رتبة المصفوفة. مفهوم رتبة المصفوفة كيفية حساب رتبة المصفوفة المربعة

§3. رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة

صفوف خطية تابعة

تحولات المصفوفة الأولية

المصفوفات المكافئة

خوارزمية لإيجاد رتبة مصفوفة باستخدام التحولات الأولية

§4. محددات الرتب الأولى والثانية والثالثة

محدد من الدرجة الأولى

محدد من الدرجة الثانية

محدد من الدرجة الثالثة

حكم ساروس

§5. حساب محددات الطلبات الكبيرة

الجمع الجبري

نظرية لابلاس

محدد المصفوفة المثلثية

طلب. مفهوم المحدد صالترتيب ال بشكل عام.

§ 3. رتبة المصفوفة

تتميز كل مصفوفة برقم معين مهم في حل أنظمة المعادلات الخطية. هذا الرقم يسمى رتبة المصفوفة.

رتبة المصفوفةيساوي عدد الصفوف (الأعمدة) المستقلة خطيًا ، والتي يتم من خلالها التعبير عن جميع الصفوف (الأعمدة) الأخرى خطيًا.

تسمى صفوف (أعمدة) المصفوفة تعتمد خطياإذا كانت العناصر المقابلة لها متناسبة.

بمعنى آخر ، فإن عناصر أحد الصفوف التابعة خطيًا تساوي عناصر الآخر ، مضروبة في نفس العدد. على سبيل المثال ، الصفوف 1 و 2 من المصفوفة أتعتمد خطيًا إذا ، أين (رقم ما).

مثال. أوجد مرتبة المصفوفة

حل.

يتم الحصول على الصف الثاني من الأول إذا تم ضرب عناصره في -3 ، ويتم الحصول على الصف الثالث من الأول إذا تم ضرب عناصره في 0 ، ولا يمكن التعبير عن الصف الرابع بدلالة الأول. اتضح أن المصفوفة بها صفان مستقلان خطيًا ، لأن الصفوف الأول والرابع غير متناسبين ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي 2.

رتبة المصفوفة أيعني رتبة أأو ص(أ).

من تعريف رتبة المصفوفة ما يلي:

1. لا تتجاوز مرتبة المصفوفة أصغر أبعادها ، أي للمصفوفة أكون × ن .

2. رتبة المصفوفة تساوي صفرًا فقط إذا كانت مصفوفة صفرية.

في الحالة العامة ، يعد تحديد رتبة المصفوفة أمرًا شاقًا للغاية. لتسهيل هذه المهمة ، يتم استخدام التحويلات التي تحافظ على رتبة المصفوفة ، والتي تسمى التحولات الأولية:

1) تجاهل صف صفر (عمود) ؛

2) ضرب جميع عناصر الصف (العمود) بعدد آخر غير الصفر ؛

3) تغيير ترتيب الصفوف (الأعمدة) ؛

4) إضافة إلى عناصر صف واحد (عمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) ، مضروبًا في أي رقم ؛

5) تبديل المصفوفة.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر بعدد محدود من التحولات الأولية.

تتم الإشارة إلى معادلة المصفوفات بعلامة "~" (مكافئة).

بمساعدة التحولات الأولية ، يمكن تصغير أي مصفوفة إلى شكل مثلث ، وبالتالي فإن حساب رتبتها ليس بالأمر الصعب.

عملية حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأوليةلنلقي نظرة على مثال.

مثال. أوجد مرتبة المصفوفة

أ =

حل.

مهمتنا هي إحضار المصفوفة إلى شكل مثلث ، أي باستخدام تحويلات أولية ، تأكد من أن الأصفار فقط هي تحت القطر الرئيسي في المصفوفة.

1. النظر في السطر الأول. إذا كان العنصر أ 11 = 0 ، ثم عند تبديل الصفوف أو الأعمدة ، نحقق ذلك أ 11 ¹ 0. في مثالنا ، دعنا نتبادل ، على سبيل المثال ، الصفين الأول والثاني من المصفوفة:

أ =

الآن العنصر أ 11 ¹ 0. بضرب الصف الأول بأرقام مناسبة وإضافتها مع صفوف أخرى ، سنضمن أن جميع عناصر العمود الأول (باستثناء أ 11) تساوي الصفر.

2. لننظر الآن في السطر الثاني. إذا كان العنصر أ 22 = 0 ، ثم عند تبديل الصفوف أو الأعمدة ، نحقق ذلك أ 22 ¹ 0. إذا كان العنصر أ 22 ¹ 0 (ولدينا أ 22 = –1 ¹ 0) ، ثم بضرب الصف الثاني بأرقام مناسبة وإضافتها إلى صفوف أخرى ، سنضمن أن جميع عناصر العمود الثاني (باستثناء أ 22) تساوي صفرًا.

3. إذا تم الحصول على صفوف (أعمدة) تتكون بالكامل من أصفار أثناء عملية التحويل ، فإننا نتجاهلها. في مثالنا ، سنتجاهل السطرين 3 و 4:

المصفوفة الأخيرة لها شكل متدرج وتحتوي على صفين. إنها مستقلة خطيًا ، وبالتالي فإن مرتبة المصفوفة هي 2.

§ 4. محددات الرتب الأولى والثانية والثالثة

من بين مجموعة متنوعة من المصفوفات ، يتم تحديد المصفوفات المربعة بشكل منفصل. هذا النوع من المصفوفات جيد للأسباب التالية:

1. مصفوفات الهوية مربعة.

2. يمكنك ضرب وإضافة أي مصفوفات مربعة من نفس الترتيب ، وستحصل على مصفوفة من نفس الترتيب.

3. يمكن رفع المصفوفات المربعة إلى قوة.

أيضًا ، يمكن أن تحتوي المصفوفات المربعة فقط على محدد.

محدد المصفوفةهو رقم خاص محسوب وفقًا لبعض القواعد. محدد المصفوفة أيعني:

أو بأقواس مستقيمة: ،

أو الحرف اليوناني الكبير "دلتا": Δ ( أ),

أو الرمز "المحدد": det ( أ).

محدد مصفوفة من الدرجة الأولى أ= (أ 11) أو محدد من الدرجة الأولى، هو رقم يساوي عنصر المصفوفة:

∆1 = =أ 11

محدد مصفوفة من الدرجة الثانية أو محدد من الدرجة الثانية

مثال:

محدد مصفوفة من الرتبة الثالثة أو محدد من الدرجة الثالثة، هو رقم يتم حسابه بواسطة الصيغة:

يمكن حساب محدد الترتيب الثالث باستخدام حكم ساروس .

حكم ساروس. يتم توقيع العمودين الأولين على محدد الترتيب الثالث على اليمين وبعلامة الجمع (+) يأخذون مجموع منتجات العناصر الثلاثة الموجودة على القطر الرئيسي للمحدد وعلى الخطوط المتوازية "المستقيمة" إلى القطر الرئيسي ، بعلامة الطرح (-) يأخذون مجموع حاصل ضرب العناصر الموجودة على القطر الثاني وعلى "الخطوط المستقيمة" الموازية له.

مثال:

من السهل أن ترى أن عدد المصطلحات في المحدد يزداد بترتيبها. بشكل عام ، في المحدد صالترتيب ، عدد المصطلحات هو 1 2 3. ص = ص!.

دعنا نتحقق: بالنسبة إلى 1 ، فإن عدد المصطلحات يساوي 1! = 1 ،

بالنسبة إلى Δ 2 ، فإن عدد الحدود هو 2! = 1 2 = 2 ،

لعدد Δ 3 عدد المصطلحات هو 3! = 1 2 3 = 6.

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لمحدد الرتبة الرابعة ، فإن عدد المصطلحات هو 4! = 1 2 3 4 = 24 ، مما يعني أن حساب مثل هذا المحدد شاق للغاية ، ناهيك عن محددات الترتيب الأعلى. بالنظر إلى ذلك ، يحاولون تقليل حساب محددات الطلبات الكبيرة لحساب محددات الطلبات الثانية أو الثالثة.

§ 5. حساب محددات الطلبات الكبيرة

دعونا نقدم عددا من المفاهيم.

دعنا نعطي مصفوفة مربعة ا نالترتيب الثالث:

أ =

صغير معنصر ij أ ij يسمى المحدد ( ص- 1) الترتيب الذي تم الحصول عليه من المصفوفة أالإضراب أنا-الخط و يالعمود.

على سبيل المثال ، العنصر الثانوي أ 12 مصفوفة من الدرجة الثالثة ستكون:

الجمع الجبري أعنصر ij أ ij هو صغرها ، مأخوذ بعلامة (1) أنا + ي:

أ ij = (−1) أنا + جماي جاي

بعبارة أخرى، أ ij = م ij إذا أنا+يرقم زوجي،

أ ij = - م ij إذا أنا+يعدد فردي.

مثال. أوجد المكملات الجبرية لعناصر الصف الثاني من المصفوفة

حل.

بمساعدة المكملات الجبرية ، يمكن للمرء حساب محددات الطلبات الكبيرة ، بناءً على نظرية لابلاس.

نظرية لابلاس. محدد المصفوفة المربعة يساوي مجموع حاصل ضرب عناصر أي من صفوفها (أعمدتها) ومكملاتها الجبرية:

– التحلل على الخط الأول ؛

( هو التوسع في العمود j).

مثال. احسب محدد المصفوفة التحلل في السطر الأول.

حل.

وبالتالي ، يمكن اختزال محدد أي طلب إلى حساب عدة محددات لترتيب أصغر. من الواضح أنه بالنسبة للتوسيع ، من الملائم اختيار صف أو عمود يحتوي على أكبر عدد ممكن من الأصفار.

لنفكر في مثال آخر.

مثال. احسب محدد مصفوفة مثلثة

حل.

تلقيت ذلك محدد المصفوفة المثلثية يساوي حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسي .

هذا الاستنتاج المهم يجعل من السهل حساب محدد أي مصفوفة مثلثة. هذا أكثر فائدة لأنه ، إذا لزم الأمر ، يمكن اختزال أي محدد إلى شكل مثلث. في هذه الحالة ، يتم استخدام بعض خصائص المحددات.

طلب

مفهوم المحدد صالترتيب ال بشكل عام.

بشكل عام ، يمكن للمرء أن يعطي تعريفًا صارمًا لمُحدد المصفوفة صمن أجل ذلك ، من الضروري تقديم عدد من المفاهيم.

التقليبالأرقام 1 ، 2 ، ... ، نأي ترتيب لهذه الأرقام بترتيب معين يسمى. في الجبر الابتدائي ، ثبت أن عدد جميع التباديل التي يمكن تشكيلها من نالأرقام هي 12 ... n = ن!. على سبيل المثال ، ثلاثة أرقام 1 ، 2 ، 3 يمكن أن تشكل 3! = 6 تباديل: 123 ، 132 ، 312 ، 321 ، 231 ، 213.

يقولون ذلك في تقليب معين للعدد أناو يتشكل انعكاس(اضطراب) إذا أنا> ي، لكن أنايقف في هذا التقليب من قبل ي، أي إذا كان الرقم الأكبر على يسار الرقم الأصغر.

التقليب يسمى حتى(أو غريب) إذا كان العدد الإجمالي للانعكاسات زوجيًا (فرديًا) ، على التوالي.

عملية ينتقل بواسطتها المرء من تبديل إلى آخر ، وتتألف من نفس نالأرقام تسمى الاستبدال نالدرجة ال.

يتم كتابة الاستبدال الذي يحول تبديلًا إلى آخر في سطرين بين قوسين مشتركين ، وتسمى الأرقام التي تشغل نفس الأماكن في التباديل قيد الدراسة المقابلة ويتم كتابتها واحدة تحت الأخرى. على سبيل المثال ، الرمز

يشير إلى تبديل حيث 3 يذهب إلى 4 ، 1 إلى 2 ، 2 إلى 1 ، 4 إلى 3. يسمى التقليب زوجي (أو فردي) إذا كان العدد الإجمالي للانعكاسات في كلا الصفين من الاستبدال زوجي (فردي). أي استبدال نيمكن كتابة الدرجة

أولئك. مع الترتيب الطبيعي للأرقام في السطر العلوي.

دعونا نحصل على مصفوفة مربعة للترتيب ن

ضع في اعتبارك جميع المنتجات الممكنة نعناصر هذه المصفوفة ، مأخوذة واحدًا واحدًا فقط من كل صف وكل عمود ، أي أعمال النموذج:

,

أين المؤشرات ف 1 , ف 2 ,..., ف نتشكل بعض التقليب في الأرقام
1, 2,..., ن. عدد هذه المنتجات يساوي عدد التباديل المختلفة من نالشخصيات ، أي يساوي ن!. علامة العمل ، يساوي (-1) ف، أين فهو عدد الانقلابات في التقليب للمؤشرات الثانية للعناصر.

محدد نالترتيبيسمى المجموع الجبري لجميع المنتجات الممكنة أكثر نعناصر المصفوفة ، مأخوذة واحدًا وواحدًا فقط من كل صف وكل عمود ، أي أعمال النموذج: . في نفس الوقت ، علامة العمل يساوي (-1) ف، أين فهو عدد الانقلابات في التقليب للمؤشرات الثانية للعناصر.

الجبر الخطي

سابقا لمصفوفة مربعة الترتيب عشر ، تم تقديم فكرة القاصر
عنصر . تذكر أن هذا هو اسم محدد الأمر
، تم الحصول عليها من المحدد
الإضراب -الخط و العمود.

دعونا الآن نقدم المفهوم العام للقاصر. دعونا نفكر في البعض ليس بالضرورة مربعمصفوفة . دعنا نختار البعض أرقام الأسطر
و أرقام الأعمدة
.

تعريف. أمر بسيط المصفوفات (المقابلة للصفوف والأعمدة المحددة) يسمى محدد الترتيب ، مكونة من عناصر تقف عند تقاطع الصفوف والأعمدة المختارة ، أي رقم

.

تحتوي كل مصفوفة على عدد كبير جدًا من القاصرين بترتيب معين كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار أرقام الصفوف؟
والأعمدة
.

تعريف. في المصفوفة الأحجام
طلب قاصر مُسَمًّى أساسي، إذا كان مختلفًا عن الصفر ، وجميع الأطفال الصغار
هم صفر أو قاصرون من النظام
في المصفوفة بالطبع لا.

من الواضح أنه يمكن أن يكون هناك عدة قاصرين مختلفين في المصفوفة ، لكن جميع القاصرين الأساسيين لديهم نفس الترتيب. في الواقع ، إذا كان كل القصر من أجل
تساوي صفرًا ، فهي تساوي صفرًا وجميع العناصر الثانوية
، وبالتالي ، من جميع الرتب العليا.

تعريف. رتبة المصفوفةيسمى ترتيب الأساس الثانوي ، أو بعبارة أخرى ، الترتيب الأكبر الذي يوجد من أجله قاصر غير صفري. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة تساوي صفرًا ، فإن رتبة هذه المصفوفة ، بحكم التعريف ، تعتبر صفرًا.

رتبة المصفوفة سيتم الإشارة إليه بالرمز
. ويترتب على تعريف الرتبة أن المصفوفة الأحجام
نسبة عادلة.

طريقتان لحساب رتبة المصفوفة

أ) طريقة التهذيب الصغرى

دع القاصر موجود في المصفوفة
الترتيب ، يختلف عن الصفر. ضع في اعتبارك فقط هؤلاء القصر
- الترتيب الذي يحتوي على طفيفة (تحيط)
: إذا كانت كلها صفراً ، فإن مرتبة المصفوفة هي . خلاف ذلك ، بين القاصرين المجاورين هناك قاصر غير صفري
الترتيب ، ويتكرر الإجراء بأكمله.

المثال 9 . أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة القاصرين المجاورة.

نختار قاصرًا من الدرجة الثانية
. لا يوجد سوى قاصر واحد من الرتبة الثالثة ، على حدود القاصر المختار
. دعونا نحسبها.

طفيفة جدا
أساسي ، ورتبة المصفوفة تساوي ترتيبها ، أي

من الواضح أن الفرز بين القاصرين بهذه الطريقة بحثًا عن أساس واحد هو مهمة مرتبطة بحسابات كبيرة ، إذا لم تكن أبعاد المصفوفة صغيرة جدًا. ومع ذلك ، هناك طريقة أسهل للعثور على مرتبة المصفوفة - باستخدام التحويلات الأولية.

ب) طريقة التحولات الأولية

تعريف. تحولات المصفوفة الأوليةتسمى التحولات التالية:

ضرب سلسلة بعدد غير صفري ؛

إضافة سطر آخر إلى سطر واحد ؛

تبديل الخط

نفس تحويلات العمود.

يتم إجراء التحويلين 1 و 2 عنصرًا عنصرًا.

من خلال الجمع بين التحويلات من النوع الأول والثاني ، يمكننا إضافة مجموعة خطية من الأسطر المتبقية إلى أي سطر.

نظرية. التحولات الأولية لا تغير مرتبة المصفوفة.

(لا إثبات)

فكرة طريقة عملية لحساب رتبة المصفوفة

يكمن في حقيقة أنه بمساعدة التحولات الأولية المصفوفة المعطاة يؤدي إلى الرأي

, (5)

فيها العناصر "القطرية"
تختلف عن الصفر ، والعناصر الموجودة أسفل العناصر "المائلة" تساوي صفرًا. دعونا نسمي المصفوفة هذا النوع من المثلثات (خلاف ذلك ، يُطلق عليه اسم قطري أو شبه منحرف أو درج). بعد إحضار المصفوفة إلى شكل مثلث ، يمكننا كتابة ذلك على الفور
.

بالفعل،
(لأن التحولات الأولية لا تغير الترتيب). لكن المصفوفة هناك أمر ثانوي غير صفري :

,

وأي قاصر في الأمر
يحتوي على سلسلة فارغة وبالتالي فهو فارغ.

دعونا الآن صياغة عملية قاعدة حساب الترتيبالمصفوفات باستخدام التحولات الأولية: لإيجاد رتبة المصفوفة يجب إحضارها إلى شكل مثلث بمساعدة التحولات الأولية . ثم رتبة المصفوفة سيكون مساويًا لعدد الصفوف غير الصفرية في المصفوفة الناتجة .

المثال 10 أوجد مرتبة المصفوفة طريقة التحولات الأولية

حل.

لنقم بتبديل الصفين الأول والثاني (لأن العنصر الأول في الصف الثاني هو 1 وسيكون مناسبًا لإجراء تحويلات معه). نتيجة لذلك ، نحصل على مصفوفة مكافئة للمصفوفة المعطاة.

دل - الصف الثالث من المصفوفة - . علينا إحضار المصفوفة الأصلية إلى شكل مثلث. سوف نعتبر الخط الأول هو الخط الرائد ، وسوف يشارك في جميع التحولات ، لكنه يبقى نفسه دون تغيير.

في المرحلة الأولى ، نقوم بإجراء تحويلات تسمح لنا بالحصول على الأصفار في العمود الأول ، باستثناء العنصر الأول. للقيام بذلك ، من الصف الثاني ، اطرح الأول مضروبًا في 2
، أضف السطر الأول إلى السطر الثالث
ومن الثالث نطرح الأول مضروبًا في 3
نحصل على مصفوفة يتطابق مرتبتها مع رتبة المصفوفة المعطاة. دعنا نشير إليها بنفس الحرف :

.

نظرًا لأننا نحتاج إلى إحضار المصفوفة إلى الصورة (5) ، فإننا نطرح الثانية من الصف الرابع. عند القيام بذلك ، لدينا:

.

يتم الحصول على مصفوفة مثلثة ، ويمكن استنتاج ذلك
، أي عدد الصفوف غير الصفرية. باختصار ، يمكن كتابة حل المشكلة على النحو التالي:

دع بعض المصفوفة تعطى:

.

حدد في هذه المصفوفة خطوط تعسفية و أعمدة عشوائية
. ثم المحدد الترتيب عشر ، ويتألف من عناصر المصفوفة
يقع عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة يسمى ثانوي مصفوفة الترتيب
.

التعريف 1.13.رتبة المصفوفة
هي أكبر رتبة من الصغرى غير الصفرية لهذه المصفوفة.

لحساب رتبة المصفوفة ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار جميع القاصرين من الرتبة الأصغر ، وإذا كان أحدهم على الأقل غير صفري ، فانتقل إلى اعتبار القصر من الدرجة الأولى. هذا النهج لتحديد رتبة المصفوفة يسمى طريقة الحدود (أو طريقة القاصر الحدودية).

المهمة 1.4.بطريقة الحد من القصر ، حدد رتبة المصفوفة
.

.

ضع في اعتبارك الحدود من الدرجة الأولى ، على سبيل المثال ،
. ثم ننتقل إلى النظر في بعض الحدود من الدرجة الثانية.

على سبيل المثال،
.

أخيرًا ، دعنا نحلل حدود الترتيب الثالث.

.

إذن أعلى ترتيب للقاصر ليس صفرًا هو 2 ، ومن ثم
.

عند حل المشكلة 1.4 ، يمكن للمرء أن يلاحظ أن سلسلة الحدود الثانوية من الدرجة الثانية ليست صفرية. في هذا الصدد ، يحدث المفهوم التالي.

التعريف 1.14.الأساس الثانوي للمصفوفة هو أي قاصر ليس صفريًا يكون ترتيبه مساويًا لرتبة المصفوفة.

نظرية 1.2.(النظرية البسيطة الأساسية). الصفوف الأساسية (الأعمدة الأساسية) مستقلة خطيًا.

لاحظ أن صفوف (أعمدة) المصفوفة تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان يمكن تمثيل أحدها على الأقل كمجموعة خطية من الصفوف الأخرى.

نظرية 1.3.عدد صفوف المصفوفة المستقلة خطيًا يساوي عدد أعمدة المصفوفة المستقلة خطيًا ويساوي مرتبة المصفوفة.

نظرية 1.4.(شرط ضروري وكافٍ للمُحدد ليكون مساوياً للصفر). من أجل المحدد الترتيب يساوي الصفر ، من الضروري والكافي أن تكون صفوفه (أعمدته) مرتبطة خطيًا.

إن حساب مرتبة المصفوفة بناءً على تعريفها مرهق للغاية. يصبح هذا مهمًا بشكل خاص للمصفوفات عالية الترتيب. في هذا الصدد ، من الناحية العملية ، يتم حساب رتبة المصفوفة بناءً على تطبيق النظريات 10.2 - 10.4 ، وكذلك استخدام مفاهيم تكافؤ المصفوفة والتحولات الأولية.

التعريف 1.15.مصفوفتان
و تسمى متكافئة إذا كانت رتبهم متساوية ، أي
.

إذا كانت المصفوفات
و متكافئة ، ثم وضع علامة
 .

نظرية 1.5.لا تتغير رتبة المصفوفة من التحولات الأولية.

سوف نسمي التحولات الأولية للمصفوفة
أي من الإجراءات التالية في المصفوفة:

استبدال الصفوف بالأعمدة والأعمدة بالصفوف المقابلة ؛

تبديل صفوف المصفوفة ؛

شطب خط ، كل عناصره تساوي الصفر ؛

ضرب أي سلسلة بعدد غير صفري ؛

إضافة العناصر المقابلة لصف آخر إلى عناصر صف واحد مضروبة في نفس الرقم
.

النتيجة الطبيعية للنظرية 1.5.إذا كانت المصفوفة
تم الحصول عليها من المصفوفة باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، ثم المصفوفات
و متكافئة.

عند حساب مرتبة المصفوفة ، يجب تقليلها إلى شكل شبه منحرف باستخدام عدد محدود من التحولات الأولية.

التعريف 1.16.سوف نسمي شبه منحرف مثل هذا الشكل من تمثيل المصفوفة عندما تختفي جميع العناصر الموجودة أسفل المائل في الترتيب الثانوي الحدودي لأكبر ترتيب بخلاف الصفر. على سبيل المثال:

.

هنا
، عناصر المصفوفة
أنتقل إلى الصفر. ثم سيكون شكل تمثيل مثل هذه المصفوفة شبه منحرف.

كقاعدة عامة ، يتم تقليل المصفوفات إلى شكل شبه منحرف باستخدام الخوارزمية الغاوسية. فكرة الخوارزمية الغاوسية هي أنه بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة بالعوامل المقابلة ، فإنها تحقق أن جميع عناصر العمود الأول الموجودة أسفل العنصر
، سوف تتحول إلى الصفر. بعد ذلك ، بضرب عناصر العمود الثاني بالمضاعفات المقابلة ، نحقق أن جميع عناصر العمود الثاني تقع أسفل العنصر
، سوف تتحول إلى الصفر. المضي قدما بالمثل.

المهمة 1.5.حدد رتبة مصفوفة باختزالها إلى شكل شبه منحرف.

.

لتسهيل تطبيق خوارزمية Gaussian ، يمكنك تبديل الصفين الأول والثالث.








.

من الواضح هنا
. ومع ذلك ، لجلب النتيجة إلى شكل أكثر أناقة ، يمكن الاستمرار في المزيد من التحولات على الأعمدة.










.

ضع في اعتبارك مصفوفة A بالحجم.

أ =
حدد k الصفوف و k الأعمدة فيه (
).

التعريف 26:صغيرالترتيب k للمصفوفة A هو محدد المصفوفة المربعة ، والتي يتم الحصول عليها من المصفوفة المعطاة بالاختيار فيها.

صفوف ك وأعمدة ك.

التعريف 27:رتبةتسمى المصفوفة الأكبر من الترتيب غير الصفري لأبنائها الصغار ، r (A).

التعريف 28:يسمى القاصر الذي تماثل رتبته ثانوي أساسي.

إفادة:

1. يتم التعبير عن الرتبة بعدد صحيح. (
)

2.r = 0 ،
عندما يكون A صفرًا.

التحولات الأولية للمصفوفات.

تشمل التحولات الأولية للمصفوفات ما يلي:

1) ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة بنفس العدد.

2) إضافة عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة للعناصر المقابلة لصف آخر (عمود) مضروبة في نفس العدد ؛

3) تبديل صفوف (أعمدة) المصفوفة ؛

4) تجاهل الصف الصفري (العمود) ؛

5) استبدال صفوف المصفوفة بالأعمدة المقابلة.

التعريف 29:تسمى المصفوفات التي تم الحصول عليها من بعضها البعض ، في إطار التحولات الأولية ، المصفوفات المكافئة ، والتي يُشار إليها بـ "~"

الخاصية الرئيسية للمصفوفات المكافئة: رتب المصفوفات المتكافئة متساوية.

المثال 18:احسب r (A)،

حل:اضرب السطر الأول خطوة في (-4) (- 2)

(-7) ثم نضيفها إلى الصفوف الثاني والثالث والرابع على التوالي.

~

تبديل الخطين الثاني والرابع
اضرب الصف الثاني في (-2) وأضف الصف الرابع ؛ أضف الصفين الثاني والثالث.

أضف الصفين الثالث والرابع.

~
تجاهل السطر الفارغ

~
ص (أ) = 3
رتبة المصفوفة الأصلية

يساوي ثلاثة.

التعريف 30:نسمي المصفوفة A مصفوفة الخطوة إذا كانت جميع عناصر القطر الرئيسي 0 ، والعناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي هي صفر.

يعرض:

1) رتبة مصفوفة الخطوة تساوي عدد صفوفها ؛

2) يمكن اختزال أي مصفوفة إلى شكل تدريجي بمساعدة التحولات الأولية.

المثال 19:في أي قيم  مصفوفة
رتبته تساوي واحد؟

حل:الرتبة تساوي واحدًا إذا كان محدد الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، أي

§6. نظم المعادلات الخطية ذات الشكل العام.

عرض النظام
--- (9) يسمى نظام الشكل العام.

التعريف 31:يقال أن نظامين متكافئان (مكافئان) إذا كان كل حل للنظام الأول هو الحل الثاني والعكس صحيح.

في النظام (1) المصفوفة A =
ستسمى المصفوفة الرئيسية للنظام ، و =
نظام المصفوفة الموسعة

نظرية.كرونيكر كابيلي

لكي يكون النظام (9) متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، أي r (A) = r ( )

نظرية 1.إذا كانت رتبة مصفوفة نظام مشترك مساوية لعدد المجهول ، فإن النظام لديه حل فريد.

نظرية 2.إذا كانت رتبة مصفوفة نظام مشترك أقل من عدد المجهولين ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

قاعدة حل نظام تعسفي من المعادلات الخطية:

1) ابحث عن رتب المصفوفات الرئيسية والممتدة للنظام. لو
، فإن النظام غير متسق.

2) إذا
= r ، إذن النظام ثابت. العثور على بعض الأساسيات من أجل ص. سوف نسمي القاصر الأساسي ، على أساسه تم تحديد رتبة المصفوفة.

تسمى المجهولات التي تم تضمين معاملاتها في الأساسي الثانوي الرئيسي (الأساسي) واليسار على اليسار ، بينما تسمى المجهولات المتبقية مجانًا ويتم نقلها إلى الجانب الأيمن من المعادلة.

3) ابحث عن تعبيرات المجهول الأساسي من حيث المجاهيل الحرة. يتم الحصول على الحل العام للنظام.

المثال 20:تحقق من النظام ، وفي حالة توافقه ، ابحث عن حل فريد أو عام

حل: 1) وفقًا لـ T. Kronecker-Capelli ، نجد رتب المصفوفات الموسعة والأساسية للنظام:

~
~

~
~
رتبة المصفوفة الرئيسية هي اثنان

2) أوجد رتبة المصفوفة المعززة
~
~
~

3) خاتمة:
= 2 ، إذن النظام متوافق.

لكن

النظام غير محدد ولديه عدد لا حصر له من الحلول.

4) المجهول الأساسي و ، لأنهم ينتمون إلى القاصر الأساسي ، و - مجاني غير معروف.

يترك = c ، حيث c هو أي رقم.

5) المصفوفة الأخيرة تتوافق مع النظام

6) الجواب:

7) التحقق: في أي من معادلات النظام الأصلي ، حيث توجد جميع المجهول ، نقوم باستبدال القيم الموجودة.

ستناقش هذه المقالة مفهومًا مثل رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية الضرورية. سنقدم أمثلة وإثباتات لإيجاد رتبة مصفوفة ، ونخبرك أيضًا ما هي مصفوفة ثانوية وسبب أهميتها.

مصفوفة ثانوية

لفهم ما هي رتبة المصفوفة ، من الضروري فهم مفهوم مثل مصفوفة ثانوية.

التعريف 1

صغيركمصفوفة الترتيب - محدد المصفوفة المربعة بالترتيب k × k ، والذي يتكون من عناصر المصفوفة A ، الموجودة في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا ، مع الحفاظ على موضع عناصر المصفوفة A.

ببساطة ، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (p-k) والأعمدة (n-k) ، ومن العناصر المتبقية ، نصنع مصفوفة ، مع الاحتفاظ بترتيب عناصر المصفوفة A ، ثم محدد المصفوفة الناتجة هو القاصر من أجل ك من المصفوفة أ.

ويترتب على المثال أن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة A هي عناصر المصفوفة نفسها.

يمكننا إعطاء عدة أمثلة للقصر من الدرجة الثانية. دعنا نختار صفين وعمودين. على سبيل المثال ، الصف الأول والثاني ، العمود الثالث والرابع.

مع اختيار العناصر هذا ، سيكون الترتيب الثانوي من الدرجة الثانية - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

ثانوية أخرى من الرتبة الثانية للمصفوفة A هي 0 0 1 1 = 0

دعونا نقدم الرسوم التوضيحية لبناء القصر من الدرجة الثانية من المصفوفة أ:

يتم الحصول على الرتبة الثالثة من خلال حذف العمود الثالث من المصفوفة أ:

0 0 3 1 1 2-1-4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

توضيح لكيفية الحصول على الرتبة الثالثة من المصفوفة أ:

بالنسبة لمصفوفة معينة ، لا يوجد قاصر أعلى من الترتيب الثالث ، لأن

ك ≤ م أنا ن (ص ، ن) = م أنا ن (3 ، 4) = 3

كم عدد الصغرى من المرتبة k للمصفوفة A من الرتبة p × n؟

يتم حساب عدد القاصرين باستخدام الصيغة التالية:

C p k × C n k، g e C p k = p! ك! (ع - ك)! و C nk = n! ك! (ن - ك)! - عدد التوليفات من p إلى k ، من n إلى k ، على التوالي.

بعد أن قررنا ما هي صغرى المصفوفة A ، يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة A.

رتبة المصفوفة: طرق البحث

التعريف 2

رتبة المصفوفة - أعلى ترتيب للمصفوفة ، بخلاف الصفر.

التعيين 1

رتبة (أ) ، Rg (A) ، Rang (A).

من تعريف رتبة المصفوفة والصغرى للمصفوفة ، يتضح أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي الصفر ، وأن رتبة المصفوفة غير الصفرية تختلف عن الصفر.

إيجاد مرتبة المصفوفة بالتعريف

التعريف 3

طريقة العد الصغرى - طريقة تعتمد على تحديد رتبة المصفوفة.

خوارزمية الإجراءات عن طريق تعداد القصر :

من الضروري إيجاد رتبة المصفوفة أ من الترتيب ص× ن. إذا كان هناك عنصر واحد غير صفري على الأقل ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا على الأقل ( لأن هو قاصر من الدرجة الأولى لا يساوي صفرًا).

ثم يلي ذلك تعداد القصر من الدرجة الثانية. إذا كان كل الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن الرتبة تساوي واحدًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفريًا من الترتيب الثاني ، فمن الضروري الذهاب إلى تعداد القصر من الدرجة الثالثة ، وستكون رتبة المصفوفة ، في هذه الحالة ، اثنين على الأقل.

لنفعل الشيء نفسه مع المرتبة الثالثة: إذا كانت جميع العناصر الثانوية في المصفوفة تساوي صفرًا ، فستكون الرتبة مساوية لاثنين. إذا كان هناك واحد على الأقل من الرتبة الثالثة غير صفرية ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة على الأقل. وهكذا ، عن طريق القياس.

مثال 2

أوجد رتبة المصفوفة:

أ \ u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

نظرًا لأن المصفوفة ليست صفرية ، فإن رتبتها تساوي واحدًا على الأقل.

الدرجة الثانية الثانوية - 1 1 2 2 = (- 1) × 2-1 × 2 = 4 ليست صفرية. هذا يعني أن رتبة المصفوفة A لا تقل عن اثنين.

نقوم بالفرز من خلال القاصرين من الترتيب الثالث: C 3 3 × C 5 3 \ u003d 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 قطع.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6-4 4 11-7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11-7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1-7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0-4 11 1-7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

الدرجة الثالثة الصغرى هي صفر ، لذا فإن رتبة المصفوفة هي اثنان.

إجابة : المرتبة (أ) = 2.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القصر

التعريف 3

طريقة التهذيب الصغرى - طريقة تسمح لك بالحصول على نتيجة بعمل حسابي أقل.

هدب قاصر - M o k (k + 1) - الترتيب الثالث للمصفوفة A ، الذي يحد M الصغرى من الرتبة k من المصفوفة A ، إذا كانت المصفوفة التي تتوافق مع القاصر M o k "تحتوي على" المصفوفة التي تتوافق مع القاصر م.

ببساطة ، يتم الحصول على المصفوفة المقابلة لحدود M الصغيرة من المصفوفة المقابلة للصغرى الحدودية M o k عن طريق حذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

مثال 3

أوجد رتبة المصفوفة:

أ = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

لإيجاد الرتبة ، نأخذ المرتبة الثانية الثانوية M = 2 - 1 4 1

نكتب جميع القاصرين المجاورين:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

لإثبات طريقة تجاور القاصرين ، نقدم نظرية لا تتطلب صياغتها أساس إثبات.

نظرية 1

إذا كان كل القاصرين الذين يحدون من الرتبة k-th من المصفوفة A من الرتبة p في n يساوي صفرًا ، فإن كل العناصر الثانوية (k + 1) للمصفوفة A تساوي صفرًا.

خوارزمية العمل :

للعثور على مرتبة المصفوفة ، ليس من الضروري المرور عبر كل القصر ، فقط انظر إلى الحدود.

إذا كانت الحدود الصغرى تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي صفرًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل لا يساوي صفرًا ، فإننا نعتبر قاصرين متجاورين.

إذا كانت جميعها صفراً ، فإن الرتبة (أ) هي اثنان. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفراً على الحدود ، فإننا ننتقل إلى اعتبار القاصرين المجاورين له. وهكذا ، بطريقة مماثلة.

مثال 4

أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القاصرين

أ = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

كيف تقرر؟

نظرًا لأن العنصر a 11 في المصفوفة A لا يساوي صفرًا ، فإننا نأخذ العنصر الأصغر من الترتيب الأول. لنبدأ في البحث عن حد أدنى غير الصفر:

2 1 4 2 = 2 × 2-1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

لقد وجدنا قاصرًا حدوديًا من الرتبة الثانية لا يساوي صفرًا 2 0 4 1.

لنعد القاصرين المجاورين - (هناك (4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطع).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

إجابة : المرتبة (أ) = 2.

إيجاد رتبة مصفوفة بطريقة غاوس (باستخدام التحولات الأولية)

تذكر ما هي التحولات الأولية.

التحولات الأولية:

• عن طريق إعادة ترتيب صفوف (أعمدة) المصفوفة ؛
• بضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة بعدد تعسفي غير صفري ك ؛

عن طريق إضافة عناصر أي صف (عمود) تتوافق مع صف آخر (عمود) من المصفوفة ، والتي يتم ضربها برقم تعسفي ك.

التعريف 5

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة غاوس - طريقة تعتمد على نظرية تكافؤ المصفوفة: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، فإن الرتبة (A) = الرتبة (B).

صحة هذا البيان يتبع من تعريف المصفوفة:

• في حالة تبديل صفوف أو أعمدة المصفوفة ، علامة التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي صفرًا ، فعند تبديل الصفوف أو الأعمدة تظل مساوية للصفر ؛
• في حالة ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي ك ، والذي لا يساوي الصفر ، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية ، والذي يتم ضربه بواسطة k ؛

في حالة إضافة عناصر صف أو عمود معين من المصفوفة ، فإن العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر ، والتي يتم ضربها بالرقم k ، لا تغير محددها.

جوهر طريقة التحولات الأولية : اختزل المصفوفة ، التي يمكن إيجاد رتبتها ، إلى شبه منحرف باستخدام التحولات الأولية.

لماذا؟

من السهل جدًا العثور على ترتيب المصفوفات من هذا النوع. إنه يساوي عدد الصفوف التي تحتوي على عنصر واحد غير فارغ على الأقل. وبما أن الرتبة لا تتغير أثناء التحولات الأولية ، فستكون هذه هي رتبة المصفوفة.

دعنا نوضح هذه العملية:

• بالنسبة للمصفوفات المستطيلة A بالترتيب p في n ، يكون عدد صفوفها أكبر من عدد الأعمدة:

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 2 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ن - 1 ن 0 0 0 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0، R a n k (A) = n

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ، R a n k (A) = k

• للمصفوفات المستطيلة A بالترتيب p في n ، وعدد صفوفها أقل من عدد الأعمدة:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 b p p + 1 ⋯ ب ف ن ، ر أ ن ك (أ) = ص

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0

• للمصفوفات المربعة A من أجل n بواسطة n:

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ن - 1 ن 0 0 0 0 1 ، R a n k (A) = n

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R a n k (A) = k، k< n

مثال 5

أوجد رتبة المصفوفة أ باستخدام التحولات الأولية:

أ = ٢ ١ - ٢ ٦ ٣ ٠ ٠ - ١ ١ - ١ ٢ - ٧ ٥ - ٢ ٤ - ١٥ ٧ ٢ - ٤ ١١

كيف تقرر؟

نظرًا لأن العنصر a 11 غير صفري ، فمن الضروري مضاعفة عناصر الصف الأول من المصفوفة A في 1 a 11 \ u003d 1 2:

أ = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

نضيف إلى عناصر الصف الثاني العناصر المقابلة للصف الأول ، والتي يتم ضربها في (-3). إلى عناصر الصف الثالث نضيف عناصر الصف الأول ، والتي يتم ضربها ب (-1):

~ A (1) \ u003d 1 1 2-1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2-7 5-2 4-15 7 2-4 11 ~ A (2) \ u003d \ u003d 1 1 2-1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

العنصر a 22 (2) ليس صفريًا ، لذلك نضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة A في A (2) في a 1 a 22 (2) = - 2 3:

أ (3) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0-9 2 9-30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2-30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• إلى عناصر الصف الثالث من المصفوفة الناتجة ، نضيف العناصر المقابلة للصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 3 2 ؛
• إلى عناصر الصف الرابع - عناصر الصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 9 2 ؛
• لعناصر الصف الخامس - عناصر الصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 3 2.

جميع عناصر الصف صفر. وهكذا ، بمساعدة التحولات الأولية ، قمنا بتقليل المصفوفة إلى شكل شبه منحرف ، يمكن من خلاله ملاحظة أن R a n k (A (4)) = 2. ويترتب على ذلك أن مرتبة المصفوفة الأصلية تساوي أيضًا اثنين.

تعليق

إذا قمت بإجراء تحويلات أولية ، فلن يُسمح بالقيم التقريبية!

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter