كل القيم خطيئة. قيم الدوال المثلثية

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

أولاً، اسمحوا لي أن أذكرك باستنتاج بسيط ولكنه مفيد للغاية من الدرس "ما هو الجيب وجيب التمام؟ ما هو الظل وظل التمام؟"

هذا هو الإخراج:

يرتبط جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام ارتباطًا وثيقًا بزواياهم. نحن نعرف شيئًا واحدًا، مما يعني أننا نعرف شيئًا آخر.

بمعنى آخر، كل زاوية لها جيب التمام وجيب التمام الثابت الخاص بها. وكل شخص تقريبًا لديه ظل التمام وظل التمام الخاص به. لماذا بالكاد؟المزيد عن هذا أدناه.

هذه المعرفة تساعد كثيرا في دراستك! هناك الكثير من المهام التي تحتاج فيها إلى الانتقال من الجيوب إلى الزوايا والعكس. لهذا هناك جدول الجيوب.وبالمثل، بالنسبة للمهام ذات جيب التمام - جدول جيب التمام.وكما كنت قد خمنت، هناك جدول الظلو جدول ظل التمام.)

الجداول مختلفة. الطويلة، حيث يمكنك رؤية ما يساوي، على سبيل المثال، sin37°6’. نفتح جداول براديس ونبحث عن زاوية مقدارها سبعة وثلاثون درجة وست دقائق ونرى القيمة 0.6032. من الواضح أنه ليست هناك حاجة على الإطلاق لتذكر هذا الرقم (وآلاف قيم الجدول الأخرى).

في الواقع، في عصرنا، ليست هناك حاجة حقًا إلى جداول طويلة من جيب التمام، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام. آلة حاسبة واحدة جيدة تحل محلها بالكامل. لكن لا يضر معرفة وجود مثل هذه الجداول. لسعة الاطلاع العامة.)

ولماذا هذا الدرس إذن؟! - أنت تسأل.

لكن لماذا. من بين العدد اللانهائي من الزوايا هناك خاص،والتي يجب أن تعرف عنها الجميع. جميع الهندسة المدرسية وعلم المثلثات مبنية على هذه الزوايا. هذا نوع من "جدول الضرب" في علم المثلثات. إذا كنت لا تعرف ما هي قيمة الخطيئة 50 درجة، على سبيل المثال، فلن يحكم عليك أحد.) ولكن إذا كنت لا تعرف ما هي قيمة الخطيئة 30 درجة، فكن مستعدًا للحصول على جائزتين بجدارة...

هذه خاصالزوايا هي أيضا جيدة جدا. عادة ما تقدم الكتب المدرسية الحفظ جدول الجيب وجدول جيب التماملسبعة عشر زاوية. وبالطبع، جدول الظل وجدول ظل التماملنفس الزوايا السبع عشرة... أي: يقترح أن نتذكر 68 القيم. وهي، بالمناسبة، متشابهة جدًا مع بعضها البعض، تكرر نفسها بين الحين والآخر وتغير الإشارات. بالنسبة لشخص ليس لديه ذاكرة بصرية كاملة، فهذه مهمة كبيرة...)

سنتخذ طريقًا مختلفًا. دعونا نستبدل الحفظ عن ظهر قلب بالمنطق والإبداع. ثم سيتعين علينا حفظ 3 (ثلاثة!) قيم لجدول الجيب وجدول جيب التمام. و3 (ثلاثة!) قيم لجدول الظلال وجدول ظل التمام. هذا كل شئ. ست قيم أسهل في التذكر من 68، على ما يبدو لي...)

آخر القيم المطلوبةسوف نخرج من هؤلاء الستة بمساعدة ورقة الغش القانونية القوية - الدائرة المثلثية. إذا لم تكن قد درست هذا الموضوع، فاتبع الرابط، ولا تكن كسولاً. هذه الدائرة ليست ضرورية لهذا الدرس فقط. إنه لا يمكن الاستغناء عنه لجميع علم المثلثات في وقت واحد. عدم استخدام مثل هذه الأداة هو مجرد خطيئة! انت لا تريد؟ هذا هو عملك حفظ جدول الجيوب. جدول جيب التمام. جدول الظلال. جدول ظل التمام.جميع القيم 68 لمجموعة متنوعة من الزوايا.)

لذلك، دعونا نبدأ. أولاً، دعونا نقسم كل هذه الزوايا الخاصة إلى ثلاث مجموعات.

المجموعة الأولى من الزوايا.

دعونا نفكر في المجموعة الأولى سبعة عشر زاوية خاص. هذه هي 5 زوايا: 0 درجة، 90 درجة، 180 درجة، 270 درجة، 360 درجة.

هذا ما يبدو عليه جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لهذه الزوايا:

زاوية س (على درجات)	0	90	180	270	360
زاوية س (بالراديان)	0
الخطيئة س	0	1	0	-1	0
كوس س	1	0	-1	0	1
تيراغرام س	0	اسم	0	اسم	0
سي تي جي ×	اسم	0	اسم	0	اسم

ومن أراد أن يتذكر فليتذكر. لكنني سأقول على الفور أن كل هذه الآحاد والأصفار مرتبكة جدًا في الرأس. أقوى بكثير مما تريد.) لذلك نقوم بتشغيل المنطق والدائرة المثلثية.

نرسم دائرة ونحدد عليها نفس الزوايا: 0°، 90°، 180°، 270°، 360°. قمت بتمييز هذه الزوايا بنقاط حمراء:

من الواضح على الفور ما هو المميز في هذه الزوايا. نعم! هذه هي الزوايا التي تسقط بالضبط على محور الإحداثيات!في الواقع، لهذا السبب يرتبك الناس... لكننا لن نرتبك. دعونا نتعرف على كيفية العثور على الدوال المثلثية لهذه الزوايا دون حفظ الكثير.

بالمناسبة، موضع الزاوية هو 0 درجة يتزامن تمامامع وضع زاوية 360 درجة. وهذا يعني أن الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزوايا هي نفسها تمامًا. لقد حددت زاوية 360 درجة لإكمال الدائرة.

لنفترض، في البيئة الصعبة والمجهدة لامتحان الدولة الموحدة، أنك شككت بطريقة ما... لماذا يساوي جيب 0 درجة؟ يبدو وكأنه صفر... وماذا لو كان واحداً؟! الحفظ الميكانيكي هو شيء من هذا القبيل. وفي الظروف القاسية تبدأ الشكوك تنخر...)

اهدأ، اهدأ فقط!) سأخبرك تقنية عمليةوالتي ستعطي إجابة صحيحة بنسبة 100٪ وتزيل كل الشكوك تمامًا.

على سبيل المثال، دعونا نتعرف على كيفية تحديد جيب الزاوية 0 درجة بشكل واضح وموثوق. وفي الوقت نفسه، جيب التمام 0. ومن الغريب أن الناس غالبًا ما يشعرون بالارتباك في هذه القيم.

للقيام بذلك، ارسم على دائرة اِعتِباطِيّركن X. وفي الربع الأول كانت قريبة من 0 درجة. دعونا نحدد جيب وجيب التمام لهذه الزاوية على المحاور X،كل شيء على ما يرام. مثله:

والآن - انتبه! دعونا نقلل الزاوية X، اجعل الجانب المتحرك أقرب إلى المحور أوه. حرك مؤشر الماوس فوق الصورة (أو اضغط على الصورة على جهازك اللوحي) وسترى كل شيء.

الآن دعونا ننتقل إلى المنطق الأولي!فلننظر ونفكر: كيف يتصرف sinx عندما تتناقص الزاوية x؟ عندما تقترب الزاوية من الصفر؟انها تتقلص! والكوسكس يزيد!يبقى أن نعرف ماذا سيحدث للجيب عندما تنهار الزاوية تمامًا؟ متى يستقر الضلع المتحرك للزاوية (النقطة A) على المحور OX وتصبح الزاوية صفراً؟ ومن الواضح أن جيب الزاوية سوف يذهب إلى الصفر. وسيزيد جيب التمام إلى... إلى... ما طول الضلع المتحرك للزاوية (نصف قطر الدائرة المثلثية)؟ واحد!

هنا هو الجواب. جيب تمام 0 درجة يساوي 0. جيب تمام 0 درجة يساوي 1. حديد تمامًا وبدون أي شك!) ببساطة لأنه بخلاف ذلك لا يمكن أن تكون.

بنفس الطريقة تمامًا، يمكنك معرفة (أو توضيح) جيب الزاوية 270 درجة، على سبيل المثال. أو جيب التمام 180. ارسم دائرة، اِعتِباطِيّزاوية في الربع بجوار محور الإحداثيات الذي يهمنا، حرك جانب الزاوية عقليًا وافهم ما سيصبح عليه الجيب وجيب التمام عندما يقع جانب الزاوية على المحور. هذا كل شئ.

كما ترون، ليست هناك حاجة لحفظ أي شيء لهذه المجموعة من الزوايا. ليست هناك حاجة هنا جدول الجيوب...نعم و جدول جيب التمام- أيضًا.) بالمناسبة، بعد عدة استخدامات للدائرة المثلثية، سيتم تذكر كل هذه القيم من تلقاء نفسها. وإذا نسوا رسمت دائرة في 5 ثواني ووضحتها. أسهل بكثير من الاتصال بصديق من المرحاض والمخاطرة بشهادتك، أليس كذلك؟)

أما بالنسبة للظل وظل التمام، فكل شيء هو نفسه. نرسم خط ظل (ظل التمام) على الدائرة - وكل شيء مرئي على الفور. حيث تساوي الصفر، وحيث لا وجود لها. ماذا، ألا تعرف عن خطوط المماس وظل التمام؟ هذا أمر محزن، لكنه قابل للإصلاح.) قمنا بزيارة القسم 555 ظل وظل التمام على الدائرة المثلثية - ولا توجد مشاكل!

إذا كنت قد اكتشفت كيفية تحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لهذه الزوايا الخمس بوضوح، تهانينا! فقط في حالة إبلاغك أنه يمكنك الآن تحديد الوظائف أي الزوايا الساقطة على المحاور.وهذه هي 450 درجة، و540 درجة، و1800 درجة، وعدد لا حصر له من الآخرين...) لقد حسبت (بشكل صحيح!) الزاوية الموجودة على الدائرة - ولا توجد مشاكل في الوظائف.

ولكن بالتحديد مع قياس الزوايا تحدث المشاكل والأخطاء... كيفية تجنبها مكتوبة في الدرس: كيفية رسم (عد) أي زاوية على دائرة مثلثية بالدرجات. ابتدائية ولكنها مفيدة جدًا في مكافحة الأخطاء.)

إليك درسًا: كيفية رسم (قياس) أي زاوية على دائرة مثلثية بالراديان - سيكون الأمر أكثر روعة. من حيث الإمكانيات. لنفترض أننا حددنا على أي من أنصاف المحاور الأربعة تقع الزاوية

يمكنك القيام بذلك في بضع ثوان. أنا لا أمزح! فقط في بضع ثوان. حسنًا، بالطبع، ليس فقط 345 بي...) و121 و16 و-1345. أي معامل عدد صحيح مناسب للإجابة الفورية.

وإذا الزاوية

فقط فكر! يتم الحصول على الإجابة الصحيحة في 10 ثانية لأي قيمة كسريةراديان مع اثنين في المقام.

في الواقع، هذا هو الشيء الجيد في الأمر دائرة مثلثية. لأن القدرة على العمل مع بعضالزوايا التي تتوسع إليها تلقائيًا مجموعة لا نهائية زوايا

إذن، نكون قد فرزنا خمس زوايا من سبعة عشر.

المجموعة الثانية من الزوايا.

المجموعة التاليةالزوايا هي زوايا 30 درجة، 45 درجة و 60 درجة. لماذا بالضبط هذه، وليس، على سبيل المثال، 20 و 50 و 80؟ نعم، بطريقة ما اتضح الأمر بهذه الطريقة... تاريخيًا.) علاوة على ذلك سنرى لماذا هذه الزوايا جيدة.

يبدو جدول جيب التمام وظل التمام لهذه الزوايا كما يلي:

زاوية س (على درجات)	0	30	45	60	90
زاوية س (بالراديان)	0
الخطيئة س	0				1
كوس س	1				0
تيراغرام س	0		1		اسم
سي تي جي ×	اسم		1		0

لقد تركت القيمتين 0° و 90° من الجدول السابق لتكتمل الصورة.) لكي ترى أن هذه الزوايا تقع في الربع الأول وتزداد. من 0 إلى 90. سيكون هذا مفيدًا لنا لاحقًا.

يجب تذكر قيم الجدول للزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة. احفظها إذا أردت. ولكن هنا أيضًا هناك فرصة لجعل حياتك أسهل.) انتبه إلى ذلك قيم الجدول الجيبيةهذه الزوايا. وقارن مع قيم جدول جيب التمام...

نعم! هم نفس!موجود فقط في ترتيب عكسي. زيادة الزوايا (0، 30، 45، 60، 90) - وقيم الجيب يزيدمن 0 إلى 1. يمكنك التحقق باستخدام الآلة الحاسبة. وقيم جيب التمام هي تتناقصمن 1 إلى الصفر. علاوة على ذلك، القيم نفسها نفس.بالنسبة للزوايا 20، 50، 80 هذا لن ينجح...

وهذا هو الاستنتاج المفيد. يكفي أن نتعلم ثلاثةقيم الزوايا 30، 45، 60 درجة. وتذكر أنهم يزيدون على جيب التمام وينقصون على جيب التمام. نحو جيب التمام.) يلتقيان في منتصف الطريق (45 درجة)، أي أن جيب 45 درجة يساوي جيب تمام 45 درجة. ومن ثم يتباعدان مرة أخرى... يمكن تعلم ثلاثة معانٍ، أليس كذلك؟

مع الظلال - ظل التمام، الصورة هي نفسها تمامًا. واحد لواحد. فقط المعاني مختلفة. هذه القيم (ثلاثة أخرى!) تحتاج أيضًا إلى تعلمها.

حسنا، تقريبا كل الحفظ قد انتهى. لقد فهمت (نأمل) كيفية تحديد قيم الزوايا الخمس الواقعة على المحور وتعلمت قيم الزوايا 30، 45، 60 درجة. المجموع 8.

يبقى التعامل مع المجموعة الأخيرة المكونة من 9 زوايا.

وهذه هي الزوايا:
120 درجة؛ 135 درجة؛ 150 درجة؛ 210 درجة؛ 225 درجة؛ 240 درجة؛ 300 درجة؛ 315 درجة؛ 330 درجة. بالنسبة لهذه الزوايا، عليك أن تعرف جدول الجيب، وجدول جيب التمام، وما إلى ذلك.

كابوس أليس كذلك؟)

وإذا أضفت زوايا هنا، مثل: 405 درجة، أو 600 درجة، أو 3000 درجة والعديد والعديد من الزوايا الجميلة المتساوية؟)

أو الزوايا بالراديان؟ على سبيل المثال، حول الزوايا:

وغيرها الكثير يجب أن تعرف الجميع.

الشيء المضحك هو معرفة هذا الجميع - مستحيل من حيث المبدأ.إذا كنت تستخدم الذاكرة الميكانيكية.

وهذا أمر سهل للغاية، بل إنه في الحقيقة أمر بدائي - إذا كنت تستخدم دائرة مثلثية. بمجرد أن تتقن التعامل مع الدائرة المثلثية، يمكن بسهولة وبطريقة أنيقة اختزال كل تلك الزوايا المخيفة بالدرجات إلى الزوايا القديمة الجيدة:

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. من أجل الحصول على فهم جيد لهذه المفاهيم المعقدة التي تبدو للوهلة الأولى (والتي تسبب حالة من الرعب لدى العديد من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس فظيعًا كما هو مرسوم"، فلنبدأ من بداية جدًا وفهم مفهوم الزاوية.

مفهوم الزاوية: راديان، درجة

دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.

ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!

يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.

تسمى الزاوية (درجة واحدة). الزاوية المركزيةفي دائرة، مبنية على قوس دائري يساوي جزءاً من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.

أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.

الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.

إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي الطولأقواس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:

أين الزاوية المركزية بالراديان؟

حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:

حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.

كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!

فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:

تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:

المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية

لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، سوف يساعدنا المثلث الأيمن.

ماذا تسمى الجوانب؟ مثلث قائم؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاورتان لهما). زاوية مستقيمة)، وإذا نظرنا إلى الساقين بالنسبة إلى الزاوية، فإن الساق هي الساق المجاورة، والساق هي العكس. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما المقصود بجيب الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟

جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).

في مثلثنا.

ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

في مثلثنا.

هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:

جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛

ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.

بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.

إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!

بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.

حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.

دائرة الوحدة (المثلثية).

من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.

كما ترون، تم بناء هذه الدائرة في النظام الديكارتيالإحداثيات نصف قطر الدائرة يساوي واحد، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، فإن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر ثابت على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).

كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثي المحور وإحداثي المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.

ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:

ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:

إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.

ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.

ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:

ما الذي تغير في في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار مثلثًا قائمًا: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المناسبة الدوال المثلثية:

حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.

لقد ذكرنا بالفعل أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، سوف تحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

في الحالة الثانية، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.

الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)

الآن، معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدامها دائرة الوحدةحاول الإجابة على ما هي القيم:

إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:

تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:

ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:

غير موجود؛

علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.

الإجابات:

غير موجود

غير موجود

غير موجود

غير موجود

وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:

ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:

لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:

لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا كافٍ تحفيظ بسيطالقيم المقابلة:

لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:

مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " وسيتطابق المقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.

إحداثيات نقطة على الدائرة

هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?

حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها صيغة عامةللعثور على إحداثيات نقطة.

على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:

لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.

كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:

ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.

وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،

لذلك، في منظر عاميتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:

إحداثيات مركز الدائرة،

نصف قطر الدائرة,

زاوية دوران نصف قطر المتجه.

كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:

حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟

1. ابحث عن إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

هل تواجه صعوبة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟

قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!

1.

يمكنك ملاحظة ذلك. لكننا نعرف ما يقابل الثورة الكاملة لنقطة البداية. هكذا، النقطة المطلوبةسيكون في نفس الوضع عند التشغيل. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

2. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. نحن نعرف ما يتوافق مع اثنين السرعة الكاملةنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

جيب وجيب التمام هي قيم الجدول. ونتذكر معانيها ونحصل على:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

3. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. دعونا نصور المثال المعني في الشكل:

نصف القطر يجعل الزوايا متساوية مع المحور ومعه. مع العلم أن قيمتي جيب التمام والجيب متساويتان في الجدول، وبعد تحديد أن جيب التمام هنا يأخذ قيمة سالبة والجيب يأخذ قيمة موجبة، لدينا:

المزيد من التفاصيل أمثلة مماثلةيتم فهمها عند دراسة صيغ تقليل الدوال المثلثية في الموضوع.

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

4.

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة)

لتحديد العلامات المقابلة للجيب وجيب التمام، نقوم ببناء دائرة الوحدة والزاوية:

كما ترون، القيمة، أي موجبة، والقيمة، أي، سلبية. وبمعرفة القيم الجدولية للدوال المثلثية المقابلة نحصل على ما يلي:

دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغتنا ونجد الإحداثيات:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

5. لحل هذه المشكلة، نستخدم الصيغ في الصورة العامة، حيث

إحداثيات مركز الدائرة (في مثالنا،

نصف قطر الدائرة (حسب الحالة)

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة).

دعنا نستبدل جميع القيم في الصيغة ونحصل على:

و - قيم الجدول. دعونا نتذكرها ونستبدلها في الصيغة:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

الملخص والصيغ الأساسية

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).

ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

جدول قيم الدوال المثلثية

يتم تجميع جدول قيم الدوال المثلثية للزوايا 0 و30 و45 و60 و90 و180 و270 و360 درجة وقيم الزوايا المقابلة بالراديان. من بين الدوال المثلثية، يوضح الجدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام. لراحة الحل أمثلة المدرسةتتم كتابة قيم الدوال المثلثية في الجدول على شكل كسر، مع الحفاظ على علامات استخراج الجذر التربيعي للأرقام، مما يساعد في كثير من الأحيان على تقليل التعبيرات الرياضية المعقدة. بالنسبة للظل وظل التمام، لا يمكن تحديد قيم بعض الزوايا. بالنسبة لقيم الظل وظل التمام لهذه الزوايا، توجد شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية. ومن المقبول عمومًا أن ظل وظل التمام لهذه الزوايا يساوي اللانهاية. توجد في صفحة منفصلة صيغ لتقليل الدوال المثلثية.

جدول قيم دالة الجيب المثلثية يوضح قيم الزوايا التالية: sin 0، sin 30، sin 45، sin 60، sin 90، sin 180، sin 270، sin 360 in قياس درجة، والذي يتوافق مع الخطيئة 0 pi، الخطيئة pi/6، الخطيئة pi/4، الخطيئة pi/3، الخطيئة pi/2، الخطيئة pi، الخطيئة 3 pi/2، الخطيئة 2 pi في قياس زاوية الراديان. طاولة المدرسةالجيوب الأنفية.

بالنسبة لدالة جيب التمام المثلثية، يوضح الجدول قيم الزوايا التالية: cos 0، cos 30، cos 45، cos 60، cos 90، cos 180، cos 270، cos 360 بالدرجات، وهو ما يتوافق مع cos 0 pi ، cos pi على 6، cos pi على 4، cos pi على 3، cos pi على 2، cos pi، cos 3 pi على 2، cos 2 pi بقياس راديان للزوايا. الجدول المدرسي لجيب التمام.

يعطي الجدول المثلثي لدالة الظل المثلثية قيمًا للزوايا التالية: tg 0، tg 30، tg 45، tg 60، tg 180، tg 360 في قياس الدرجة، وهو ما يتوافق مع tg 0 pi، tg pi/6، tg pi/4، tg pi/3، tg pi، tg 2 pi في قياس راديان للزوايا. القيم التاليةلم يتم تعريف دوال الظل المثلثية tan 90، tan 270، tan pi/2، tan 3 pi/2 وتعتبر مساوية لما لا نهاية.

بالنسبة للدالة المثلثية ظل التمام في الجدول المثلثي، يتم إعطاء قيم الزوايا التالية: ctg 30، ctg 45، ctg 60، ctg 90، ctg 270 في قياس الدرجة، وهو ما يتوافق مع ctg pi/6، ctg pi/4 ، ctg pi/3، tg pi/ 2، tan 3 pi/2 بقياس راديان للزوايا. لم يتم تعريف القيم التالية لدوال ظل التمام المثلثية ctg 0، ctg 180، ctg 360، ctg 0 pi، ctg pi، ctg 2 pi وتعتبر مساوية لما لا نهاية.

يتم إعطاء قيم الدوال المثلثية القاطعة وقاطعة التمام لنفس الزوايا بالدرجات والراديان مثل الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

يوضح جدول قيم الدوال المثلثية للزوايا غير القياسية قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا بالدرجات 15، 18، 22.5، 36، 54، 67.5 72 درجة وبالراديان pi/12 ، بي/10، بي/ 8، بي/5، 3بي/8، 2بي/5 راديان. يتم التعبير عن قيم الدوال المثلثية من حيث الكسور والجذور التربيعية لتسهيل تبسيط الكسور في الأمثلة المدرسية.

ثلاثة وحوش أخرى في علم المثلثات. الأول هو ظل 1.5 درجة ونصف أو باي مقسومًا على 120. والثاني هو جيب تمام باي مقسومًا على 240، باي/240. الأطول هو جيب تمام pi مقسومًا على 17، pi/17.

تمثل الدائرة المثلثية لقيم وظائف الجيب وجيب التمام بصريًا علامات الجيب وجيب التمام اعتمادًا على حجم الزاوية. خاصة بالنسبة للشقراوات، يتم وضع خط تحت قيم جيب التمام بشرطة خضراء لتقليل الارتباك. يتم أيضًا عرض تحويل الدرجات إلى الراديان بشكل واضح جدًا عند التعبير عن الراديان بدلالة pi.

يعرض هذا الجدول المثلثي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا من 0 صفر إلى 90 درجة على فترات من درجة واحدة. بالنسبة للخمسة وأربعين درجة الأولى، ينبغي النظر إلى أسماء الدوال المثلثية في أعلى الجدول. يحتوي العمود الأول على الدرجات، ويتم كتابة قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الأعمدة الأربعة التالية.

بالنسبة للزوايا من خمسة وأربعين درجة إلى تسعين درجة، تكتب أسماء الدوال المثلثية في أسفل الجدول. يحتوي العمود الأخير على درجات جيب التمام، وجيب التمام، وظل التمام، وظلال التمام مكتوبة في الأعمدة الأربعة السابقة. يجب الحذر لأن أسماء الدوال المثلثية الموجودة أسفل الجدول المثلثي تختلف عن الأسماء الموجودة أعلى الجدول. يتم تبادل الجيوب وجيب التمام، تمامًا مثل الظل وظل التمام. ويرجع ذلك إلى تماثل قيم الدوال المثلثية.

تظهر علامات الدوال المثلثية في الشكل أعلاه. جيب لديه قيم موجبة من 0 إلى 180 درجة، أو 0 إلى باي. القيم السلبيةجيب لديه 180 إلى 360 درجة أو بي إلى 2 بي. تكون قيم جيب التمام موجبة من 0 إلى 90 ومن 270 إلى 360 درجة، أو من 0 إلى 1/2 pi و3/2 إلى 2 pi. الظل و ظل التمام لهما قيم موجبة من 0 إلى 90 درجة ومن 180 إلى 270 درجة، المقابلة للقيم من 0 إلى 1/2 pi و pi إلى 3/2 pi. القيم السالبة للظل وظل التمام هي من 90 إلى 180 درجة ومن 270 إلى 360 درجة، أو من 1/2 pi إلى pi ومن 3/2 pi إلى 2 pi. عند تحديد علامات الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 360 درجة أو 2pi، يجب عليك استخدام خصائص دورية هذه الدوال.

الدوال المثلثية الجيب والظل وظل التمام هي دوال فردية. قيم هذه الدوال للزوايا السالبة ستكون سالبة. جيب التمام هو دالة مثلثية زوجية - قيمة جيب التمام زاوية سلبيةسيكون إيجابيا. يجب اتباع قواعد الإشارة عند ضرب وقسمة الدوال المثلثية.

1. يوضح جدول قيم دالة الجيب المثلثية قيم الزوايا التالية

   وثيقة

   توجد صيغ التخفيض في صفحة منفصلة حساب المثاثاتالمهام. في طاولةقيملحساب المثاثاتالمهامالتجويفمنحقيملالأتىزوايا: الخطيئة 0، الخطيئة 30، الخطيئة 45 ...

2. الجهاز الرياضي المقترح عبارة عن تماثل كامل لحساب التفاضل والتكامل المعقد للأعداد المفرطة التعقيد ذات الأبعاد n مع أي عدد من درجات الحرية n وهو مخصص للنمذجة الرياضية للأعداد غير الخطية

   وثيقة

   ... المهاميساوي المهامالصور. من هذه النظرية يجب، ماذا لالعثور على الإحداثيات U، V، يكفي لحساب وظيفة... الهندسة؛ بولينار المهام(نظائرها متعددة الأبعاد ثنائية الأبعاد حساب المثاثاتالمهام)، خصائصهم، الجداولوالتطبيق؛ ...

3. في القرن الخامس قبل الميلاد، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مفارقاته الشهيرة، وأشهرها مفارقات “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

   لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

   أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ...وتستمر المناقشات حتى يومنا هذا، للتوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات المجتمع العلميوحتى الآن لم يكن ذلك ممكنا... لقد شاركنا في دراسة الموضوع التحليل الرياضي، نظرية المجموعات، والمناهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة؛ ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

   من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد، أو لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. من وجهة نظر مادية، يبدو أن الوقت يتباطأ إلى حده نقطةفي اللحظة التي يصل فيها أخيل إلى السلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

   إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. أخيل يركض مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. وإذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، فمن الصحيح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

   كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقى في وحدات ثابتةقياسات الزمن ولا تذهب إلى الكميات المتبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

   في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية المساوية للأولى، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

   يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن الأمر ليس كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

   تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

   السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

   في هذه aporia مفارقة منطقيةيمكن التغلب عليه بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة، لكن لا يمكنك تحديد المسافة منهما. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين مأخوذتين منها نقاط مختلفةالفضاء في وقت ما، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية لإجراء العمليات الحسابية، وسوف يساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه انتباه خاص، هو أن النقطتين في الزمان ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

   الأربعاء 4 يوليو 2018

   تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

   كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. وهذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة، التي لا ذكاء لها من كلمة "تماماً". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

   في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

   مهما اختبأ علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي أنا في البيت" أو بالأحرى "دراسات الرياضيات" المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بالواقع بشكل لا ينفصم. هذا الحبل السري هو المال. تقدم بطلبك النظرية الرياضيةمجموعات لعلماء الرياضيات أنفسهم.

   لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة الراتب الحسابي". دعونا نوضح لعالم الرياضيات أنه لن يحصل على الأوراق النقدية المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

   بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: هناك عملات معدنية مختلفة كميات مختلفةطين، الهيكل البلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد من نوعه...

   والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

   انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم من نفس المنطقةمجالات. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

   لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي عبارة "لا يمكن تصورها كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصورها ككل واحد".

   الأحد 18 مارس 2018

   مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

   هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي الرموز الرسوميةالتي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

   دعونا نكتشف ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع أرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

   1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

   2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

   3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

   4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

   مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

   من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذلك، في أنظمة مختلفةفي حساب التفاضل والتكامل، سيكون مجموع أرقام نفس العدد مختلفا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي، فلننظر إلى الرقم 26 من المقالة التي تتحدث عن . لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

   كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

   يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

   يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. ففي نهاية المطاف، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

   ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة العملية الرياضية على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة وعلى من يقوم بهذا الإجراء.
   

   التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

   أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
   - شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحببة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

   أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

   إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

   إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

   أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). وأنا لا أعتقد أن هذه الفتاة غبية، لا على دراية بالفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوية لإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

   1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

   علم المثلثات، كعلم، نشأ في الشرق القديم. تم استخلاص النسب المثلثية الأولى من قبل علماء الفلك لإنشاء تقويم دقيق واتجاه للنجوم. هذه الحسابات المتعلقة علم المثلثات الكروية، بينما في دورة المدرسةدراسة نسب أضلاع وزوايا المثلث المستوي.

   علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع خصائص الدوال المثلثية والعلاقات بين أضلاع المثلثات وزواياها.

   وفي ذروة الثقافة والعلم في الألفية الأولى الميلادية، انتشرت المعرفة من الشرق القديمإلى اليونان. لكن الاكتشافات الرئيسية في علم المثلثات هي فضل رجال الخلافة العربية. وعلى وجه الخصوص، قدم العالم التركماني المرزوي دوال مثل الظل وظل التمام، وقام بتجميع الجداول الأولى لقيم الجيب والظل وظل التمام. تم تقديم مفاهيم الجيب وجيب التمام من قبل العلماء الهنود. حظي علم المثلثات باهتمام كبير في أعمال شخصيات عظيمة في العصور القديمة مثل إقليدس وأرخميدس وإراتوستينس.

   الكميات الأساسية لعلم المثلثات

   الدوال المثلثية الأساسية حجة رقمية- هذه هي جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. كل واحد منهم لديه الرسم البياني الخاص به: الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام.

   تعتمد صيغ حساب قيم هذه الكميات على نظرية فيثاغورس. ومن المعروف أكثر لدى تلاميذ المدارس في الصياغة: "السراويل فيثاغورس متساوية في جميع الاتجاهات"، حيث يتم تقديم الدليل باستخدام مثال المثلث القائم متساوي الساقين.

   جيب التمام وجيب التمام والتبعيات الأخرى تحدد العلاقة بين زوايا حادةوجوانب أي مثلث قائم الزاوية. دعونا نقدم صيغًا لحساب هذه الكميات للزاوية A وتتبع العلاقات بين الدوال المثلثية:

   

   كما ترون، tg وctg هما وظائف عكسية. إذا تخيلنا الساق كما خطيئة المنتج A والوتر c، والساق b في الشكل cos A * c، نحصل على الصيغ التالية للظل وظل التمام:

   

   الدائرة المثلثية

   بيانياً يمكن تمثيل العلاقة بين الكميات المذكورة كما يلي:

   

   محيط، في في هذه الحالةيمثل جميع القيم الممكنة للزاوية α - من 0 درجة إلى 360 درجة. كما يتبين من الشكل، كل دالة تأخذ قيمة سالبة أو قيمة إيجابيةحسب حجم الزاوية . على سبيل المثال، سيكون لـ sin α علامة "+" إذا كانت α تنتمي إلى الربعين الأول والثاني من الدائرة، أي أنها تقع في النطاق من 0° إلى 180°. بالنسبة لـ α من 180° إلى 360° (الربعين الثالث والرابع)، يمكن أن تكون sin α قيمة سالبة فقط.

   دعونا نحاول بناء جداول مثلثية لزوايا محددة ومعرفة معنى الكميات.

   

   تسمى قيم α التي تساوي 30 درجة، 45 درجة، 60 درجة، 90 درجة، 180 درجة وما إلى ذلك حالات خاصة. يتم حساب قيم الدوال المثلثية الخاصة بها وتقديمها على شكل جداول خاصة.

   

   لم يتم اختيار هذه الزوايا عشوائيا. التعيين π في الجداول مخصص للراديان. Rad هي الزاوية التي يتوافق عندها طول قوس الدائرة مع نصف قطرها. هذه القيمةتم تقديمه من أجل إنشاء اعتماد عالمي عند الحساب بالراديان، لا يهم الطول الفعلي لنصف القطر بالسنتيمتر.

   

   تتوافق الزوايا في جداول الدوال المثلثية مع قيم الراديان:

   

   لذلك، ليس من الصعب تخمين أن 2π عبارة عن دائرة كاملة أو 360 درجة.

   خصائص الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام

   من أجل النظر في الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام ومقارنتها، من الضروري رسم وظائفها. يمكن القيام بذلك على شكل منحنى يقع في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد.

   يعتبر جدول المقارنةخصائص الجيب وجيب التمام:

   

   موجة جيبية	جيب التمام
   ص = سينكس	ص = كوس س
   أودز [-1؛ 1]	أودز [-1؛ 1]
   الخطيئة x = 0، لـ x = πk، حيث k ϵ Z	cos x = 0، لـ x = π/2 + πk، حيث k ϵ Z
   sin x = 1، لـ x = π/2 + 2πk، حيث k ϵ Z	cos x = 1، عند x = 2πk، حيث k ϵ Z
   الخطيئة x = - 1، عند x = 3π/2 + 2πk، حيث k ϵ Z	cos x = - 1، لـ x = π + 2πk، حيث k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x، أي أن الدالة فردية	cos (-x) = cos x، أي أن الدالة زوجية
   	الدالة دورية، وأصغر فترة هي 2π
   sin x › 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الأول والثاني أو من 0° إلى 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0، مع x تنتمي إلى الربعين الأول والرابع أو من 270° إلى 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الثالث والرابع أو من 180° إلى 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الثاني والثالث أو من 90° إلى 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   الزيادات في الفاصل الزمني [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk]	الزيادات على الفاصل الزمني [-π + 2πk، 2πk]
   يتناقص على فترات [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	يتناقص على فترات
   المشتقة (الخطيئة x)' = cos x	مشتق (cos x)' = - sin x

   تحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أم لا أمر بسيط للغاية. يكفي أن نتخيل دائرة مثلثية مع علامات الكميات المثلثية و "طي" الرسم البياني ذهنيًا بالنسبة لمحور OX. فإذا تطابقت الإشارات كانت الدالة زوجية، وإلا كانت فردية.

   

   مقدمة عن الراديان والتعداد الخصائص الأساسيةتسمح لنا الجيوب الأنفية وجيب التمام بإعطاء النمط التالي:

   

   من السهل جدًا التحقق من صحة الصيغة. على سبيل المثال، بالنسبة لـ x = π/2، يكون جيب التمام هو 1، كما هو الحال مع جيب تمام x = 0. يمكن إجراء التحقق من خلال استشارة الجداول أو عن طريق تتبع منحنيات الوظائف لقيم معينة.

   خصائص الظلال وأشباه التمام

   تختلف الرسوم البيانية لوظائف الظل وظل التمام بشكل كبير عن وظائف الجيب وجيب التمام. القيمتان tg وctg متبادلتان.

   

   

   1. ص = تان س.
   2. يميل الظل إلى قيم y عند x = π/2 + πk، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
   3. الأقل فترة إيجابيةالظلال تساوي π.
   4. Tg (- x) = - tg x، أي أن الدالة فردية.
   5. Tg x = 0، لـ x = πk.
   6. الوظيفة تتزايد.
   7. Tg x › 0، لـ x ϵ (πk، π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0، لـ x ϵ (— π/2 + πk، πk).
   9. المشتق (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

   دعونا نفكر صورة بيانية cotangentoids أدناه في النص.

   

   الخصائص الرئيسية لل cotangentoids:

   1. ص = سرير س.
   2. على عكس وظائف الجيب وجيب التمام، في الظل Y يمكن أن تأخذ قيم مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
   3. يميل ظل التمام إلى قيم y عند x = πk، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
   4. أصغر فترة إيجابية لظل التمام هي π.
   5. Ctg (- x) = - ctg x، أي أن الدالة فردية.
   6. Ctg x = 0، لـ x = π/2 + πk.
   7. الوظيفة آخذة في التناقص.
   8. Ctg x › 0، لـ x ϵ (πk، π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0، لـ x ϵ (π/2 + πk، πk).
   10. المشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x صحيح