شرح مفصل لنظرية فييتا. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا

يعد التطبيق إحدى طرق حل المعادلة التربيعية صيغ VIETA، الذي سمي على اسم فرانسوا فييت.

كان محامياً مشهوراً ، وعمل في القرن السادس عشر مع ملك فرنسا. في وقت فراغدرس علم الفلك والرياضيات. أسس علاقة بين الجذور والمعاملات للمعادلة التربيعية.

مزايا الصيغة:

1 . من خلال تطبيق الصيغة ، يمكنك إيجاد الحل بسرعة. لأنك لا تحتاج إلى إدخال المعامل الثاني في المربع ، ثم اطرح 4ac منه ، أوجد المميز ، وعوض بقيمته في الصيغة لإيجاد الجذور.

2 . بدون حل ، يمكنك تحديد علامات الجذور والتقاط قيم الجذور.

3 . بعد حل نظام سجلين ، ليس من الصعب العثور على الجذور بأنفسهم. في المعادلة التربيعية أعلاه ، مجموع الجذور يساوي قيمة المعامل الثاني بعلامة ناقص. حاصل ضرب الجذور في المعادلة التربيعية أعلاه يساوي قيمة المعامل الثالث.

4 . وفقًا للجذور المعطاة ، اكتب معادلة تربيعية ، أي حل مشكلة عكسية. على سبيل المثال ، تُستخدم هذه الطريقة في حل المشكلات في الميكانيكا النظرية.

5 . من الملائم تطبيق الصيغة عند المعامل الرئيسي يساوي واحد.

عيوب:

1 . الصيغة ليست عالمية.

نظرية فييتا الصف الثامن

معادلة
إذا كانت x 1 و x 2 هي جذور المعادلة التربيعية المحددة x 2 + px + q \ u003d 0 ، إذن:

أمثلة
× 1 \ u003d -1 ؛ س 2 \ u003d 3 - جذور المعادلة × 2 - 2 س - 3 \ u003d 0.

P = -2 ، q = -3.

X 1 + x 2 \ u003d -1 + 3 \ u003d 2 \ u003d -p ،

س 1 × 2 = -1 3 = -3 = ف.

نظرية المعكوس

معادلة
إذا كانت الأرقام x 1 ، x 2 ، p ، q متصلة بالشروط:

ثم x 1 و x 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q = 0.

مثال
لنصنع معادلة من الدرجة الثانية من جذورها:

س 1 \ u003d 2 -؟ 3 و x 2 \ u003d 2 +؟ 3.

P \ u003d x 1 + x 2 \ u003d 4 ؛ ع = -4 ؛ ف \ u003d × 1 × 2 \ u003d (2 -؟ 3) (2 +؟ 3) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.

المعادلة المرغوبة لها الشكل: x 2 - 4x + 1 = 0.

أولاً ، لنصوغ النظرية نفسها: لنفترض أن لدينا معادلة تربيعية مختصرة بالصيغة x ^ 2 + b * x + c = 0. لنفترض أن هذه المعادلة تحتوي على الجذور x1 و x2. بعد ذلك ، وفقًا للنظرية ، تُقبل العبارات التالية:

1) مجموع الجذور x1 و x2 يساوي قيمة سالبةمعامل ب.

2) ناتج هذه الجذور بالذات سيعطينا المعامل ج.

لكن ما هي المعادلة أعلاه؟

المعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة تربيعية ، معامل الدرجة الأعلى ، الذي يساوي واحدًا ، أي هذه معادلة بالصيغة x ^ 2 + b * x + c = 0. (والمعادلة a * x ^ 2 + b * x + c = 0 لم يتم اختزالها). بمعنى آخر ، لتقليل المعادلة إلى الصيغة المختصرة ، يجب أن نقسم هذه المعادلة على المعامل في أعلى درجة (أ). المهمة هي القيادة معادلة معينةللشكل المعطى:

3 * س ^ 2 12 * س + 18 = 0 ؛

−4 * س ^ 2 + 32 * س + 16 = 0 ؛

1.5 * x ^ 2 + 7.5 * x + 3 = 0 ؛ 2 * س ^ 2 + 7 * س - 11 = 0.

نقسم كل معادلة على معامل الدرجة الأعلى ، نحصل على:

س ^ 2 4 * س + 6 = 0 ؛ س ^ 2 8 * س - 4 = 0 ؛ س ^ 2 + 5 * س + 2 = 0 ؛

س ^ 2 + 3.5 * س - 5.5 = 0.

كما يتضح من الأمثلة ، حتى المعادلات التي تحتوي على كسور يمكن اختزالها إلى الصورة المختصرة.

باستخدام نظرية فييتا

X ^ 2 5 * x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = - (−5) = 5 ؛ x1 * x2 = 6 ؛

نحصل على الجذور: x1 = 2 ؛ س 2 = 3 ؛

X ^ 2 + 6 * x + 8 = 0 x1 + x2 = −6 ؛ x1 * x2 = 8 ؛

نتيجة لذلك ، نحصل على الجذور: x1 = -2 ؛ x2 = -4 ؛

X ^ 2 + 5 * x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5 ؛ x1 * x2 = 4 ؛

نحصل على الجذور: x1 = −1 ؛ س 2 = -4.

أهمية نظرية فييتا

تسمح لنا نظرية فييتا بحل أي معادلة تربيعية في ثوانٍ تقريبًا. للوهلة الأولى يبدو هذا كافيًا مهمة تحدي، ولكن بعد 5 10 معادلات ، يمكنك أن تتعلم رؤية الجذور على الفور.

من الأمثلة أعلاه ، وباستخدام النظرية ، يمكنك أن ترى كيف يمكنك تبسيط حل المعادلات التربيعية بشكل ملحوظ ، لأنه باستخدام هذه النظرية ، يمكنك حل معادلة تربيعية بحسابات قليلة أو معدومة وحساب المميز ، وكما تعلم كلما قل عدد العمليات الحسابية ، زادت صعوبة ارتكاب الخطأ ، وهو أمر مهم.

في جميع الأمثلة ، استخدمنا هذه القاعدة بناءً على افتراضين مهمين:

المعادلة أعلاه ، أي المعامل عند أعلى درجة يساوي واحدًا (من السهل تجنب هذا الشرط. يمكنك استخدام الصيغة غير المختصرة للمعادلة ، ثم العبارات التالية x1 + x2 = -b / a ؛ x1 * x2 = c / a ستكون صالح ، ولكن عادة ما يكون حله أكثر صعوبة :))

عندما يكون للمعادلة اثنين جذر مختلف. نفترض أن المتباينة صحيحة وأن المميز أكبر من الصفر تمامًا.

لذلك ، يمكننا أن نجعل الخوارزمية العامةالحلول من خلال نظرية فييتا.

خوارزمية الحل العام من خلال نظرية فييتا

نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة المختصرة إذا أعطيت لنا المعادلة في الصورة غير المختصرة. عندما تبين أن المعاملات في المعادلة التربيعية ، التي قدمناها سابقًا على أنها مخفضة ، كسرية (وليست عشرية) ، إذن في هذه الحالة يجب حل معادلتنا من خلال المميز.

هناك أيضا حالات حيث يعود إلى المعادلة الأوليةيتيح لنا العمل بأرقام "ملائمة".

مستوى اول

المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية" الكلمة الأساسية هي "التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس X) في المربع ، وفي نفس الوقت لا ينبغي أن يكون هناك Xs في الدرجة الثالثة (أو أكبر).

يتم تقليل حل العديد من المعادلات إلى حل المعادلات التربيعية.

لنتعلم تحديد أن لدينا معادلة تربيعية ، وليس معادلة أخرى.

مثال 1

تخلص من المقام واضرب كل حد من حدود المعادلة في

لننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونرتب الحدود بترتيب تنازلي لقوى x

الآن يمكننا القول بثقة أن هذه المعادلة من الدرجة الثانية!

مثال 2

دعونا نضرب في اليسار و الجانب الأيمنعلى ال:

هذه المعادلة ، رغم أنها كانت في الأصل ، ليست مربعة!

مثال 3

لنضرب كل شيء في:

مخيف؟ الدرجتان الرابعة والثانية ... ومع ذلك ، إذا قمنا باستبدالهما ، فسنرى أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4

يبدو أن الأمر كذلك ، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. لننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

كما ترى ، تقلصت - وهي الآن معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أيًا من المعادلات التالية تربيعي وأيها ليس:

أمثلة:

الإجابات:

مربع؛
مربع؛
لا مربع
لا مربع
لا مربع
مربع؛
لا مربع
مربع.

يقسم علماء الرياضيات جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

أكمل المعادلات التربيعية- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات وكذلك المصطلح المجاني c صفرًا (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك ، من بين المعادلات التربيعية الكاملة ، هناك منحهي المعادلات التي يكون فيها المعامل (المعادلة من المثال الأول ليست كاملة فحسب ، بل مخفضة أيضًا!)

معادلات تربيعية غير مكتملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و / أو المصطلح الحر c مساويًا للصفر:
إنها غير مكتملة لأن بعض العناصر مفقودة منها. لكن يجب أن تحتوي المعادلة دائمًا على x تربيع !!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية ، بل معادلة أخرى.

لماذا جاءوا بمثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X تربيع ، ولا بأس. هذا التقسيم يرجع إلى طرق الحل. دعونا نفكر في كل منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

أولاً ، دعنا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

المعادلات التربيعية غير المكتملة هي من الأنواع:

، في هذه المعادلة المعامل يساوي.
، في هذه المعادلة ، المصطلح المجاني يساوي.
، في هذه المعادلة ، المعامل والمصطلح الحر متساويان.

1. ط. لأننا نعرف كيف نستخرج الجذر التربيعي، فلنستخلص من هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سالب أو موجب. لا يمكن أن يكون العدد التربيعي سالبًا ، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين ، ستكون النتيجة دائمًا رقم موجب، عدد إيجابي، إذن: إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول.

وإذا كان لدينا جذران. لا تحتاج هذه الصيغ إلى الحفظ. الشيء الرئيسي هو أنه يجب أن تعرف دائمًا وتتذكر أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعنا نحاول حل بعض الأمثلة.

المثال 5:

حل المعادلة

الآن يبقى استخراج الجذر من الجزأين الأيمن والأيسر. بعد كل شيء ، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابة:

لا تنسى الجذور بعلامة سلبية !!!

المثال 6:

حل المعادلة

إجابة:

المثال 7:

حل المعادلة

أوه! لا يمكن أن يكون مربع الرقم سالبًا ، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

بالنسبة لمثل هذه المعادلات التي لا توجد فيها جذور ، توصل علماء الرياضيات إلى رمز خاص - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الإجابة على هذا النحو:

إجابة:

وبالتالي ، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا ، لأننا لم نستخرج الجذر.
المثال 8:

حل المعادلة

لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:

هكذا،

هذه المعادلة لها جذران.

إجابة:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة ، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:

هنا سنفعل بدون أمثلة.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة الصيغة حيث

حل المعادلات التربيعية الكاملة أكثر تعقيدًا قليلاً (فقط قليلاً) من المعطيات المعطاة.

يتذكر، يمكن حل أي معادلة من الدرجة الثانية باستخدام المميز! حتى غير مكتمل.

ستساعدك بقية الطرق على القيام بذلك بشكل أسرع ، ولكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية ، فعليك أولاً إتقان الحل باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة بسيط للغاية ، الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات واثنين من الصيغ.

إذا ، فإن المعادلة لها جذر انتباه خاصارسم خطوة. يخبرنا المميز () بعدد جذور المعادلة.

إذا ، فسيتم تقليل الصيغة في الخطوة إلى. وبالتالي ، سيكون للمعادلة جذر فقط.
إذا ، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. يشير هذا إلى أن المعادلة ليس لها جذور.

دعنا نعود إلى معادلاتنا ونلقي نظرة على بعض الأمثلة.

المثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1يتخطى.

الخطوة 2

البحث عن المميز:

إذن للمعادلة جذران.

الخطوه 3

إجابة:

المثال 10:

حل المعادلة

المعادلة في شكل قياسي ، لذلك الخطوة 1يتخطى.

الخطوة 2

البحث عن المميز:

إذن للمعادلة جذر واحد.

إجابة:

المثال 11:

حل المعادلة

المعادلة في شكل قياسي ، لذلك الخطوة 1يتخطى.

الخطوة 2

البحث عن المميز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج الجذر من المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابة:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر ، فهناك نوع من المعادلات يسمى مخفض (عندما يكون المعامل أ يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور منحالمعادلة التربيعية متساوية ، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

المثال 12:

حل المعادلة

هذه المعادلة مناسبة للحل باستخدام نظرية فييتا ، لأن .

مجموع جذور المعادلة هو ، أي نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج هو:

دعونا ننشئ ونحل النظام:

و. المجموع هو
و. المجموع هو
و. المبلغ يساوي.

و هي حل النظام:

إجابة: ; .

المثال 13:

حل المعادلة

إجابة:

المثال 14:

حل المعادلة

يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:

إجابة:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

بمعنى آخر ، المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة ، حيث - غير معروف - بعض الأرقام ، علاوة على ذلك.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا؟ لأنه إذا ، ستصبح المعادلة خطية على الفور ، لأن سوف تختفي.

في هذه الحالة ، ويمكن أن تساوي الصفر. تسمى معادلة البراز هذه غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط في مكانها الصحيح ، فهذا يعني أن المعادلة كاملة.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة:

بادئ ذي بدء ، سنحلل طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكن تمييز أنواع المعادلات التالية:

أولاً ، في هذه المعادلة ، المعامل والمصطلح الحر متساويان.

ثانيًا. ، في هذه المعادلة المعامل يساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة ، المصطلح المجاني يساوي.

فكر الآن في حل كل من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون تربيع العدد سالبًا ، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين ، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا السبب:

إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول ؛

إذا كان لدينا جذران

لا تحتاج هذه الصيغ إلى الحفظ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور بعلامة سلبية!

لا يمكن أن يكون مربع الرقم سالبًا ، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

للكتابة بإيجاز أن المشكلة ليس لها حلول ، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابة:

إذن ، هذه المعادلة لها جذران: و.

إجابة:

لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:

حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن ، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

حل:

نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة وإيجاد الجذور:

إجابة:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة سهل ، الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات واثنين من الصيغ. تذكر أن أي معادلة تربيعية يمكن حلها باستخدام المميز! حتى غير مكتمل.

هل لاحظت جذر المميز في صيغة الجذر؟ لكن المميز يمكن أن يكون سالبًا. ما يجب القيام به؟ نحن بحاجة إلى إيلاء اهتمام خاص للخطوة 2. المميز يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

إذا ، فإن المعادلة لها جذر:
إذا ، فإن المعادلة لها نفس الجذر ، ولكن في الواقع ، جذر واحد:
تسمى هذه الجذور بجذور مزدوجة.
إذا ، لا يتم استخراج جذر المميز. يشير هذا إلى أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا هذا ممكن كمية مختلفةالجذور؟ دعنا ننتقل إلى المعنى الهندسيمعادلة من الدرجة الثانية. الرسم البياني للدالة هو قطع مكافئ:

في حالة معينة ، وهي معادلة من الدرجة الثانية ،. وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع المحور x (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق ، أو قد يتقاطع معه عند نقطة واحدة (عندما يقع الجزء العلوي من القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن المعامل مسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا ، فإن فروع القطع المكافئ يتم توجيهها إلى الأعلى ، وإذا - ثم إلى الأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

إجابة: .

إجابة:

هذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابة: .

2. نظرية فييتا

يعد استخدام نظرية فييتا أمرًا سهلاً للغاية: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام يكون ناتجهما مساويًا للمصطلح الحر للمعادلة ، ويكون المجموع مساويًا للمعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة.

من المهم أن تتذكر أنه لا يمكن تطبيق نظرية فييتا إلا على بالنظر إلى المعادلات التربيعية ().

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

حل:

هذه المعادلة مناسبة للحل باستخدام نظرية فييتا ، لأن . معاملات أخرى: .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج هو:

دعنا نختار أزواج الأرقام هذه ، حاصل ضربهما متساوي ، ونتحقق مما إذا كان مجموعهما متساويًا:

و. المجموع هو
و. المجموع هو
و. المبلغ يساوي.

و هي حل النظام:

وهكذا ، هي جذور معادلتنا.

إجابة: ؛ .

المثال الثاني:

حل:

نختار أزواج الأرقام التي تظهر في المنتج ، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا أم لا:

و: تعطي في المجموع.

و: تعطي في المجموع. للحصول عليه ، تحتاج فقط إلى تغيير علامات الجذور المزعومة: وبعد كل شيء ، العمل.

إجابة:

المثال الثالث:

حل:

المصطلح الحر للمعادلة سالب ، وبالتالي ناتج الجذور - رقم سالب. هذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذور سالب والآخر موجب. إذن مجموع الجذور هو الاختلافات في وحداتهم.

نختار أزواج الأرقام التي تظهر في المنتج ، والفرق بينها يساوي:

و: اختلافهم - غير مناسب ؛

و: - غير مناسب ؛

و: - مناسب. يبقى فقط أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. نظرًا لأن مجموعهم يجب أن يكون متساويًا ، فيجب أن يكون الجذر ، الأصغر في القيمة المطلقة ، سالبًا:. نحن نفحص:

إجابة:

المثال الرابع:

حل المعادلة.

حل:

يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:

المصطلح الحر سالب ، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

نختار أزواج الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ، ثم نحدد الجذور التي يجب أن يكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط ومناسبة للشرط الأول:

إجابة:

المثال الخامس:

حل المعادلة.

حل:

يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:

مجموع الجذور سالب ، مما يعني أن أحد الجذور على الأقل سالب. ولكن بما أن حاصل ضربهما موجب ، فهذا يعني أن كلا الجذور سالب.

نختار أزواج الأرقام هذه ، منتجها يساوي:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابة:

موافق ، إنه مناسب للغاية - لاختراع الجذور شفهيًا ، بدلاً من حساب هذا التمييز المقرف. حاول استخدام نظرية فييتا بقدر الإمكان.

لكن هناك حاجة إلى نظرية فييتا من أجل تسهيل وتسريع العثور على الجذور. لجعل استخدامها مربحًا لك ، يجب عليك إحضار الإجراءات إلى الأتمتة. ولهذا ، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام المميز! فقط نظرية فييتا:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

وفقًا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالمنتج:

غير مناسب لأن المبلغ ؛

: المبلغ هو ما تحتاجه.

إجابة: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى ، نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن ينجح المجموع ، لكن حاصل الضرب متساوٍ.

ولكن بما أنه لا ينبغي أن يكون كذلك ، لكننا نغير علامات الجذور: و (إجمالاً).

إجابة: ؛ .

المهمة 3.

حسنًا ... أين هي؟

من الضروري نقل جميع الشروط إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي الناتج.

نعم توقف! المعادلة غير معطاة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المحددة. لذا عليك أولاً إحضار المعادلة. إذا لم تتمكن من طرحها ، فقم بإسقاط هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال ، من خلال المميز). دعني أذكرك أن إحضار معادلة من الدرجة الثانية يعني جعل المعامل الرئيسي يساوي:

عظيم. ثم مجموع الجذور متساوي ، والحاصل.

من الأسهل أن تلتقط هنا: بعد كل شيء - عدد أولي (آسف على الحشو).

إجابة: ؛ .

المهمة 4.

المصطلح المجاني سلبي. ما الذي يميزه؟ وحقيقة أن الجذور ستكون من علامات مختلفة. والآن ، أثناء التحديد ، لا نتحقق من مجموع الجذور ، بل نتحقق من الفرق بين وحداتها: هذا الاختلاف متساوٍ ، لكن حاصل الضرب.

إذن ، الجذور متساوية ، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني مع الإشارة المعاكسة ، أي. هذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له سالب: ومنذ ذلك الحين.

إجابة: ؛ .

المهمة 5.

ما الذي يجب القيام به أولا؟ هذا صحيح ، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد ، ويجب أن يكون فرقها مساويًا لـ:

الجذور متساوية ولكن أحدهما ناقص. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهم متساويًا ، مما يعني أنه مع وجود سالب سيكون هناك جذر أكبر.

إجابة: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

تستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
باستخدام نظرية Vieta ، يمكنك إيجاد الجذور عن طريق التحديد ، شفويا.
إذا لم يتم تقديم المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر ، فلا توجد جذور صحيحة ، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال ، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع المصطلحات التي تحتوي على المجهول كمصطلحات من صيغ الضرب المختصر - مربع المجموع أو الفرق - ثم بعد تغيير المتغيرات ، يمكن تمثيل المعادلة كمعادلة تربيعية غير مكتملة من النوع.

على سبيل المثال:

مثال 1:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

المثال 2:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

بشكل عام ، سيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

ألا يذكرك بشيء؟ إنه المميز! هذا هو بالضبط كيف تم الحصول على الصيغة المميزة.

المعادلات التربيعية. باختصار حول الرئيسي

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة الشكل ، حيث يكون المجهول ، معاملات المعادلة التربيعية ، هو المصطلح المجاني.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي فيها المعاملات الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة يكون فيها المعامل هو:.

معادلة تربيعية غير كاملة- معادلة يكون فيها المعامل و / أو المصطلح الحر c مساويًا للصفر:

إذا كان المعامل ، فإن المعادلة لها الشكل:،
إذا كان مصطلح مجاني ، فإن المعادلة لها الشكل: ،
إذا كان للمعادلة الشكل:.

1. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة

1.1 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل حيث:

1) عبر عن المجهول: ،

2) تحقق من علامة التعبير:

إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول ،
إذا ، فإن المعادلة لها جذران.

1.2 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل حيث:

1) لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:،

2) المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. لذلك ، فإن المعادلة لها جذران:

1.3 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل ، حيث:

هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:.

2. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية الكاملة للصيغة حيث

2.1. الحل باستخدام المميز

1) نأتي بالمعادلة إلى طريقة العرض القياسية: ,

2) احسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

إذا ، فإن المعادلة لها جذر ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
إذا ، فإن المعادلة لها جذر ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
إذا ، فإن المعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل ، أين) متساوي ، وحاصل ضرب الجذور متساوٍ ، أي ، أ.

2.3 حل مربع كامل

أي معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 + ب س + ج = 0يمكن أن يجلب إلى الذهن س 2 + (ب / أ) س + (ج / أ) = 0، إذا قسّمنا كل حد أولاً على المعامل a من قبل x2. وإذا قدمنا تدوينًا جديدًا (ب / أ) = صو (ج / أ) = ف، ثم سيكون لدينا المعادلة س 2 + بكسل + س = 0، وهو ما يسمى في الرياضيات معادلة من الدرجة الثانية.

جذور المعادلة التربيعية المختصرة والمعاملات صو فمترابط. تم التأكيد نظرية فييتاسميت بعد عالم رياضيات فرنسيفرانسوا فييتا ، الذي عاش في أواخر السادس عشرقرن.

نظرية. مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + بكسل + س = 0يساوي المعامل الثاني صمأخوذ من علامة المعاكس، وحاصل ضرب الجذور هو المصطلح الحر ف.

نكتب هذه النسب بالشكل التالي:

يترك × 1و x2الجذور المختلفة للمعادلة المختزلة س 2 + بكسل + س = 0. وفقًا لنظرية فييتا x1 + x2 = -pو س 1 × 2 = ف.

لإثبات ذلك ، لنعوض بكل من الجذور x 1 و x 2 في المعادلة. نحصل على مساوتين حقيقيتين:

س 1 2 + مقصف 1 + س = 0

س 2 2 + مقصف 2 + ف = 0

اطرح الثانية من المساواة الأولى. نحن نحصل:

× 1 2 - × 2 2 + ص (× 1 - × 2) = 0

نقوم بفك الحدين الأولين وفقًا لصيغة فرق المربعات:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

حسب الشرط ، الجذور x 1 و x 2 مختلفة. لذلك ، يمكننا تقليل المساواة بواسطة (x 1 - x 2) ≠ 0 والتعبير عن p.

(x 1 + x 2) + p = 0 ؛

(x 1 + x 2) = -p.

تم إثبات المساواة الأولى.

لإثبات المساواة الثانية ، نعوض بها في المعادلة الأولى

x 1 2 + px 1 + q \ u003d 0 بدلاً من المعامل p ، الرقم المتساوي هو (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \ u003d 0

بتحويل الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على:

× 1 2 - × 2 2 - × 1 × 2 + q \ u003d 0 ؛

x 1 x 2 = q ، والذي كان يجب إثباته.

نظرية فييتا جيدة لأن حتى بدون معرفة جذور المعادلة التربيعية ، يمكننا حساب مجموعها وحاصل ضربها .

تساعد نظرية فييتا في تحديد الجذور الصحيحة للمعادلة التربيعية المعطاة. لكن بالنسبة للعديد من الطلاب ، فإن هذا يسبب صعوبات بسبب حقيقة أنهم لا يعرفون خوارزمية عمل واضحة ، خاصة إذا كانت جذور المعادلة لها علامات مختلفة.

إذن ، المعادلة التربيعية المعطاة لها الشكل x 2 + px + q \ u003d 0 ، حيث x 1 و x 2 هي جذورها. وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 = -p و x 1 x 2 = q.

يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي.

إذا كانت هناك علامة ناقص في المعادلة قبل الحد الأخير ، فإن الجذور x 1 و x 2 لها علامات مختلفة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن علامة الجذر الأصغر هي نفس علامة المعامل الثاني في المعادلة.

بناءً على حقيقة أنه عند جمع الأرقام بامتداد علامات مختلفةيتم طرح وحداتهم النمطية ، وتسبق النتيجة التي تم الحصول عليها بعلامة على رقم معياري أعلى ، يجب عليك المتابعة على النحو التالي:

تحديد عوامل الرقم q بحيث يكون اختلافها مساويًا للرقم p ؛
ضع علامة المعامل الثاني للمعادلة أمام أصغر الأرقام التي تم الحصول عليها ؛ سيكون للجذر الثاني إشارة معاكسة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.

حل المعادلة س 2 - 2 س - 15 = 0.

حل.

دعنا نحاول حل هذه المعادلة باستخدام القواعد المقترحة أعلاه. ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن هذه المعادلة لها جذران مختلفان ، لأن د \ u003d ب 2-4ac \ u003d 4-4 (-15) \ u003d 64 \ u003e 0.

الآن ، من بين جميع عوامل العدد 15 (1 و 15 و 3 و 5) ، نختار تلك التي يكون فرقها يساوي 2. سيكون هذان الرقمان 3 و 5. نضع علامة ناقص أمام الرقم الأصغر ، أي. علامة المعامل الثاني للمعادلة. وبالتالي ، نحصل على جذور المعادلة x 1 \ u003d -3 و x 2 \ u003d 5.

إجابة. س 1 = -3 و س 2 = 5.

مثال 2.

حل المعادلة x 2 + 5x - 6 = 0.

حل.

دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه المعادلة لها جذور. للقيام بذلك ، نجد المميز:

D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d 25 + 24 \ u003d 49 \ u003e 0. للمعادلة جذرين مختلفين.

العوامل المحتملة للرقم 6 هي 2 و 3 و 6 و 1. الفرق هو 5 للزوج 6 و 1. في هذا المثال ، معامل المصطلح الثاني له علامة زائد ، عدد أقلسيكون له نفس العلامة. لكن قبل الرقم الثاني ستكون هناك علامة ناقص.

الجواب: س 1 = -6 و س 2 = 1.

يمكن أيضًا كتابة نظرية فييتا لمعادلة تربيعية كاملة. لذلك إذا كانت المعادلة التربيعية الفأس 2 + ب س + ج = 0لها جذور x 1 و x 2 ، ثم تحقق المساواة

× 1 + × 2 = - (ب / أ)و × 1 × 2 = (ج / أ). ومع ذلك ، فإن تطبيق هذه النظرية في المعادلة التربيعية الكاملة يمثل مشكلة إلى حد ما ، منذ ذلك الحين إذا كان هناك جذور ، واحد منهم على الأقل عدد كسري. والعمل مع اختيار الكسور صعب للغاية. لكن لا يزال هناك مخرج.

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية الكاملة ax 2 + bx + c = 0. اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بالمعامل a. ستأخذ المعادلة الشكل (ax) 2 + b (ax) + ac = 0. لنقدم الآن متغيرًا جديدًا ، على سبيل المثال t = ax.

في هذه الحالة ، تتحول المعادلة الناتجة إلى معادلة تربيعية مختصرة بالصيغة t 2 + bt + ac = 0 ، يمكن تحديد جذورها t 1 و t 2 (إن وجدت) بواسطة نظرية Vieta.

في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة التربيعية الأصلية

x 1 = (t 1 / a) و x 2 = (t 2 / a).

مثال 3.

حل المعادلة 15x 2-11x + 2 = 0.

حل.

نصنع معادلة مساعدة. لنضرب كل حد في المعادلة في 15:

15 2 × 2-11 × 15 + 15 2 = 0.

نجعل التغيير t = 15x. لدينا:

ر 2-11 طن + 30 = 0.

وفقًا لنظرية فييتا ، فإن جذور هذه المعادلة ستكون t 1 = 5 و t 2 = 6.

نعود إلى الاستبدال t = 15x:

5 = 15x أو 6 = 15x. هكذا x 1 = 5/15 و x 2 = 6/15. نختصر ونحصل على الإجابة النهائية: x 1 = 1/3 و x 2 = 2/5.

إجابة. × 1 = 1/3 و × 2 = 2/5.

لإتقان حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا ، يحتاج الطلاب إلى التدرب قدر الإمكان. هذا هو بالضبط سر النجاح.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

قبل الانتقال إلى نظرية فييتا ، نقدم تعريفًا. معادلة من الدرجة الثانية للصيغة x² + مقصف + ف= 0 يسمى مخفض. في هذه المعادلة ، المعامل الرئيسي يساوي واحدًا. على سبيل المثال ، المعادلة x² - 3 x- 4 = 0 مخفض. أي معادلة من الدرجة الثانية للصيغة فأس² + ب x + ج= 0 يمكن اختزالها ، لذلك نقسم طرفي المعادلة على أ≠ 0. على سبيل المثال ، المعادلة 4 x² + 4 x- 3 \ u003d 0 مقسومًا على 4 يتم تقليله إلى النموذج: x² + x- 3/4 = 0. نشتق صيغة جذور المعادلة التربيعية المعطاة ، لذلك نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية نظرة عامة: فأس² + bx + ج = 0

معادلة مخفضة x² + مقصف + ف= 0 يتطابق مع المعادلة العامة التي فيها أ = 1, ب = ص, ج = ف.لذلك ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة ، تأخذ الصيغة الشكل:

يسمى التعبير الأخير معادلة جذور المعادلة التربيعية المختصرة ، ومن الملائم بشكل خاص استخدام هذه الصيغة عندما ر — رقم زوجي. على سبيل المثال ، لنحل المعادلة x² - 14 x — 15 = 0

ردا على ذلك ، نكتب أن المعادلة لها جذران.

بالنسبة لمعادلة تربيعية مختصرة ذات قيمة موجبة ، فإن النظرية التالية صحيحة.

نظرية فييتا

لو x 1 و x 2 - جذور المعادلة x² + مقصف + ف= 0 ، فإن الصيغ صالحة:

x 1 + x 2 = — ر

× 1 * × 2 \ u003d س ،أي أن مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، المأخوذ مع الإشارة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.

بناءً على صيغة جذور المعادلة التربيعية أعلاه ، لدينا:

بإضافة هذه المساواة ، نحصل على: x 1 + x 2 = —تم العثور على R.

بضرب هذه المعادلات ، باستخدام صيغة فرق المربعات ، نحصل على:

لاحظ أن نظرية فييتا صالحة أيضًا عندما يكون المميز صفرًا ، إذا افترضنا أن المعادلة التربيعية في هذه الحالة لها جذران متطابقان: x 1 = x 2 = — ر/2.

عدم حل المعادلات x² - 13 x+ 30 = 0 أوجد مجموع جذره وحاصل ضربه x 1 و x 2. هذه المعادلة د\ u003d 169-120 = 49 \ u003e 0 ، لذلك يمكنك تطبيق نظرية فييتا: x 1 + x 2 = 13, × 1 * × 2 = 30. النظر في بعض الأمثلة الأخرى. أحد جذور المعادلة x² — مقصف- 12 = 0 تساوي x 1 = 4. أوجد المعامل روالجذر الثاني x 2 من هذه المعادلة. وفقًا لنظرية فييتا × 1 * × 2 =— 12, x 1 + x 2 = — تم العثور على R.لأن x 1 = 4 ثم 4 x 2 = - 12 ، من أين x 2 = — 3, ر = — (x 1 + x 2) \ u003d - (4 - 3) \ u003d - 1. ردًا على ذلك ، نكتب الجذر الثاني x 2 = - 3 ، معامل ع = - 1.

عدم حل المعادلات x² + 2 x- 4 = 0 أوجد مجموع تربيع جذوره. يترك x 1 و x 2 هي جذور المعادلة. وفقًا لنظرية فييتا x 1 + x 2 = — 2, × 1 * × 2 = - 4. لأن x 1² + x 2² = ( x 1 + x 2) ² - 2 x 1 x 2 ، إذن x 1² + x 2 ² \ u003d (- 2) ² -2 (- 4) \ u003d 12.

أوجد مجموع جذر المعادلة 3 وحاصل ضربها x² + 4 x- 5 \ u003d 0. هذه المعادلة لها جذران مختلفان ، منذ المميز د= 16 + 4 * 3 * 5> 0. لحل المعادلة ، نستخدم نظرية فيتا. تم إثبات هذه النظرية للمعادلة التربيعية المختصرة. لذلك دعونا نقسم هذه المعادلة على 3.

إذن ، مجموع الجذور هو -4/3 ، وحاصل ضربهما -5/3.

بشكل عام ، جذور المعادلة فأس² + ب x + ج= 0 مرتبطة بالمساواة التالية: x 1 + x 2 = — ب / أ ، × 1 * × 2 = ج / أ ،للحصول على هذه الصيغ ، يكفي تقسيم جانبي هذه المعادلة التربيعية على أ ≠ 0 وتطبيق نظرية فييتا على المعادلة التربيعية المختزلة الناتجة. ضع في اعتبارك مثالًا ، تحتاج إلى تكوين معادلة تربيعية معينة ، وجذورها x 1 = 3, x 2 = 4. لأن x 1 = 3, x 2 = 4 هي جذور المعادلة التربيعية x² + مقصف + ف= 0 ، ثم من خلال نظرية فييتا ر = — (x 1 + x 2) = — 7, ف = x 1 x 2 = 12. ردا على ذلك ، نكتب x² - 7 x+ 12 = 0. تستخدم النظرية التالية في حل بعض المسائل.

نظرية معكوسة لنظرية فييتا

إذا كانت الأرقام ر, ف, x 1 , x 2 من هذا القبيل x 1 + x 2 = — ص ، × 1 * × 2 \ u003d س، الذي - التي × 1و x2هي جذور المعادلة x² + مقصف + ف= 0. عوّض في الجانب الأيسر x² + مقصف + فبدلاً من رتعبير - ( x 1 + x 2) ، ولكن بدلاً من ذلك ف- عمل × 1 * × 2.نحن نحصل: x² + مقصف + ف = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \ u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \ u003d (x - x 1) (x - x 2).وهكذا ، إذا كانت الأرقام ر, ف, x 1 و x 2 ترتبط بهذه العلاقات ، إذن للجميع Xالمساواة x² + مقصف + ف = (س - × 1) (س - × 2) ،من الذي يتبع ذلك x 1 و x 2 - جذور المعادلة x² + مقصف + ف= 0. باستخدام النظرية عكس نظرية فييتا ، من الممكن في بعض الأحيان العثور على جذور المعادلة التربيعية عن طريق الانتقاء. تأمل في مثال ، x² - 5 x+ 6 = 0. هنا ر = — 5, ف= 6. اختر رقمين x 1 و x 2 بحيث x 1 + x 2 = 5, × 1 * × 2 = 6. مع ملاحظة أن 6 \ u003d 2 * 3 ، و 2 + 3 \ u003d 5 ، من خلال النظرية ، نظرية الحديثفييتا ، حصلنا على ذلك x 1 = 2, x 2 = 3 - جذور المعادلة x² - 5 x + 6 = 0.