القياس المجسم هو فرع من فروع الهندسة يدرس الأشكال التي لا تقع في نفس المستوى. أحد أهداف دراسة القياس المجسم هو المنشور. في هذه المقالة، سنحدد المنشور من وجهة نظر هندسية، وندرج أيضًا بإيجاز الخصائص التي تميزه.

الشكل الهندسي

تعريف المنشور في الهندسة هو كما يلي: إنه شكل مكاني يتكون من اثنين من n-gons متطابقين يقعان في مستويات متوازية، متصلين ببعضهما البعض بواسطة رؤوسهما.

الحصول على المنشور ليس بالأمر الصعب. لنتخيل أن هناك رقمين متماثلين، حيث n هو عدد الأضلاع أو الرءوس. لنضعها بحيث تكون متوازية مع بعضها البعض. بعد ذلك، يجب أن تكون رؤوس أحد المضلعات متصلة بالرؤوس المقابلة للمضلع الآخر. سيتكون الشكل الناتج من جانبين متوازيين n، يُطلق عليهما القواعد، وجوانب رباعية الزوايا، وهي بشكل عام متوازيات أضلاع. تشكل مجموعة متوازيات الأضلاع السطح الجانبي للشكل.

هناك طريقة أخرى للحصول على الشكل المعني هندسيًا. لذا، إذا أخذنا n-gon ونقلناه إلى مستوى آخر باستخدام أجزاء متوازية متساوية الطول، فسنحصل في المستوى الجديد على المضلع الأصلي. يشكل كل من المضلعات وجميع القطاعات المتوازية المرسومة من رؤوسها منشورًا.

والصورة أعلاه توضح ذلك، وسمي كذلك لأن قواعده مثلثات.

العناصر التي تشكل الشكل

أعلاه، تم تقديم تعريف للمنشور، والذي يتضح منه أن العناصر الرئيسية للشخصية هي حوافه أو جوانبه، والتي تحد جميع النقاط الداخلية للمنشور من الفضاء الخارجي. أي وجه من وجوه الشكل المعني ينتمي إلى أحد النوعين:

• جانبي.
• أسباب.

هناك عدد n من القطع الجانبية، وهي متوازيات أضلاع أو أنواعها الخاصة (المستطيلات والمربعات). وبشكل عام تختلف الوجوه الجانبية عن بعضها البعض. هناك وجهان فقط للقاعدة؛ وهما n-gons ومتساويان مع بعضهما البعض. وبالتالي، فإن كل منشور له جوانب n+2.

بالإضافة إلى الجوانب، يتميز الشكل بقممه. إنها تمثل نقاطًا تتلامس فيها ثلاثة وجوه في وقت واحد. علاوة على ذلك، فإن وجهين من الوجوه الثلاثة ينتمي دائمًا إلى السطح الجانبي، وواحد إلى القاعدة. وبالتالي، في المنشور، لا يوجد قمة واحدة مخصصة، على سبيل المثال، في الهرم؛ عدد رؤوس الشكل هو 2*n (n قطعة لكل قاعدة).

وأخيرًا، العنصر الثالث المهم في المنشور هو أضلاعه. هذه أجزاء ذات طول معين تتشكل نتيجة تقاطع جوانب الشكل. مثل الوجوه، للحواف أيضًا نوعان مختلفان:

• أو تتشكل فقط من الجوانب؛
• أو تنشأ عند تقاطع متوازي الأضلاع وجانب القاعدة n.

وبالتالي فإن عدد الحواف يساوي 3*n، و2*n منها تنتمي إلى النوع الثاني من الأنواع المذكورة.

أنواع المنشور

هناك عدة طرق لتصنيف المنشورات. ومع ذلك، فهي جميعها تعتمد على سمتين لهذا الشكل:

• على نوع قاعدة الكربون ن.
• على نوع الجانب.

أولاً، دعونا ننتقل إلى الميزة الثانية ونعطي تعريفاً للخط المستقيم. إذا كان أحد الجوانب على الأقل متوازي أضلاع عام، فإن الشكل يسمى مائلًا أو مائلًا. إذا كانت جميع متوازيات الأضلاع مستطيلة أو مربعة، فسيكون المنشور مستقيمًا.

يمكن أيضًا إعطاء التعريف بشكل مختلف قليلاً: الشكل المستقيم هو منشور تكون حوافه الجانبية وأوجهه متعامدة مع قاعدته. يوضح الشكل شكلين رباعي الزوايا. اليسرى مستقيمة، واليمنى مائلة.

الآن دعنا ننتقل إلى التصنيف حسب نوع n-gon الموجود في القواعد. وقد يكون لها نفس الجوانب والزوايا أو مختلفة. في الحالة الأولى، يسمى المضلع منتظمًا. إذا كان الشكل المعني يحتوي في قاعدته على مضلع متساوي الأضلاع والزوايا ومستقيم، فإنه يسمى منتظمًا. وفقًا لهذا التعريف، يمكن أن يحتوي المنشور المنتظم في قاعدته على مثلث متساوي الأضلاع، أو مربع، أو خماسي منتظم أو مسدس، وما إلى ذلك. الأرقام العادية المذكورة معروضة في الشكل.

المعلمات الخطية للمنشورات

لوصف أحجام الأشكال المعنية، يتم استخدام المعلمات التالية:

• ارتفاع؛
• جوانب القاعدة
• طول الأضلاع الجانبية.
• الأقطار الحجمية
• أقطار الجوانب والقواعد.

بالنسبة للمنشورات العادية، كل هذه الكميات مرتبطة ببعضها البعض. على سبيل المثال، أطوال الأضلاع الجانبية هي نفسها وتساوي الارتفاع. بالنسبة إلى شكل منتظم ذو شكل n، هناك صيغ تسمح لك بتحديد جميع الأشكال الأخرى باستخدام أي معلمتين خطيتين.

سطح الشكل

إذا أشرنا إلى تعريف المنشور المذكور أعلاه، فلن يكون من الصعب فهم ما يمثله سطح الشكل. السطح هو مساحة كل الوجوه. بالنسبة للمنشور المستقيم يتم حسابه بواسطة الصيغة:

S = 2*S o + P o *h

حيث S o هي مساحة القاعدة، P o هو محيط n-gon عند القاعدة، h هو الارتفاع (المسافة بين القاعدتين).

حجم الشكل

جنبا إلى جنب مع السطح للتدريب، من المهم معرفة حجم المنشور. ويمكن تحديده باستخدام الصيغة التالية:

هذا التعبير صالح تمامًا لأي نوع من المنشورات، بما في ذلك المنشورات المائلة والمكونة من مضلعات غير منتظمة.

بالنسبة للأرقام الصحيحة، فهي دالة لطول جانب القاعدة وارتفاع الشكل. بالنسبة لمنشور n-gonal المقابل، فإن صيغة V لها شكل محدد.

في المناهج الدراسية لدورة القياس المجسم، تبدأ دراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد عادة بجسم هندسي بسيط - متعدد السطوح للمنشور. يتم تنفيذ دور قواعدها بواسطة مضلعين متساويين يقعان في مستويات متوازية. حالة خاصة هي المنشور الرباعي المنتظم. قاعدتاها عبارة عن رباعيين منتظمين متطابقين، تكون أضلاعهما متعامدة، ولها شكل متوازي الأضلاع (أو مستطيلات، إذا كان المنشور غير مائل).

كيف يبدو المنشور؟

المنشور الرباعي المنتظم هو شكل سداسي قاعدته مربعان، وأوجهه الجانبية ممثلة بمستطيلات. اسم آخر لهذا الشكل الهندسي هو متوازي السطوح المستقيم.

يظهر أدناه رسم يوضح المنشور الرباعي الزوايا.

يمكنك أيضا أن ترى في الصورة أهم العناصر التي يتكون منها الجسم الهندسي. وتشمل هذه:

في بعض الأحيان، في المسائل الهندسية، يمكنك أن تصادف مفهوم القسم. سيبدو التعريف كما يلي: القسم هو كل نقاط الجسم الحجمي التي تنتمي إلى مستوى القطع. يمكن أن يكون القسم متعامدًا (يتقاطع مع حواف الشكل بزاوية 90 درجة). بالنسبة للمنشور المستطيل، يؤخذ في الاعتبار أيضًا مقطع قطري (الحد الأقصى لعدد الأقسام التي يمكن بناؤها هو 2)، ويمر عبر حافتين وأقطار القاعدة.

إذا تم رسم المقطع بطريقة لا يكون فيها مستوى القطع موازيًا للقواعد أو للأوجه الجانبية، فإن النتيجة هي منشور مقطوع.

للعثور على العناصر المنشورية المختزلة، يتم استخدام العلاقات والصيغ المختلفة. بعضها معروف من خلال دورة قياس المساحة (على سبيل المثال، للعثور على مساحة قاعدة المنشور، يكفي أن نتذكر صيغة مساحة المربع).

المساحة السطحية والحجم

لتحديد حجم المنشور باستخدام الصيغة، عليك معرفة مساحة قاعدته وارتفاعه:

V = سباس ح

بما أن قاعدة المنشور الرباعي المنتظم هي مربع ذو ضلع أ،يمكنك كتابة الصيغة بشكل أكثر تفصيلاً:

الخامس = أ²·ح

إذا كنا نتحدث عن مكعب - منشور منتظم متساوي في الطول والعرض والارتفاع، يتم حساب الحجم على النحو التالي:

لفهم كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية للمنشور، عليك أن تتخيل تطورها.

من الرسم يتبين أن السطح الجانبي يتكون من 4 مستطيلات متساوية. يتم حساب مساحتها كمنتج محيط القاعدة وارتفاع الشكل:

الجانب = بوزن ح

مع الأخذ في الاعتبار أن محيط المربع يساوي ف = 4 أ،الصيغة تأخذ الشكل:

الجانب = 4 أ ح

للمكعب:

الجانب = 4 أ²

لحساب إجمالي مساحة سطح المنشور، تحتاج إلى إضافة منطقتين أساسيتين إلى المساحة الجانبية:

كامل = الجانب + 2Smain

بالنسبة للمنشور المنتظم رباعي الزوايا، تبدو الصيغة كما يلي:

الإجمالي = 4 أ ح + 2 أ²

بالنسبة لمساحة سطح المكعب:

سفول = 6 أ²

بمعرفة الحجم أو مساحة السطح، يمكنك حساب العناصر الفردية لجسم هندسي.

العثور على عناصر المنشور

غالبا ما تكون هناك مشاكل يتم فيها إعطاء الحجم أو معرفة قيمة مساحة السطح الجانبية، حيث من الضروري تحديد طول جانب القاعدة أو الارتفاع. في مثل هذه الحالات، يمكن اشتقاق الصيغ:

• طول الجانب الأساسي: أ = الجانب / 4h = √(V / h);
• الارتفاع أو طول الضلع الجانبي: ح = الجانب / 4أ = الخامس / أ²؛
• منطقة قاعدة: سباس = الخامس / ح؛
• منطقة الوجه الجانبية: جانب غرام = الجانب / 4.

لتحديد مقدار مساحة القسم القطري، عليك معرفة طول القطر وارتفاع الشكل. لمربع د = أ√2.لذلك:

سديج = اه√2

لحساب قطر المنشور، استخدم الصيغة:

dprize = √(2a² + h²)

لفهم كيفية تطبيق العلاقات المعطاة، يمكنك التدرب على عدة مهام بسيطة وحلها.

أمثلة على المشاكل مع الحلول

فيما يلي بعض المهام الموجودة في الامتحانات النهائية للدولة في الرياضيات.

التمرين 1.

يُسكب الرمل في صندوق على شكل منشور رباعي الزوايا منتظم. ارتفاع مستواها 10 سم، فماذا سيكون مستوى الرمل إذا نقلتها إلى وعاء من نفس الشكل، ولكن بقاعدة يبلغ طولها ضعف ذلك؟

وينبغي أن يكون مسببا على النحو التالي. ولم تتغير كمية الرمل في الوعاءين الأول والثاني، أي أن حجمه فيهما واحد. يمكنك الإشارة إلى طول القاعدة بواسطة أ. في هذه الحالة، بالنسبة للمربع الأول سيكون حجم المادة:

V₁ = هكتار² = 10أ²

بالنسبة للمربع الثاني، طول القاعدة هو 2 ألكن ارتفاع مستوى الرمال غير معروف:

V₂ = ح (2أ)² = 4 هكتار²

بسبب ال V₁ = V₂، يمكننا مساواة التعبيرات:

10 أ² = 4 هكتار²

وبعد تخفيض طرفي المعادلة بمقدار a² نحصل على:

ونتيجة لذلك، سيكون مستوى الرمال الجديد ح = 10 / 4 = 2.5سم.

المهمة 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ هو المنشور الصحيح. ومن المعروف أن BD = AB₁ = 6√2. أوجد المساحة السطحية الكلية للجسم.

لتسهيل فهم العناصر المعروفة، يمكنك رسم الشكل.

بما أننا نتحدث عن منشور منتظم، يمكننا أن نستنتج أنه عند القاعدة يوجد مربع قطره 6√2. قطري الوجه الجانبي له نفس الحجم، وبالتالي فإن الوجه الجانبي له أيضًا شكل مربع يساوي القاعدة. وتبين أن الأبعاد الثلاثة - الطول والعرض والارتفاع - متساوية. يمكننا أن نستنتج أن ABCDA₁B₁C₁D₁ هو مكعب.

يتم تحديد طول أي حافة من خلال قطري معروف:

أ = د / √2 = 6√2 / √2 = 6

تم العثور على إجمالي مساحة السطح باستخدام صيغة المكعب:

كامل = 6 أ² = 6 6² = 216

المهمة 3.

الغرفة قيد التجديد. ومن المعروف أن أرضيته على شكل مربع بمساحة 9 متر مربع. ارتفاع الغرفة 2.5 متر ما هي أقل تكلفة لورق الجدران للغرفة إذا كان 1 متر مربع يكلف 50 روبل؟

وبما أن الأرضية والسقف مربعان، أي رباعيان منتظمان، وجدرانه متعامدة على الأسطح الأفقية، فيمكننا أن نستنتج أنه منشور منتظم. من الضروري تحديد مساحة سطحه الجانبي.

طول الغرفة هو أ = √9 = 3م.

سيتم تغطية المنطقة بورق الجدران الجانب = 4 3 2.5 = 30 م².

ستكون أقل تكلفة لورق الحائط لهذه الغرفة 50·30 = 1500روبل

وبالتالي، لحل المسائل المتعلقة بمنشور مستطيل، يكفي أن تكون قادرًا على حساب مساحة ومحيط المربع والمستطيل، وكذلك معرفة الصيغ الخاصة بإيجاد الحجم ومساحة السطح.

كيفية العثور على مساحة المكعب

متعددات الوجوه

الهدف الرئيسي لدراسة القياس المجسم هو الأجسام المكانية. جسميمثل جزءًا من الفضاء محدودًا بسطح معين.

متعدد السطوحهو الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة. يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع مستوي على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح حافة. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة مسطحة. وتسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، والقمم هي رؤوس متعدد السطوح.

على سبيل المثال، يتكون المكعب من ستة مربعات، وهي وجوهه. ويحتوي على 12 حرفًا (جوانب المربعات) و8 رؤوس (قمم المربعات).

أبسط متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات، والتي سندرسها أكثر.

نشور زجاجي

تعريف وخصائص المنشور

نشور زجاجيهو متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان في مستويات متوازية يتم دمجهما عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. يتم استدعاء المضلعات قواعد المنشور، والأجزاء التي تربط القمم المقابلة للمضلعات هي الحواف الجانبية للمنشور.

ارتفاع المنشوروتسمى المسافة بين مستويات قواعدها (). يسمى الجزء الذي يربط بين رأسين منشور لا ينتميان إلى نفس الوجه قطري المنشور(). يسمى المنشور ن الكربون، إذا كانت قاعدته تحتوي على n-gon.

يتمتع أي منشور بالخصائص التالية، الناتجة عن حقيقة أن قواعد المنشور يتم دمجها عن طريق الترجمة المتوازية:

1. قاعدتا المنشور متساويتان.

2. الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

يتكون سطح المنشور من قواعد و السطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازيات الأضلاع (وهذا يتبع من خصائص المنشور). مساحة السطح الجانبي للمنشور هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية.

المنشور المستقيم

يسمى المنشور مستقيمإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القواعد. وإلا يسمى المنشور يميل.

وجوه المنشور الأيمن مستطيلة. ارتفاع المنشور المستقيم يساوي أوجهه الجانبية.

سطح المنشور الكاملويسمى مجموع مساحة السطح الجانبية ومساحات القواعد.

مع المنشور الصحيحيسمى المنشور القائم الذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.

نظرية 13.1. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي ناتج المحيط وارتفاع المنشور (أو، وهو نفس الشيء، بالحافة الجانبية).

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور القائم هي مستطيلات، قواعدها هي جوانب المضلعات عند قواعد المنشور، وارتفاعاتها هي الحواف الجانبية للمنشور. ومن ثم، بحكم التعريف، مساحة السطح الجانبية هي:

,

أين محيط قاعدة المنشور المستقيم؟

متوازي الأضلاع

إذا كانت متوازيات الأضلاع تقع على قاعدة منشور، فإنها تسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. في هذه الحالة، تكون الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

نظرية 13.2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

دليل. النظر في اثنين من الأقطار التعسفية، على سبيل المثال، و. لأن أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، ثم و، مما يعني أنه يوجد خطان مستقيمان موازيان للثالث. بالإضافة إلى ذلك، هذا يعني أن الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى (الطائرة). يتقاطع هذا المستوى مع مستويات متوازية وعلى طول خطوط متوازية و . وهكذا فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع، ومن خاصية متوازي الأضلاع أن أقطاره تتقاطع وتنقسم إلى نصفين بنقطة التقاطع، وهذا هو ما يحتاج إلى إثبات.

يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة متوازي مستطيل. جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات. تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لمتوازي السطوح المستطيل بأبعاده الخطية (الأبعاد). هناك ثلاثة أحجام من هذا القبيل (العرض والارتفاع والطول).

نظرية 13.3. في متوازي الأضلاع المستطيل، مربع أي قطر يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة (تم إثباته بتطبيق فيثاغورس تي مرتين).

يُسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تكون جميع أضلاعه متساوية مكعب.

مهام

13.1 كم عدد الأقطار؟ ن-منشور الكربون

13.2 في المنشور الثلاثي المائل، تكون المسافات بين الحواف الجانبية 37، 13، 40. أوجد المسافة بين الحافة الجانبية الأكبر والحافة الجانبية المقابلة.

13.3 يتم رسم مستوى من خلال جانب القاعدة السفلية لمنشور مثلثي منتظم، بحيث يتقاطع الأوجه الجانبية على طول الأجزاء بزاوية بينهما. أوجد زاوية ميل هذا المستوى إلى قاعدة المنشور.

تعريف.

هذا شكل سداسي، قاعدتاه مربعان متساويان، وأضلاعه مستطيلات متساوية

ضلع جانبي- هو الضلع المشترك لوجهين متجاورين

ارتفاع المنشور- هذه القطعة متعامدة مع قاعدتي المنشور

المنشور قطري- قطعة تربط بين رأسين من القواعد التي لا تنتمي إلى نفس الوجه

طائرة قطرية- المستوى الذي يمر عبر قطري المنشور وحوافه الجانبية

قسم قطري- حدود تقاطع المنشور والمستوى القطري. المقطع العرضي القطري للمنشور الرباعي المنتظم هو مستطيل

القسم العمودي (القسم المتعامد)- هذا هو تقاطع المنشور والمستوى المرسوم بشكل عمودي على حوافه الجانبية

عناصر المنشور الرباعي المنتظم

يوضح الشكل منشورين رباعيين منتظمين، يُشار إليهما بالحروف المقابلة:

• القاعدتان ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 متساويتان ومتوازيتان مع بعضهما البعض
• الوجوه الجانبية AA 1 D 1 D و AA 1 B 1 B و BB 1 C 1 C و CC 1 D 1 D وكل منها مستطيل
• السطح الجانبي - مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية للمنشور
• إجمالي السطح - مجموع مساحات جميع القواعد والأوجه الجانبية (مجموع مساحة السطح الجانبي والقواعد)
• الأضلاع الجانبية AA 1، BB 1، CC 1 و DD 1.
• قطري ب 1 د
• قاعدة قطرية BD
• القسم القطري BB 1 D 1 D
• المقطع العمودي أ 2 ب 2 ج 2 د 2.

خصائص المنشور الرباعي المنتظم

• القاعدتان عبارة عن مربعين متساويين
• القواعد متوازية مع بعضها البعض
• الوجوه الجانبية مستطيلة
• الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض
• الوجوه الجانبية متعامدة مع القواعد
• الأضلاع الجانبية متوازية مع بعضها البعض ومتساوية
• مقطع عمودي متعامد على جميع الأضلاع الجانبية ومتوازي مع القواعد
• زوايا المقطع المتعامد - مستقيمة
• المقطع العرضي القطري للمنشور الرباعي المنتظم مستطيل
• عمودي (مقطع متعامد) موازي للقواعد

صيغ المنشور الرباعي المنتظم

تعليمات لحل المشاكل

عند حل المشكلات حول الموضوع " المنشور الرباعي المنتظم" يعني أن:

المنشور الصحيح- منشور يوجد في قاعدته مضلع منتظم، وتكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات القاعدة. أي أن المنشور الرباعي المنتظم يحتوي على قاعدته مربع. (انظر خصائص المنشور الرباعي المنتظم أعلاه) ملحوظة. هذا جزء من درس يتعلق بالمسائل الهندسية (قسم القياس المجسم - المنشور). وهنا المشاكل التي يصعب حلها. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير موجودة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. للدلالة على إجراء استخراج الجذر التربيعي في حل المشاكل، يتم استخدام الرمز√ .

مهمة.

في منشور رباعي منتظم مساحة قاعدته 144 سم 2 وارتفاعه 14 سم أوجد قطر المنشور ومساحة سطحه الكلية.

حل.
الشكل الرباعي المنتظم هو مربع.
وبناء على ذلك، فإن جانب القاعدة سيكون متساويا

√144 = 12 سم.
من حيث سيساوي قطر قاعدة المنشور المستطيل المنتظم
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

يشكل قطر المنشور المنتظم مثلثًا قائمًا بقطر القاعدة وارتفاع المنشور. وفقًا لذلك، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن قطر المنشور الرباعي المنتظم المعطى سيكون مساويًا لـ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 سم

إجابة: 22 سم

مهمة

أوجد السطح الكلي لمنشور رباعي منتظم إذا كان قطره ٥ سم وقطر وجهه الجانبي ٤ سم.

حل.
بما أن قاعدة المنشور الرباعي المنتظم هي مربع، فإننا نجد جانب القاعدة (يشار إليه بـ a) باستخدام نظرية فيثاغورس:

أ 2 + أ 2 = 5 2
2أ 2 = 25
أ = √12.5

سيكون ارتفاع الوجه الجانبي (المشار إليه بـ h) مساويًا لـ:

ح 2 + 12.5 = 4 2
ح 2 + 12.5 = 16
ح 2 = 3.5
ح = √3.5

ستكون مساحة السطح الإجمالية مساوية لمجموع مساحة السطح الجانبية ومرتين مساحة القاعدة

ق = 2 أ 2 + 4 آه
س = 25 + 4√12.5 * √3.5
ص = 25 + 4√43.75
ص = 25 + 4√(175/4)
ص = 25 + 4√(7*25/4)
ق = 25 + 10√7 ≈ 51.46 سم2.

الإجابة: 25 + 10√7 ≈ 51.46 سم2.