25 доказателства на Питагоровата теорема. Теоремата на Питагор: основа, доказателства, примери за практическо приложение

Различни начини за доказване на Питагоровата теорема

ученичка от 9 "А" клас

MOU средно училище №8

Научен ръководител:

учител по математика,

MOU средно училище №8

Изкуство. Нова Коледа

Краснодарски край.

Изкуство. Нова Коледа

АНОТАЦИЯ.

Теоремата на Питагор с право се счита за най-важната в хода на геометрията и заслужава специално внимание. Това е основа за решаване на много геометрични проблеми, основа за изучаване на теоретичните и практически курсгеометрия в бъдещето. Теоремата е заобиколена от най-богатите исторически материалсвързани с външния му вид и методите на доказване. Изучаването на историята на развитието на геометрията внушава любов към този предмет, допринася за развитието на познавателния интерес, общата култура и креативността, както и развива уменията за изследователска работа.

В резултат на търсещата дейност беше постигната целта на работата, която е да се попълнят и обобщят знанията за доказателството на Питагоровата теорема. Успях да намеря и прегледам различни начинидоказателства и задълбочаване на знанията по темата, надхвърляйки страниците на училищен учебник.

Събраният материал още повече убеждава, че Питагоровата теорема е великата теорема на геометрията и има голямо теоретично и практическо значение.

Въведение. История справка 5 Основно тяло 8

3. Заключение 19

4. Използвана литература 20
1. ВЪВЕДЕНИЕ. СПРАВКА ПО ИСТОРИЯТА.

Същността на истината е, че тя е за нас завинаги,

Когато поне веднъж в нейното прозрение видим светлината,

И Питагоровата теорема след толкова години

За нас, както и за него, тя е безспорна, безупречна.

За да празнуват, боговете са получили обет от Питагор:

За докосване до безкрайната мъдрост,

Той закла сто бика, благодарение на вечните;

След това той отправи молитви и възхвали на жертвата.

Оттогава биковете, когато миришат, бутане,

Какво води хората отново към новата истина,

Те реват неистово, та няма урина да слуша,

Такъв Питагор им всява ужас завинаги.

Бикове, безсилни да се противопоставят на новата истина,

Какво остава? - Просто затвори очи, реве, трепери.

Не е известно как Питагор е доказал своята теорема. Сигурното е, че го е открил под силното влияние на египетската наука. специален случайТеоремите на Питагор - свойствата на триъгълник със страни 3, 4 и 5 - са били известни на строителите на пирамидите много преди раждането на Питагор, самият той е учил с египетски свещеници повече от 20 години. Запазена е легенда, която гласи, че след като доказал известната си теорема, Питагор принесъл в жертва на боговете бика, а според други източници дори 100 бика. Това обаче противоречи на информацията за моралните и религиозни възгледи на Питагор. В литературните източници може да се прочете, че той „забранява дори убиването на животни и още повече да ги храни, тъй като животните имат душа, като нас“. Питагор се храни само с мед, хляб, зеленчуци и понякога риба. Във връзка с всичко това, следният запис може да се счита за по-правдоподобен: "... и дори когато той откри, че в правоъгълен триъгълник на хипотенузата има съответствие с краката, той принесе в жертва бик, направен от пшенично тесто."

Популярността на теоремата на Питагор е толкова голяма, че нейните доказателства се намират дори в художествената литература, например в историята на известния английски писател Хъксли „Младият Архимед“. Същото доказателство, но за частен случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник, е дадено в диалога на Платон Менон.

Къща за приказки.

„Далеч, далече, където дори самолетите не летят, е страната на Геометрията. В тази необичайна страна имаше един невероятен град - градът на Теорема. Един ден дойдох в този град красиво момичена име Хипотенуза. Опитвала се да си вземе стая, но където и да кандидатствала, навсякъде й отказвали. Най-накрая тя се приближи до разклатената къща и почука. Тя беше отворена от човек, който се наричаше Правия ъгъл, и той покани Хипотенузата да живее с него. Хипотенузата останала в къщата, където живеели Правия ъгъл и двамата му малки синове, на име Катет. Оттогава животът в къщата под прав ъгъл се промени по нов начин. Хипотенузата засади цветя на прозореца и разпръсна червени рози в предната градина. Къщата има формата на правоъгълен триъгълник. И двата крака много харесаха Хипотенузата и я помолиха да остане завинаги в къщата им. Вечер това приятелско семейство се събира на семейната трапеза. Понякога Right Angle играе на криеница с децата си. Най-често той трябва да търси, а Хипотенузата се крие толкова умело, че може да бъде много трудно да се намери. Веднъж по време на игра Правият ъгъл забеляза интересно свойство: ако успее да намери краката, намирането на хипотенузата не е трудно. Така че Right Angle използва този модел, трябва да кажа, много успешно. Върху собствеността на това правоъгълен триъгълники основа Питагоровата теорема."

(От книгата на А. Окунев „Благодаря ви за урока, деца”).

Закачлива формулировка на теоремата:

Ако ни е даден триъгълник

И освен това с прав ъгъл,

Това е квадратът на хипотенузата

Винаги можем лесно да намерим:

Изграждаме краката в квадрат,

Намираме сумата от градуси -

И то по толкова прост начин

Ще стигнем до резултата.

Изучавайки алгебра и началото на анализа и геометрията в 10. клас, се убедих, че освен метода за доказване на Питагоровата теорема, разгледан в 8. клас, има и други начини за доказването ѝ. Представям ги на вашето внимание.
2. ОСНОВНА ЧАСТ.

Теорема. Квадрат в правоъгълен триъгълник

хипотенуза е равно на суматаквадрати на краката.

1 НАЧИН.

Използвайки свойствата на площите на многоъгълниците, ние установяваме забележителна връзка между хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник.

Доказателство.

а, ви хипотенуза с(фиг. 1, а).

Нека докажем това c²=a²+b².

Доказателство.

Завършваме триъгълника до квадрат със страна a + bкакто е показано на фиг. 1б. Площта S на този квадрат е (a + b)². От друга страна, този квадрат е съставен от четири равни правоъгълни триъгълника, площта на всеки от които е ½ ав, и квадрат със страна с,така че С = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

По този начин,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Теоремата е доказана.
2 НАЧИН.

След като проучих темата „Подобни триъгълници“, разбрах, че можете да приложите сходството на триъгълниците към доказателството на Питагоровата теорема. А именно, използвах твърдението, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност на хипотенузата и сегмента от хипотенузата, ограден между катета и височината, изтеглена от върха на правия ъгъл.

Да разгледаме правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, CD е височината (фиг. 2). Нека докажем това AC² + ЮЗ² = AB² .

Доказателство.

Въз основа на твърдението за катета на правоъгълен триъгълник:

AC = , CB = .

Поставяме на квадрат и събираме получените равенства:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), където AD + DB = AB, тогава

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Доказателството е пълно.
3 НАЧИНА.

Дефиницията на косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник може да се приложи към доказателството на Питагоровата теорема. Разгледайте фиг. 3.

Доказателство:

Нека ABC е даден правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C. Начертайте височина CD от върха на правия ъгъл C.

По дефиниция на косинуса на ъгъл:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Следователно AB * AD = AC²

по същия начин,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Следователно AB * BD \u003d BC².

Събирайки получените равенства член по член и забелязвайки, че AD + DВ = AB, получаваме:

AC² + слънце² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Доказателството е пълно.
4 НАЧИН.

След като изучавах темата "Съотношения между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник", смятам, че Питагоровата теорема може да се докаже и по друг начин.

Помислете за правоъгълен триъгълник с катети а, ви хипотенуза с. (фиг. 4).

Нека докажем това c²=a²+b².

Доказателство.

грях B=климатик ; cos B=като , тогава, повдигайки получените равенства на квадрат, получаваме:

грях² B= in²/s²; cos² AT\u003d a² / s².

Събирайки ги, получаваме:

грях² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², където sin² AT+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², следователно,

c² = a² + b².

Доказателството е пълно.

5 НАЧИН.

Това доказателство се основава на изрязване на квадратите, построени върху катетите (фиг. 5) и подреждане на получените части върху квадрата, построен върху хипотенузата.

6 НАЧИН.

За доказване на катета слънцесграда BCD ABC(фиг. 6). Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадратите на техните подобни линейни размери:

Като извадим второто от първото равенство, получаваме

c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

7 НАЧИН.

дадени(фиг. 7):

КОРЕМНИ МУСКУЛИ,= 90° , нд= a, AC=b, AB = c.

Докажи:c2 = a2 +b2.

Доказателство.

Нека кракът b а.Да продължим сегмента SWна точка ATи изградете триъгълник bmdтака че точките Ми НОлежи от едната страна на права линия CDи между другото, Б.Д.=б, BDM= 90°, DM= а, тогава bmd= ABCна двете страни и ъгъла между тях. Точки А и Мсвържете чрез сегменти сутринтаНие имаме MD CDи AC CD,означава прав ACуспоредна на права линия MD.защото MD< АС, след това направо CDи сутринтане са успоредни. Следователно, AMDC-правоъгълен трапец.

В правоъгълни триъгълници ABC и bmd 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но тъй като = =, тогава 3 + 2 = 90°; тогава AVM=180° - 90° = 90°. Оказа се, че трапецът AMDCразделен на три правоъгълни триъгълника, които не се припокриват, след това от аксиомите на площта

(a+b)(a+b)

Разделяйки всички членове на неравенството на , получаваме

аb + c2 + ab = (a +б) , 2 аб+ c2 = a2+ 2аb+ b2,

c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

8 НАЧИН.

Този метод се основава на хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник ABC.Той построява съответните квадрати и доказва, че квадратът, построен върху хипотенузата, е равен на сбора от квадратите, построени върху катетите (фиг. 8).

Доказателство.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc,означава, FBC= DBA.

По този начин, FBC=ABD(от двете страни и ъгъла между тях).

2) , където AL е DE, тъй като BD е общо основание, DL-Обща височина.

3) , тъй като FB е база, AB- обща височина.

4)

5) По същия начин може да се докаже това

6) Добавяйки термин по термин, получаваме:

, BC2 = AB2 + AC2 . Доказателството е пълно.

9 НАЧИН.

Доказателство.

1) Нека АБДЕ- квадрат (фиг. 9), чиято страна е равна на хипотенузата на правоъгълен триъгълник ABC (AB= c, BC = a, AC =б).

2) Нека DK пр.н.еи DK = слънце,тъй като 1 + 2 = 90° (като острите ъгли на правоъгълен триъгълник), 3 + 2 = 90° (като ъгъл на квадрат), AB= BD(страни на квадрата).

означава, ABC= БДК(по хипотенуза и остър ъгъл).

3) Нека ЕЛ DC, AM ЕЛ.Може лесно да се докаже, че ABC = BDK = DEL = EAM (с крака аи б).Тогава KS= СМ= ML= ЛК= а -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),с2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

10 НАЧИН.

Доказателството може да се извърши върху фигура, в шегата, наречена „панталони на пифагор“ (фиг. 10). Идеята му се състои в превръщането на квадрати, изградени върху катети, в равни триъгълници, които заедно съставляват квадрата на хипотенузата.

ABCПреместваме, както е показано със стрелката, и заема позицията KDN.Останалата част от фигурата AKDCBплощад Равнелика пл AKDC-това е успоредник АКНБ.

Изработва се модел на успоредник АКНБ. Разместваме успоредника, както е скицирано в съдържанието на работата. За да покажем превръщането на успоредника в равен триъгълник, отрязваме триъгълника в очите на учениците и го изместваме надолу. Така че площта на квадрата AKDCОказа се равно на площта на правоъгълника. По същия начин преобразуваме площта на квадрат в площта на правоъгълник.

Нека направим трансформация за квадрат, изграден върху крак а(Фиг. 11, а):

а) квадратът се трансформира в успоредник с еднакъв размер (фиг. 11.6):

б) успоредникът се завърта на четвърт оборот (фиг. 12):

в) успоредникът се трансформира в правоъгълник с еднакъв размер (фиг. 13): 11 НАЧИН.

Доказателство:

PCL-прав (фиг. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= б 2;

АКГБ= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Доказателството приключи .

12 НАЧИН.

Ориз. 15 илюстрира друго оригинално доказателство на Питагоровата теорема.

Тук: триъгълник ABC с прав ъгъл C; линейна отсечка bfперпендикулярен SWи равен на него, отсечката БЪДАперпендикулярен ABи равен на него, отсечката ADперпендикулярен ACи равен на него; точки F, C,дпринадлежат на една права линия; четириъгълници ADFBи ACBEса равни, защото ABF = ЕЦБ;триъгълници ADFи ACEса равни; изваждаме от двата равни четириъгълника общ за тях триъгълник abc,получаваме

, c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

13 НАЧИН.

Площта на този правоъгълен триъгълник, от една страна, е равна на , с друг, ,

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В резултат на търсещите дейности беше постигната целта на работата, която се състои в попълване и обобщаване на знанията за доказателството на теоремата на Питагор. Беше възможно да се намерят и разгледат различни методи за неговото доказване и да се задълбочат знанията по темата, излизайки от страниците на училищния учебник.

Материалът, който събрах, е още по-убедителен, че Питагоровата теорема е великата теорема на геометрията и има голямо теоретично и практическо значение. В заключение бих искал да кажа: причината за популярността на Питагоровата теорема за триединството е красотата, простотата и значимостта!

4. ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА.

1. Занимателна алгебра. . Москва "Наука", 1978 г.

2. Седмично учебно-методическо приложение към вестник „Първи септември”, 24/2001.

3. Геометрия 7-9. и т.н.

4. Геометрия 7-9. и т.н.

Анимирано доказателство на Питагоровата теорема е едно от фундаменталентеореми на евклидовата геометрия, установяващи връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Смята се, че е доказана от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстена (има и други версии, по-специално алтернативно мнение, че тази теорема е в общ изгледе формулиран от питагорейския математик Хипас).
Теоремата казва:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Означаване на дължината на хипотенузата на триъгълника ° С,и дължините на краката като аи б,получаваме следната формула:

По този начин теоремата на Питагор установява връзка, която ви позволява да определите страната на правоъгълен триъгълник, като знаете дължините на другите две. Питагоровата теорема е специален случай на косинусовата теорема, която определя връзката между страните произволен триъгълник.
Доказано е и обратното твърдение (наричано още обратна теоремаПитагор):

За произволни три положителни числа a, b и c такива, че a ? +b? = c ?, има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Визуално доказателство за триъгълника (3, 4, 5) от Чу Пей 500-200 г. пр.н.е. Историята на теоремата може да бъде разделена на четири части: знания за числата на Питагор, знания за съотношението на страните в правоъгълен триъгълник, знания за отношението съседни ъглии доказателство на теоремата.
Мегалитни структури около 2500 г. пр.н.е в Египет и Северна Европа съдържат правоъгълни триъгълници с цели страни. Бартел Лендерт ван дер Ваерден предположи, че в онези дни числата на Питагор са били намирани алгебрично.
Написана между 2000 и 1876 г. пр.н.е папирус от Средното царство на Египет Берлин 6619съдържа задача, чието решение са числата на Питагор.
По време на управлението на Хамурапи Велики, вивилонска плоча Плимптън 322,написана между 1790 и 1750 г. пр. н. е. съдържа много записи, тясно свързани с числата на Питагор.
В суторите на Будхаяна, която дата различни версииОсми или втори век пр.н.е в Индия, съдържа числа на Питагор, извлечени алгебрично, формулировка на Питагоровата теорема и геометрично доказателство за равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Апастамба сутри (около 600 г. пр.н.е.) съдържа числено доказателствоТеореми на Питагор, използващи изчисляването на площта. Ван дер Варден смята, че се основава на традициите на предшествениците. Според Алберт Бурко това е оригиналното доказателство на теоремата и той предполага, че Питагор е посетил Аракони и го е копирал.
Питагор, чиито години от живота обикновено показват 569 - 475 г. пр.н.е. използва алгебрични методиизчисляване на числата на Питагор, според коментарите на Проклов за Евклид. Прокл обаче е живял между 410 и 485 години Според Томас Гизе пет века след Питагор няма индикация за авторство на теоремата. Въпреки това, когато автори като Плутарх или Цицерон приписват теоремата на Питагор, те го правят така, сякаш авторството е широко известно и сигурно.
Около 400 г. пр.н.е Според Прокъл Платон е дал метод за изчисляване на питагорейските числа, съчетаващ алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е., в НаченкиЕвклид, имаме най-старото аксиоматично доказателство, оцеляло до днес.
Написано някъде между 500 г. пр.н.е. и 200 г. пр.н.е., китайски математическа книга„Чу Пей“ (? ? ? ?), дава визуално доказателство на Питагоровата теорема, която в Китай се нарича теорема гугу (????), за триъгълник със страни (3, 4, 5). По време на управлението на династия Хан, от 202 г. пр.н.е. преди 220 г. сл. Хр Числата на Питагор се появяват в книгата "Девет раздела на математическото изкуство" заедно със споменаването на правоъгълни триъгълници.
Използването на теоремата е документирано за първи път в Китай, където е известна като теоремата на гугу (????) и в Индия, където е известна като теоремата на Баскар.
Мнозина спорят дали Питагоровата теорема е открита веднъж или многократно. Boyer (1991) вярва, че знанието, открито в Shulba Sutra, може да е от месопотамски произход.
Алгебрично доказателство
От четири правоъгълни триъгълника се образуват квадрати. Известни са повече от сто доказателства на Питагоровата теорема. Тук доказателствата се основават на теоремата за съществуване на площта на фигура:

Поставете четири еднакви правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата.
Четириъгълник със страни ° Се квадрат, защото сумата от две остри ъгли, А развитият ъгъл е .
Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна "a + b", а от друга - на сумата от площите на четири триъгълника и вътрешния квадрат .

Което трябва да се докаже.
По сходството на триъгълниците
Използване на подобни триъгълници. Позволявам ABCе правоъгълен триъгълник, в който ъгълът ° Справ, както е показано на снимката. Нека начертаем височина от точка ° С,и се обади зточка на пресичане със страна AB.Оформен триъгълник ACHкато триъгълник abc,тъй като и двете са правоъгълни (по дефиниция на височина) и споделят ъгъл а,очевидно третият ъгъл ще бъде същият и в тези триъгълници. По същия начин mirkuyuyuchy, триъгълник CBHсъщо подобен на триъгълник ABC.От подобието на триъгълници: Ако

Това може да се запише като

Ако съберем тези две равенства, получаваме

HB + c по AH = c по (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

С други думи, Питагоровата теорема:

Доказателството на Евклид
Доказателство на Евклид в Евклидовите "Принципи", Питагоровата теорема, доказана чрез метода на успоредниците. Позволявам А, Б, Ввърхове на правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл А.Пуснете перпендикуляр от точка Акъм страната срещу хипотенузата в квадрат, построен върху хипотенузата. Линията разделя квадрата на два правоъгълника, всеки от които има същата площ като квадратите, построени върху краката. основна идеядоказателството е, че горните квадрати се превръщат в успоредници със същата площ и след това се връщат обратно и се превръщат в правоъгълници в долния квадрат и отново със същата площ.

Нека начертаем сегменти CFи AD,получаваме триъгълници BCFи ИАЛ.
ъгли ТАКСИи ЧАНТА- права; точки С, Аи Жса колинеарни. Същия начин Б, Аи з.
ъгли CBDи FBA- двете са прави, след това ъгълът ABD равен на ъгъла fbc,тъй като и двете са сбор от прав ъгъл и ъгъл ABC.
Триъгълник ABDи FBCниво от двете страни и ъгъла между тях.
Тъй като точките А, Ки Л– колинеарно, площта на правоъгълника BDLK е равна на две области на триъгълника ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
По същия начин получаваме CKLE = ACIH = AC 2
От едната страна площта CBDEравна на сумата от площите на правоъгълниците BDLKи CKLE,от друга страна, площта на квадрата BC2,или AB 2 + AC 2 = пр.н.е. 2.

Използване на диференциали
Използването на диференциали. До Питагоровата теорема може да се стигне, като се проучи как нарастването на страната влияе върху дължината на хипотенузата, както е показано на фигурата вдясно, и се приложат малко изчисления.
В резултат на растежа на страната а,от подобни триъгълници за безкрайно малки нараствания

Интегрирането получаваме

Ако а= 0 тогава ° С = б,така че "константата" е б 2.Тогава

Както може да се види, квадратите се дължат на пропорцията между увеличенията и страните, докато сборът е резултат от независимия принос на увеличенията на страните, неочевиден от геометрични доказателства. В тези уравнения даи dcса съответно безкрайно малки увеличения на страните аи ° С.Но вместо тях използваме? аи? ° С,тогава границата на съотношението, ако клонят към нула, е да / DC,производна, и също е равно на ° С / а,съотношението на дължините на страните на триъгълниците, като резултат получаваме диференциално уравнение.
В случай на ортогонална система от вектори има равенство, което се нарича още Питагорова теорема:

Ако - Това са проекциите на вектора върху координатни оси, то тази формула съвпада с евклидовото разстояние и означава, че дължината на вектора е равна на корена квадратна сумаквадрати на неговите компоненти.
Аналог на това равенство в случая безкрайна системавектори се нарича равенство на Парсевал.

В едно можете да бъдете сто процента сигурни, че когато го попитат какво е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен смело ще отговори: „Сборът от квадратите на краката“. Тази теория е здраво насадена в съзнанието на всички. образован човек, но е достатъчно просто да помолите някой да го докаже и тогава може да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на Питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, първоначално от Днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му бил обикновен каменодел, но майка му произхождала от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание роденото момче трябвало да донесе много ползи и добро на човечеството. Което всъщност и направи.

Раждането на една теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички велики постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и е създал свои собствени страхотна теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предава знанията си на своите последователи, които по-късно извършват всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно са правили своите изчисления древните гърци, затова тук ще разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: "В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата."

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо да определим какво имаме. Тези данни ще се отнасят и за други начини за доказване на Питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични нотации.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равна на c. Първият метод на доказателство се основава на факта, че трябва да се начертае квадрат от правоъгълен триъгълник.

За да направите това, трябва да начертаете сегмент към крака с дължина равен на кракав, и обратно. Така че трябва да са две равни страниквадрат. Остава само да начертаете две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна равна на хипотенузатаоригинален триъгълник. За да направите това, трябва да нарисувате две от върховете на AC и SV успореден сегментравен с. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да дъщери четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5AV.

Следователно площта е равна на: 4*0,5AV+C 2 = 2AV+C 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Два метода: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на теоремата на Питагор е получена въз основа на твърдение от раздела за геометрията на такива триъгълници. Той казва, че покритието на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и сегмент от хипотенузата, излизащ от върха на ъгъла от 90 о.

Първоначалните данни остават същите, така че ще започнем веднага с доказателства. Начертаваме перпендикулярната страна на сегмента АВ на диабета. Въз основа на горното одобрение на триъгълника catte са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже Питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез повдигане на квадрат на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 \u003d AB * DV

Сега трябва да съберем получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV \u003d AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателството на Питагоровата теорема и различните начини за нейното решаване изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждането на нови фигури от оригиналния триъгълник.

AT този случайнеобходимо е да завършите още един правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. Така сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин да докажете Питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теоремата през г древна Гърция. Това е най-простият, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството за твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условия за този методще бъде малко по-различен от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC за страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да начертаете квадрат и да начертаете по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от върха A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получения чертеж. Тъй като на хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на краката, това показва верността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на Питагоровата теорема, известна фраза: "Питагоровите панталони са равни във всички посоки."

Доказателство от J. Garfield

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите образователни институции. Желанието за саморазвитие и му позволи да предложи нова теориядоказателство на Питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да начертаете два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на единия да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

За Питагоровата теорема и как да я докажем може да се напише повече от един том учебно ръководство. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление съвременните училищни програми предвиждат използването на тази теорема само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност използвайте Питагоровата теорема във вашия Ежедневиетовсеки може. И не само в професионална дейностно и в нормалните домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, който използва широко Питагоровата теорема.

Например, разгледайте движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека наречем T. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космически лайнер, който се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата тяхната скорост ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава надясно. Тогава точките A и B, между които се втурва лъчът, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка А до точка Б, точка А има време да се премести и съответно светлината вече ще достигне нова точка C. За да намерите половината от разстоянието, което точка А е преместила, трябва да умножите скоростта на лайнера по половината от времето за пътуване на лъча (t ").

И за да намерите колко лъч светлина може да измине през това време, трябва да посочите половината от пътя на новите букове и да получите следния израз:

Ако си представим, че светлинните точки C и B, както и пространствената обвивка, са върховете равнобедрен триъгълник, тогава отсечката от точка А до лайнера ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един светлинен лъч.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Затова разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации зависи пряко от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула може да приеме сигнал телефон, можете да приложите Питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространи сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус Глобусът) = 6380 км;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, откриваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, Питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като определяне на височината на килера, например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с рулетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира към стената. Следователно, страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височината, така и по диагонала на помещението.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на Питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - всичко се събира.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Поради това този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини повреда на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на Питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.

За тези, които се интересуват от историята на Питагоровата теорема, която се изучава в училищна програма, такъв факт като публикуването през 1940 г. на книга с триста и седемдесет доказателства на тази на пръв поглед проста теорема също ще бъде интересен. Но това заинтригува умовете на много математици и философи от различни епохи. В Книгата на рекордите на Гинес тя е записана като теорема с максимален брой доказателства.

История на Питагоровата теорема

Свързана с името на Питагор, теоремата е била известна много преди раждането на великия философ. И така, в Египет, по време на изграждането на конструкции, съотношението на страните на правоъгълен триъгълник е взето предвид преди пет хиляди години. Вавилонските текстове споменават същото съотношение на страните на правоъгълен триъгълник 1200 години преди раждането на Питагор.

Възниква въпросът защо тогава историята казва - появата на Питагоровата теорема принадлежи на него? Отговорът може да бъде само един - той е доказал съотношението на страните в триъгълника. Той направи това, което онези, които просто използваха съотношението на страните и хипотенузата, установени от опита, не направиха преди векове.

От живота на Питагор

Бъдещият велик учен, математик, философ е роден на остров Самос през 570 г. пр.н.е. исторически документизапазена информация за бащата на Питагор, който е бил резбар скъпоценни камънино няма информация за майката. За роденото момче казаха, че това е изключително дете, което се показва с детствостраст към музиката и поезията. Историците приписват Хермодамант и Ферекид от Сирос на учителите на младия Питагор. Първият въвежда момчето в света на музите, а вторият, като философ и основател на италианската философска школа, насочва погледа на младия мъж към логоса.

На 22-годишна възраст (548 г. пр. н. е.) Питагор отива в Навкратис, за да изучава езика и религията на египтяните. По-нататък пътят му лежеше в Мемфис, където благодарение на свещениците, след като премина през техните гениални тестове, той разбра египетската геометрия, което може би подтикна любознателния млад мъж да докаже Питагоровата теорема. По-късно историята ще припише това име на теоремата.

Пленен от царя на Вавилон

На път за вкъщи в Елада, Питагор е пленен от царя на Вавилон. Но престоят в плен беше от полза за любознателния ум на начинаещия математик, той имаше много да учи. Наистина, в онези години математиката във Вавилон е била по-развита, отколкото в Египет. Той прекарва дванадесет години в изучаване на математика, геометрия и магия. И може би вавилонската геометрия е участвала в доказателството за съотношението на страните на триъгълника и историята на откриването на теоремата. Питагор имаше достатъчно знания и време за това. Но че това се е случило във Вавилон, няма документално потвърждение или опровержение за това.

През 530 г. пр.н.е Питагор бяга от плен в родината си, където живее в двора на тиранина Поликрат в статута на полуроб. Такъв живот не устройва Питагор и той се оттегля в пещерите на Самос, а след това отива в южната част на Италия, където по това време гръцка колонияКротон.

Таен монашески орден

На базата на тази колония Питагор организира тайна монашески орден, който беше религиозен съюз и научно обществоедновременно. Това общество има своя устав, който говори за спазването на специален начин на живот.

Питагор твърди, че за да разбере Бог, човек трябва да познава такива науки като алгебра и геометрия, да познава астрономията и да разбира музиката. Изследователска работасе свеждаше до познаването на мистичната страна на числата и философията. Трябва да се отбележи, че принципите, проповядвани по онова време от Питагор, имат смисъл при имитация в днешно време.

Много от откритията, направени от учениците на Питагор, се приписват на него. Въпреки това, накратко, историята на създаването на Питагоровата теорема от древни историци и биографи от онова време е пряко свързана с името на този философ, мислител и математик.

Учението на Питагор

Може би идеята за връзката на теоремата с името на Питагор беше подтикната от изявлението на историците на великия грък, че в прословутия триъгълник с неговите крака и хипотенуза са кодирани всички явления от нашия живот. И този триъгълник е "ключът" към решаването на всички възникващи проблеми. Великият философ каза, че човек трябва да види триъгълник, тогава можем да приемем, че проблемът е решен на две трети.

Питагор разказвал за учението си само устно на своите ученици, без да си прави бележки, пазейки го в тайна. За съжаление преподаване най-великият философне е оцеляло до днес. Част от тях изтекоха, но не може да се каже колко е вярно и колко невярно от това, което стана известно. Дори с историята на Питагоровата теорема не всичко е сигурно. Историците на математиката се съмняват в авторството на Питагор, според тях теоремата е била използвана много векове преди раждането му.

Питагорова теорема

Може да изглежда странно, но исторически фактиняма доказателство на теоремата от самия Питагор - нито в архивите, нито в други източници. В съвременната версия се смята, че принадлежи не на друг, а на самия Евклид.

Има доказателства за един от най-великите историци на математиката, Мориц Кантор, който открива върху папирус, съхраняван в Берлинския музей, написан от египтяните около 2300 г. пр.н.е. д. равенство, което гласи: 3² + 4² = 5².

Накратко от историята на Питагоровата теорема

Формулировката на теоремата от Евклидовите "Начала" в превод звучи по същия начин, както в съвременната интерпретация. Няма нищо ново в нейния прочит: квадратът на противоположната страна прав ъгъл, е равно на сумата от квадратите на страните, съседни на правия ъгъл. Фактът, че древните цивилизации на Индия и Китай са използвали теоремата, се потвърждава от трактата Джоу Би Суан Джин. Той съдържа информация за египетския триъгълник, който описва съотношението на страните като 3:4:5.

Не по-малко интересна е друга китайска математическа книга, Chu-Pei, която също споменава Питагоров триъгълникс обяснение и чертежи, съвпадащи с чертежите на индуистката геометрия на Башара. За самия триъгълник в книгата се казва, че ако прав ъгъл може да се разложи на съставните му части, тогава линията, която свързва краищата на страните, ще бъде равна на пет, ако основата е три, а височината е четири.

Индийският трактат "Сулва сутра", датиращ от около 7-5 век пр.н.е. д., разказва за изграждането на прав ъгъл с помощта на египетския триъгълник.

Доказателство на теоремата

През Средновековието учениците са считали доказателството на теорема за също тежка работа. Слабите ученици учеха теореми наизуст, без да разбират смисъла на доказателството. В тази връзка те получиха прозвището "магарета", тъй като Питагоровата теорема беше непреодолима пречка за тях, като мост за магаре. През Средновековието учениците измислиха закачливо стихче по темата за тази теорема.

Да се ​​докаже Питагоровата теорема с най-много лесният начин, трябва просто да се измерят неговите страни, без да се използва концепцията за площи в доказателството. Дължината на страната срещу правия ъгъл е c, а a и b съседни на него, в резултат на което получаваме уравнението: a 2 + b 2 \u003d c 2. Това твърдение, както бе споменато по-горе, се проверява чрез измерване на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Ако започнем доказателството на теоремата, като вземем предвид площта на правоъгълниците, построени върху страните на триъгълника, можем да определим площта на цялата фигура. Тя ще бъде равна на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и вътрешния квадрат.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , което трябваше да се докаже.

Практическа стойностТеоремата на Питагор е, че тя може да се използва за намиране на дължините на сегменти, без да ги измервате. По време на изграждането на конструкции се изчисляват разстояния, поставяне на опори и греди, определят се центрове на тежестта. Питагоровата теорема се прилага и във всички модерни технологии. Те не забравиха теоремата при създаването на филми в 3D-6D измерения, където в допълнение към обичайните 3 стойности се вземат предвид: височина, дължина, ширина, време, мирис и вкус. Как вкусовете и миризмите са свързани с теоремата, ще попитате? Всичко е много просто - когато показвате филм, трябва да изчислите къде и какви миризми и вкусове да насочите в залата.

Това е само началото. Безграничните възможности за откриване и създаване на нови технологии очакват любознателните умове.

ИЗМЕРВАНЕ НА ПЛОЩТА НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ.

§ 58. ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА 1 .

__________
1 Питагор е гръцки учен, живял преди около 2500 години (564-473 г. пр.н.е.).
_________

Нека е даден правоъгълен триъгълник, чиито страни а, bи с(dev. 267).

Нека изградим квадрати от страните му. Площите на тези квадрати са съответно а 2 , b 2 и с 2. Нека докажем това с 2 = а 2 +б 2 .

Да построим два квадрата MKOR и M"K"O"R" (фиг. 268, 269), като за страна на всеки от тях вземем отсечка, равна на сбора от катетите на правоъгълен триъгълник ABC.

След като завършим конструкциите, показани на чертежи 268 и 269 в тези квадрати, ще видим, че квадратът MKOR е разделен на два квадрата с площи а 2 и b 2 и четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които е равен на правоъгълен триъгълник ABC. Квадратът M"K"O"R" е разделен на четириъгълник (защрихован е на чертеж 269) и четири правоъгълни триъгълника, всеки от които също е равен на триъгълника ABC. Защрихованият четириъгълник е квадрат, тъй като страните му са равни (всяка е равна на хипотенузата на триъгълника ABC, т.е. с) и ъглите са прави / 1 + / 2 = 90°, откъдето / 3 = 90°).

Така сумата от площите на квадратите, построени върху краката (на чертеж 268 тези квадрати са защриховани) е равна на площта на квадрата MKOR без сумата четири равни триъгълници, а площта на квадрата, построен върху хипотенузата (на чертеж 269 този квадрат също е защрихован) е равна на площта на квадрата M "K" O "R", равна на квадрата на MKOR, без сумата от площите на четири еднакви триъгълника. Следователно площта на квадрата, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху краката.

Получаваме формулата с 2 = а 2 +б 2, където с- хипотенуза, аи b- катети на правоъгълен триъгълник.

Питагоровата теорема може да се обобщи по следния начин:

Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.

От формулата с 2 = а 2 +б 2 можете да получите следните формули:

а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .

Тези формули могат да се използват за намиране неизвестна странаправоъгълен триъгълник с две от страните му.
Например:

а) ако са дадени крака а= 4 см, b\u003d 3 cm, тогава можете да намерите хипотенузата ( с):
с 2 = а 2 +б 2 , т.е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откъдето с= √25 =5 (cm);

б) ако е дадена хипотенузата с= 17 см и крак а= 8 см, тогава можете да намерите друг крак ( b):

b 2 = с 2 - а 2 , т.е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откъдето b= √225 = 15 (cm).

Последица: Ако в два правоъгълни триъгълника ABC и A 1 B 1 C 1 хипотенуза си с 1 са равни, а катетът bтриъгълник ABC е по-голям от катета b 1 триъгълник A 1 B 1 C 1,
след това крака атриъгълник ABC по-малко от катета а 1 триъгълник A 1 B 1 C 1 . (Направете чертеж, илюстриращ това следствие.)

Наистина, въз основа на Питагоровата теорема получаваме:

а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В написаните формули умалените са равни, а изваждаемото в първата формула е по-голямо от изважданото във втората формула, следователно първата разлика е по-малка от втората,
т.е. а 2 < а 12 . Където а< а 1 .

Упражнения.

1. Използвайки чертеж 270, докажете Питагоровата теорема за равнобедрен правоъгълен триъгълник.

2. Единият катет на правоъгълен триъгълник е 12 см, другият е 5 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 см, единият катет е 8 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

4. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 37 см, единият му катет е 35 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

5. Построете квадрат два пъти по-голям от дадения.

6. Построете квадрат, два пъти по-голям от дадения. Инструкция.Задръж даден квадратдиагонали. Квадратите, построени върху половините на тези диагонали, ще бъдат желаните.

7. Катетите на правоъгълен триъгълник са съответно 12 см и 15 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник с точност до 0,1 см.

8. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 20 см, единият му катет е 15 см. Изчислете дължината на другия катет с точност до 0,1 см.

9. Колко дълга трябва да бъде стълбата, за да може да се прикрепи към прозорец, разположен на височина 6 м, ако долният край на стълбата трябва да е на 2,5 м от сградата? (По дяволите. 271.)