معادلات الخطوط المستقيمة والمنحنيات على المستوى. معادلة الخط

خواص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك ثلاثة خيارات للموضع النسبي لخطين:

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط متوازية.

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 (بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠0، ج ≠ 0 (الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور الوحدة التنظيمية

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور الوحدة التنظيمية

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي منها

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، متجه ذو مكونات (A، B)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، نحصل على: 3 - 2 + C = 0، وبالتالي

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى ميل مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0تؤدي:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحن نحصل ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثي نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور الوحدة التنظيمية.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ر- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاور أو مارة بنقطة الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2ثم الزاوية الحادة بين هذين الخطين

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (س 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0معرف ك:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (س 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 بشكل عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والتعامد بين خطين مستقيمين. تحديد نقطة تقاطع خطين

أمثلة على المشاكل مع الحلول

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين: (-1، 2) و (2، 1).

حل.

وفقا للمعادل.

الإيمان به س 1 = -1, ذ 1 = 2, س 2 = 2, ذ 2 = 1 (لا يهم أي نقطة تعتبر أولاً وأي نقطة تعتبر ثانية)، نحصل عليها

وبعد التبسيط نحصل على المعادلة النهائية المطلوبة بالشكل

س + 3ذ - 5 = 0.

يتم إعطاء جوانب المثلث بالمعادلات: (أ.ب ) 2 س + 4 ذ + 1 = 0, (مكيف الهواء ) س - ذ + 2 = 0, (قبل الميلاد ) 3 س + 4 ذ -12 = 0. أوجد إحداثيات رؤوس المثلث.

حل.

إحداثيات قمة الرأس أنجد من خلال حل نظام مكون من معادلات الجوانب أ.بو مكيف الهواء:

لقد حللنا نظامًا من معادلتين خطيتين بمجهولين باستخدام طرق معروفة من الجبر الأولي، وحصلنا على ذلك

قمة الرأس ألديه إحداثيات

إحداثيات قمة الرأس بسوف نجد من خلال حل نظام معادلات الجانبين أ.بو قبل الميلاد:

استلمنا .

إحداثيات قمة الرأس جنحصل عليها عن طريق حل نظام معادلات الجانبين قبل الميلادو مكيف الهواء:

قمة الرأس جلديه إحداثيات.

أ (2، 5) بالتوازي مع السطر 3س - 4 ذ + 15 = 0.

حل.

دعونا نثبت أنه إذا كان الخطان متوازيين، فيمكن دائمًا تمثيل معادلاتهما بطريقة تجعلهما يختلفان فقط في حدودهما الحرة. في الواقع، من حالة التوازي بين الخطين يتبع ذلك.

دعونا نشير بواسطة رالقيمة الإجمالية لهذه العلاقات. ثم

ومن هذا يتبع ذلك

أ 1 = أ 2 ر, ب 1 = ب 2 ر. (1)

إذا سطرين

أ 1 س + ب 1 ذ + ج 1 = 0 و

أ 2 س + ب 2 ذ + ج 2 = 0

متوازيان، وتوافر الشروط (1)، والاستبدال في أول هذه المعادلات أ 1 و ب 1 حسب الصيغ (1)، سيكون لدينا

أ 2 tx + ب 2 تاي + ج 1 = 0,

أو بقسمة طرفي المعادلة على نحصل على

مقارنة المعادلة الناتجة مع معادلة الخط المستقيم الثاني أ 2 س + ب 2 ذ + ج 2 = 0، ونلاحظ أن هذه المعادلات تختلف في الحد الحر فقط؛ وبذلك أثبتنا المطلوب. الآن لنبدأ في حل المشكلة. سنكتب معادلة الخط المطلوب بحيث تختلف عن معادلة الخط المعطى فقط بالحد الحر: سنأخذ الحدين الأولين في المعادلة المطلوبة من هذه المعادلة ونشير إليها مصطلح مجاني بواسطة ج. ثم سيتم كتابة المعادلة المطلوبة في النموذج

3س - 4ذ + ج = 0, (3)

ويتم تحديدها ج.

إعطاء في المعادلة (3) القيمة ججميع القيم الحقيقية الممكنة، نحصل على مجموعة من الخطوط الموازية للواحد المعين. وبالتالي، فإن المعادلة (3) ليست معادلة خط واحد، بل هي معادلة مجموعة كاملة من الخطوط الموازية لخط معين 3 س - 4ذ+ 15 = 0. من مجموعة الخطوط هذه، يجب أن نختار الخط الذي يمر بالنقطة أ(2, 5).

إذا مر خط بنقطة، فإن إحداثيات هذه النقطة يجب أن تحقق معادلة الخط. وبالتالي سوف نحدد ج، إذا قمنا بالاستبدال في (3) بدلاً من الإحداثيات الحالية سو ذإحداثيات النقطة أ، أي. س = 2, ذ= 5. نحصل على و ج = 14.

وجدت قيمة جعوض في (3) وستكتب المعادلة المطلوبة كما يلي:

3س - 4ذ + 14 = 0.

ويمكن حل نفس المشكلة بطريقة أخرى. بما أن المعاملات الزاوية للخطوط المتوازية متساوية مع بعضها البعض، وعلى خط معين 3 س - 4ذ+ 15 = 0 ميل، إذن ميل الخط المستقيم المطلوب متساوي أيضًا.

الآن نستخدم المعادلة ذ - ذ 1 = ك(س - س 1) مجموعة من الخطوط المستقيمة. نقطة أ(2، 5) الذي يمر عبره الخط المستقيم معروف لنا، ولذلك نعوض في معادلة قلم الخطوط المستقيمة ذ - ذ 1 = ك(س - س 1) القيم التي نحصل عليها

أو بعد التبسيط 3 س - 4ذ+ 14 = 0، أي كما كان من قبل.

العثور على معادلات الخطوط التي تمر عبر نقطةأ (3، 4) بزاوية 60 درجة على الخط المستقيم 2س + 3 ذ + 6 = 0.

حل.

لحل المشكلة، نحتاج إلى تحديد المعاملات الزاوية للخطين الأول والثاني (انظر الشكل). دعونا نشير إلى هذه المعاملات على التوالي ك 1 و ك 2، والمعامل الزاوي لهذا الخط يمر ك. من الواضح أن .

بناءً على تعريف الزاوية بين خطين مستقيمين، عند تحديد الزاوية بين خط معين وخط مستقيم، أتبع بسط الكسر في الصيغة

اطرح ميل هذا الخط، لأنه يحتاج إلى تدويره عكس اتجاه عقارب الساعة حول هذه النقطة جحتى يتطابق مع الخط المستقيم I.

وبالنظر إلى ذلك، نحصل على

عند تحديد الزاوية بين الخط II وخط معين، ينبغي طرح المعامل الزاوي للخط II في بسط نفس الكسر، أي. ك 2، حيث يجب تدوير الخط II عكس اتجاه عقارب الساعة حول هذه النقطة بحتى يتزامن مع هذا السطر:

أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطةأ (5، -1) عمودي على الخط 3س - 7 ذ + 14 = 0.

حل.

إذا سطرين

أ 1 س + ب 1 ذ + ج 1 = 0, أ 2 س + ب 2 ذ + ج 2 = 0

متعامدين، ثم المساواة

أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0,

أو ما هو نفسه،

أ 1 أ 2 = -ب 1 ب 2 ,

ومن هذا يتبع ذلك

ونشير إلى المعنى العام لهذه العبارات ب ر.

ثم يتبع ذلك

أ 2 = ب 1 ر, ب 2 = -أ 1 ر.

استبدال هذه القيم أ 2 و ب 2 ومعادلة السطر الثاني نحصل عليها

ب 1 tx - أ 1 تاي + ج 2 = 0.

أو القسمة على ركلا الجانبين من المساواة، سيكون لدينا

مقارنة المعادلة الناتجة مع معادلة الخط المستقيم الأول

أ 1 س + ب 1 ذ + ج 1 = 0,

نلاحظ أن معاملاتهم عند سو ذلقد تبادلت الأماكن، وتغيرت الإشارة بين الحدين الأول والثاني إلى العكس، لكن الحدود الحرة مختلفة.

لنبدأ الآن في حل المشكلة. أريد أن أكتب معادلة الخط العمودي على السطر 3 س - 7ذ+ 14 = 0، بناءً على الاستنتاج الذي تم التوصل إليه أعلاه، سنتصرف على النحو التالي: سنقوم بتبديل المعاملات بـ سو ذ، واستبدل علامة الطرح بينهما بعلامة الزائد، ودل على الحد الحر بالحرف ج. نحصل على 7 س + 3ذ + ج= 0. هذه المعادلة هي معادلة عائلة الخطوط المتعامدة مع السطر 3 س - 7ذ+ 14 = 0. حدد جمن شرط أن يمر الخط المطلوب عبر النقطة أ(5، -1). ومن المعروف أنه إذا مر خط بنقطة فإن إحداثيات هذه النقطة يجب أن تحقق معادلة الخط. استبدال 5 في المعادلة الأخيرة بدلا من سو -1 بدلاً من ذلك ذ، نحن نحصل

هذا هو المعنى جعوض في المعادلة الاخيرة واحصل على

7س + 3ذ - 32 = 0.

دعونا نحل نفس المشكلة بطريقة مختلفة، باستخدام معادلة قلم رصاص من الخطوط المستقيمة

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1).

ميل هذا الخط هو 3 س - 7ذ + 14 = 0

ثم المعامل الزاوي للخط العمودي عليه،

التعويض في معادلة قلم الرصاص بخطوط مستقيمة وبدلا من ذلك س 1 و ذ 1 إحداثيات هذه النقطة أ(5، -1)، أوجد، أو 3 ذ + 3 = -7س+ 35، وأخيراً 7 س + 3ذ- 32 = 0 أي نفس السابق.

المعادلاتهناك الكثير من المنحنياتعند قراءة الأدبيات الاقتصادية، دعونا نشير إلى بعض هذه المنحنيات.

منحنى اللامبالاة - منحنى يوضح مجموعات مختلفة من منتجين لهما نفس القيمة أو المنفعة بالنسبة للمستهلك.

منحنى ميزانية المستهلك - منحنى يوضح مجموعات مختلفة من كميات سلعتين يمكن للمستهلك شراءها عند مستوى معين من دخله النقدي.

منحنى إمكانية الإنتاج - منحنى يوضح المجموعات المختلفة من سلعتين أو خدمات يمكن إنتاجها في ظل ظروف العمالة الكاملة والإنتاج الكامل في اقتصاد يتمتع بإمدادات ثابتة من الموارد والتكنولوجيا الثابتة.

منحنى الطلب على الاستثمار - منحنى يوضح ديناميكيات سعر الفائدة وحجم الاستثمارات بأسعار فائدة مختلفة.

منحنى فيليبس- منحنى يوضح وجود علاقة مستقرة بين معدل البطالة ومعدل التضخم.

منحنى لافر- منحنى يوضح العلاقة بين معدلات الضرائب وإيرادات الضرائب، مع تحديد معدل الضريبة الذي تصل عنده إيرادات الضرائب إلى الحد الأقصى.

وتظهر بالفعل قائمة بسيطة من المصطلحات مدى أهمية أن يتمكن الاقتصاديون من بناء الرسوم البيانية وتحليل معادلات المنحنيات، مثل الخطوط المستقيمة والمنحنيات من الدرجة الثانية - الدائرة، والقطع الناقص، والقطع الزائد، والقطع المكافئ. بالإضافة إلى ذلك، عند حل فئة كبيرة من المشكلات، من الضروري اختيار منطقة على المستوى تحدها بعض المنحنيات التي تم تقديم معادلاتها، وفي أغلب الأحيان، يتم صياغة هذه المشكلات على النحو التالي: العثور على أفضل خطة إنتاج لموارد معينة. عادة ما يأخذ تخصيص الموارد شكل عدم المساواة، ويتم إعطاء معادلاتها. ولذلك علينا البحث عن أكبر أو أصغر القيم المأخوذة من دالة معينة في المنطقة المحددة بمعادلات نظام المتباينات.

في الهندسة التحليلية خط على متن الطائرةيتم تعريفه على أنه مجموعة النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلةو(س،ص)=0. في هذه الحالة، يجب فرض قيود على الدالة F بحيث يكون لهذه المعادلة، من ناحية، مجموعة لا حصر لها من الحلول، ومن ناحية أخرى، بحيث لا تملأ مجموعة الحلول هذه "قطعة من المستوى" ". فئة مهمة من الخطوط هي تلك التي تكون فيها الدالة F(x,y) متعددة الحدود في متغيرين، وفي هذه الحالة يسمى الخط المحدد بالمعادلة F(x,y)=0 جبري. الخطوط الجبرية المعرفة بمعادلة من الدرجة الأولى هي خطوط مستقيمة. تحدد المعادلة من الدرجة الثانية، التي لها عدد لا نهائي من الحلول، شكلًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا أو قطعًا مكافئًا أو خطًا ينقسم إلى خطين مستقيمين.

دعونا نحدد نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى. يمكن تحديد الخط المستقيم على المستوى بإحدى المعادلات:

10 . المعادلة العامة للخط

الفأس + بواسطة + C = 0. (2.1)

المتجه ن(A,B) متعامد مع الخط، والرقمان A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت.

20 . معادلة الخط المستقيم مع الميل

ص - ص = ك (س - س س)، (2.2)

حيث k هو ميل الخط، أي k = tgأ، حيث أ - مقدار الزاوية التي يشكلها الخط المستقيم مع محور الثور، M (x o، y o) - نقطة ما تنتمي إلى الخط المستقيم.

تأخذ المعادلة (2.2) الصيغة y = kx + b إذا كانت M (0, b) هي نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور Oy.

ثلاثين . معادلة الخط في القطاعات

س/أ + ص/ب = 1، (2.3)

حيث a و b هما قيمتا القطع المقطوعة بخط مستقيم على محاور الإحداثيات.

4 0 . معادلة الخط الذي يمر بنقطتين معلومتين هي أ(س ١، ص ١) وب(س ٢، ص ٢):

. (2.4)

50 . معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة A(x 1, y 1) موازية لمتجه معين أ(م، ن)

. (2.5)

6 0 . المعادلة العادية للخط

آر إنس - ع = 0، (2.6)

أين ص- نصف قطر النقطة التعسفية M(x، y) من هذا الخط، ن o هو متجه وحدة متعامد مع هذا الخط وموجه من نقطة الأصل إلى الخط؛ p هي المسافة من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم.

العادي في الشكل الإحداثي له الشكل:

x cos a + y sin a - p = 0،

اين ا - مقدار الزاوية التي يشكلها الخط المستقيم مع محور الثور.

معادلة قلم الرصاص التي مركزها النقطة A(x 1, y 1) لها الصيغة:

ص-ص 1 = ل (س-س 1)،

حيث ل - معلمة الشعاع . إذا تم تعريف الحزمة بخطين مستقيمين متقاطعين A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، A 2 x + B 2 y + C 2 = 0، فإن معادلتها لها الشكل:

ل (أ 1 س + ب 1 ص + ج 1) + م (أ 2 س + ب 2 ص + ج 2)=0,

حيث ل و م - معلمات الشعاع التي لا تتحول إلى 0 في نفس الوقت.

الزاوية بين السطور y = kx + b و y = k 1 x + b 1 تعطى بالصيغة:

تيراغرام ي = .

المساواة 1 + k 1 k = 0 شرط ضروري وكاف لتعامد الخطوط.

من أجل المعادلتين

أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0، (2.7)

أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0، (2.8)

بالنظر إلى نفس الخط المستقيم، فمن الضروري والكافي أن تكون معاملاتهما متناسبة:

أ 1 /أ 2 = ب 1 /ب 2 = ج 1 /ج 2.

تحدد المعادلات (2.7)، (2.8) خطين متوازيين مختلفين إذا كان A 1 /A 2 = B 1 /B 2 وB 1 /B 2¹ C1/C2؛ تتقاطع الخطوط إذا كان A1 /A2¹ب1 /ب2 .

المسافة d من النقطة M o (x o، y o) إلى الخط المستقيم هي طول العمودي المرسوم من النقطة M o إلى الخط المستقيم. إذا تم إعطاء خط مستقيم بواسطة معادلة عادية، فإن د =ê صيا نس - ص ê ، أين ص o - متجه نصف القطر للنقطة M o أو في شكل إحداثي d =ê x o cos a + y o sin a - н ê .

المعادلة العامة لمنحنى الدرجة الثانية لها الشكل

أ 11 × 2 + 2 أ 12 ص + أ 22 ص 2 + 2 أ 1 س +2 أ 2 ص + أ = 0.

من المفترض أنه من بين معاملات المعادلة أ 11، أ 12، أ 22 هناك معاملات غير صفرية.

معادلة دائرة مركزها عند النقطة C(a, b) ونصف قطرها يساوي R:

(س - أ) 2 + (ص - ب) 2 = ر 2 . (2.9)

الشكل البيضاويهو موضع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين محددتين F 1 و F 2 (البؤر) قيمة ثابتة تساوي 2a.

المعادلة الأساسية (الأبسط) للقطع الناقص

× 2 /أ 2 + ص 2 /أ 2 = 1. (2.10)

والقطع الناقص الذي تعطيه المعادلة (2.10) متماثل بالنسبة إلى محاور الإحداثيات. خيارات أو بوتسمى مهاوي المحورالشكل البيضاوي.

دع a>b، ثم تقع البؤرتان F 1 و F 2 على محور الثور على مسافة
ج= من الأصل. نسبة ج / أ =ه < 1 называется الانحرافالشكل البيضاوي. يتم تحديد المسافات من النقطة M(x, y) للقطع الناقص إلى بؤرته (ناقلات نصف القطر البؤرية) بواسطة الصيغ:

ص 1 = أ - ه س، ص 2 = أ + ه س.

اذا كان< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , ه = ج / ب،
ص 1 = ب + ه س، ص 2 = ب - ه س.

إذا كان a = b، فإن القطع الناقص هو دائرة مركزها أصل نصف القطر أ.

مقارنة مبالغ فيهاهو موضع النقاط التي يكون فرق المسافة بين نقطتين محددتين F 1 و F 2 (البؤر) مساويًا في القيمة المطلقة للرقم المعطى 2a.

معادلة القطع الزائد الكنسي

س 2 /أ 2 - ص 2 /ب 2 = 1. (2.11)

القطع الزائد الذي تعطيه المعادلة (2.11) متناظر حول محاور الإحداثيات. يتقاطع مع محور الثور عند النقطتين A (a,0) و A (-a,0) - رؤوس القطع الزائد ولا يتقاطع مع محور Oy. معامل أمُسَمًّى نصف المحور الحقيقي, ب -نصف محور وهمي. المعلمة c= هي المسافة من التركيز إلى الأصل. نسبة ج / أ =ه > يتم استدعاء 1 الانحرافمقارنة مبالغ فيها. الخطوط التي تكون معادلاتها y =± يتم استدعاء ب/أ س الخطوط المقاربةمقارنة مبالغ فيها. يتم تحديد المسافات من النقطة M(x,y) للقطع الزائد إلى بؤرته (ناقلات نصف القطر البؤرية) بواسطة الصيغ:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + aê .

القطع الزائد الذي يسمى a = b متساوي الاضلاعومعادلتها x 2 - y 2 = a 2 ومعادلة الخطوط المقاربة y =± س. القطع الزائدة x 2 /أ 2 - ص 2 /ب 2 = 1 و
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 يتم استدعاؤها مترافق.

القطع المكافئهو موضع النقاط البعيدة بالتساوي عن نقطة معينة (البؤرة) وخط معين (الدليل).

المعادلة القانونية للقطع المكافئ لها شكلين:

1) y 2 = 2rx - القطع المكافئ متماثل حول محور الثور.

2) x 2 = 2 ry - القطع المكافئ متماثل حول محور Oy.

في كلتا الحالتين، p>0 ورأس القطع المكافئ، أي النقطة الواقعة على محور التماثل، يقع عند نقطة الأصل.

القطع المكافئ الذي معادلته y 2 = 2rx له تركيز F(ə/2,0) ودليل x = - σ/2، متجه نصف القطر البؤري للنقطة M(x,y) عليه هو r = x+ Р/ 2.

القطع المكافئ الذي معادلته x 2 = 2 ry له التركيز F(0, pr/2) والدليل y = - р/2; متجه نصف القطر البؤري للنقطة M(x,y) للقطع المكافئ يساوي r = y + p/2.

تحدد المعادلة F(x, y) = 0 الخط الذي يقسم المستوى إلى جزأين أو أكثر. في بعض هذه الأجزاء يوجد عدم مساواة F(x, y).<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. وبعبارة أخرى، الخط
F(x, y)=0 يفصل جزء المستوى، حيث F(x, y)>0، عن جزء المستوى، حيث F(x, y)<0.

الخط المستقيم الذي معادلته Ax+By+C = 0 يقسم المستوى إلى نصفين. عمليًا، لمعرفة أي نصف مستوي لدينا Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0، يتم استخدام طريقة نقطة التفتيش. للقيام بذلك، خذ نقطة تحكم (بالطبع، لا تقع على خط مستقيم معادلته Ax+By+C = 0) وتحقق من الإشارة التي يحملها التعبير Ax+By+C عند هذه النقطة. تحتوي نفس العلامة على التعبير المشار إليه في جميع أنحاء نصف المستوى حيث تقع نقطة التحكم. في النصف الثاني من المستوى، يحتوي Ax+By+C على علامة معاكسة.

يتم حل المتباينات غير الخطية ذات المجهولين بنفس الطريقة.

على سبيل المثال، دعونا نحل المتراجحة x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. يمكن إعادة كتابتها بالشكل (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

تحدد المعادلة (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 دائرة مركزها عند النقطة C(2,-3) ونصف قطرها 5. تقسم الدائرة المستوى إلى قسمين - داخلي والخارجية. لمعرفة أي منها يحمل هذا المتباين، خذ نقطة تحكم في المنطقة الداخلية، على سبيل المثال، المركز C(2,-3) لدائرتنا. بالتعويض بإحداثيات النقطة C في الجانب الأيسر من المتراجحة، نحصل على عدد سالب -25. وهذا يعني أنه في جميع النقاط الواقعة داخل الدائرة توجد عدم المساواة
س 2 -4س+ص 2 +6ص-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

مثال 1.5.اكتب معادلات الخطوط التي تمر بالنقطة A(3,1) وميلها إلى الخط 2x+3y-1 = 0 بزاوية 45 درجة.

حل.سوف نبحث في النموذج y=kx+b. وبما أن الخط يمر بالنقطة A، فإن إحداثياته ​​تحقق معادلة الخط، أي. 1=3ك+ب،Þ ب = 1-3 ك. حجم الزاوية بين الخطوط المستقيمة
يتم تحديد y= k 1 x+b 1 و y= kx+b بواسطة الصيغة tgي = . بما أن المعامل الزاوي k 1 للخط المستقيم الأصلي 2x+3y-1=0 يساوي - 2/3، والزاويةي = 45 o، فلدينا معادلة لتحديد k:

(2/3 + ك)/(1 - 2/3ك) = 1 أو (2/3 + ك)/(1 - 2/3ك) = -1.

لدينا قيمتان لـ k: k 1 = 1/5، k 2 = -5. وبإيجاد القيم المقابلة لـ b باستخدام الصيغة b=1-3k، نحصل على الخطين المستقيمين المطلوبين، ومعادلاتهما هي: x - 5y + 2 = 0 و
5س + ص - 16 = 0.

مثال 1.6. في ما قيمة المعلمة رهل الخطوط التي معادلاتها 3tx-8y+1 = 0 و (1+t)x-2ty = 0 متوازية؟

حل.الخطوط المحددة بالمعادلات العامة تكون متوازية إذا كانت معاملاتها سو ذمتناسبة، أي 3t/(1+t) = -8/(-2t). وبحل المعادلة الناتجة نجد ر: ر 1 ​​= 2، ر 2 = -2/3.

مثال 1.7. أوجد معادلة الوتر المشترك لدائرتين:
x 2 +y 2 =10 و x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

حل.دعونا نجد نقاط تقاطع الدوائر، للقيام بذلك، حل نظام المعادلات:

.

بحل المعادلة الأولى نجد القيم × 1 = 3، × 2 = 1. ومن المعادلة الثانية - القيم المقابلة ذ: y 1 = 1, y 2 = 3. الآن نحصل على معادلة الوتر العام، بمعرفة النقطتين A(3,1) و B(1,3) اللتين تنتميان إلى هذا الخط: (y-1)/(3) -1) = (س-3)/(1-3)، أو ص+ س - 4 = 0.

مثال 1.8. كيف تقع النقاط على المستوى التي تحقق إحداثياتها الشروط (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >ذ؟

حل.المتباينة الأولى في النظام تحدد الجزء الداخلي للدائرة، وليس بما في ذلك الحدود، أي. دائرة مركزها النقطة (3،3) ونصف قطرها . تحدد المتباينة الثانية نصف مستوى محدد بخط معادلته x = y، وبما أن المتباينة صارمة، فإن نقاط الخط نفسه لا تنتمي إلى نصف المستوى، وجميع النقاط الموجودة أسفل هذا الخط تنتمي إلى نصف الطائرة. وبما أننا نبحث عن النقاط التي تحقق المتباينتين، فإن المساحة التي نبحث عنها هي الجزء الداخلي من نصف الدائرة.

مثال 1.9.احسب طول ضلع مربع محصور في القطع الناقص معادلته x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

حل.يترك م (ق، ق)- رأس المربع الواقع في الربع الأول. ثم جانب المربع سيكون مساوياً لـ 2 مع. لأن نقطة مينتمي إلى القطع الناقص، فإن إحداثياته ​​تحقق معادلة القطع الناقص c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1، ومن هنا
ج = أب/؛ وهذا يعني أن جانب المربع هو 2ab/.

مثال 1.10.معرفة معادلة الخطوط المقاربة للقطع الزائد y =± 0.5 x وإحدى نقطتها M(12, 3) تؤلف معادلة القطع الزائد.

حل.دعونا نكتب المعادلة القانونية للقطع الزائد: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. يتم إعطاء الخطوط المقاربة للقطع الزائد بواسطة المعادلات y =± 0.5 س، مما يعني ب/أ = 1/2، حيث أ=2ب. بسبب ال مهي نقطة القطع الزائد، فإن إحداثياتها تحقق معادلة القطع الزائد، أي. 144/أ 2 - 27/ب 2 = 1. وباعتبار أن أ = 2ب نجد ب: ب 2 =9Þ ب=3 و أ=6. إذن معادلة القطع الزائد هي x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

مثال 1.11.احسب طول ضلع المثلث المنتظم ABC المدرج في القطع المكافئ مع المعلمة ر، بافتراض أن النقطة A تتزامن مع قمة القطع المكافئ.

حل.المعادلة الأساسية للقطع المكافئ مع المعلمة رله الشكل y 2 = 2rx، ورأسه يتطابق مع نقطة الأصل، والقطع المكافئ متماثل حول محور الإحداثي السيني. بما أن الخط المستقيم AB يشكل زاوية قياسها 30 درجة مع محور الثور، فإن معادلة الخط المستقيم لها الصيغة: y = x. عدد كبير من الرسوم البيانية

لذلك، يمكننا إيجاد إحداثيات النقطة B عن طريق حل نظام المعادلات y 2 = 2rx، y = x، ومنها x = 6r، y = 2r. وهذا يعني أن المسافة بين النقطتين A(0,0) و B(6Р,2Р) تساوي 4Р.

تم العثور على الخط الذي يمر عبر النقطة K(x 0 ; y 0) والموازي للخط y = kx + a بالصيغة:

ص - ص 0 = ك(س - س 0) (1)

حيث k هو ميل الخط

صيغة بديلة:
الخط الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1 ; y 1) ويوازي الخط Ax+By+C=0 يمثل بالمعادلة

أ(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

المثال رقم 1. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 0 (-2,1) وفي نفس الوقت:
أ) الموازي للخط المستقيم 2x+3y -7 = 0;
ب) عمودي على خط مستقيم 2س+3ص -7 = 0.
حل . لنتخيل المعادلة مع الميل بالصيغة y = kx + a. للقيام بذلك، انقل جميع القيم باستثناء y إلى الجانب الأيمن: 3y = -2x + 7 . ثم قم بتقسيم الجانب الأيمن على عامل 3. نحصل على: ص = -2/3س + 7/3
لنجد المعادلة NK التي تمر بالنقطة K(-2;1) الموازية للخط المستقيم y = -2 / 3 x + 7 / 3
استبدال x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 نحصل على:
ص-1 = -2 / 3 (س-(-2))
أو
ص = -2 / 3 س - 1 / 3 أو 3ص + 2س +1 = 0

المثال رقم 2. اكتب معادلة الخط الموازي للمستقيم 2x + 5y = 0 وكوّن مع محاور الإحداثيات مثلثًا مساحته 5.
حل . بما أن الخطوط متوازية، فإن معادلة الخط المطلوب هي 2x + 5y + C = 0. مساحة المثلث القائم الزاوية، حيث a و b هما ساقيه. لنجد نقاط تقاطع الخط المطلوب مع محاور الإحداثيات:
;
.
لذلك، أ(-C/2,0)، ب(0،-C/5). دعنا نستبدلها في صيغة المساحة: . نحصل على حلين: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y – 10 = 0.

المثال رقم 3. اكتب معادلة للمستقيم الذي يمر بالنقطة (-2; 5) ويوازي الخط 5x-7y-4=0.
حل. يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم بالمعادلة y = 5 / 7 x - 4 / 7 (هنا = 5 / 7). معادلة الخط المطلوب هي y – 5 = 5 / 7 (x – (-2))، أي. 7(y-5)=5(x+2) أو 5x-7y+45=0 .

المثال رقم 4. بعد حل المثال 3 (A=5، B=-7) باستخدام الصيغة (2)، نجد 5(x+2)-7(y-5)=0.

المثال رقم 5. اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة (-2;5) ويوازي الخط 7x+10=0.
حل. هنا أ=7، ب=0. الصيغة (2) تعطي 7(x+2)=0، أي. س+2=0. الصيغة (1) غير قابلة للتطبيق، حيث لا يمكن حل هذه المعادلة بالنسبة لـ y (هذا الخط المستقيم موازي للمحور الإحداثي).