسم (الإحداثي "X" لنقطة تقاطع الرسوم البيانية):

ميزة واضحة هذه الطريقةهو أن الرسوم البيانية لهذه الوظائف يتم إنشاؤها يدويًا بشكل أكثر دقة وأسرع بكثير. بالمناسبة، لاحظ ذلك مستقيمعبرت القطع المكافئ المكعبعند نقطة واحدة، مما يعني أن المعادلة المقترحة لها في الواقع جذر حقيقي واحد فقط. ثق ولكن تحقق ؛-)

لذا، فإن "عميلنا" ينتمي إلى المقطع و"بالعين" يساوي تقريبًا 0.65-0.7.

في الخطوة الثانيةبحاجة للاختيار التقريب الأوليجذر عادة ما يكون هذا أحد نهايات المقطع. يجب أن يستوفي التقريب الأولي الشرط التالي:

دعونا نجد أولاًو ثانيةوظائف مشتقة :

وتحقق من الطرف الأيسر للقطعة:

وبالتالي فإن الصفر "لم يكن مناسبًا".

التحقق من الطرف الأيمن للقطعة:

- كل شيء على ما يرام! نختار كتقريب أولي.

في الخطوة الثالثةالطريق إلى الجذر ينتظرنا. يتم حساب كل تقريب جذر لاحق من البيانات السابقة باستخدام ما يلي متكررالصيغ:

تنتهي العملية عند استيفاء الشرط، حيث يتم تحديد دقة حسابية محددة مسبقًا. ونتيجة لذلك، يتم أخذ التقريب "nth" كقيمة تقريبية للجذر: .

التالي هي الحسابات الروتينية:

(يتم التقريب عادة إلى 5-6 منازل عشرية)

بما أن القيمة التي تم الحصول عليها أكبر من، فإننا ننتقل إلى التقريب الأول للجذر:

نحسب:

لذلك لا بد من الانتقال إلى التقريب الثاني:

دعنا ننتقل إلى الجولة التالية:

وبذلك تكون التكرارات قد اكتملت، وينبغي اعتبار التقريب الثاني هو القيمة التقريبية للجذر، والتي، وفقًا للدقة المحددة، يجب تقريبها إلى جزء من الألف:

من الناحية العملية، من الملائم إدخال نتائج العمليات الحسابية في الجدول، من أجل تقصير الإدخال إلى حد ما، وغالبًا ما يُشار إلى الكسر بواسطة:

إذا كان ذلك ممكنا، فمن الأفضل إجراء الحسابات نفسها في Excel - فهي أكثر ملاءمة وأسرع:

إجابة: دقيقة إلى 0.001

اسمحوا لي أن أذكركم أن هذه العبارة تعني أننا ارتكبنا خطأ في تقييمنا المعنى الحقيقيالجذر بما لا يزيد عن 0.001. يمكن لأولئك الذين لديهم شك أن يلتقطوا حاسبة صغيرة ويستبدلوا مرة أخرى القيمة التقريبية 0.674 على الجانب الأيسر من المعادلة.

الآن دعونا "نقوم بمسح" العمود الأيمن من الجدول من أعلى إلى أسفل ونلاحظ أن القيم تتناقص بشكل مطرد في القيمة المطلقة. ويسمى هذا التأثير التقاربطريقة تسمح لنا بحساب الجذر بدقة عالية بشكل تعسفي. لكن التقارب لا يحدث دائمًا، بل هو مضمون عدد من الشروط، الذي التزمت الصمت عنه. على وجه الخصوص، يجب أن يكون الجزء الذي يتم عزل الجذر عليه صغيرة بما يكفي- وإلا ستتغير القيم بشكل عشوائي ولن نتمكن من إكمال الخوارزمية.

ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ تأكد من استيفاء الشروط المحددة (انظر الرابط أعلاه)، وإذا لزم الأمر، قم بتقليل المقطع. لذا، نسبيًا، إذا لم يكن الفاصل الزمني مناسبًا لنا في المثال الذي تم تحليله، فيجب أن نأخذ في الاعتبار، على سبيل المثال، المقطع. في الممارسة العملية، واجهت مثل هذه الحالات، وهذه التقنية تساعد حقًا! ويجب أن يتم الأمر نفسه إذا كان طرفا المقطع "الواسع" لا يستوفيان الشرط (أي أن أياً منها ليس مناسباً كتقريب أولي).

ولكن عادةً ما يعمل كل شيء مثل الساعة، ولكن ليس بدون عيوب:

مثال 2

حدد بيانياً عدد الجذور الحقيقية للمعادلة، وافصل هذه الجذور، وباستخدام طريقة نيوتن، ابحث عن القيم التقريبية للجذور بدقة

أصبحت حالة المشكلة أكثر صرامة بشكل ملحوظ: أولاً، تحتوي على إشارة قوية إلى أن المعادلة ليس لها جذر واحد، وثانيًا، زادت متطلبات الدقة، وثالثًا، مع الرسم البياني للدالة أكثر صعوبة في التعامل معها.

وبالتالي حللنبدأ بحيلة التوفير: تخيل المعادلة في النموذج وارسم الرسوم البيانية:

يتبين من الرسم أن المعادلة لها جذرين حقيقيين:

الخوارزمية، كما تفهم، تحتاج إلى "كرنك" مرتين. ولكن هذا حتى في الحالات الشديدة، في بعض الأحيان عليك فحص 3-4 جذور.

1) استخدام المعيار دعنا نتعرف على نهاية المقطع الذي يجب اختياره كتقريب أولي للجذر الأول. إيجاد مشتقات الدوال :

اختبار الطرف الأيسر من المقطع:

- خطرت!

وهكذا، هو تقريب أولي.

سنقوم بتحسين الجذر باستخدام طريقة نيوتن باستخدام الصيغة المتكررة:
- حتى الكسر moduloلن تقل عن الدقة المطلوبة :

وهنا تكتسب كلمة “module” أهمية غير وهمية، إذ أن القيم سلبية:

لنفس السبب، ينبغي إيلاء اهتمام خاص عند الانتقال إلى كل تقريب تالي:

على الرغم من متطلبات الدقة العالية إلى حد ما، انتهت العملية مرة أخرى عند التقريب الثاني: لذلك:

دقيقة إلى 0.0001

2) دعونا نجد القيمة التقريبية للجذر.

نتحقق من الطرف الأيسر من الجزء بحثًا عن القمل:

لذا فهو غير مناسب كتقدير أولي.

فصل الجذر
دع المعادلة f(x)=0, (1) تعطى
حيث يتم تعريف f(x) ومستمر في بعض الفواصل الزمنية المحدودة أو اللانهائية a≤x≥b.
أي قيمة ξ تحول الدالة f(x) إلى صفر، أي أن f(ξ)=0 تسمى جذر المعادلة (1) أو صفر الدالة f(x).
يُطلق على الرقم ξ جذر تعدد k إذا كان عند x= ξ، مع الدالة f(x)، وتختفي مشتقاته حتى (k-1)
f(ξ) = f’(ξ) = … = f k -1 (ξ) = 0
الجذر الواحد يسمى بسيط .

عادة ما يتكون التحديد التقريبي لجذور المعادلة (1) من مرحلتين:
1. فصل الجذور، أي تحديد الفترات [α i ,β i ] التي تحتوي على جذر واحد للمعادلة (1).
2. تحسين الجذور التقريبية، أي الوصول بها إلى دقة معينة.

التتبع مفيد لفصل الجذور. نظرية:
النظرية 1.إذا كانت الدالة المستمرة f(x) تأخذ قيم إشارات مختلفة في نهايات المقطع، أي f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, то есть найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ)=0.
من الواضح أن الجذر فريد إذا كان f '(x) موجودًا ويحتفظ بعلامة ثابتة خلال الفاصل الزمني.
دليل:دع f(a) للتحديد<0, f(b)>0. ثم تحتوي الفترة على نقطة واحدة على الأقل ξ في الفترة (ξ 1 , ξ 2) (a< ξ 1 < ξ< ξ 2 و(ξ 1)<0, f(ξ 2)>0. (2)
نظرًا لاستمرارية الوظيفة، لكل δ>0 صغير بشكل تعسفي، يوجد دائمًا رقم ε>0 مثل | ξ 1 - ξ 2 |<ε выполняется |f 1 – f 2 |<δ, где f i =f(ξ i); i=1,2. Из условия (3.2) и условия |f 1 – f 2 |<δ следует, что |f 1 |<δ и |f 2 |<δ. Поскольку f 1 <0, а f 2 >0 و f(x) مستمر، إذن هناك نهاية أو f(ξ)=0 وبالتالي تم إثبات الجزء الأول من النظرية.
علاوة على ذلك، إذا احتفظت f '(x) بعلامتها، فستكون رتيبة، أي لأي x 1 0) أو f(x 1) > f(x 2) (إذا كان f '(x)<0). В силу условия f(a)f(b)<0, монотонности и непрерывности корень будет единственный. Доказательство закончено.
دعونا نفكر في طريقة رسومية أو جدولية لفصل الجذور. في فترة زمنية معينة، يتم تحديد شبكة a=x 1 ، فإن دقة العثور على الجذر ستكون مساوية لنصف الفاصل الزمني . تحتاج أيضًا إلى التأكد مما إذا كان الجذر الذي تم العثور عليه هو الوحيد أم لا. للقيام بذلك، يكفي تنفيذ عملية النصفين، وتقسيم الفاصل الزمني إلى قسمين، وأربعة، وما إلى ذلك. أجزاء متساوية وتحديد علامات الدالة f(x) عند نقاط القسمة. عند القسمة نزيد من دقة تحديد الجذر.

المثال رقم 1. حدد جذور المعادلة f(x) = x 3 – 6x +2 = 0
حل:دعونا نرسم مخططًا تقريبيًا.

س	-∞	-3	-1	0	1	3	∞
و (خ)	-	-	+	+	-	+	+

وبالتالي، فإن المعادلة (3.3) لها ثلاثة جذور حقيقية تقع في الفترات (-3،-1)، (0.1)، (1.3).
لحل المعادلة (3.3) بيانياً، من المناسب استبدال (3.3) بالمعادلة المكافئة
f 1 (x) = f 2 (x) أو x 3 = 6x-2، أي
و(× 1) = × 3،
و 2 (س) = 6س-2.
تلك القيمة x=ξ حيث f 1 (ξ) = f 2 (ξ) ستكون جذر المعادلة (3.3).

المثال رقم 2. س*سجل(س)=1.
حل: ,
ξ ≈ 2.5.

وبذلك نكون قد حددنا الفترات التي تحتوي على جذر واحد. دعونا الآن نفكر في طرق تنقية الجذور.
قبل الانتقال إلى طرق تنقية الجذور، دعونا نحدد تقارب سلسلة من الأرقام (أو تقارب العملية التكرارية).
التعريف 1.إذا استمر عدم المساواة
, (4)
ثم يقال أن التسلسل (x k ) يتقارب خطيًا إلى الحد ξ. هنا α هو معامل التقارب. إذا كانت α → 0، فلدينا تقارب خطي فائق.

التعريف 2.إذا كان هناك r>1 (r=2,3,...) هكذا , (5)
ثم التسلسل (x k) له تقارب في الترتيب r. هنا ج = ثابت.
يتم أخذ الحد الأقصى في (4) و(5) على جميع التسلسلات (x k ).

المثال رقم 3. افصل جذور المعادلة f(x) باستخدام الطريقة التحليلية الرسومية. ابحث عن جذور المعادلة بدقة معينة باستخدام طرق التنصيف أو نيوتن أو التكرار البسيط. التحقق من صحة الحلول التي تم العثور عليها عن طريق حساب البقايا.

يمكن العثور على الجذور الحقيقية للمعادلة f(x)=0 (سواء الجبرية أو المتسامية) تقريبًا بيانيًا أو عن طريق فصل الجذور. لحل المعادلة f(x)=0 بيانياً، أنشئ رسماً بيانياً للدالة y=f(x); إن حدود نقاط التقاطع ونقاط تماس الرسم البياني مع محور الإحداثيات هي جذور المعادلة. تتمثل طريقة فصل الجذور في العثور على رقمين a وb حيث تكون الدالة f(x)، التي يُفترض أنها متصلة، لها علامات مختلفة - في هذه الحالة يوجد جذر واحد على الأقل بين a وb؛ إذا حافظت المشتقة f"(x) على علامتها في الفترة من a إلى b، فإن f(x) هي دالة رتيبة، ثم يكون هذا الجذر فريدًا (الشكل 1).

الصورة 1.

فيما يلي المزيد من التقنيات المتقدمة التي تسمح لك بالعثور على الجذر بأي دقة. دع هاتين القيمتين للوسيطة x=a، x=b (a

باستخدام طريقة الوتر: تم العثور على قيمة الجذر × 1 للمعادلة f(x) = 0 في الفترة [a, b] بالتقريب الأول بواسطة الصيغة

ثم يتم اختيار واحد من الفواصل التي في نهايتها القيم f(x) لها إشارات مختلفة ويتم العثور على الجذر x 2 في التقريب الثاني باستخدام نفس الصيغة، ولكن مع استبدال الرقم x 1 بـ x 2، والرقم b أو a بواسطة x 1 ( اعتمادًا على ما إذا كان الفاصل الزمني مأخوذًا أو [x 1, b]). تم العثور على التقديرات اللاحقة بالمثل (الشكل 2).

الشكل 2.

باستخدام طريقة الظل (أو طريقة نيوتن)، نعتبر نهاية الفترة [a، b]، حيث f(x) وf""(x) لهما نفس الإشارات (الشكل 3).

الشكل 3.

اعتمادًا على ما إذا كان هذا الشرط قد تم استيفاءه في النهاية x=a أو في النهاية x=b، يتم تحديد قيمة الجذر x 1 في التقريب الأول بواسطة إحدى الصيغ

ثم يؤخذ في الاعتبار الفاصل (إذا تم استخدام الصيغة الأولى) أو (إذا تم استخدام الصيغة الثانية) وبطريقة مماثلة يتم العثور على قيمة الجذر × 2 بالتقريب الثاني، الخ.

الاستخدام المشترك لطريقة الوتر وطريقة الظل هو كما يلي. يتم تحديده عند أي نهاية الفاصل الزمني [a، b] تكون القيم f(x) و f"(x) لها نفس العلامات. بالنسبة لهذه النهاية من الفاصل الزمني، يتم استخدام إحدى صيغ طريقة الظل ، على التوالي، الحصول على القيمة x 1. باستخدام إحدى الفواصل الزمنية، يتم الحصول على الصيغة باستخدام طريقة الوتر، ويتم الحصول على القيمة x 2 ثم يتم إجراء الحسابات بنفس الطريقة للفاصل الزمني، وما إلى ذلك.

مثال 1:ص=و(س)=س 3 +2س-6=0. بالتجربة نجد 1.4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375.
النهج الأول:

نكرر العملية، مع استبدال قيم a، f(a) بـ x 1 =1.455؛ و(س 1)=-0.010.

التقريب الثاني:

مثال 2:س-1.5 كوس س=0. نجد التقريب الأول باستخدام طاولة 1.35: إذا قمت بتعيين x 1 =0.92، فإن cos x 1 =0.60582 و0.92≈1.5?0.61. نوضح الجذر باستخدام طريقة الظل: y"=1+1.5 sin x; y""=1.5 cos x. وباستخدام نفس الجدول لدينا:

أخيراً

تتضمن الطرق التقريبية لحل المعادلات أيضًا طريقة التكرار. ويتكون من حقيقة أنه بطريقة ما يتم تقليل المعادلة إلى الشكل x=φ(x). بعد العثور على x 1 تقريبًا، استبدل القيمة التي تم العثور عليها في الجانب الأيمن من المعادلة وابحث عن القيم التقريبية المكررة x 2 =φ(x 1)، x 3 =φ(x 2)، وما إلى ذلك؛ الأرقام x 2, x 3, ... تقترب من الجذر المطلوب (تتقارب العملية) if?φ?(x)?<1.