أمثلة على التحولات المتطابقة للتعبيرات اللوغاريتمية. تحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات والأمثلة والحلول

جامعة ولاية بريدنيستروفيان

هم. ت. شيفتشينكو

كلية الفيزياء والرياضيات

قسم التحليل الرياضي

وطرق تدريس الرياضيات

عمل الدورة

"تحولات الهوية

أسي ولوغاريتمي

التعبيرات"

انتهى العمل:

طالب من مجموعة ______

كلية الفيزياء والرياضيات

_________________________

فحص العمل:

_________________________

تيراسبول ، 2003

مقدمة ………………………………………………………………………………… 2

الفصل 1. تحولات الهوية وطرق التدريس في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل……………………………………..4

§1. تكوين المهارات لتطبيق أنواع محددة من التحولات ………………………………………………………………………………………… .4

§2. ملامح تنظيم نظام المعرفة في دراسة التحولات المتطابقة.

§3. برنامج الرياضيات ………………………………………………… .11

الفصل 2 تحويلات الهوية وحسابات التعبيرات الأسية واللوغاريتمية……………………………...…………………13

§1. تعميم مفهوم الدرجة ……………………………………… .. 13

§2. الدالة الأسية ……………………………………………… ..15

§3. دالة لوغاريتمية …………………………………………………… .16

الفصل 3 التحولات المتطابقة للتعبيرات الأسية واللوغاريتمية في الممارسة..........................................................................19

الخلاصة ……………………………………………………………………… .. 24

قائمة الأدب المستعمل ………………………………………… .25
مقدمة

سيأخذ هذا المقرر الدراسي في الاعتبار التحولات المتطابقة للوظائف الأسية واللوغاريتمية ، والنظر في منهجية تدريسها في مسار الجبر المدرسي وبداية التحليل.

يصف الفصل الأول من هذا العمل منهجية تدريس التحولات المتطابقة في مقرر الرياضيات المدرسية ، كما يشتمل على برنامج رياضيات في مقرر "الجبر وبداية التحليل" مع دراسة الدوال الأسية واللوغاريتمية.

الفصل الثاني يتعامل مباشرة مع الدوال الأسية واللوغاريتمية نفسها ، وخصائصها الرئيسية المستخدمة في تحويلات متطابقة.

الفصل الثالث هو حل الأمثلة والمشكلات باستخدام تحويلات متطابقة للوظائف الأسية واللوغاريتمية.

تستغرق دراسة التحولات المختلفة للتعبيرات والصيغ جزءًا كبيرًا من وقت الدراسة في سياق الرياضيات المدرسية. أبسط التحولات ، بناءً على خصائص العمليات الحسابية ، تم إجراؤها بالفعل في المدرسة الابتدائية وفي الصفوف من الرابع إلى الخامس. لكن العبء الرئيسي على تكوين المهارات والقدرات لأداء التحولات يتحمله مسار الجبر المدرسي. ويرتبط ذلك مع زيادة حادة في عدد وتنوع التحولات المنجزة ، ومع تعقيد الأنشطة لإثباتها وتوضيح شروط التطبيق ، مع تحديد ودراسة المفاهيم المعممة للهوية ، والتحول المتطابق ، والتحول المكافئ ، نتيجة منطقية.

تتطور ثقافة إجراء التحولات المتطابقة بنفس الطريقة التي تتطور بها ثقافة الحوسبة ، بناءً على معرفة قوية بخصائص العمليات على الكائنات (الأرقام والمتجهات ومتعددة الحدود وما إلى ذلك) وخوارزميات تنفيذها. يتجلى ذلك ليس فقط في القدرة على تبرير التحولات بشكل صحيح ، ولكن أيضًا في القدرة على العثور على أقصر طريق للانتقال من التعبير التحليلي الأصلي إلى التعبير الذي يناسب الغرض من التحول على أفضل وجه ، في القدرة على تتبع التغييرات في مجال تعريف التعبيرات التحليلية في سلسلة من التحولات المتطابقة ، في السرعة والتنفيذ الخالي من الأخطاء للتحولات.

يعد ضمان وجود ثقافة حسابية عالية وتحولات متطابقة مشكلة مهمة في تدريس الرياضيات. ومع ذلك ، لا تزال هذه المشكلة بعيدة عن الحل المرضي. والدليل على ذلك هو البيانات الإحصائية لسلطات التعليم العام ، والتي يتم فيها التحقق سنويًا من الأخطاء والطرق غير المنطقية للحسابات والتحولات ، والتي يتم إجراؤها من قبل الطلاب من مختلف الفصول عند إجراء الاختبارات. هذا ما تؤكده مراجعات مؤسسات التعليم العالي حول جودة المعرفة والمهارات الرياضية للمتقدمين. لا يسع المرء إلا أن يوافق على استنتاجات سلطات التعليم العام والجامعات بأن المستوى العالي غير الكافي لثقافة الحوسبة والتحولات المتطابقة في المدرسة الثانوية هو نتيجة الشكليات في معرفة الطلاب ، والفصل بين النظرية والممارسة.

الفصل 1.

تحولات الهوية وطرق التدريس

في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل.

§1. تكوين مهارات التطبيق

أنواع محددة من التحولالعناوين.

يحتوي نظام التقنيات والقواعد لإجراء التحويلات ، المستخدم في مرحلة بدايات الجبر ، على مجموعة واسعة جدًا من التطبيقات: يتم استخدامه في دراسة مسار الرياضيات بأكمله. ومع ذلك ، وبسبب خصوصيته المنخفضة ، يحتاج هذا النظام إلى تحويلات إضافية تأخذ في الاعتبار خصوصيات بنية التعبيرات المحولة وخصائص العمليات والوظائف التي تم إدخالها حديثًا. يبدأ تطوير الأنواع المقابلة من التحولات بإدخال صيغ الضرب المختصرة. ثم نأخذ في الاعتبار التحولات المرتبطة بعملية الرفع إلى قوة ، مع فئات مختلفة من الوظائف الأولية - الأسية ، والقوة ، واللوغاريتمية ، والمثلثية. يمر كل نوع من هذه التحولات بمرحلة من الدراسة ، حيث يتركز الاهتمام على استيعاب سماتها المميزة.

مع تراكم المواد ، يصبح من الممكن تحديد السمات المشتركة لجميع التحولات قيد الدراسة ، وعلى هذا الأساس ، تقديم مفاهيم التحولات المتطابقة والمتكافئة.

وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم التحول المتطابق يتم تقديمه في مسار الجبر المدرسي ليس بشكل عام كامل ، ولكن فقط في التطبيق على التعبيرات. تنقسم التحويلات إلى فئتين: التحولات المتطابقة هي تحويلات للتعبيرات ، والتحولات المكافئة هي تحويلات للصيغ. في حالة الحاجة إلى تبسيط جزء واحد من الصيغة ، يتم تمييز تعبير في هذه الصيغة ، والذي يعمل كحجة للتحويل المتطابق المطبق. يعتبر المسند المقابل دون تغيير.

بخصوص تنظيم نظام متماسك للتحولات(توليف)، ثم هدفها الرئيسي هو تشكيل مرنة وقوية ؛ جهاز مناسب للاستخدام في حل مجموعة متنوعة من المهام التعليمية.

في سياق الجبر وبداية التحليل ، يستمر تحسين نظام متكامل من التحولات ، تم تشكيله بالفعل في ميزاته الرئيسية ، تدريجياً. كما تضاف إليه بعض أنواع التحولات الجديدة ، لكنها تثريها فقط ، وتوسع إمكانياتها ، لكنها لا تغير هيكلها. لا تختلف منهجية دراسة هذه التحولات الجديدة عمليًا عن تلك المستخدمة في سياق الجبر.

§2. ميزات المنظمةأنظمة العمل

في دراسة التحولات المتطابقة.

يتمثل المبدأ الأساسي لتنظيم أي نظام من المهام في تقديمها من البسيط إلى المعقد ، مع مراعاة حاجة الطلاب للتغلب على الصعوبات الممكنة وخلق مواقف مشكلة. يتطلب المبدأ الأساسي المحدد تجسيدًا فيما يتعلق بخصائص هذه المادة التعليمية. لوصف أنظمة المهام المختلفة في منهجية الرياضيات ، يتم استخدام المفهوم دورة التمرين.تتميز دورة التدريبات بالجمع في تسلسل التدريبات لعدة جوانب من الدراسة وطرق ترتيب المادة. فيما يتعلق بالتحولات المتطابقة ، يمكن إعطاء فكرة الدورة على النحو التالي.

ترتبط دورة التمارين بدراسة هوية واحدة ، يتم حولها تجميع الهويات الأخرى ، والتي ترتبط بها بشكل طبيعي. يتضمن تكوين الدورة ، إلى جانب المهام التنفيذية ، المهام التي تتطلب الاعتراف بإمكانية تطبيق الهوية المدروسة. يتم استخدام الهوية قيد الدراسة لإجراء عمليات حسابية على مجالات عددية مختلفة. يتم أخذ خصوصية الهوية في الاعتبار ؛ على وجه الخصوص ، يتم تنظيم دورات الكلام المرتبطة به.

المهام في كل دورة مقسمة إلى مجموعتين. الأول يتضمن المهام التي يتم أداؤها أثناء التعارف الأولي مع الهوية. إنها بمثابة مادة تعليمية لعدة دروس متتالية ، موحدًا بموضوع واحد. المجموعة الثانية من التمارين تتعلق بالهوية قيد الدراسة بمختلف التطبيقات. هذه المجموعة لا تشكل وحدة تركيبية - التدريبات هنا مبعثرة في مواضيع مختلفة.

يشير الهيكل الموصوف للدورة إلى مرحلة تكوين المهارات لتطبيق أنواع معينة من التحولات. في المرحلة النهائية - مرحلة التوليف ، يتم تعديل الدورات. أولاً ، يتم دمج مجموعتي المهام معًا ، لتشكيل دورة "غير مكشوفة" ، ويتم استبعاد أبسطها من حيث الصياغة أو تعقيد تنفيذ المهمة من المجموعة الأولى. تصبح أنواع المهام المتبقية أكثر صعوبة. ثانيًا ، هناك دمج للدورات المتعلقة بالهويات المختلفة ، والتي بسببها يزداد دور الإجراءات في التعرف على قابلية تطبيق هوية أو أخرى.

نلاحظ ميزات دورات المهام المتعلقة بالهويات للوظائف الأولية. ترجع هذه الميزات إلى حقيقة أنه ، أولاً ، يتم دراسة الهويات المقابلة فيما يتعلق بدراسة المواد الوظيفية ، وثانيًا ، تظهر بعد هويات المجموعة الأولى وتتم دراستها باستخدام المهارات التي تم تكوينها بالفعل لإجراء تحولات متطابقة .

تعمل كل دالة أولية تم تقديمها حديثًا على توسيع نطاق الأرقام التي يمكن تحديدها وتسميتها بشكل فردي. لذلك ، يجب أن تتضمن المجموعة الأولى من مهام الدورات مهامًا لإنشاء اتصال بين هذه المناطق العددية الجديدة والمنطقة الأصلية للأرقام المنطقية. نعطي أمثلة على مثل هذه المهام.

مثال 1 . احسب:

بجانب كل تعبير ، هناك هوية ، في الدورات التي قد تكون المهام المقترحة موجودة فيها. الغرض من هذه المهام هو إتقان ميزات السجلات ، والتي تشمل رموز العمليات والوظائف الجديدة ، وتطوير مهارات الكلام الرياضي.

يقع جزء كبير من استخدام تحويلات الهوية المرتبطة بالوظائف الأولية على حل المعادلات غير المنطقية والمتجاوزة. تتضمن الدورات المتعلقة باستيعاب الهويات أبسط المعادلات فقط ، ولكن يُنصح هنا بالفعل بالقيام بعمل على إتقان طريقة حل مثل هذه المعادلات: تقليلها عن طريق استبدال المجهول بمعادلة جبرية.

تسلسل الخطوات لهذا الحل كما يلي:

أ) إيجاد دالة يمكن من أجلها تمثيل هذه المعادلة ؛

ب) إجراء استبدال وحل المعادلة ؛

ج) حل كل من المعادلات ، حيث توجد مجموعة جذور المعادلة.

عند استخدام الطريقة الموصوفة ، غالبًا ما يتم تنفيذ الخطوة ب) ضمنيًا ، دون تقديم تدوين لـ. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يختار الطلاب من بين المسارات المختلفة التي تؤدي إلى العثور على إجابة ، لاختيار المسار الذي يؤدي إلى المعادلة الجبرية بشكل أسرع وأسهل.

مثال 2 . حل المعادلة.

الطريقة الأولى:

الطريقة الثانية:

يمكن ملاحظة أن الخطوة أ) أكثر صعوبة في الطريقة الأولى منها في الطريقة الثانية. الطريقة الأولى هي "البدء الأصعب" ، على الرغم من أن المسار الإضافي للحل أسهل بكثير. من ناحية أخرى ، فإن الطريقة الثانية لها مزايا ، تتمثل في سهولة أكبر وتعقيد أكبر في تدريس الاختزال إلى معادلة جبرية.

بالنسبة لدورة مدرسية في الجبر ، تعتبر المهام نموذجية يكون فيها الانتقال إلى المعادلة الجبرية أسهل مما هو عليه في هذا المثال. يرتبط العبء الرئيسي لمثل هذه المهام باختيار الخطوة ج) كجزء مستقل من عملية الحل المرتبطة باستخدام خصائص الوظيفة الأولية قيد الدراسة.

مثال 3 . حل المعادلة:

يتم تقليل هذه المعادلات إلى المعادلات: أ) أو ؛ ب) أو. لحل هذه المعادلات ، لا يلزم سوى معرفة أبسط الحقائق حول الوظيفة الأسية: رتبتها ، نطاق القيم. مثل المثال السابق ، يمكن أن تُعزى المعادلتان أ) و ب) إلى المجموعة الأولى من دورة التدريبات لحل المعادلات الأسية التربيعية.

وهكذا نصل إلى تصنيف المهام في دورات تتعلق بحل المعادلات التجاوزية ، بما في ذلك الوظيفة الأسية:

1) المعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات من النموذج ولها إجابة بسيطة ، عامة في الشكل: ؛

2) المعادلات التي تختزل إلى المعادلات ، أين هو عدد صحيح ، أو ، أين ؛

3) المعادلات التي تختزل إلى المعادلات وتتطلب تحليلاً واضحًا للشكل الذي يكتب به الرقم .

يمكن تصنيف المهام المماثلة لوظائف أولية أخرى.

تم إثبات جزء كبير من الهويات التي تمت دراستها في مقررات الجبر والجبر وبدايات التحليل فيها أو على الأقل شرحها. هذا الجانب من دراسة الهويات له أهمية كبيرة لكلا المساقين ، حيث يتم تنفيذ الاستدلال الاستدلالي فيهما بأكبر قدر من الوضوح والدقة فيما يتعلق بالهويات. خارج هذه المادة ، يكون الدليل عادة أقل اكتمالًا ، ولا يتم تمييزه دائمًا عن تكوين وسائل التبرير المطبقة.

تُستخدم خصائص العمليات الحسابية كدعم تُبنى عليه براهين الهويات.

يمكن توجيه التأثير التربوي للحسابات والتحولات المتطابقة إلى تنمية التفكير المنطقي ، إذا كان الطلاب فقط مطالبين بشكل منهجي بإثبات الحسابات والتحولات المتطابقة ، لتنمية التفكير الوظيفي ، والذي يتحقق بطرق مختلفة. إن أهمية الحسابات والتحولات المتطابقة في تطوير الإرادة والذاكرة والإبداع وضبط النفس والمبادرة الإبداعية واضحة تمامًا.

تتطلب طلبات ممارسة الحوسبة الصناعية اليومية تكوين مهارات آلية قوية للحسابات المنطقية والتحولات المتطابقة لدى الطلاب. يتم تطوير هذه المهارات في عملية أي عمل حسابي ، ومع ذلك ، هناك حاجة إلى تمارين تدريبية خاصة في العمليات الحسابية والتحولات السريعة.

لذلك ، إذا كان الدرس يتضمن حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الهوية اللوغاريتمية الأساسية ، فمن المفيد تضمين التدريبات الشفهية في خطة الدرس لتبسيط أو حساب قيم التعبيرات:،،. يتم دائمًا توصيل الغرض من التمارين للطلاب. أثناء التمرين ، قد يكون من الضروري مطالبة الطلاب بتبرير التحولات الفردية أو الإجراءات أو حل المشكلة بأكملها ، حتى لو لم يتم التخطيط لذلك. عندما تكون الطرق المختلفة لحل مشكلة ممكنة ، فمن المستحسن دائمًا طرح أسئلة: "بأي طريقة تم حل المشكلة؟" ، "من حل المشكلة بطريقة مختلفة؟"

يتم تقديم مفاهيم الهوية والتحول المتطابق بشكل صريح في مقرر الجبر للصف السادس. لا يمكن استخدام تعريف التعبيرات المتطابقة عمليًا لإثبات هوية تعبيرين ، وفهم أن جوهر التحولات المتطابقة هو تطبيق تعريفات وخصائص تلك الأفعال المشار إليها في التعبير على التعبير ، أو إضافة لها تعبير يساوي 0 بشكل مماثل ، أو بضربه بتعبير مساوٍ للواحد. ولكن ، حتى بعد إتقان هذه الأحكام ، غالبًا ما لا يفهم الطلاب سبب سماح هذه التحولات لنا بتأكيد أن التعبيرات الأصلية والنتيجة متطابقة ، أي تأخذ نفس القيم لأي أنظمة (مجموعات) من القيم المتغيرة.

من المهم أيضًا التأكد من أن الطلاب يفهمون جيدًا أن مثل هذه الاستنتاجات للتحولات المتطابقة هي نتائج للتعريفات وخصائص الإجراءات المقابلة.

يتم توسيع جهاز التحولات المتطابقة ، المتراكمة في السنوات السابقة ، في الصف السادس. يبدأ هذا الامتداد بإدخال هوية تعبر عن خاصية منتج القوى بنفس الأسس: أين هي الأعداد الصحيحة.

§3. برنامج الرياضيات.

في الدورة المدرسية "الجبر وبدايات التحليل" ، يدرس الطلاب بشكل منهجي الدوال الأسية واللوغاريتمية وخصائصها ، والتحولات المتطابقة للتعبيرات اللوغاريتمية والأسية وتطبيقها على حل المعادلات واللامساواة المقابلة ، والتعرف على المفاهيم والبيانات الأساسية .

في الصف الحادي عشر ، تستغرق دروس الجبر 3 ساعات في الأسبوع ، أي ما مجموعه 102 ساعة في السنة. تستغرق دراسة الوظائف الأسية واللوغاريتمية والطاقة وفقًا للبرنامج 36 ساعة.

يتضمن البرنامج دراسة ودراسة القضايا التالية:

مفهوم الدرجة ذات الأس المنطقي. حل المعادلات غير المنطقية. دالة أسية وخصائصها ورسم بياني. تحولات متطابقة للتعبيرات الأسية. حل المعادلات الأسية والمتباينات. لوغاريتم رقم. الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الوظيفة اللوغاريتمية وخصائصها والرسم البياني. حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. مشتق من الدالة الأسية. العدد واللوغاريتم الطبيعي. مشتق من دالة القدرة.

الغرض الرئيسي من القسم الخاص بدراسة الوظائف الأسية واللوغاريتمية هو تعريف الطلاب بالوظائف الأسية واللوغاريتمية والقوة ؛ تعليم الطلاب حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية وعدم المساواة.

مفاهيم جذر الدرجة th والدرجة مع الأس المنطقي هي تعميم لمفاهيم الجذر التربيعي والدرجة مع الأس الصحيح. يجب على الطلاب الانتباه إلى حقيقة أن خصائص الجذور والدرجات ذات الأس المنطقي المدروسة هنا تشبه تلك الخصائص التي تمتلكها الجذور التربيعية والدرجات ذات الأس الصحيح التي تمت دراستها مسبقًا. من الضروري تكريس وقت كافٍ للعمل على خصائص الدرجات وتشكيل المهارات من أجل التحولات المتطابقة. يتم تقديم مفهوم الدرجة مع الأس غير المنطقي على أساس بديهي بصري. تلعب هذه المادة دورًا مساعدًا وتُستخدم عند إدخال الوظيفة الأسية.

تم بناء دراسة خصائص الدوال الأسية واللوغاريتمية والطاقة وفقًا للمخطط العام المقبول لدراسة الوظائف. في هذه الحالة ، يتم تقديم نظرة عامة على الخصائص اعتمادًا على قيم المعلمات. يتم حل المتباينات الأسية واللوغاريتمية بناءً على خصائص الوظائف المدروسة.

السمة المميزة للدورة هي تنظيم وتعميم معرفة الطلاب ، وتوحيد وتطوير المهارات والقدرات المكتسبة في دورة الجبر ، والتي يتم تنفيذها عند دراسة مادة جديدة وعند إجراء التكرار المعمم.
الفصل 2

تحويلات الهوية والحسابات

التعبيرات الأسية واللوغاريتمية

§1. تعميم مفهوم الدرجة.

تعريف:جذر الدرجة العاشرة من النقاء هو مثل هذا الرقم ، الدرجة التي تساويها.

وفقًا لهذا التعريف ، فإن جذر الدرجة العاشرة من الرقم هو حل المعادلة. يعتمد عدد جذور هذه المعادلة على و. دعنا نفكر في وظيفة. كما هو معروف ، تزداد هذه الوظيفة في الفاصل الزمني لأي منها وتأخذ جميع القيم من الفاصل الزمني. وفقًا لنظرية الجذر ، فإن معادلة أي لها جذر غير سالب ، بالإضافة إلى جذر واحد فقط. يسمى الجذر الحسابي للدرجة رقم عشروالدلالة ؛ الرقم يسمى مؤشر الجذر، والرقم نفسه تعبير جذري. العلامة تسمى أيضًا جذريًا.

تعريف: الجذر الحسابي للدرجة عشر لعدد هو رقم غير سالب يكون أسه عشر يساوي.

حتى ، الوظيفة زوجية. ويترتب على ذلك أنه إذا كان للمعادلة ، بالإضافة إلى الجذر ، جذر أيضًا. إذا كان هناك جذر واحد فقط:؛ إذا ، فإن هذه المعادلة ليس لها جذور ، لأن القوة الزوجية لأي عدد غير سالبة.

للقيم الفردية ، تزيد الدالة على طول خط الأرقام بالكامل ؛ مداها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. بتطبيق نظرية الجذر ، نجد أن المعادلة لها جذر واحد لأي منها ، وعلى وجه الخصوص ، لـ. يتم الإشارة إلى هذا الجذر لأي قيمة بواسطة.

لجذور الدرجة الفردية ، المساواة صحيحة. في الواقع ، أي رقم - هو جذر ال. لكن مثل هذا الجذر للغريب فريد من نوعه. لذلك، .

ملاحظة 1:لأي حقيقي

أذكر الخصائص المعروفة للجذور الحسابية من الدرجة الرابعة.

لأي عدد صحيح طبيعي وأي أعداد صحيحة ومساواة غير سالبة صحيحة:

الدرجة مع الأس العقلاني.

يتم تعريف التعبير للجميع ، باستثناء الحالة عندما. أذكر خصائص هذه الصلاحيات.

لأية أرقام وأي أعداد صحيحة ومساواة صحيحة:

لاحظ أيضًا أنه إذا ، ثم من أجل و.

تعريف:تسمى درجة الرقم ذي الأس المنطقي ، حيث يكون عددًا صحيحًا ، وهو رقم طبيعي ، بالرقم.

لذلك ، بحكم التعريف.

مع التعريف المصاغ لدرجة ذات أس عقلاني ، يتم الحفاظ على الخصائص الأساسية للدرجات ، والتي تنطبق على أي أسس (يكمن الاختلاف في حقيقة أن الخصائص صحيحة فقط للقواعد الإيجابية).

§2. دالة أسية.

تعريف:يتم استدعاء الوظيفة المعطاة بواسطة الصيغة (حيث ،) دالة أسية مع القاعدة.

دعونا نصوغ الخصائص الرئيسية للدالة الأسية.

الرسم البياني للوظيفة (الشكل 1)

تسمى هذه الصيغ الخصائص الأساسية للدرجات.

يمكن أيضًا ملاحظة أن الوظيفة مستمرة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

§3. دالة لوغاريتمية.

تعريف: اللوغاريتم الأرقام إلى الأساس تسمى الأس الذي يجب رفع القاعدة إليه. للحصول على رقم.

الصيغة (أين ، و) تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

عند العمل باستخدام اللوغاريتمات ، يتم تطبيق الخصائص التالية ، والتي تتبع خصائص الدالة الأسية:

لأي( )ويتم إرضاء أي إيجابية ومساواة:

5. لأي صالح.

تُستخدم الخصائص الأساسية للوغاريتمات على نطاق واسع في سياق تحويل التعبيرات التي تحتوي على اللوغاريتمات. على سبيل المثال ، غالبًا ما تُستخدم صيغة الانتقال من قاعدة اللوغاريتم إلى أخرى :.

يجب أن يكون رقمًا موجبًا لا يساوي 1.

تعريف:الوظيفة المعطاة من الصيغة تسمى دالة لوغاريتمية مع قاعدة.

نسرد الخصائص الرئيسية للدالة اللوغاريتمية.

1. مجال تعريف الوظيفة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة ، أي .

2. نطاق الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

3. الدالة اللوغاريتمية على نطاق التعريف بأكمله تزيد (من أجل) أو تنقص (من أجل).

الرسم البياني للوظيفة (الشكل 2)

الرسوم البيانية للدوال الأسية واللوغاريتمية التي لها نفس القاعدة متناظرة بالنسبة إلى الخط المستقيم(تين. 3).

الفصل 3

تحولات الهوية من الأسي و

التعبيرات اللوغاريتمية في الممارسة.

التمرين 1.

احسب:

حل:

إجابة:؛ ؛ ؛ ؛ . ؛ ، حصلنا على ذلك

اعتبرت أساليب تكوين المهارات لدى الطلاب في دراسة هذه المادة. كما قدمت برنامج في الرياضيات لدراسة مسار الدوال الأسية واللوغاريتمية في مقرر "الجبر وبداية التحليل".

قدم العمل مهامًا مختلفة في التعقيد والمحتوى باستخدام تحولات متطابقة. يمكن استخدام هذه المهام لإجراء التحكم أو العمل المستقل لاختبار معرفة الطلاب.

تم عمل الدورة ، في رأيي ، في إطار منهجية تدريس الرياضيات في المؤسسات التعليمية الثانوية ويمكن استخدامها كوسيلة مساعدة مرئية لمعلمي المدارس ، وكذلك للطلاب بدوام كامل وبدوام جزئي.

قائمة الأدب المستخدم:

1. الجبر وبدايات التحليل. إد. كولموغوروفا أ. م: التنوير ، 1991.
2. برنامج للمدارس الثانوية ، وصالات الألعاب الرياضية ، والليسيوم. الرياضيات 5-11 خلايا. موسكو: بوستارد ، 2002
3. لو. شارجين ، ف. غولوبيف. مقرر اختياري في الرياضيات (حل المشكلات). أوتش. بدل 11 خلية. م: التنوير ، 1991.
4. V.A. Oganesyan et al. طرق تدريس الرياضيات في المدرسة الثانوية: المنهجية العامة؛ كتاب مدرسي لطلاب كلية الفيزياء والرياضيات من المعاهد التربوية. الطبعة الثانية منقحة ومكملة م: التربية ، 1980.
5. تشيركاسوف آر إس ، ستوليار أ. طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية. م: التنوير ، 1985.
6. مجلة "الرياضيات في المدرسة".

درس مفتوح عن الجبر في فئة 11 "ب"

موضوع الدرس

«تحويل العبارات ،

تحتوي على LOGARITHMS "

أهداف الدرس:

كرر تعريف لوغاريتم رقم ، الهوية اللوغاريتمية الأساسية ؛

توحيد الخصائص الأساسية للوغاريتمات ؛

لتعزيز التوجه العملي لهذا الموضوع من أجل إعداد عالي الجودة للاتحاد الوطني للعمال ؛

المساهمة في الاستيعاب الصلب للمواد ؛

لتعزيز تنمية مهارات ضبط النفس لدى الطلاب.

نوع الدرس: مع استخدام اختبار تفاعلي.

المعدات: جهاز عرض ، شاشة ، ملصقات بالمهام ، ورقة إجابة.

خطة الدرس:

تنظيم الوقت.

تحديث المعرفة.

اختبار تفاعلي.

"البطولة مع اللوغاريتمات"

حل مشاكل الكتاب المدرسي.

تلخيص. أكمل ورقة الإجابة.

وضع العلامات.

خلال الفصول

1. لحظة تنظيمية.

2. تحديد أهداف الدرس.

مرحبا يا شباب! اليوم لدينا درس غير عادي ، الدرس هو لعبة سنلعبها في شكل دورة مع اللوغاريتمات.

لنبدأ الدرس باختبار تفاعلي.

3. اختبار تفاعلي:

4. البطولة مع اللوغاريتمات:

تعريف اللوغاريتم.

الهويات اللوغاريتمية:

تبسيط:

أوجد قيمة التعبير:

خصائص اللوغاريتمات .

تحويل:

اعمل مع الكتاب المدرسي.

تلخيص.

يكمل الطلاب ورقة الإجابة بأنفسهم.

أعط علامات لكل إجابة.

وضع العلامات. العمل في المنزل. المرفق 1.

لقد انغمست اليوم في اللوغاريتمات ،

يجب أن تحسب بدقة.

في الامتحان بالطبع ستلتقي بهم ،

يبقى أن أتمنى لك النجاح!

أنا خيار

أ) 9 ½ = 3 ؛ ب) 7 0 =1.

أ)سجل8 = 6 ؛ ب)سجل9=-2.

أ) 1.7 سجل 1,7 2 ؛ ب) 2 سجل 2 5 .

4. احسب:

أ) lg8 + lg125 ؛

ب) سجل 2 7 سجل 2 7/16

الخامس)سجل 3 16 / سجل 3 4.

ثانيًا خيار

1. أوجد لوغاريتم الأساس a لرقم يتم تمثيله كقوة لها الأساس a:

أ) 32 1/5 = 2 ؛ ب) 3 -1 =1/3.

2. تحقق من صحة المساواة:

أ)سجل27 = -6 ؛ ب)سجل 0,5 4=-2.

3. بسّط التعبير باستخدام المتطابقات اللوغاريتمية الأساسية:

أ) 5 1+ سجل 5 3 ؛ ب) 10 1- إل جي 2

4. احسب:

أ) سجل 12 4 + سجل 12 36;

ب) lg13-lg130 ؛

الخامس) (lg8 + lg18) / (2lg2 + lg3).

ثالثا خيار

1. أوجد لوغاريتم الأساس a لرقم يتم تمثيله كقوة لها الأساس a:

أ) 27 2/3 = 9 ؛ ب) 32 3/5 =8.

2. تحقق من صحة المساواة:

أ)سجل 2 128=;

ب)سجل 0,2 0,008=3.

3. بسّط التعبير باستخدام المتطابقات اللوغاريتمية الأساسية:

أ) 4 2 سجل 4 3 ;

ب) 5 -3 سجل 5 1/2 .

4. احسب:

أ) سجل 6 12 + سجل 6 18;

ب) سجل 7 14 سجل 7 6 + سجل 7 21;

الخامس) (سجل 7 3/ سجل 7 13)∙ سجل 3 169.

رابعا خيار

1. أوجد لوغاريتم الأساس a لرقم يتم تمثيله كقوة لها الأساس a:

أ) 81 3/4 = 27 ؛ ب) 125 2/3 =25.

2. تحقق من صحة المساواة:

أ)سجل √5 0,2=-2;

ب)سجل 0,2 125=-3.

3. بسّط التعبير باستخدام المتطابقات اللوغاريتمية الأساسية:

أ) (1/2) 4 سجل 1/2 3 ;

ب) 6 -2 سجل 6 5 .

4. احسب:

أ) سجل 14 42 سجل 14 3;

ب) سجل 2 20 سجل 2 25 + سجل 2 80;

الخامس) سجل 7 48/ سجل 7 4- 0,5 سجل 2 3.

التعبيرات اللوغاريتمية ، حل الأمثلة. في هذه المقالة ، سننظر في المشكلات المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تثير المهام مسألة إيجاد قيمة التعبير. وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. بالنسبة إلى الاستخدام ، يتم استخدام اللوغاريتم في حل المعادلات والمشكلات التطبيقية وأيضًا في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.

فيما يلي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تتذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي الفرق في لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

ترتبط اللوغاريتمات الحاسوبية ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

نسرد بعضًا منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس صحيح ، تتغير علامة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة ، تظل القاعدة كما هي ، لكن الأسس تتضاعف.

* * *

كما ترى ، فإن مفهوم اللوغاريتم ذاته بسيط. الشيء الرئيسي هو أن الممارسة الجيدة ضرورية ، والتي تعطي مهارة معينة. من المؤكد أن معرفة الصيغ إلزامية. إذا لم يتم تشكيل المهارة في تحويل اللوغاريتمات الأولية ، فعند حل المهام البسيطة ، يمكن للمرء أن يخطئ بسهولة.

تمرن على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً ، ثم انتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا. في المستقبل ، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة" ، ولن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان ، لكنها ذات أهمية ، فلا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

يتم استخدام المساواة المدرجة عند تحويل التعبيرات ذات اللوغاريتمات من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين.

تجدر الإشارة إلى أنه ليس من الضروري حفظ عواقب الخصائص: عند إجراء عمليات التحويل ، يمكنك التغلب على الخصائص الأساسية للوغاريتمات والحقائق الأخرى (على سبيل المثال ، تلك الخاصة بـ b≥0) ، والتي من خلالها تتبع العواقب. "الأثر الجانبي" لهذا النهج هو أن الحل سيكون أطول قليلاً. على سبيل المثال ، من أجل الاستغناء عن النتيجة ، والتي يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة ، وبدءًا من الخصائص الأساسية للوغاريتمات فقط ، سيتعين عليك إجراء سلسلة من التحولات بالشكل التالي: .

يمكن قول الشيء نفسه عن الخاصية الأخيرة من القائمة أعلاه ، والتي تتوافق مع الصيغة ، لأنه يتبع أيضًا الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه من الممكن دائمًا لدرجة الرقم الموجب مع اللوغاريتم في الأس أن تتبادل قاعدة الدرجة والرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم. في الإنصاف ، نلاحظ أن الأمثلة التي تنطوي على تنفيذ تحولات من هذا النوع نادرة في الممارسة. سنقدم بعض الأمثلة أدناه.

تحويل التعبيرات الرقمية مع اللوغاريتمات

تذكرنا خصائص اللوغاريتمات ، والآن حان الوقت لتعلم كيفية وضعها موضع التنفيذ لتحويل التعبيرات. من الطبيعي أن نبدأ بتحويل التعبيرات الرقمية ، وليس التعبيرات ذات المتغيرات ، حيث أنه من الأسهل والأكثر ملاءمة تعلم الأساسيات المتعلقة بها. لذلك سنفعل هذا ، وسنبدأ بأمثلة بسيطة للغاية من أجل معرفة كيفية اختيار الخاصية المرغوبة للوغاريتم ، لكننا سنعقد الأمثلة تدريجيًا ، حتى النقطة التي يلزم فيها تطبيق العديد من الخصائص في صف للحصول على النتيجة النهائية.

اختيار خاصية اللوغاريتمات المطلوبة

لا يوجد عدد قليل جدًا من خصائص اللوغاريتمات ، ومن الواضح أنك بحاجة إلى أن تكون قادرًا على اختيار المناسب منها ، والذي سيؤدي في هذه الحالة بالذات إلى النتيجة المرجوة. عادة ليس من الصعب القيام بذلك من خلال مقارنة شكل اللوغاريتم أو التعبير الذي يتم تحويله مع أنواع الأجزاء اليمنى واليسرى من الصيغ التي تعبر عن خصائص اللوغاريتمات. إذا كان الجانب الأيسر أو الأيمن من إحدى الصيغ يتطابق مع اللوغاريتم أو التعبير المحدد ، فمن المرجح أن هذه الخاصية هي التي يجب استخدامها أثناء التحويل. الأمثلة التالية توضح ذلك بوضوح.

لنبدأ بأمثلة لتحويل التعبيرات باستخدام تعريف اللوغاريتم ، والذي يتوافق مع الصيغة a log a b = b ، a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0.

مثال.

احسب ، إن أمكن: أ) 5 سجل 5 4 ، ب) 10 سجل (1 + 2 π) ، ج) ، د) 2 سجل 2 (7)، ه).

حل.

في المثال ، الحرف أ) يوضح البنية أ ب ب ، حيث أ = 5 ، ب = 4. هذه الأرقام تفي بالشروط a> 0 ، a 1 ، b> 0 ، لذا يمكنك استخدام المساواة بأمان a log a b = b. لدينا 5 log 5 4 = 4.

ب) هنا أ = 10 ، ب = 1 + 2 ، الشروط أ> 0 ، أ 1 ، ب> 0 تتحقق. في هذه الحالة ، فإن المساواة 10 lg (1 + 2 π) = 1 + 2 تحدث.

ج) وفي هذا المثال ، نتعامل مع درجة من الشكل a log a b ، حيث و b = ln15. لذا .

على الرغم من الانتماء إلى نفس النموذج a log a b (هنا a = 2 ، b = −7) ، لا يمكن تحويل التعبير الموجود أسفل الحرف d) بالصيغة a log a b = b. السبب هو أنه لا معنى له لأنه يحتوي على رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم. علاوة على ذلك ، فإن الرقم b = −7 لا يفي بالشرط b> 0 ، مما يجعل من المستحيل اللجوء إلى الصيغة a log a b = b ، لأنه يتطلب الشروط a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0. لذلك ، لا يمكننا التحدث عن حساب القيمة 2 log 2 (−7). في هذه الحالة ، قد تكون كتابة 2 log 2 (−7) = −7 خطأ.

وبالمثل ، في المثال الموجود تحت الحرف e) من المستحيل تقديم حل للنموذج ، لأن التعبير الأصلي لا معنى له.

إجابة:

أ) 5 سجل 5 4 = 4 ، ب) 10 سجل (1 + 2 π) = 1 + 2 π ، ج) ، د) ، ه) التعبيرات لا معنى لها.

غالبًا ما يكون من المفيد تحويل رقم موجب كقوة لعدد موجب غير واحد مع لوغاريتم في الأس. يعتمد على نفس تعريف اللوغاريتم a log a b = b ، a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0 ، لكن يتم تطبيق الصيغة من اليمين إلى اليسار ، أي في الشكل b = a log a b. على سبيل المثال ، 3 = e ln3 أو 5 = 5 log 5 5.

دعنا ننتقل إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات لتحويل التعبيرات.

مثال.

أوجد قيمة التعبير: أ) السجل −2 1 ، ب) السجل 1 1 ، ج) السجل 0 1 ، د) السجل 7 1 ، هـ) ln1 ، f) lg1 ، g) السجل 3.75 1 ، h) السجل 5 π 7 1.

حل.

في الأمثلة الموجودة تحت الأحرف أ) ، ب) وج) ، يتم إعطاء التعبيرات log −2 1 ، log 1 1 ، log 0 1 ، والتي لا معنى لها ، لأن أساس اللوغاريتم يجب ألا يحتوي على رقم سالب ، صفر أو واحد ، لأننا حددنا اللوغاريتم فقط للأساس الموجب وغير المكون من وحدة. لذلك ، في الأمثلة أ) - ج) لا يمكن أن يكون هناك سؤال لإيجاد قيمة التعبير.

في جميع المهام الأخرى ، من الواضح ، في قواعد اللوغاريتمات ، توجد أرقام موجبة وغير وحدة 7 و e و 10 و 3.75 و 5 7 على التوالي ، والوحدات في كل مكان تحت علامات اللوغاريتمات. ونعرف خاصية لوغاريتم الوحدة: log a 1 = 0 لأي a> 0 ، a ≠ 1. وبالتالي ، فإن قيم التعبيرات ب) - و) تساوي الصفر.

إجابة:

أ) ، ب) ، ج) التعبيرات لا معنى لها ، د) سجل 7 1 = 0 ، ه) ln1 = 0 ، و) تسجيل 1 = 0 ، ز) تسجيل 3.75 1 = 0 ، ح) سجل 5 ه 7 1 = 0.

مثال.

احسب: أ) ، ب) lne ، ج) lg10 ، د) سجل 5 π 3 2 (5 3 2)، ه) السجل −3 (3) ، و) السجل 1 1.

حل.

من الواضح أنه يتعين علينا استخدام خاصية لوغاريتم القاعدة ، والتي تتوافق مع الصيغة log a a = 1 for a> 0 ، a ≠ 1. في الواقع ، في المهام تحت جميع الأحرف ، يتطابق الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته. وبالتالي ، أود أن أقول على الفور أن قيمة كل تعبير من التعبيرات المعطاة هي 1. ومع ذلك ، لا تتسرع في الاستنتاجات: في المهام تحت الأحرف أ) - د) تكون قيم التعبيرات مساوية بالفعل للواحد ، وفي المهمتين هـ) و و) التعبيرات الأصلية لا معنى لها ، لذلك لا يمكن يقال أن قيم هذه التعبيرات تساوي 1.

إجابة:

أ) ، ب) lne = 1 ، ج) lg10 = 1 ، د) سجل 5 π 3 2 (5 π 3 −2) = 1، هـ) ، و) التعبيرات لا معنى لها.

مثال.

أوجد القيمة: أ) سجل 3 3 11 ، ب) ، ج) ، د) سجل −10 (−10) 6.

حل.

من الواضح ، تحت علامات اللوغاريتمات توجد بعض درجات القاعدة. بناءً على ذلك ، نفهم أن خاصية درجة القاعدة مفيدة هنا: سجل a a p = p ، حيث a> 0 و a 1 و p هي أي رقم حقيقي. بالنظر إلى ذلك ، لدينا النتائج التالية: أ) سجل 3 3 11 = 11 ، ب) ، الخامس) . هل من الممكن كتابة مساواة مماثلة للمثال الموجود تحت الحرف d) من النموذج log −10 (−10) 6 = 6؟ لا ، لا يمكنك ذلك ، لأن السجل −10 (10) 6 لا معنى له.

إجابة:

أ) سجل 3 3 11 = 11 ، ب) ، الخامس) د) لا معنى للتعبير.

مثال.

عبر عن التعبير كمجموع أو فرق اللوغاريتمات في نفس الأساس: أ) ، ب) ، ج) السجل ((- 5) (−12)).

حل.

أ) المنتج تحت علامة اللوغاريتم ، ونحن نعرف خاصية لوغاريتم المنتج log a (x y) = log a x + log a y ، a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0 ، y> 0. في حالتنا ، الرقم الموجود في قاعدة اللوغاريتم والأرقام الموجودة في المنتج موجبة ، أي أنها تفي بشروط الخاصية المحددة ، لذلك يمكننا تطبيقها بأمان: .

ب) هنا نستخدم خاصية لوغاريتم حاصل القسمة ، حيث أ> 0 ، أ ≠ 1 ، س> 0 ، ص> 0. في حالتنا ، أساس اللوغاريتم هو رقم موجب e ، والبسط والمقام موجبان ، مما يعني أنهما يستوفيان شروط الخاصية ، لذلك يحق لنا استخدام الصيغة المختارة: .

ج) أولاً ، لاحظ أن التعبير lg ((- 5) (−12)) منطقي. لكن في الوقت نفسه ، ليس لدينا الحق في تطبيق صيغة لوغاريتم سجل المنتج a (x y) = log a x + log a y ، a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0 ، y> 0 ، لأن الأرقام −5 و 12 سالبة ولا تستوفي الشروط x> 0 ، y> 0. أي أنه من المستحيل إجراء مثل هذا التحول: تسجيل الدخول ((- 5) (- 12)) = تسجيل (−5) + تسجيل (−12). لكن ماذا تفعل؟ في مثل هذه الحالات ، يحتاج التعبير الأصلي إلى التحويل المسبق لتجنب الأرقام السالبة. سنتحدث بالتفصيل عن حالات مشابهة لتحويل التعبيرات ذات الأرقام السالبة تحت علامة اللوغاريتم في أحد ، ولكن في الوقت الحالي سنقدم حلاً لهذا المثال ، وهو واضح مقدمًا وبدون تفسير: lg ((- 5) (- 12)) = lg (5 12) = lg5 + lg12.

إجابة:

أ) ، ب) ، ج) lg ((- 5) (−12)) = lg5 + lg12.

مثال.

بسّط التعبير: أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 ، ب).

حل.

هنا ستساعدنا جميع الخصائص نفسها لوغاريتم المنتج ولوغاريتم حاصل القسمة الذي استخدمناه في الأمثلة السابقة ، والآن فقط سنطبقها من اليمين إلى اليسار. أي أننا نحول مجموع اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل الضرب ، وفرق اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل القسمة. لدينا
أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 = سجل 3 (0.25 16 0.5) = سجل 3 2.
ب) .

إجابة:

أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 = سجل 3 2، ب) .

مثال.

تخلص من الدرجة تحت علامة اللوغاريتم: أ) سجل 0.7 5 11 ، ب) ، ج) السجل 3 (5) 6.

حل.

من السهل أن نرى أننا نتعامل مع تعابير مثل log a b p. الخاصية المقابلة للوغاريتم هي log a b p = p log a b ، حيث a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0 ، p هو أي رقم حقيقي. أي أنه في ظل الشروط a> 0 ، a 1 ، b> 0 من لوغاريتم الدرجة log a b p يمكننا الانتقال إلى المنتج p · log a b. دعونا نجري هذا التحول بالتعبيرات المعطاة.

أ) في هذه الحالة أ = 0.7 ، ب = 5 ، ص = 11. إذن ، سجل 0.7 5 11 = 11 سجل 0.7 5.

ب) هنا ، يتم استيفاء الشروط أ> 0 ، أ 1 ، ب> 0. لهذا

ج) التعبير log 3 (−5) 6 له نفس البنية log a b p، a = 3، b = −5، p = 6. لكن بالنسبة لـ b ، فإن الشرط b> 0 غير مستوفٍ ، مما يجعل من المستحيل تطبيق الصيغة log a b p = p log a b. فلماذا لا يمكنك إنجاز المهمة؟ هذا ممكن ، ولكن يلزم إجراء تحويل أولي للتعبير ، والذي سنناقشه بالتفصيل أدناه في الفقرة الموجودة أسفل العنوان. سيكون الحل كالتالي: سجل 3 (−5) 6 = سجل 3 5 6 = 6 سجل 3 5.

إجابة:

أ) سجل 0.7 5 11 = 11 سجل 0.7 5 ،
ب)
ج) سجل 3 (5) 6 = 6 سجل 3 5.

في كثير من الأحيان ، يجب تطبيق صيغة لوغاريتم الدرجة عند إجراء عمليات التحويل من اليمين إلى اليسار بالصيغة p log a b \ u003d log a b p (وهذا يتطلب نفس الشروط لـ a و b و p). على سبيل المثال ، 3 ln5 = ln5 3 و lg2 log 2 3 = log 2 3 lg2.

مثال.

أ) احسب قيمة السجل 2 5 إذا كان معروفًا أن lg2≈0.3010 و lg5≈0.6990. ب) اكتب الكسر في صورة لوغاريتم للأساس 3.

حل.

أ) تسمح لنا صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم بتمثيل هذا اللوغاريتم كنسبة من اللوغاريتمات العشرية ، والتي نعرف قيمها:. يبقى فقط لإجراء الحسابات ، لدينا .

ب) يكفي هنا استخدام الصيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة ، وتطبيقها من اليمين إلى اليسار ، أي في النموذج . نحن نحصل .

إجابة:

أ) سجل 2 5≈2.3223 ، ب) .

في هذه المرحلة ، درسنا بدقة تحويل أبسط التعبيرات باستخدام الخصائص الأساسية للوغاريتمات وتعريف اللوغاريتم. في هذه الأمثلة ، كان علينا استخدام خاصية واحدة ولا شيء آخر. الآن ، بضمير مرتاح ، يمكنك الانتقال إلى الأمثلة التي يتطلب تحويلها استخدام العديد من خصائص اللوغاريتمات والتحولات الإضافية الأخرى. سنتعامل معهم في الفقرة التالية. لكن قبل ذلك ، دعونا نتناول بإيجاز أمثلة لتطبيق النتائج من الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

مثال.

أ) تخلص من الجذر تحت علامة اللوغاريتم. ب) حوّل الكسر إلى لوغاريتم للأساس 5. ج) تخلص من القوى الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته. د) احسب قيمة التعبير . هـ) استبدل التعبير بقوة بالقاعدة 3.

حل.

أ) إذا تذكرنا النتيجة الطبيعية من خاصية لوغاريتم الدرجة ، ثم يمكنك الإجابة على الفور: .

ب) هنا نستخدم الصيغة من اليمين إلى اليسار لدينا .

ج) في هذه الحالة ، تؤدي الصيغة إلى النتيجة . نحن نحصل .

د) ويكفي هنا تطبيق النتيجة الطبيعية التي تتوافق معها الصيغة . لذا .

هـ) خاصية اللوغاريتم يتيح لنا تحقيق النتيجة المرجوة: .

إجابة:

أ) . ب) . الخامس) . ز) . ه) .

باستمرار تطبيق خصائص متعددة

عادةً ما تكون المهام الحقيقية لتحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات أكثر تعقيدًا من تلك التي تناولناها في الفقرة السابقة. في نفوسهم ، كقاعدة عامة ، لا يتم الحصول على النتيجة في خطوة واحدة ، ولكن الحل يتكون بالفعل من التطبيق المتسلسل لخاصية تلو الأخرى ، جنبًا إلى جنب مع تحويلات متطابقة إضافية ، مثل أقواس الفتح ، وتقليل المصطلحات المتشابهة ، وتقليل الكسور ، إلخ. . لذلك دعونا نقترب من مثل هذه الأمثلة. لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر ، الشيء الرئيسي هو التصرف بعناية وثبات ، مع مراعاة الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به.

مثال.

احسب قيمة التعبير (سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5.

حل.

يمكن استبدال اختلاف اللوغاريتمات بين قوسين بواسطة خاصية لوغاريتم حاصل القسمة باللوغاريتم لوغاريتم 3 (15: 5) ، ثم حساب قيمته log 3 (15: 5) = log 3 3 = 1. وقيمة التعبير 7 log 7 5 بتعريف اللوغاريتم هي 5. بالتعويض عن هذه النتائج في التعبير الأصلي ، نحصل على (سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = 5 1 = 5.

هنا حل بدون تفسير:
(سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = سجل 3 (15: 5) 5 =
= سجل 3 3 5 = 1 5 = 5.

إجابة:

(سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = 5.

مثال.

ما قيمة التعبير العددي log 3 log 2 2 3 1؟

حل.

لنقم أولاً بتحويل اللوغاريتم ، الموجود تحت علامة اللوغاريتم ، وفقًا لصيغة لوغاريتم الدرجة: log 2 2 3 = 3. إذن سجل 3 سجل 2 2 3 = سجل 3 3 ثم سجل 3 3 = 1. إذن سجل 3 سجل 2 2 3 −1 = 1−1 = 0.

إجابة:

سجل 3 سجل 2 2 3 −1 = 0.

مثال.

تبسيط التعبير.

حل.

تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم بتمثيل نسبة اللوغاريتمات إلى قاعدة واحدة على أنها log 3 5. في هذه الحالة ، سيأخذ التعبير الأصلي الشكل. من خلال تعريف اللوغاريتم 3 log 3 5 = 5 ، هذا هو ، وقيمة التعبير الناتج ، بحكم نفس تعريف اللوغاريتم ، تساوي اثنين.

فيما يلي نسخة مختصرة من الحل ، يتم تقديمه عادةً: .

إجابة:

.

للانتقال السلس إلى المعلومات الواردة في الفقرة التالية ، دعنا نلقي نظرة على التعبيرات 5 2 + log 5 3 و lg0.01. هيكلها لا يتناسب مع أي من خصائص اللوغاريتمات. إذن ماذا يحدث إذا لم يتم تحويلها باستخدام خصائص اللوغاريتمات؟ من الممكن إذا قمت بإجراء تحويلات أولية تعد هذه التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات. لذا 5 2 + سجل 5 3 = 5 2 5 سجل 5 3 = 25 3 = 75, و lg0،01 = lg10 −2 = 2. علاوة على ذلك ، سوف نفهم بالتفصيل كيفية تنفيذ هذا التحضير للتعبيرات.

تحضير التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات

غالبًا ما تختلف اللوغاريتمات في التعبير المحول في بنية الترميز عن الأجزاء اليمنى واليسرى من الصيغ التي تتوافق مع خصائص اللوغاريتمات. ولكن كما هو الحال في كثير من الأحيان ، ينطوي تحويل هذه التعبيرات على استخدام خصائص اللوغاريتمات: لا يتطلب استخدامها إلا إعدادًا أوليًا. ويتمثل هذا الإعداد في إجراء بعض التحولات المتطابقة التي تجلب اللوغاريتمات إلى شكل مناسب لتطبيق الخصائص.

في الإنصاف ، نلاحظ أن أي تحويل تقريبًا للتعبيرات يمكن أن يكون بمثابة تحولات أولية ، من الاختزال المبتذل للمصطلحات المماثلة إلى استخدام الصيغ المثلثية. هذا أمر مفهوم ، لأن التعبيرات المحولة يمكن أن تحتوي على أي كائنات رياضية: الأقواس ، والوحدات النمطية ، والكسور ، والجذور ، والدرجات ، إلخ. وبالتالي ، يجب أن يكون المرء مستعدًا لإجراء أي تحويل مطلوب من أجل زيادة الاستفادة من خصائص اللوغاريتمات.

دعنا نقول على الفور أننا في هذه الفقرة لا نحدد لأنفسنا مهمة تصنيف وتحليل جميع التحولات الأولية التي يمكن تصورها والتي تسمح لنا بتطبيق خصائص اللوغاريتمات أو تعريف اللوغاريتم في المستقبل. سنركز هنا على أربعة منها فقط ، وهي أكثر الخصائص المميزة وغالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

والآن بالتفصيل عن كل منهم ، وبعد ذلك ، في إطار موضوعنا ، يبقى فقط التعامل مع تحويل التعبيرات مع المتغيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

اختيار القوى تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته

لنبدأ على الفور بمثال. دعونا نحصل على لوغاريتم. من الواضح ، في هذا الشكل ، أن هيكلها لا يفضي إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات. هل من الممكن تحويل هذا التعبير بطريقة ما من أجل تبسيطه ، أو حتى حساب قيمته بشكل أفضل؟ للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نلقي نظرة فاحصة على العددين 81 و 1/9 في سياق مثالنا. من السهل أن نرى هنا أن هذه الأعداد يمكن تمثيلها كقوة 3 ، في الواقع 81 = 3 4 و 1/9 = 3 2. في هذه الحالة ، يتم تقديم اللوغاريتم الأصلي في النموذج ويصبح من الممكن تطبيق الصيغة . لذا، .

يؤدي تحليل المثال الذي تم تحليله إلى ظهور الفكرة التالية: إذا أمكن ، يمكنك محاولة إبراز الدرجة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها من أجل تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة أو نتيجتها. يبقى فقط لمعرفة كيفية تمييز هذه الدرجات. سنقدم بعض التوصيات بشأن هذه المسألة.

في بعض الأحيان يكون من الواضح تمامًا أن الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم و / أو في قاعدته يمثل بعض قوة الأعداد الصحيحة ، كما في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. يجب أن تتعامل دائمًا مع قوى العدد اثنين ، وهي مألوفة جيدًا: 4 = 2 2 ، 8 = 2 3 ، 16 = 2 4 ، 32 = 2 5 ، 64 = 2 6 ، 128 = 2 7 ، 256 = 2 8 ، 512 = 9 2 ، 1024 = 2 10. يمكن قول الشيء نفسه عن درجات الثلاثية: 9 = 3 2 ، 27 = 3 3 ، 81 = 3 4 ، 243 = 3 5 ، ... بشكل عام ، لا يضر إذا كان هناك جدول قوى الأعداد الطبيعيةفي غضون عشرة. كما أنه ليس من الصعب العمل مع قوى صحيحة من عشرة ، مائة ، ألف ، إلخ.

مثال.

احسب القيمة أو بسّط التعبير: أ) السجل 6216 ، ب) ، ج) اللوغاريتم 0.000001 0.001.

حل.

أ) من الواضح ، 216 = 6 3 ، لذلك log 6216 = log 6 6 3 = 3.

ب) يتيح لنا جدول قوى الأعداد الطبيعية تمثيل العددين 343 و 1/243 كقوى 7 ​​3 و 3 4 على التوالي. لذلك ، فإن التحويل التالي للوغاريتم المحدد ممكن:

ج) بما أن 0.000001 = 10 6 و 0.001 = 10 3 إذن اللوغاريثم 0.000001 0.001 = اللوغاريثم 10 6 10 −3 = (- 3) / (- 6) = 1/2.

إجابة:

أ) سجل 6216 = 3 ، ب) ، ج) تسجيل 0.000001 0.001 = 1/2.

في الحالات الأكثر تعقيدًا ، لتسليط الضوء على قوى الأرقام ، عليك اللجوء إلى.

مثال.

غيّر التعبير إلى الصيغة الأبسط log 3648 log 2 3.

حل.

دعونا نرى ما هو تحلل الرقم 648 إلى عوامل أولية:

أي 648 = 2 3 3 4. هكذا، السجل 3648 السجل 2 3 = السجل 3 (2 3 3 4) السجل 2 3.

نقوم الآن بتحويل لوغاريتم المنتج إلى مجموع اللوغاريتمات ، وبعد ذلك نطبق خصائص لوغاريتم الدرجة:
سجل 3 (2 3 3 4) سجل 2 3 = (سجل 3 2 3 + سجل 3 3 4) سجل 2 3 =
= (3 سجل 3 2 + 4) سجل 2 3.

بحكم النتيجة الطبيعية لخاصية لوغاريتم الدرجة التي تتوافق مع الصيغة ، يكون المنتج log32 log23 هو المنتج ، ومن المعروف أنه يساوي واحدًا. بالنظر إلى هذا ، نحصل عليه 3 سجل 3 2 سجل 2 3 + 4 سجل 2 3 = 3 1 + 4 سجل 2 3 = 3 + 4 سجل 2 3.

إجابة:

سجل 3648 سجل 2 3 = 3 + 4 سجل 2 3.

في كثير من الأحيان ، تكون التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته عبارة عن منتجات أو نسب من الجذور و / أو القوى لبعض الأرقام ، على سبيل المثال ،. يمكن تمثيل التعبيرات المتشابهة كدرجة. للقيام بذلك ، يتم الانتقال من الجذور إلى الدرجات ويتم تطبيقه. تسمح لك هذه التحويلات بتحديد الدرجات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته ، ثم تطبيق خصائص اللوغاريتمات.

مثال.

احسب: أ) ، ب).

حل.

أ) التعبير في قاعدة اللوغاريتم هو نتاج قوى لها نفس الأسس ، من خلال خاصية المناظرة للقوى التي لدينا 5 2 5 −0.5 5 −1 = 5 2−0.5−1 = 5 0.5.

الآن دعنا نحول الكسر تحت علامة اللوغاريتم: لننتقل من الجذر إلى الدرجة ، وبعد ذلك سنستخدم خاصية نسبة الدرجات بنفس الأسس: .

يبقى استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي ، استخدم الصيغة والانتهاء من التحول:

ب) بما أن 729 = 3 6 ، و 1/9 = 3 2 ، يمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي بالشكل.

بعد ذلك ، قم بتطبيق خاصية جذر الأس ، وانتقل من الجذر إلى الأس ، واستخدم خاصية النسبة بين القوى لتحويل أساس اللوغاريتم إلى قوة: .

مع الأخذ بعين الاعتبار النتيجة الأخيرة لدينا .

إجابة:

أ) ، ب).

من الواضح أنه في الحالة العامة ، للحصول على صلاحيات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته ، قد تكون هناك حاجة إلى تحولات مختلفة من التعبيرات المختلفة. دعنا نعطي بعض الأمثلة.

مثال.

ما هي قيمة التعبير: أ) ، ب) .

حل.

علاوة على ذلك ، نلاحظ أن التعبير المعطى له النموذج log A B p ، حيث A = 2 و B = x + 1 و p = 4. قمنا بتحويل التعبيرات العددية من هذا النوع وفقًا لخاصية لوغاريتم الدرجة a b p \ u003d p log a b ، لذلك ، مع تعبير معين ، أريد أن أفعل الشيء نفسه ، وانتقل من log 2 (x + 1) 4 إلى 4 سجل 2 (x + 1). والآن دعونا نحسب قيمة التعبير الأصلي والتعبير الذي تم الحصول عليه بعد التحويل ، على سبيل المثال ، مع x = −2. لدينا سجل 2 (−2 + 1) 4 = سجل 2 1 = 0 ، و 4 سجل 2 (2 + 1) = 4 سجل 2 (−1)- تعبير لا معنى له. وهذا يثير سؤالاً مشروعًا: "ما الخطأ الذي ارتكبناه"؟

والسبب كالتالي: أجرينا تحويل السجل 2 (x + 1) 4 = 4 log 2 (x + 1) ، بناءً على الصيغة log a b p = p log a b ، لكن لدينا الحق في تطبيق هذه الصيغة فقط إذا كانت الشروط a> 0 ، a 1 ، b> 0 ، p - أي رقم حقيقي. أي أن التحويل الذي أجريناه يحدث إذا كانت x + 1> 0 ، وهي نفس x> 1 (بالنسبة إلى A و p ، يتم استيفاء الشروط). ومع ذلك ، في حالتنا ، فإن ODZ للمتغير x للتعبير الأصلي لا يتكون فقط من الفاصل الزمني x> −1 ، ولكن أيضًا من الفترة x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

الحاجة إلى مراعاة ODZ

دعنا نواصل تحليل تحول التعبير log 2 (x + 1) 4 الذي اخترناه ، والآن دعونا نرى ما يحدث لـ ODZ عند المرور إلى التعبير 4 log 2 (x + 1). في الفقرة السابقة وجدنا ODZ للتعبير الأصلي - هذه هي المجموعة (−∞، −1) ∪ (−1، +). لنجد الآن مساحة القيم المقبولة للمتغير x للتعبير 4 log 2 (x + 1). يتم تحديده من خلال الشرط x + 1> 0 ، والذي يتوافق مع المجموعة (−1 ، + ∞). من الواضح أنه عند الانتقال من log 2 (x + 1) 4 إلى 4 · log 2 (x + 1) ، يضيق نطاق القيم المسموح بها. واتفقنا على تجنب الإصلاحات التي تؤدي إلى تضييق منطقة ODZ ، لأن هذا يمكن أن يؤدي إلى عواقب سلبية مختلفة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه من المفيد التحكم في ODZ في كل خطوة من خطوات التحول وعدم السماح له بالتضييق. وإذا حدث فجأة في مرحلة ما من التحول تضييق في منطقة ODZ ، فإن الأمر يستحق النظر بعناية شديدة فيما إذا كان هذا التحول مسموحًا به وما إذا كان لدينا الحق في تنفيذه.

في الإنصاف ، نقول إنه من الناحية العملية ، يتعين علينا عادةً العمل مع التعبيرات التي يكون فيها ODZ للمتغيرات بحيث يسمح لنا باستخدام خصائص اللوغاريتمات دون قيود في الشكل المعروف لنا بالفعل ، سواء من اليسار إلى اليمين أو من من اليمين إلى اليسار ، عند إجراء التحولات. تعتاد على هذا بسرعة ، وتبدأ في تنفيذ التحولات ميكانيكيًا ، دون التفكير فيما إذا كان من الممكن تنفيذها. وفي مثل هذه اللحظات ، كما يحالف الحظ ، تتسلل أمثلة أكثر تعقيدًا ، حيث يؤدي التطبيق غير الدقيق لخصائص اللوغاريتمات إلى أخطاء. لذلك عليك أن تكون دائمًا في حالة تأهب ، وتأكد من عدم وجود تضييق في منطقة ODZ.

لا يضر تسليط الضوء بشكل منفصل على التحولات الرئيسية بناءً على خصائص اللوغاريتمات ، والتي يجب تنفيذها بعناية شديدة ، مما قد يؤدي إلى تضييق DPV ، ونتيجة لذلك ، إلى أخطاء:

يمكن أن تؤدي بعض تحولات التعبيرات وفقًا لخصائص اللوغاريتمات أيضًا إلى العكس - توسع ODZ. على سبيل المثال ، الانتقال من 4 log 2 (x + 1) إلى log 2 (x + 1) 4 يمد ODZ من المجموعة (−1، + ∞) إلى (−∞، −1) ∪ (−1، + ). تحدث هذه التحولات إذا بقيت داخل ODZ للتعبير الأصلي. لذا فإن التحويل المذكور للتو 4 log 2 (x + 1) = log 2 (x + 1) 4 يحدث على متغير ODZ x للتعبير الأصلي 4 log 2 (x + 1) ، أي عندما x + 1> 0 ، وهو نفس (−1، + ∞).

الآن وقد ناقشنا الفروق الدقيقة التي تحتاج إلى الانتباه إليها عند تحويل التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، يبقى معرفة كيفية إجراء هذه التحويلات بشكل صحيح.

X + 2> 0. هل تعمل في حالتنا؟ للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نلقي نظرة على DPV لمتغير x. يتم تحديده من خلال نظام عدم المساواة ، وهو ما يعادل الشرط x + 2> 0 (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة حل أنظمة عدم المساواة). وبالتالي ، يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة بأمان.

لدينا
3 سجل (س + 2) 7 سجل (س + 2) −5 سجل (س + 2) 4 =
= 3 7 سجل (س + 2) − سجل (س + 2) −5 4 سجل (س + 2) =
= 21 سجل (س + 2) − سجل (س + 2) −20 سجل (س + 2) =
= (21−1−20) lg (x + 2) = 0.

يمكنك التصرف بشكل مختلف ، لأن ODZ يتيح لك القيام بذلك ، على سبيل المثال مثل هذا:

إجابة:

3 سجل (س + 2) 7 سجل (س + 2) −5 سجل (س + 2) 4 = 0.

وماذا تفعل عندما لا تتحقق الشروط المرتبطة بخصائص اللوغاريتمات في ODZ؟ سنتعامل مع هذا مع الأمثلة.

لنطلب منا تبسيط التعبير lg (x + 2) 4 −lg (x + 2) 2. لا يسمح تحويل هذا التعبير ، على عكس التعبير من المثال السابق ، بالاستخدام المجاني لخاصية لوغاريتم الدرجة. لماذا؟ ODZ للمتغير x في هذه الحالة هو اتحاد فترتين x> −2 و x<−2 . При x>−2 يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة بأمان والمتابعة كما في المثال أعلاه: تسجيل (س + 2) 4 − سجل (س + 2) 2 = 4 سجل (س + 2) −2 سجل (س + 2) = 2 سجل (س + 2). لكن ODZ يحتوي على فاصل زمني آخر x + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к تسجيل الدخول (- | x + 2 |) 4 −log (- | x + 2 |) 2علاوة على ذلك ، نظرًا لخصائص الطاقة لـ lg | x + 2 | 4 − lg | x + 2 | 2. يمكن تحويل التعبير الناتج وفقًا لخاصية لوغاريتم الدرجة ، منذ | x + 2 |> 0 لأي قيم للمتغير. لدينا سجل | x + 2 | 4 − lg | x + 2 | 2 = 4 سجل | س + 2 | −2 سجل | س + 2 | = 2 سجل | س + 2 |. يمكنك الآن التخلص من الوحدة ، لأنها قامت بعملها. نظرًا لأننا نتحول عند x + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

دعنا نفكر في مثال آخر لجعل العمل مع الوحدات مألوفًا. دعونا نتصور من التعبير مرر إلى مجموع وفرق لوغاريتمات ذات الحدين الخطي x 1 و x − 2 و x 3. أولاً نجد ODZ:

في الفترة (3 ، + ∞) ، تكون قيم التعبيرات x 1 و x − 2 و x 3 موجبة ، لذلك يمكننا تطبيق خصائص لوغاريتم المجموع والفرق بأمان:

وفي الفترة (1 ، 2) ، تكون قيم التعبير x − 1 موجبة ، وقيم التعبيرات x − 2 و x − 3 سالبة. لذلك ، في الفترة قيد النظر ، نمثل x 2 و x − 3 باستخدام المقياس كـ - | x − 2 | و - | x − 3 | على التوالى. حيث

الآن يمكننا تطبيق خصائص لوغاريتم الضرب والحاصل ، لأنه في الفترة المدروسة (1 ، 2) قيم التعبيرات x − 1 ، | x − 2 | و | x − 3 | - إيجابي.

لدينا

يمكن الجمع بين النتائج التي تم الحصول عليها:

بشكل عام ، يسمح المنطق المماثل ، استنادًا إلى الصيغ الخاصة بلوغاريتم المنتج والنسبة والدرجة ، بالحصول على ثلاث نتائج مفيدة عمليًا تكون ملائمة تمامًا للاستخدام:

• يمكن استبدال لوغاريتم ناتج تعبيرين تعسفيين X و Y للنموذج log a (X · Y) بمجموع اللوغاريتمات log a | X | + log a | Y | ، أ> 0 ، أ 1.
• يمكن استبدال اللوغاريتم الخاص بـ log a (X: Y) باختلاف اللوغاريتمات log a | X | −log a | Y | ، a> 0 ، a 1 ، X و Y هي تعبيرات عشوائية.
• من لوغاريتم بعض التعبيرات B إلى القوة الزوجية p للصيغة log a B p ، يمكن للمرء أن يمرّر إلى التعبير p log a | B | ، حيث a> 0 ، a 1 ، p عدد زوجي و B تعبير تعسفي.

يتم إعطاء نتائج مماثلة ، على سبيل المثال ، في تعليمات حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية في مجموعة المسائل في الرياضيات للمتقدمين للجامعات ، تم تحريره بواسطة M.I.Skanavi.

مثال.

تبسيط التعبير .

حل.

سيكون من الجيد تطبيق خصائص لوغاريتم الدرجة والجمع والفرق. لكن هل يمكننا فعل ذلك هنا؟ للإجابة على هذا السؤال ، نحتاج إلى معرفة ODZ.

دعنا نحدده:

من الواضح تمامًا أن التعبيرات x + 4 و x 2 و (x + 4) 13 في نطاق القيم الممكنة للمتغير x يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة وسالبة. لذلك ، سيتعين علينا العمل من خلال الوحدات.

تسمح لك خصائص الوحدة بإعادة الكتابة على هذا النحو

أيضًا ، لا شيء يمنعك من استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة ، ثم إحضار المصطلحات المشابهة:

يؤدي تسلسل آخر للتحولات إلى نفس النتيجة:

وبما أن التعبير x − 2 يمكن أن يأخذ كلًا من القيم الموجبة والسالبة على ODZ ، عند أخذ الأس الزوجي 14