كل ما تحتاج لمعرفته حول المنشور لاجتياز امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح (2020). المنشور الثلاثي جميع الصيغ والأمثلة على المسائل المنشور الثلاثي المستقيم

يجب على تلاميذ المدارس الذين يستعدون لإجراء امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات أن يتعلموا بالتأكيد كيفية حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحة المنشور المستقيم والمنتظم. تؤكد سنوات عديدة من الممارسة حقيقة أن العديد من الطلاب يعتبرون مثل هذه المهام الهندسية صعبة للغاية.

وفي الوقت نفسه، يجب أن يكون طلاب المدارس الثانوية الذين حصلوا على أي مستوى من التدريب قادرين على إيجاد مساحة وحجم المنشور المنتظم والمستقيم. في هذه الحالة فقط سيكون بإمكانهم الاعتماد على الحصول على درجات تنافسية بناءً على نتائج اجتياز امتحان الدولة الموحدة.

النقاط الرئيسية التي يجب تذكرها

• إذا كانت الحواف الجانبية للمنشور متعامدة مع القاعدة، فإنه يسمى خطًا مستقيمًا. جميع الوجوه الجانبية لهذا الشكل مستطيلة. يتزامن ارتفاع المنشور المستقيم مع حافته.
• المنشور المنتظم هو الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة التي يقع فيها المضلع المنتظم. الوجوه الجانبية لهذا الشكل مستطيلات متساوية. المنشور الصحيح يكون دائمًا مستقيمًا.

التحضير لامتحان الدولة الموحدة مع شكولكوفو هو مفتاح نجاحك!

لجعل دروسك سهلة وفعالة قدر الإمكان، اختر بوابة الرياضيات الخاصة بنا. ستجد هنا جميع المواد اللازمة التي ستساعدك على الاستعداد لاجتياز اختبار الشهادة.

يقترح المتخصصون في مشروع شكولكوفو التعليمي الانتقال من البسيط إلى المعقد: أولاً نعطي النظرية والصيغ الأساسية والنظريات والمشكلات الأولية مع الحلول، ثم ننتقل تدريجيًا إلى المهام على مستوى الخبراء.

يتم تنظيم المعلومات الأساسية وعرضها بوضوح في قسم "المعلومات النظرية". إذا كنت قد تمكنت بالفعل من تكرار المواد اللازمة، فنوصيك بالتدرب على حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحة وحجم المنشور الصحيح. يقدم قسم "الكتالوج" مجموعة كبيرة من التمارين بدرجات متفاوتة من الصعوبة.

حاول حساب مساحة المنشور المستقيم والمنتظم أو الآن. تحليل أي مهمة. إذا لم يسبب أي صعوبات، فيمكنك الانتقال بأمان إلى التدريبات على مستوى الخبراء. وإذا ظهرت بعض الصعوبات، نوصي بالتحضير بانتظام لامتحان الدولة الموحدة عبر الإنترنت مع بوابة شكولكوفو الرياضية، وستكون المهام المتعلقة بموضوع "المنشور المستقيم والمنتظم" سهلة بالنسبة لك.

الأشكال الهندسية في الفضاء هي موضوع دراسة القياس المجسم، الذي يأخذ مساره تلاميذ المدارس في المدرسة الثانوية. هذه المقالة مخصصة لمتعدد السطوح المثالي مثل المنشور. دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في خصائص المنشور ونقدم الصيغ التي تستخدم لوصفها كميًا.

ما هذا - المنشور؟

يتخيل الجميع كيف يبدو شكل المتوازي أو المكعب. كلا الشكلين منشوران. ومع ذلك، فإن فئة المنشورات أكثر تنوعًا. في الهندسة، يُعطى هذا الشكل التعريف التالي: المنشور هو أي متعدد وجوه في الفضاء يتكون من جانبين متعددي الأضلاع متوازيين ومتطابقين والعديد من متوازيات الأضلاع. تسمى الحواف المتوازية المتماثلة للشكل بقواعده (العلوية والسفلى). متوازيات الأضلاع هي الوجوه الجانبية للشكل الذي يربط جوانب القاعدة ببعضها البعض.

كنت قد تكون مهتمة في:

إذا تم تمثيل القاعدة بواسطة n-gon، حيث n عدد صحيح، فسيتكون الشكل من 2+n وجوه و2*n رؤوس و3*n حواف. تنتمي الوجوه والحواف إلى أحد نوعين: إما أن تنتمي إلى السطح الجانبي أو إلى القواعد. أما الرءوس فكلها متساوية وتتصل بقواعد المنشور.

أنواع شخصيات الفصل الذي تتم دراسته

عند دراسة خصائص المنشور، يجب عليك سرد الأنواع المحتملة لهذا الشكل:

• محدبة ومقعرة. والفرق بينهما هو شكل القاعدة المضلعة. إذا كان مقعرًا، فسيكون الشكل ثلاثي الأبعاد كذلك أيضًا، والعكس صحيح.
• مستقيم ومائل. المنشور المستقيم له وجوه جانبية تكون إما مستطيلة أو مربعة. في الشكل المائل، تكون الوجوه الجانبية متوازيات أضلاع من النوع العام أو المعين.
• الخطأ والصواب. لكي يكون الشكل الذي تتم دراسته صحيحا، يجب أن يكون مستقيما وله القاعدة الصحيحة. مثال على هذا الأخير هو الأشكال المسطحة مثل المثلث أو المربع متساوي الأضلاع.

يتم تشكيل اسم المنشور مع مراعاة التصنيف المدرج. على سبيل المثال، يسمى متوازي الأضلاع المذكور أعلاه بزوايا قائمة أو مكعب بمنشور رباعي الزوايا منتظم. المنشورات العادية، بسبب تماثلها العالي، ملائمة للدراسة. يتم التعبير عن خصائصها في شكل صيغ رياضية محددة.

منطقة المنشور

عندما نعتبر خاصية المنشور كمساحته، فإننا نعني المساحة الإجمالية لجميع وجوهه. أسهل طريقة لتخيل هذه القيمة هي فك الشكل، أي وضع كل الوجوه على مستوى واحد. يوضح الشكل أدناه مثالاً على تطور منشورين.

بالنسبة للمنشور التعسفي، يمكن كتابة صيغة منطقة تطويره بشكل عام على النحو التالي:

S = 2*لذا + ب*Psr.

دعونا نشرح التدوين. القيمة So هي مساحة قاعدة واحدة، b هو طول الحافة الجانبية، Psr هو محيط القطع، وهو متعامد مع متوازيات الأضلاع الجانبية للشكل.

غالبًا ما تُستخدم الصيغة المكتوبة لتحديد مساحات المنشورات المائلة. في حالة المنشور العادي، فإن التعبير عن S سيتخذ شكلاً محددًا:

S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a .

الحد الأول في التعبير يمثل مساحة قاعدتي المنشور المنتظم، والحد الثاني هو مساحة المستطيلات الجانبية. هنا a هو طول ضلع n-gon العادي. لاحظ أن طول الحافة الجانبية b للمنشور العادي هو أيضًا ارتفاعه h، لذلك في الصيغة b يمكن استبداله بـ h.

كيفية حساب حجم الشكل؟

المنشور هو متعدد السطوح بسيط نسبيًا ذو تناظر عالٍ. لذلك، لتحديد حجمه هناك صيغة بسيطة جدا. تبدو هكذا:

قد يكون حساب مساحة القاعدة والارتفاع أمرًا صعبًا عند النظر في شكل مائل غير منتظم. تم حل هذه المشكلة باستخدام التحليل الهندسي المتسلسل باستخدام معلومات حول الزوايا ثنائية السطوح بين متوازيات الأضلاع الجانبية والقاعدة.

إذا كان المنشور صحيحًا، فإن صيغة V تأخذ شكلًا محددًا للغاية:

V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.

كما ترون، يتم تحديد المساحة S والحجم V للمنشور العادي بشكل فريد إذا كانت المعلمتان الخطيتان معروفتان.

المنشور الثلاثي منتظم

دعونا نكمل المقال من خلال النظر في خصائص المنشور الثلاثي المنتظم. ويتكون من خمسة وجوه، ثلاثة منها مستطيلات (مربعات)، واثنان مثلثات متساوية الأضلاع. المنشور له ستة رؤوس وتسعة حواف. بالنسبة لهذا المنشور، يتم كتابة صيغ الحجم ومساحة السطح أدناه:

S3 = √3/2*a2 + 3*h*a

V3 = √3/4*a2*ح.

بالإضافة إلى هذه الخصائص، من المفيد أيضًا إعطاء صيغة لارتفاع قاعدة الشكل، والتي تمثل ارتفاع هكتار لمثلث متساوي الأضلاع:

جوانب المنشور مستطيلات متطابقة. أطوال أقطارها d متساوية:

د = √(أ2 + ح2).

إن معرفة الخصائص الهندسية للمنشور الثلاثي ليست ذات أهمية نظرية فحسب، بل هي ذات أهمية عملية أيضًا. والحقيقة هي أن هذا الشكل المصنوع من الزجاج البصري يستخدم لدراسة طيف انبعاث الأجسام.

عند مرور الضوء عبر المنشور الزجاجي، يتحلل الضوء إلى عدد من الألوان المكونة نتيجة لظاهرة التشتت، مما يخلق الظروف الملائمة لدراسة التركيب الطيفي للتدفق الكهرومغناطيسي.

المنشور الثلاثي المنتظم- منشور يوجد في قاعدته مثلثان منتظمان، وجميع أوجهه الجانبية متعامدة تمامًا مع هذه القواعد.

التسميات

• $ABCA_1B_1C_1$ - منشور ثلاثي منتظم
• $a$ - الطول الجانبي لقاعدة المنشور
• $h$ - طول الحافة الجانبية للمنشور
• $S_(\text(base))$ - مساحة قاعدة المنشور
• $V_(\text(prisms))$ - حجم المنشور

منطقة قاعدة المنشور

عند قاعدة المنشور الثلاثي المنتظم يوجد مثلث منتظم ضلعه $a$. وفقًا لخصائص المثلث العادي $$ S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 $$ وهكذا، يتبين أن $S_(ABC)= S_(A_1B_1C_1 )=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2$.

حجم المنشور

يتم حساب حجم المنشور على أنه حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه. ارتفاع المنشور العادي هو أي من حوافه الجانبية، على سبيل المثال، الحافة $AA_1$. عند قاعدة المنشور الثلاثي المنتظم يوجد مثلث منتظم مساحته معروفة لنا. نحصل على $$ V_(\text(prisms))=S_(\text(main))\cdot AA_1=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 \cdot h $$

العثور على دينار بحريني

BD هو ارتفاع المثلث المنتظم الذي يقع ضلعه $a$ عند قاعدة المنشور. وفقًا لخصائص المثلث المنتظم $$ BD=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a $$ وبالمثل، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن أطوال جميع الأقطار الأخرى لقواعد المنشور هي يساوي $\frac(\sqrt(3)) (2)\cdot a$.

ابحث عن $BD_1$

في المثلث $DBD_1$:

• $DB=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a$ - كما اكتشفنا للتو
• $DD_1=ح$
• $\angle BDD_1=90^(\circ)$ - لأن الخط $DD_1$ عمودي على المستوى $ABC$

ومن ثم يتبين أن المثلث $DBD_1$ قائم الزاوية. حسب خصائص المثلث القائم $$ BD_1=\sqrt(h^2+\frac(3)(4)\cdot a^2) $$ إذا كان $h=a$، فعندئذ $$ BD_1=\frac(\ sqrt( 7))(2)\cdot a $$

ابحث عن $BC_1$

في المثلث $CBC_1$:

• $CB=أ$
• $CC_1=ح$
• $\angle BCC_1=90^(\circ)$ - لأن الخط $CC_1$ عمودي على المستوى $ABC$

ومن ثم يتبين أن المثلث $CBC_1$ قائم الزاوية. حسب خصائص المثلث القائم $$ BC_1=\sqrt(h^2+a^2) $$ إذا كان $h=a$، فإن $$ BC_1=\sqrt(2)\cdot a $$ وبالمثل، نأتي لنستنتج أن أطوال جميع الأقطار الأخرى للأوجه الجانبية للمنشور تساوي $\sqrt(h^2+a^2)$.

في جميع المدارس، يأخذ طلاب المدارس الثانوية دورة في القياس المجسم، الذي يدرس خصائص الأشكال المكانية المختلفة. هذا المقال مخصص لدراسة خصائص أحد هذه الأشكال. دعونا نلقي نظرة على ماهية المنشور الثلاثي المنتظم.

المنشور في الهندسة

وفقًا للقياس المجسم، فهو شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من متوازي أضلاع n وقاعدتين متماثلتين n، حيث n عدد صحيح موجب. تقع كلتا القاعدتين في مستويات متوازية، وتربط متوازيات الأضلاع جوانبها في أزواج في شكل واحد.

يمكن الحصول على أي منشور بالطريقة التالية: خذ شكل n مسطح وحركه بالتوازي مع نفسه إلى مستوى آخر. في عملية تحريك رؤوس n-gon، سيتم رسم مقاطع n، والتي ستكون الحواف الجانبية للمنشور.

يمكن أن تكون المنشورات محدبة ومقعرة، مستقيمة ومائلة، منتظمة وغير منتظمة. تختلف كل هذه الأنواع من الأشكال عن بعضها البعض في شكل n-gons عند القاعدة، وكذلك موقعها بالنسبة للقطعة المتعامدة معها، والتي يكون طولها هو ارتفاع المنشور. يوضح الشكل أدناه مجموعة من المنشورات بأعداد مختلفة من زوايا القاعدة وعدد الأوجه الجانبية.

المنشور الثلاثي المنتظم

المنشور الأول في الصورة أعلاه هو منشور مثلثي منتظم. يتكون من مثلثين متساوي الأضلاع وثلاثة مستطيلات. المستطيل هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، وبالتالي فإن الشكل المعني يلبي التعريف المجسم المذكور سابقًا.

بالإضافة إلى الوجوه الخمسة، يتكون المنشور الثلاثي من ستة رؤوس تنتمي إلى القاعدتين، وتسعة حواف، ثلاثة منها جانبية.

من الخصائص المهمة للمنشور الثلاثي المنتظم أن ارتفاعه يتطابق مع طول الحافة الجانبية. وجميع هذه الحواف متساوية مع بعضها البعض، وتتقاطع المستطيلات الجانبية مع القواعد بزوايا قائمة. لاحظ أن الخطوط المستقيمة بين القواعد والأوجه الجانبية تجعل متوازيات الأضلاع للمنشور المائل تصبح مستطيلات في شكل مستقيم. من الواضح أنه عند أطوال معينة من الحواف، يمكن للمستطيلات أن تصبح مربعات.

الخصائص المهمة لأي شكل ثلاثي الأبعاد هي مساحة سطحه وحجم المساحة الموجودة فيه. المنشور قيد الدراسة ليس استثناءً، لذلك دعونا نلقي نظرة على خصائصه التفصيلية.

مساحة السطح

تتكون مساحة المنشور الثلاثي المنتظم من مساحة جميع أوجهه الخمسة. من المعروف أن مساحة الأشكال المكانية أسهل في النظر إليها ودراستها على المستوى، لذلك من الملائم إجراء تطوير للمنشور. هو مبين أدناه.

ويمثل التطور خمسة أشكال من نوعين، والتي كانت في المنشور وجوه.

لتحديد مساحة كل هذه الأشكال، نقدم الترميز التالي: نفترض أن طول ضلع القاعدة يساوي a، والارتفاع (طول الحافة الجانبية) يساوي h. مع مراعاة التدوين نحصل على مساحة مثلث واحد:

عند كتابة هذه الصيغة، تم استخدام التعبير القياسي لمساحة المثلث. مساحة المستطيل الواحد هي:

مع الأخذ في الاعتبار عدد المثلثات والمستطيلات (انظر الرسم البياني أعلاه)، نحصل على صيغة لمساحة السطح الإجمالية للشكل الهندسي قيد الدراسة:

ص = 2 × ق 3 + 3 × ق 4 = √3 / 2 × أ 2 + 3 × أ × ح

هنا يصف الحد الأول على الجانب الأيمن من المساواة مساحة القاعدتين، والحد الثاني يسمح لك بحساب مساحة سطح القاعدتين.

تذكر أن الصيغة التي تم الحصول عليها لـ S صالحة فقط للمنشور الثلاثي المنتظم المستقيم. إذا كنا نفكر في شكل مائل، فسيكون للتعبير عن S شكل مختلف.

صيغة لتحديد حجم الشكل

حجم أي شكل مكاني هو ذلك الجزء من الفضاء الذي تحده حواف متعدد السطوح. يمكن تحديد حجم أي منشور، بغض النظر عن شكل قاعدته وجوانبه، بالصيغة التالية:

أي أنه يكفي ضرب مساحة قاعدة واحدة في ارتفاع الشكل بأكمله للحصول على قيمة الحجم المطلوبة.

بالنسبة للمنشور الثلاثي المنتظم، نحصل على التعبير التالي لـ V:

V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h

تعتمد الصيغة المكتوبة لـ V، وكذلك التعبير لـ S في الفقرة السابقة، على معلمتين فقط من الشكل: الطولان a وh. وهذا يعني أن معرفة أي معلمتين خطيتين فقط يسمح لك بحساب جميع خصائص المنشور قيد الدراسة.

حل المشكلة

في الفيزياء، غالبًا ما يستخدم المنشور الثلاثي المنتظم المصنوع من الزجاج الصلب لتحليل التدفق الكهرومغناطيسي في المنطقة المرئية من الطيف إلى عدد من الترددات بغرض دراستها. من الضروري تحديد مقدار الزجاج المطلوب لصنع منشور بمساحة سطحية 300 سم2 وطول ضلع القاعدة 10 سم.

أولاً نحدد ارتفاع المنشور h. باستخدام صيغة S، لدينا:

س = √3 / 2 × أ 2 + 3 × أ × ح =>

h = (S - √3 / 2 × أ 2) / (3 × أ) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7.11 سم

وبما أننا نعرف قيم a و h، لتحديد حجم المنشور، سنستخدم صيغة V:

V = √3 / 4 × أ 2 × ح = √3 / 4 × 10 2 × 7.11 = 307.87 سم3

وبالتالي، لتصنيع المنشور الموصوف، ستحتاج إلى حوالي 308 سم 3 من الزجاج.