نظرية فيتا في المعادلات غير المنطقية. صيغة لجذور المعادلة التربيعية

I. نظرية فييتاللمعطى معادلة من الدرجة الثانية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 +بكسل+ف=0يساوي المعامل الثاني المأخوذ من علامة المعاكس، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر:

x 1 + x 2 = -p; × 1 ∙ × 2 = ف.

أوجد جذور المعادلة التربيعية المعطاة باستخدام نظرية فييتا.

مثال 1) × 2 -س-30=0.هذه هي المعادلة التربيعية المخفضة ( × 2 +بكسل+ف=0)، المعامل الثاني ع=-1، والعضو الحر س=-30.أولاً، دعونا نتأكد من أن هذه المعادلة لها جذور، وأن الجذور (إن وجدت) سيتم التعبير عنها بأعداد صحيحة. ولهذا يكفي أن يكون المميز مربع ممتازالرقم كاملا.

إيجاد التمييز د=ب 2 — 4ج=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

الآن، وفقًا لنظرية فييتا، يجب أن يكون مجموع الجذور مساويًا للمعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، أي. ( -ص)، والحاصل يساوي الحد الحر، أي. ( س). ثم:

س 1 + س 2 =1؛ × 1 ∙ × 2 = -30.علينا اختيار رقمين بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي -30 ، والمبلغ هو وحدة. هذه أرقام -5 و 6 . الجواب: -5؛ 6.

مثال 2) × 2 +6س+8=0.لدينا المعادلة التربيعية المخفضة مع المعامل الثاني ع = 6وعضو حر س = 8. دعونا نتأكد من وجود جذور صحيحة. دعونا نجد المميز د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . المميز D 1 هو المربع الكامل للرقم 1 ، وهو ما يعني الجذور معادلة معينةهي أعداد صحيحة. دعونا نحدد الجذور باستخدام نظرية فيتا: مجموع الجذور يساوي –ص=-6، وحاصل ضرب الجذور يساوي س = 8. هذه أرقام -4 و -2 .

في الحقيقة: -4-2=-6=-Р; -4∙(-2)=8=ف. الجواب: -4؛ -2.

مثال 3) × 2 +2س-4=0. في هذه المعادلة التربيعية المخفضة، المعامل الثاني ع = 2، والعضو الحر س=-4. دعونا نجد المميز د 1، لأن المعامل الثاني هو رقم زوجي. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. المميز ليس مربعًا كاملاً للعدد، لذلك نفعل ذلك خاتمة: جذور هذه المعادلة ليست أعدادًا صحيحة ولا يمكن إيجادها باستخدام نظرية فيتا.وهذا يعني أننا نحل هذه المعادلة، كالعادة، باستخدام الصيغ (في في هذه الحالةحسب الصيغ). نحن نحصل:

مثال 4).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها if × 1 = -7، × 2 = 4.

حل.سيتم كتابة المعادلة المطلوبة على الشكل: س 2 +بكسل+ف=0، وعلى أساس نظرية فييتا –ع=س 1 + س 2=-7+4=-3 → ع = 3؛ ف=س 1 ∙س 2=-7∙4=-28 . عندها ستأخذ المعادلة الشكل: × 2 +3س-28=0.

مثال 5).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها إذا:

ثانيا. نظرية فييتاللحصول على معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 +بx+ج=0.

مجموع الجذور ناقص ب، مقسمة على أ، منتج الجذور يساوي مع، مقسمة على أ:

س 1 + س 2 = -ب/أ؛ س 1 ∙ س 2 = ج/أ.

قبل الانتقال إلى نظرية فييتا، نقدم تعريفًا. المعادلة التربيعية للنموذج س² + بكسل + س= 0 يسمى مخفض. في هذه المعادلة المعامل الرئيسي يساوي واحد. على سبيل المثال، المعادلة س² - 3 س- 4 = 0 مخفض. أي معادلة تربيعية من النموذج فأس² + ب س + جيمكن تخفيض = 0 بقسمة طرفي المعادلة على أ≠ 0. على سبيل المثال، المعادلة 4 س² + 4 س— 3 = 0 بالقسمة على 4 يتم اختزالها إلى النموذج: س² + س- 3/4 = 0. دعونا نشتق صيغة جذور المعادلة التربيعية المختزلة؛ ولهذا نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية العامة: فأس² + bx + ج = 0

معادلة مخفضة س² + بكسل + س= 0 يتزامن مع معادلة عامة فيها أ = 1, ب = ص, ج = س.لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، تأخذ الصيغة الشكل:

التعبير الأخير يسمى صيغة جذور المعادلة التربيعية المخفضة؛ ومن الملائم بشكل خاص استخدام هذه الصيغة عندما ر- رقم زوجي. على سبيل المثال، دعونا نحل المعادلة س² — 14 س — 15 = 0

وفي الإجابة، نكتب أن المعادلة لها جذرين.

بالنسبة للمعادلة التربيعية المخفضة ذات الموجب، تنطبق النظرية التالية.

نظرية فييتا

لو س 1 و س 2- جذور المعادلة س² + بكسل + س= 0، فالصيغ صالحة:

س 1 + س 2 = — ر

س 1 * س 2 = ف،أي أن مجموع جذور المعادلة التربيعية المخفضة يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

بناءً على صيغة جذور المعادلة التربيعية أعلاه، لدينا:

وبجمع هذه المعادلات نحصل على: س 1 + س 2 = —ر.

بضرب هذه المعادلات باستخدام صيغة فرق المربعات نحصل على:

لاحظ أن نظرية فييتا تكون صالحة أيضًا عندما يكون المميز يساوي صفرًا، إذا افترضنا أن المعادلة التربيعية في هذه الحالة لها جذرين متطابقين: س 1 = س 2 = — ر/2.

بدون حل المعادلات س² — 13 س+ 30 = 0 أوجد مجموع جذورها وحاصل ضربها س 1 و س 2. هذه المعادلة د= 169 - 120 = 49 > 0، لذلك يمكن تطبيق نظرية فييتا: س 1 + س 2 = 13, × 1 * × 2 = 30. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى. أحد جذور المعادلة س² — بكسل- 12 = 0 يساوي س 1 = 4. أوجد المعامل روالجذر الثاني س 2 من هذه المعادلة. بواسطة نظرية فييتا × 1 * × 2 =— 12, س 1 + س 2 = — ر.لأن س 1 = 4، ثم 4 س 2 = - 12، من أين س 2 = — 3, ر = — (س 1 + س 2) = - (4 - 3) = - 1. في الإجابة نكتب الجذر الثاني س 2 = - 3، المعامل ع = — 1.

بدون حل المعادلات س² + 2 س- 4 = 0 لنوجد مجموع مربعات جذوره. يترك س 1 و س 2- جذور المعادلة . بواسطة نظرية فييتا س 1 + س 2 = — 2, س 1 * س 2 = — 4. لأن س 1²+ س 2² = ( س 1 + س 2)² - 2 س 1 س 2 ثم س 1²+ س 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

دعونا نجد مجموع ومنتج جذور المعادلة 3 س² + 4 س— 5 = 0. هذه المعادلة لها اثنان جذور مختلفة، منذ التمييز د= 16 + 4*3*5 > 0. لحل المعادلة، نستخدم نظرية فيتا. لقد تم إثبات هذه النظرية للمعادلة التربيعية المعطاة. لذلك دعونا نقسم هذه المعادلة على 3.

وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي -4/3، وحاصل ضربها يساوي -5/3.

في الحالة العامةجذور المعادلة فأس² + ب س + ج= 0 ترتبط بالمساواة التالية: س 1 + س 2 = — ب/أ، × 1 * × 2 = ج/أ،للحصول على هذه الصيغ، يكفي قسمة طرفي هذه المعادلة التربيعية على أ ≠ 0 وتطبيق نظرية فييتا على المعادلة التربيعية المخفضة الناتجة. لنفكر في مثال: تحتاج إلى إنشاء معادلة تربيعية مختزلة جذورها س 1 = 3, س 2 = 4. لأن س 1 = 3, س 2 = 4 - جذور المعادلة التربيعية س² + بكسل + س= 0، ثم من خلال نظرية فييتا ر = — (س 1 + س 2) = — 7, س = س 1 س 2 = 12. نكتب الجواب بالشكل س² — 7 س+ 12 = 0. عند حل بعض المسائل، يتم استخدام النظرية التالية.

نظرية تتحدث عن نظرية فييتا

إذا كانت الأرقام ر, س, س 1 , س 2 هكذا س 1 + س 2 = — ص، س 1 * س 2 = ف، الذي - التي × 1و × 2- جذور المعادلة س² + بكسل + س= 0. استبدل في الجانب الأيسر س² + بكسل + سبدلاً من رتعبير - ( س 1 + س 2) وبدلا من ذلك س- عمل × 1 * × 2 .نحن نحصل: س² + بكسل + س = س² — ( س 1 + س 2) س + س 1 × 2 = س² - س 1 س - س 2 س + س 1 × 2 = (س - س 1) (س - س 2).وهكذا إذا كانت الأرقام ر, س, س 1 و س 2 ترتبط بهذه العلاقات، ثم للجميع Xالمساواة تحمل س² + بكسل + س = (س - س 1) (س - س 2)،ومنه يترتب على ذلك س 1 و س 2- جذور المعادلة س² + بكسل + س= 0. باستخدام النظرية العكسية لنظرية فيتا، يمكنك أحيانًا العثور على جذور المعادلة التربيعية عن طريق الاختيار. لنلقي نظرة على مثال، س² — 5 س+ 6 = 0. هنا ر = — 5, س= 6. دعونا نختار رقمين س 1 و س 2 حتى ذلك س 1 + س 2 = 5, × 1 * × 2 = 6. بملاحظة أن 6 = 2 * 3، و2 + 3 = 5، من خلال النظرية العكسية لنظرية فييتا، نحصل على ذلك س 1 = 2, س 2 = 3- جذور المعادلة س² — 5 س + 6 = 0.

إحدى طرق حل المعادلة التربيعية هي استخدام صيغ فييت، والذي سمي على اسم فرانسوا فييت.

كان محامياً مشهوراً، وخدم في القرن السادس عشر الملك الفرنسي. في وقت فراغدرس علم الفلك والرياضيات. أسس علاقة بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية.

مزايا الصيغة:

1 . من خلال تطبيق الصيغة، يمكنك العثور على حل بسرعة. لأنه ليست هناك حاجة لإدخال المعامل الثاني في المربع، ثم طرح 4ac منه، وإيجاد المميز، وتعويض قيمته في الصيغة لإيجاد الجذور.

2 . وبدون حل يمكنك تحديد علامات الجذور واختيار قيم الجذور.

3 . بعد حل نظام مكون من سجلين، ليس من الصعب العثور على الجذور نفسها. في المعادلة التربيعية أعلاه، مجموع الجذور يساوي قيمة المعامل الثاني بعلامة الطرح. حاصل ضرب الجذور في المعادلة التربيعية أعلاه يساوي قيمة المعامل الثالث.

4 . باستخدام هذه الجذور، اكتب معادلة تربيعية، أي حلها مشكلة عكسية. على سبيل المثال، يتم استخدام هذه الطريقة عند حل المشكلات في الميكانيكا النظرية.

5 . من الملائم استخدام الصيغة عندما يكون المعامل الرئيسي مساويًا لواحد.

عيوب:

1 . الصيغة ليست عالمية.

نظرية فييتا الصف الثامن

معادلة
إذا كان x 1 وx 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + px + q = 0، فإن:

أمثلة
س 1 = -1؛ × 2 = 3 - جذور المعادلة × 2 - 2س - 3 = 0.

ف = -2، ف = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p،

× 1 × 2 = -1 3 = -3 = ف.

نظرية العكس

معادلة
إذا كانت الأرقام x 1، x 2، p، q مرتبطة بالشروط:

إذًا x 1 وx 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q = 0.

مثال
لنقم بإنشاء معادلة تربيعية باستخدام جذورها:

× 1 = 2 - ؟ 3 و س 2 = 2 + ؟ 3.

ف = س 1 + س 2 = 4؛ ع = -4؛ ف = س 1 × 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

المعادلة المطلوبة لها الشكل: x 2 - 4x + 1 = 0.

يبدأ التمييز، مثل المعادلات التربيعية، في الدراسة في دورة الجبر في الصف الثامن. يمكنك حل معادلة تربيعية من خلال التمييز واستخدام نظرية فييتا. إن طريقة دراسة المعادلات التربيعية، وكذلك الصيغ التمييزية، يتم تدريسها لأطفال المدارس دون جدوى، مثل أشياء كثيرة في التعليم الحقيقي. ولذلك يمرون سنوات الدراسة، التعليم في الصفوف 9-11 يحل محل " تعليم عالى"والجميع ينظر مرة أخرى - "كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية؟"، "كيف تجد جذور المعادلة؟"، "كيف تجد المميز؟" و...

صيغة التمييز

المميز D للمعادلة التربيعية a*x^2+bx+c=0 يساوي D=b^2–4*a*c.
تعتمد جذور (حلول) المعادلة التربيعية على علامة المميز (D):
D>0 – للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛
D=0 - للمعادلة جذر واحد (جذران متطابقان):
د<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
معادلة حساب المُميِّز بسيطة جدًا، لذلك توفر العديد من مواقع الويب آلة حاسبة للمميز عبر الإنترنت. لم نكتشف هذا النوع من النصوص البرمجية بعد، لذا إذا كان أي شخص يعرف كيفية تنفيذ ذلك، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني محمي عنوان البريد الإلكتروني هذا من المتطفلين و برامج التطفل. يجب عليك تفعيل جافا سكريبت لمشاهدته. .

الصيغة العامة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية:

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغة
إذا تم إقران معامل المتغير المربع، فمن المستحسن حساب ليس المميز، ولكن الجزء الرابع منه
في مثل هذه الحالات، يتم العثور على جذور المعادلة باستخدام الصيغة

الطريقة الثانية للعثور على الجذور هي نظرية فييتا.

تمت صياغة النظرية ليس فقط للمعادلات التربيعية، ولكن أيضًا لمتعددات الحدود. يمكنك قراءة هذا على ويكيبيديا أو الموارد الإلكترونية الأخرى. ومع ذلك، للتبسيط، دعونا نفكر في الجزء المتعلق بالمعادلات التربيعية أعلاه، أي المعادلات من الصيغة (a=1)
جوهر صيغ فييتا هو أن مجموع جذور المعادلة يساوي معامل المتغير المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر. يمكن كتابة نظرية فييتا في الصيغ.
إن اشتقاق صيغة فييتا بسيط للغاية. لنكتب المعادلة التربيعية من خلال عوامل بسيطة
كما ترون، كل شيء عبقري بسيط في نفس الوقت. من المفيد استخدام صيغة فييتا عندما يكون الفرق في معامل الجذور أو الفرق في معاملي الجذور هو 1، 2. على سبيل المثال، المعادلات التالية، وفقًا لنظرية فيتا، لها جذور




حتى المعادلة 4، يجب أن يبدو التحليل هكذا. حاصل ضرب جذور المعادلة هو 6، وبالتالي يمكن أن تكون الجذور القيمتين (1، 6) و (2، 3) أو أزواج ذات إشارات متضادة. مجموع الجذور هو 7 (معامل المتغير ذو الإشارة المعاكسة). من هنا نستنتج أن حلول المعادلة التربيعية هي x=2؛ س = 3.
من الأسهل تحديد جذور المعادلة من بين مقسومات الحد الحر، وضبط علامتها من أجل تحقيق صيغ فييتا. في البداية، قد يبدو هذا الأمر صعبًا، ولكن مع التدريب على عدد من المعادلات التربيعية، ستكون هذه التقنية أكثر فعالية من حساب المميز وإيجاد جذور المعادلة التربيعية بالطريقة الكلاسيكية.
وكما ترى فإن النظرية المدرسية في دراسة المتمايز وطرق إيجاد حلول للمعادلة خالية من المعنى العملي - "لماذا يحتاج تلاميذ المدارس إلى معادلة تربيعية؟"، "ما هو المعنى المادي للمتميز؟"

دعونا نحاول معرفة ذلك ماذا يصف التمييز؟

في دورة الجبر يدرسون الوظائف، وخطط لدراسة الوظائف وإنشاء رسم بياني للوظائف. من بين جميع الدوال، يحتل القطع المكافئ مكانًا مهمًا، حيث يمكن كتابة معادلته على الصورة
لذا فإن المعنى الفيزيائي للمعادلة التربيعية هو أصفار القطع المكافئ، أي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني Ox
أطلب منك أن تتذكر خصائص القطع المكافئ الموضحة أدناه. سيأتي الوقت لإجراء الاختبارات أو الاختبارات أو اختبارات القبول وستكون ممتنًا للمواد المرجعية. تتوافق إشارة المتغير المربع مع ما إذا كانت فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سترتفع (a>0)،

أو قطع مكافئ بفروع للأسفل (أ<0) .

تقع قمة القطع المكافئ في منتصف المسافة بين الجذور

المعنى المادي للتمييز:

إذا كان المميز أكبر من الصفر (D> 0)، فإن القطع المكافئ له نقطتا تقاطع مع محور الثور.
إذا كان المميز صفرًا (D=0)، فإن القطع المكافئ عند الرأس يلامس المحور السيني.
و الحالة الأخيرةعندما يكون المميز أقل من الصفر (د<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

المعادلات التربيعية غير الكاملة

أي معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 + ب س + ج = 0يمكن أن يتبادر إلى الذهن × 2 + (ب/أ)س + (ج/أ) = 0، إذا قمت أولاً بقسمة كل حد على المعامل a السابق × 2. وإذا أدخلنا تدوينات جديدة (ب/أ) = صو (ج/أ) = ف، إذن سيكون لدينا المعادلة س 2 + بيكسل + ف = 0، وهو ما يسمى في الرياضيات نظرا للمعادلة التربيعية.

جذور المعادلة التربيعية المختزلة ومعاملاتها صو سمتصلة ببعضها البعض. تم التأكيد نظرية فييتاسمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييتا الذي عاش في نهاية القرن السادس عشر.

نظرية. مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + بيكسل + ف = 0يساوي المعامل الثاني ص، مأخوذة بالعلامة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور - إلى الحد الحر س.

ولنكتب هذه العلاقات بالشكل التالي:

يترك × 1و × 2جذور مختلفة للمعادلة المحددة س 2 + بيكسل + ف = 0. وفقا لنظرية فييتا س 1 + س 2 = -صو × 1 × 2 = ف.

لإثبات ذلك، دعونا نعوض بكل من الجذرين x 1 وx 2 في المعادلة. نحصل على مساواة حقيقية:

× 1 2 + بكسل 1 + ف = 0

× 2 2 + بيكسل 2 + ف = 0

دعونا نطرح الثانية من المساواة الأولى. نحن نحصل:

س 1 2 - س 2 2 + ص(س 1 - س 2) = 0

نقوم بتوسيع الحدين الأولين باستخدام صيغة فرق المربعات:

(س 1 - س 2)(س 1 - س 2) + ص (س 1 - س 2) = 0

بشرط أن تكون الجذور x 1 و x 2 مختلفة. لذلك يمكننا اختزال المساواة إلى (x 1 - x 2) ≠ 0 والتعبير عن p.

(س 1 + س 2) + ع = 0؛

(س 1 + س 2) = -ص.

لقد ثبتت المساواة الأولى.

ولإثبات المساواة الثانية، نعوض في المعادلة الأولى

x 1 2 + px 1 + q = 0 بدلاً من المعامل p، عدد متساوٍ هو (x 1 + x 2):

س 1 2 – (س 1 + س 2) × 1 + ف = 0

وبتحويل الطرف الأيسر من المعادلة نحصل على:

س 1 2 - س 2 2 - س 1 س 2 + ف = 0;

x 1 x 2 = q، وهو ما يجب إثباته.

نظرية فييتا جيدة لأن حتى بدون معرفة جذور المعادلة التربيعية، يمكننا حساب مجموعها وحاصل ضربها .

تساعد نظرية فييتا في تحديد الجذور الصحيحة لمعادلة تربيعية معينة. لكن هذا يسبب صعوبات للعديد من الطلاب لأنهم لا يعرفون خوارزمية واضحة للعمل، خاصة إذا كانت جذور المعادلة لها علامات مختلفة.

إذن، المعادلة التربيعية أعلاه لها الصيغة x 2 + px + q = 0، حيث x 1 و x 2 هما جذورها. وفقا لنظرية فييتا، x 1 + x 2 = -p و x 1 x 2 = q.

ويمكن استخلاص الاستنتاج التالي.

إذا كان الحد الأخير في المعادلة مسبوقًا بعلامة ناقص، فإن الجذرين x 1 و x 2 لهما إشارات مختلفة. بالإضافة إلى ذلك، فإن إشارة الجذر الأصغر تتطابق مع إشارة المعامل الثاني في المعادلة.

بناءً على أنه عند جمع أرقام ذات إشارات مختلفة يتم طرح وحداتها، وتكون النتيجة الناتجة مسبوقة بعلامة الرقم الأكبر بالقيمة المطلقة، فيجب عليك اتباع ما يلي:

1. تحديد عوامل الرقم q بحيث يكون الفرق بينها مساويًا للرقم p؛
2. ضع إشارة المعامل الثاني للمعادلة أمام أصغر الأرقام الناتجة؛ سيكون للجذر الثاني علامة معاكسة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.

حل المعادلة × 2 – 2س – 15 = 0.

حل.

دعونا نحاول حل هذه المعادلة باستخدام القواعد المقترحة أعلاه. ومن ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن هذه المعادلة سيكون لها جذرين مختلفين، لأن د = ب 2 – 4أ = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

الآن، من بين جميع عوامل الرقم 15 (1 و 15، 3 و 5)، نختار تلك العوامل التي يكون فرقها 2. سيكون هذان الرقمان 3 و 5. نضع علامة الطرح أمام الرقم الأصغر، أي. علامة المعامل الثاني للمعادلة. وبذلك نحصل على جذور المعادلة x 1 = -3 و x 2 = 5.

إجابة. س 1 = -3 و س 2 = 5.

مثال 2.

حل المعادلة x 2 + 5x – 6 = 0.

حل.

دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه المعادلة لها جذور. وللقيام بذلك نجد التمييز:

د = ب 2 – 4أ = 25 + 24 = 49 > 0. المعادلة لها جذرين مختلفين.

العوامل المحتملة للرقم 6 هي 2 و3 و6 و1. والفرق هو 5 للزوج 6 و1. في هذا المثال، معامل الحد الثاني له علامة زائد، وبالتالي عدد أصغرسيكون لها نفس العلامة. ولكن قبل الرقم الثاني ستكون هناك علامة ناقص.

الإجابة: × 1 = -6 و × 2 = 1.

يمكن أيضًا كتابة نظرية فييتا لمعادلة تربيعية كاملة. لذلك، إذا كانت المعادلة التربيعية الفأس 2 + ب س + ج = 0له جذور x 1 و x 2، فإن التساوي بينهما يكون صحيحًا

س 1 + س 2 = -(ب/أ)و × 1 × 2 = (ج/أ). ومع ذلك، فإن تطبيق هذه النظرية في معادلة تربيعية كاملة يمثل مشكلة كبيرة، لأن إذا كان هناك جذور، واحد منهم على الأقل عدد كسري. والعمل مع اختيار الكسور أمر صعب للغاية. ولكن لا يزال هناك طريقة للخروج.

خذ بعين الاعتبار المعادلة التربيعية الكاملة ax 2 + bx + c = 0. اضرب طرفيها الأيمن والأيسر في المعامل a. ستأخذ المعادلة الشكل (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. الآن لندخل متغيرًا جديدًا، على سبيل المثال t = ax.

في هذه الحالة، ستتحول المعادلة الناتجة إلى معادلة تربيعية مختزلة بالصيغة t 2 + bt + ac = 0، ويمكن تحديد جذورها t 1 وt 2 (إن وجدت) بواسطة نظرية فييتا.

في هذه الحالة، ستكون جذور المعادلة التربيعية الأصلية

س 1 = (ر 1 / أ) و س 2 = (ر 2 / أ).

مثال 3.

حل المعادلة 15س 2 – 11س + 2 = 0.

حل.

لنقم بإنشاء معادلة مساعدة. دعونا نضرب كل حد من المعادلة في 15:

15 2 × 2 – 11 15س + 15 2 = 0.

نجعل الاستبدال t = 15x. لدينا:

ر2 - 11ط + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا، فإن جذور هذه المعادلة ستكون t 1 = 5 و t 2 = 6.

نعود إلى الاستبدال t = 15x:

5 = 15س أو 6 = 15س. إذن x 1 = 5/15 و x 2 = 6/15. نقوم بالتبسيط ونحصل على الإجابة النهائية: x 1 = 1/3 و x 2 = 2/5.

إجابة. س 1 = 1/3 و س 2 = 2/5.

لإتقان حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا، يحتاج الطلاب إلى التدرب قدر الإمكان. وهذا هو بالضبط سر النجاح.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.