حساب مساحة المضلع من إحداثيات رؤوسه. حساب مساحة المضلع من إحداثيات رؤوسه كيفية حساب مساحة المثلث بمعرفة إحداثياته

طريقة الإحداثيات، التي اقترحها علماء الرياضيات الفرنسيون في القرن السابع عشر ر. ديكارت (1596-1650) وبي. فيرما (1601-1665)، هي جهاز قوي يسمح للمرء بترجمة المفاهيم الهندسية إلى لغة جبرية. تعتمد هذه الطريقة على مفهوم نظام الإحداثيات. سننظر في حساب مساحة المضلع من إحداثيات رؤوسه في نظام إحداثيات مستطيل.

مساحة المثلث

النظرية 1. إذا كانت مساحة المثلث

فإن المساواة صحيحة

سوف نسميها محدد مساحة المثلث.

دليل. دع رؤوس المثلث تقع في الربع الإحداثي الأول. هناك حالتان محتملتان.

الحالة 1. يتزامن اتجاه (أو، أو) موقع رؤوس المثلث مع اتجاه حركة نهاية عقرب الساعة (الشكل 1.30).

بما أن الشكل شبه منحرف.

وبالمثل نجد ذلك

عن طريق إجراء التحويلات الجبرية

حصلنا على ذلك:

في المساواة (1.9) محدد المساحة، لذلك هناك علامة ناقص أمام التعبير، منذ ذلك الحين.

دعونا نظهر ذلك. في الواقع، هنا

(مساحة المستطيل ذو القاعدة والارتفاع أكبر من مجموع مساحات المستطيلات ذات القواعد والارتفاعات؛ (الشكل 1.30)، حيث

الحالة 2. الاتجاهات المشار إليها في الحالة 1 تكون معاكسة لاتجاه حركة نهاية عقرب الساعة (الشكل 1.31)

منذ هذا الرقم هو شبه منحرف، و

أين. في الواقع، هنا

يتم إثبات النظرية عندما تقع رؤوس المثلث في الربع الإحداثي الأول.

باستخدام مفهوم المعامل يمكن كتابة المعادلتين (1.9) و (1.10) على النحو التالي:

ملاحظة 1. لقد استنتجنا الصيغة (١.٨) من خلال النظر في أبسط ترتيب للرءوس، كما هو موضح في الشكلين ١.٣٠ و١.٣١؛ ومع ذلك، فإن الصيغة (1.8) صحيحة بالنسبة لأي ترتيب للرءوس.

خذ بعين الاعتبار الحالة الموضحة في الشكل 1.32.

لذلك، من خلال إجراء تحويلات هندسية بسيطة:

نحصل مرة أخرى على ماذا وأين

مساحة ن غون

يمكن أن يكون المضلع محدبًا أو غير محدبًا؛ ويعتبر ترتيب ترقيم القمم سالبًا إذا تم ترقيم القمم في اتجاه حركة النهاية في اتجاه عقارب الساعة. المضلع الذي لا يحتوي على تقاطع ذاتي للأضلاع سيسمى بسيطًا. لأنه بسيط ن-جون ما يلي صحيح

النظرية 2. إذا كانت مساحة أولية ن-gon، حيث، فإن المساواة صحيحة

سوف نسمي محدد مساحة العدد الأولي ن-غون.

دليل. هناك حالتان محتملتان.

الحالة 1. ن-جون - محدب. دعونا نثبت الصيغة (1.11) باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

لأنه قد تم إثباته بالفعل (النظرية 1). لنفترض أن هذا صحيح ل ن-غون؛ دعونا نثبت أنه يظل صالحًا للمحدب ( ن+1)-غون.

دعونا نضيف قمة أخرى إلى المضلع (الشكل 1.33).

وبالتالي فإن الصيغة صالحة لـ ( ن+1)-gon، وبالتالي تتوفر شروط الاستقراء الرياضي، أي الصيغة (1.11) لحالة المحدب ن-لقد ثبت.

الحالة 2. ن-غون - غير محدب.

في أي غير محدب ن-يمكن رسم قطري بداخله، وبالتالي إثبات الحالة 2 لغير المحدب ن-gon يشبه إثبات المحدب ن-غون.

ملاحظة 2. التعبيرات الخاصة بـ ليس من السهل تذكرها. لذلك، لحساب قيمها، من المناسب أن تكتب في عمود إحداثيات الأول والثاني والثالث، ... ، ن-th ومرة ​​أخرى القمم الأولى ن-gon واضرب حسب المخطط:

يجب ترتيب الإشارات في العمود (1.12) كما هو موضح في الشكل (1.13).

ملاحظة 3. عند إنشاء عمود (1.12) للمثلث، يمكنك البدء من أي قمة.

ملاحظة 4. عند تجميع العمود (1.12) لـ ن-gon () من الضروري اتباع تسلسل كتابة إحداثيات القمم ن-gon (لا يهم من أي قمة يبدأ الاجتياز). لذلك، حساب المنطقة نيجب أن يبدأ -gon ببناء رسم "تقريبي".

المثلث هو أحد الأشكال الهندسية الأكثر شيوعًا والتي نتعرف عليها في المدرسة الابتدائية. يواجه كل طالب مسألة كيفية العثور على مساحة المثلث في دروس الهندسة. إذن، ما هي مميزات إيجاد مساحة شكل معين التي يمكن تحديدها؟ في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على الصيغ الأساسية اللازمة لإكمال هذه المهمة، وكذلك تحليل أنواع المثلثات.

أنواع المثلثات

يمكنك العثور على مساحة المثلث بطرق مختلفة تمامًا، لأنه في الهندسة يوجد أكثر من نوع من الأشكال التي تحتوي على ثلاث زوايا. تشمل هذه الأنواع:

• منفرج الزاوية.
• متساوي الأضلاع (صحيح).
• المثلث الأيمن.
• متساوي الساقين.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل نوع من أنواع المثلثات الموجودة.

يعتبر هذا الشكل الهندسي هو الأكثر شيوعًا عند حل المشكلات الهندسية. عندما تنشأ الحاجة إلى رسم مثلث تعسفي، يأتي هذا الخيار إلى الإنقاذ.

في المثلث الحاد، كما يوحي الاسم، جميع الزوايا حادة ومجموعها يصل إلى 180 درجة.

هذا النوع من المثلثات شائع جدًا أيضًا، ولكنه أقل شيوعًا إلى حد ما من المثلث حاد الزاوية. على سبيل المثال، عند حل المثلثات (أي أن العديد من أضلاعها وزواياها معروفة وتحتاج إلى العثور على العناصر المتبقية)، تحتاج أحيانًا إلى تحديد ما إذا كانت الزاوية منفرجة أم لا. جيب التمام هو رقم سلبي.

ب، تتجاوز قيمة إحدى الزوايا 90 درجة، وبالتالي يمكن أن تأخذ الزاويتان المتبقيتان قيمًا صغيرة (على سبيل المثال، 15 درجة أو حتى 3 درجات).

للعثور على مساحة مثلث من هذا النوع، عليك معرفة بعض الفروق الدقيقة، والتي سنتحدث عنها لاحقاً.

مثلثات منتظمة ومتساوية الساقين

المضلع المنتظم هو شكل يتضمن زوايا n وجميع أضلاعه وزواياه متساوية. هذا هو المثلث المنتظم. بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة، فإن قياس كل زاوية من الزوايا الثلاث هو 60 درجة.

المثلث المنتظم، بسبب خصائصه، يسمى أيضًا شكلًا متساوي الأضلاع.

ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه يمكن رسم دائرة واحدة فقط في المثلث المنتظم، ويمكن وصف دائرة واحدة فقط حولها، وتقع مراكزها في نفس النقطة.

بالإضافة إلى النوع متساوي الأضلاع، يمكن أيضًا تمييز المثلث متساوي الساقين، والذي يختلف قليلاً عنه. في مثل هذا المثلث، يكون الجانبان والزاويتان متساويان، والضلع الثالث (الذي تتجاور فيه الزوايا المتساوية) هو القاعدة.

يوضح الشكل مثلثًا متساوي الساقين DEF، زاويته D وF متساوية وDF هي القاعدة.

المثلث الأيمن

سمي المثلث القائم بهذا الاسم لأن إحدى زواياه قائمة، أي تساوي 90 درجة. مجموع الزاويتين الأخريين يصل إلى 90 درجة.

الجانب الأكبر من هذا المثلث، الواقع مقابل الزاوية 90 درجة، هو الوتر، في حين أن الضلعين المتبقيين هما الأرجل. بالنسبة لهذا النوع من المثلثات، تنطبق نظرية فيثاغورس:

مجموع مربعات أطوال الساقين يساوي مربع طول الوتر.

يوضح الشكل المثلث القائم BAC مع الوتر AC والساقين AB وBC.

للعثور على مساحة مثلث ذو زاوية قائمة، عليك أن تعرف القيم العددية لأرجله.

دعنا ننتقل إلى الصيغ لإيجاد مساحة شكل معين.

الصيغ الأساسية لإيجاد المنطقة

في الهندسة، هناك صيغتان مناسبتان لإيجاد مساحة معظم أنواع المثلثات، وهما المثلثات الحادة، والمنفرجة، والمنتظمة، ومتساوية الساقين. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم.

من الجانب والارتفاع

هذه الصيغة عالمية للعثور على مساحة الشكل الذي ندرسه. للقيام بذلك، يكفي معرفة طول الجانب وطول الارتفاع المرسوم عليه. الصيغة نفسها (نصف منتج القاعدة والارتفاع) هي كما يلي:

حيث A هو ضلع مثلث معين، و H هو ارتفاع المثلث.

على سبيل المثال، للعثور على مساحة مثلث حاد ACB، تحتاج إلى ضرب جانبها AB في قرص الارتفاع وتقسيم القيمة الناتجة على اثنين.

ومع ذلك، ليس من السهل دائمًا العثور على مساحة المثلث بهذه الطريقة. على سبيل المثال، لاستخدام هذه الصيغة لمثلث منفرج، تحتاج إلى تمديد أحد أضلاعه ثم رسم ارتفاع له.

في الممارسة العملية، يتم استخدام هذه الصيغة في كثير من الأحيان أكثر من غيرها.

على كلا الجانبين والزاوية

هذه الصيغة، مثل الصيغة السابقة، مناسبة لمعظم المثلثات وفي معناها هي نتيجة لصيغة إيجاد المساحة بجانب وارتفاع المثلث. أي أن الصيغة المعنية يمكن استخلاصها بسهولة من الصيغة السابقة. صيغتها تبدو كالتالي:

S = ½*سينO*A*B,

حيث A وB هما أضلاع المثلث، وO هي الزاوية المحصورة بين الضلعين A وB.

أذكر أنه يمكن رؤية جيب الزاوية في جدول خاص سمي على اسم عالم الرياضيات السوفيتي المتميز V. M. Bradis.

الآن دعنا ننتقل إلى الصيغ الأخرى المناسبة فقط للأنواع الاستثنائية من المثلثات.

مساحة المثلث الأيمن

بالإضافة إلى الصيغة العالمية، والتي تتضمن ضرورة إيجاد الارتفاع في المثلث، يمكن العثور على مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة من ساقيه.

وبالتالي فإن مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة هي نصف حاصل ضرب ساقيه، أو:

حيث a و b هما أرجل المثلث القائم الزاوية.

مثلث منتظم

يختلف هذا النوع من الأشكال الهندسية حيث يمكن العثور على مساحته من خلال القيمة المحددة لواحد فقط من أضلاعه (نظرًا لأن جميع جوانب المثلث المنتظم متساوية). لذا، عندما تواجه مهمة "إيجاد مساحة المثلث عندما تكون أضلاعه متساوية"، فأنت بحاجة إلى استخدام الصيغة التالية:

س = أ 2 *√3 / 4،

حيث A هو جانب المثلث متساوي الأضلاع.

صيغة هيرون

الخيار الأخير لإيجاد مساحة المثلث هو صيغة هيرون. من أجل استخدامه، عليك أن تعرف أطوال الجوانب الثلاثة من الشكل. تبدو صيغة هيرون كما يلي:

S = √p·(ع - أ)·(ع - ب)·(ص - ج)،

حيث a وb وc هي أضلاع مثلث معين.

في بعض الأحيان تكون المشكلة: "مساحة المثلث المنتظم هي إيجاد طول جانبه". في هذه الحالة، نحتاج إلى استخدام الصيغة التي نعرفها بالفعل لإيجاد مساحة مثلث منتظم واستخلاص قيمة الضلع (أو مربعه):

أ 2 = 4س / √3.

مهام الفحص

هناك العديد من الصيغ في مشاكل GIA في الرياضيات. وبالإضافة إلى ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري العثور على مساحة المثلث على ورقة متقلب.

في هذه الحالة، يكون من الأنسب رسم الارتفاع على أحد جوانب الشكل وتحديد طوله من الخلايا واستخدام الصيغة العالمية للعثور على المنطقة:

لذلك، بعد دراسة الصيغ المقدمة في المقالة، لن تواجه أي مشاكل في العثور على مساحة المثلث من أي نوع.