شيستاكوف 1994 مع 8 9 ضرب الكسور. ضرب الكسور البسيطة والمختلطة بمقامات مختلفة

ضرب الكسور العادية

لنلقي نظرة على مثال.

يجب أن يكون هناك $\frac(1)(3)$ جزء من التفاحة على طبق. نحن بحاجة إلى العثور على الجزء $\frac(1)(2)$ منه. الجزء المطلوب هو نتيجة ضرب الكسور $\frac(1)(3)$ و $\frac(1)(2)$. نتيجة ضرب كسرين مشتركين هي كسر عادي.

ضرب كسرين عاديين

قاعدة ضرب الكسور العادية:

نتيجة ضرب كسر في كسر هو كسر بسطه يساوي حاصل ضرب بسطي الكسور، ومقامه يساوي حاصل ضرب المقامين:

مثال 1

قم بإجراء عملية ضرب الكسور المشتركة $\frac(3)(7)$ و $\frac(5)(11)$.

حل.

دعونا نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

إجابة:$\فارك(15)(77)$

إذا أدى ضرب الكسور إلى كسر قابل للاختزال أو غير حقيقي، فستحتاج إلى تبسيطه.

مثال 2

اضرب الكسور $\frac(3)(8)$ و $\frac(1)(9)$.

حل.

نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر قابل للاختزال (على أساس القسمة على $3$. بقسمة البسط والمقام للكسر على $3$، نحصل على:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

الحل القصير:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

إجابة:$\فارك(1)(24).$

عند ضرب الكسور، يمكنك تقليل البسط والمقامات حتى تجد منتجهم. وفي هذه الحالة يتم تحليل بسط ومقام الكسر إلى عوامل بسيطة، وبعد ذلك يتم إلغاء العوامل المتكررة ويتم العثور على النتيجة.

مثال 3

احسب حاصل ضرب الكسور $\frac(6)(75)$ و$\frac(15)(24)$.

حل.

دعونا نستخدم الصيغة لضرب الكسور العادية:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

من الواضح أن البسط والمقام يحتويان على أرقام يمكن اختزالها في أزواج إلى الأرقام $2$ و$3$ و$5$. دعونا نحلل البسط والمقام إلى عوامل بسيطة ونجري عملية اختزال:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

إجابة:$\فارك(1)(20).$

عند ضرب الكسور، يمكنك تطبيق القانون التبادلي:

ضرب كسر عادي في عدد طبيعي

قاعدة ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي:

نتيجة ضرب الكسر في عدد طبيعي هي كسر بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسر في العدد الطبيعي، ومقامه يساوي مقام الكسر المضروب:

حيث $\frac(a)(b)$ هو كسر عادي، $n$ هو عدد طبيعي.

مثال 4

اضرب الكسر $\frac(3)(17)$ في $4$.

حل.

دعونا نستخدم قاعدة ضرب الكسر العادي بعدد طبيعي:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

إجابة:$\فارك(12)(17).$

لا تنس التحقق من نتيجة الضرب عن طريق اختزال الكسر أو الكسر غير الحقيقي.

مثال 5

اضرب الكسر $\frac(7)(15)$ بالرقم $3$.

حل.

دعونا نستخدم صيغة ضرب الكسر في عدد طبيعي:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

من خلال القسمة على الرقم $3$) يمكننا تحديد أنه يمكن تقليل الكسر الناتج:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

وكانت النتيجة كسرا غير صحيح. دعنا نختار الجزء بأكمله:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

الحل القصير:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

يمكن أيضًا تبسيط الكسور عن طريق استبدال الأرقام الموجودة في البسط والمقام بعواملها إلى عوامل أولية. وفي هذه الحالة يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\فارك(2)(5)\]

إجابة:$1\فارك(2)(5).$

عند ضرب كسر في عدد طبيعي، يمكنك استخدام القانون التبادلي:

تقسيم الكسور

عملية القسمة هي معكوس الضرب ونتيجتها كسر يجب ضرب الكسر المعلوم به للحصول على حاصل الضرب المعلوم للكسرين.

قسمة كسرين عاديين

قاعدة تقسيم الكسور العادية:من الواضح أنه يمكن تحليل وتخفيض بسط ومقام الكسر الناتج:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

ونتيجة لذلك نحصل على كسر غير حقيقي، ونختار منه الجزء بأكمله:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

إجابة:$1\فارك(5)(9).$

تلتقي الأرقام الكسرية العادية لأول مرة مع تلاميذ المدارس في الصف الخامس وترافقهم طوال حياتهم، لأنه في الحياة اليومية غالبا ما يكون من الضروري النظر في كائن ما أو استخدامه ليس ككل، ولكن في أجزاء منفصلة. ابدأ بدراسة هذا الموضوع - الأسهم. الأسهم هي أجزاء متساوية، حيث يتم تقسيم هذا الكائن أو ذاك. بعد كل شيء، ليس من الممكن دائمًا التعبير، على سبيل المثال، عن طول المنتج أو سعره كرقم صحيح؛ يجب أن تؤخذ في الاعتبار أجزاء أو كسور من بعض القياسات. تشكلت من الفعل "الانقسام" - التقسيم إلى أجزاء، ولها جذور عربية، نشأت كلمة "الكسر" نفسها في اللغة الروسية في القرن الثامن.

لطالما اعتبرت التعبيرات الكسرية أصعب فرع من الرياضيات. في القرن السابع عشر، عندما ظهرت الكتب المدرسية الأولى في الرياضيات، كانت تسمى "الأعداد المكسورة"، وكان من الصعب جدًا على الناس فهمها.

تم الترويج للشكل الحديث من البقايا الكسرية البسيطة، التي يتم فصل أجزائها بخط أفقي، لأول مرة بواسطة فيبوناتشي - ليوناردو بيزا. يعود تاريخ أعماله إلى عام 1202. لكن الغرض من هذه المقالة هو أن تشرح للقارئ ببساطة ووضوح كيفية ضرب الكسور المختلطة ذات المقامات المختلفة.

ضرب الكسور ذات المقامات المختلفة

في البداية الأمر يستحق التحديد أنواع الكسور:

• صحيح؛
• غير صحيح؛
• مختلط.

بعد ذلك، عليك أن تتذكر كيفية ضرب الأعداد الكسرية التي لها نفس المقامات. ليس من الصعب صياغة قاعدة هذه العملية بشكل مستقل: نتيجة ضرب الكسور البسيطة بمقامات متماثلة هي تعبير كسري، بسطه هو حاصل ضرب البسطين، والمقام هو حاصل ضرب مقامات هذه الكسور . وهذا يعني في الواقع أن المقام الجديد هو مربع أحد المقامات الموجودة في البداية.

عند الضرب كسور بسيطة ذات مقامات مختلفةلعاملين أو أكثر لا تتغير القاعدة:

أ/ب * ج/د = أ*ج / ب * د.

والفرق الوحيد هو أن الرقم الناتج تحت الخط الكسري سيكون نتاج أرقام مختلفة، وبطبيعة الحال، لا يمكن أن يسمى مربع تعبير رقمي واحد.

يجدر النظر في ضرب الكسور ذات القواسم المختلفة باستخدام الأمثلة:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

تستخدم الأمثلة طرقًا لتقليل التعبيرات الكسرية. يمكنك فقط تبسيط أرقام البسط باستخدام أرقام المقامات؛ ولا يمكن تبسيط العوامل المجاورة الموجودة أعلى أو أسفل خط الكسر.

جنبا إلى جنب مع الكسور البسيطة، هناك مفهوم الكسور المختلطة. يتكون العدد الكسري من عدد صحيح وجزء كسري، أي أنه مجموع هذه الأعداد:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

كيف يعمل الضرب؟

يتم تقديم عدة أمثلة للنظر فيها.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

يستخدم المثال ضرب رقم في جزء كسري عادي، يمكن كتابة قاعدة هذا الإجراء على النحو التالي:

أ* ب/ج = أ*ب /ج.

في الواقع، مثل هذا المنتج هو مجموع البقايا الكسرية المتطابقة، ويشير عدد الحدود إلى هذا العدد الطبيعي. حالة خاصة:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

يوجد حل آخر لضرب عدد في باقي كسري. كل ما عليك فعله هو تقسيم المقام على هذا الرقم:

د* ه/F = ه/و: د.

هذه التقنية مفيدة عند قسمة المقام على عدد طبيعي بدون باقي، أو كما يقولون على عدد صحيح.

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية والحصول على الناتج بالطريقة الموضحة سابقاً:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

يتضمن هذا المثال طريقة لتمثيل الكسر المختلط ككسر غير فعلي، ويمكن أيضًا تمثيله كصيغة عامة:

أ بج = أ*ب+ج/ج، حيث يتكون مقام الكسر الجديد بضرب الجزء كله بالمقام وإضافته مع بسط الباقي الكسري الأصلي، ويبقى المقام كما هو.

تعمل هذه العملية أيضًا في الاتجاه المعاكس. لفصل الجزء الكامل والباقي الكسري، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر غير الفعلي على مقامه باستخدام "الزاوية".

ضرب الكسور غير الحقيقيةيتم إنتاجه بطريقة مقبولة بشكل عام. عند الكتابة تحت سطر كسر واحد، تحتاج إلى تقليل الكسور حسب الضرورة لتقليل الأرقام باستخدام هذه الطريقة وتسهيل حساب النتيجة.

هناك العديد من المساعدين على الإنترنت لحل المشكلات الرياضية المعقدة في أشكال مختلفة من البرامج. يقدم عدد كافٍ من هذه الخدمات مساعدتهم في حساب ضرب الكسور ذات الأرقام المختلفة في المقامات - ما يسمى بالآلات الحاسبة عبر الإنترنت لحساب الكسور. إنهم قادرون ليس فقط على الضرب، ولكن أيضًا إجراء جميع العمليات الحسابية البسيطة الأخرى باستخدام الكسور العادية والأرقام الكسرية. ليس من الصعب العمل معه؛ حيث تقوم بملء الحقول المناسبة على صفحة الموقع، واختيار علامة العملية الرياضية، ثم النقر فوق "حساب". يقوم البرنامج بالحساب تلقائيا.

يعد موضوع العمليات الحسابية مع الكسور ذا صلة بجميع مراحل تعليم طلاب المدارس المتوسطة والثانوية. في المدرسة الثانوية، لم يعودوا يعتبرون أبسط الأنواع، ولكن التعبيرات الكسرية الصحيحةولكن المعرفة بقواعد التحويل والحسابات التي تم الحصول عليها مسبقًا يتم تطبيقها في شكلها الأصلي. تمنح المعرفة الأساسية المتقنة الثقة الكاملة في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا بنجاح.

في الختام، من المنطقي أن نقتبس كلمات ليف نيكولايفيتش تولستوي، الذي كتب: "الرجل جزء صغير. وليس في قدرة الإنسان أن يزيد بسطه - فضائله - ولكن يمكن لأي إنسان أن ينقص مقامه - رأيه في نفسه، وبهذا النقصان يقترب من كماله.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام المنتج).

صيغة ضرب الكسور:

على سبيل المثال:

قبل أن تبدأ في ضرب البسط والمقامات، عليك التحقق مما إذا كان من الممكن تبسيط الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر، فسيكون من الأسهل عليك إجراء المزيد من الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تحتوي على أعداد طبيعية.

انها ليست مخيفة كما يبدو. كما في حالة الجمع، نحول العدد الصحيح إلى كسر به واحد في المقام. على سبيل المثال:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى الكسور غير الحقيقية.
• ضرب بسط ومقامات الكسور؛
• تقليل الكسر
• إذا حصلت على كسر غير حقيقي، فإننا نقوم بتحويل الكسر غير الحقيقي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر، عليك أولاً تحويلهما إلى صورة كسور غير حقيقية، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

قد يكون من الأنسب استخدام الطريقة الثانية وهي ضرب كسر عادي بعدد.

ملحوظة!لضرب كسر في عدد طبيعي، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم، وترك البسط دون تغيير.

من المثال المذكور أعلاه، من الواضح أن هذا الخيار أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون باقي على عدد طبيعي.

كسور متعددة الطوابق.

في المدرسة الثانوية، غالبا ما تتم مواجهة الكسور المكونة من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

لإرجاع هذا الكسر إلى شكله المعتاد، استخدم القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا، فمن السهل أن تتشوش هنا.

ملحوظة، على سبيل المثال:

عند قسمة واحد على أي كسر، فإن النتيجة ستكون نفس الكسر، معكوسة فقط:

نصائح عملية لضرب وقسمة الكسور:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة أسطر إضافية في مسودتك بدلًا من الضياع في الحسابات الذهنية.

2. في المهام التي تحتوي على أنواع مختلفة من الكسور، انتقل إلى نوع الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى لا يكون من الممكن تقليلها.

4. نقوم بتحويل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين.

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

آخر مرة تعلمنا كيفية جمع وطرح الكسور (انظر الدرس "جمع وطرح الكسور"). كان الجزء الأصعب من تلك الإجراءات هو جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الآن حان الوقت للتعامل مع الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن هذه العمليات أبسط من الجمع والطرح. أولاً، دعونا نفكر في أبسط حالة، عندما يكون هناك كسران موجبان بدون جزء صحيح منفصل.

لضرب كسرين، يجب عليك ضرب بسطهما ومقاميهما بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد، وسيكون الرقم الثاني هو المقام.

لتقسيم كسرين، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني "المقلوب".

تعيين:

ويترتب على التعريف أن تقسيم الكسور يؤدي إلى الضرب. "لقلب" الكسر، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك، طوال الدرس سننظر بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة للضرب، يمكن أن ينشأ جزء قابل للاختزال (وغالبا ما ينشأ) - بالطبع، يجب تخفيضه. إذا تبين بعد كل التخفيضات أن الكسر غير صحيح، فيجب تسليط الضوء على الجزء بأكمله. لكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة، العوامل الأكبر والمضاعفات المشتركة الأصغر.

حسب التعريف لدينا:

ضرب الكسور بالأجزاء الكاملة والكسور السالبة

إذا كانت الكسور تحتوي على جزء صحيح، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك ناقص في بسط الكسر أو في المقام أو أمامه، فيمكن إخراجه من الضرب أو حذفه نهائياً وفق القواعد الآتية:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنين من السلبيات تجعل الإيجابية.

حتى الآن، لم يتم تطبيق هذه القواعد إلا عند جمع وطرح الكسور السالبة، عندما كان من الضروري التخلص من الجزء بأكمله. بالنسبة للعمل، يمكن تعميمها من أجل "حرق" العديد من العيوب في وقت واحد:

1. نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالات القصوى، يمكن أن يبقى واحد ناقص - الشخص الذي لم يكن هناك رفيقة؛
2. إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. وإذا لم يتم شطب السالب الأخير لعدم وجود زوج له، فإننا نخرجه خارج حدود الضرب. والنتيجة هي جزء سلبي.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

نحول جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نحذف السالب من الضرب. نضرب ما تبقى حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:

اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يظهر أمام الكسر مع الجزء الكامل المميز يشير على وجه التحديد إلى الكسر بأكمله، وليس فقط إلى الجزء بأكمله (وهذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

انتبه أيضًا إلى الأرقام السالبة: عند الضرب، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك من أجل فصل السالب عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

تقليل الكسور على الطاير

الضرب هو عملية كثيفة العمالة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا، ولتبسيط المشكلة، يمكنك محاولة تقليل الكسر بشكل أكبر قبل الضرب. في الواقع، في جوهرها، تعتبر بسط ومقامات الكسور عوامل عادية، وبالتالي يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

حسب التعريف لدينا:

وفي جميع الأمثلة، يتم تحديد الأعداد التي تم تخفيضها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى، تم تخفيض المضاعفات بالكامل. وتبقى في مكانها وحدات لا تحتاج عمومًا إلى كتابتها. في المثال الثاني، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل، لكن إجمالي عدد الحسابات انخفض.

ومع ذلك، لا تستخدم هذه التقنية أبدًا عند جمع وطرح الكسور! نعم، في بعض الأحيان توجد أرقام مماثلة تريد تقليلها فقط. هنا انظر:

لا يمكنك أن تفعل ذلك!

يحدث الخطأ لأنه عند الجمع، ينتج عن بسط الكسر مجموع، وليس حاصل ضرب الأرقام. لذلك، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية للكسر، لأن هذه الخاصية تتعامل بشكل خاص مع ضرب الأعداد.

ببساطة لا توجد أسباب أخرى لتقليل الكسور، وبالتالي فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:

الحل الصحيح:

كما ترون، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدا. بشكل عام، كن حذرا.