Биномиално разпределение неговите свойства и числени характеристики. Свойства на биномното разпределение

Здравейте! Вече знаем какво е вероятностно разпределение. То може да бъде дискретно или непрекъснато и научихме, че се нарича разпределение на плътността на вероятностите. Сега нека проучим няколко по-често срещани дистрибуции. Да предположим, че имам монета и правилната монета, и ще я хвърля 5 пъти. Ще дефинирам и случайна променлива X, ще я обознача Главна буква X, то ще бъде равно на броя на "орлите" в 5 хвърляния. Може би имам 5 монети, ще ги хвърля наведнъж и ще преброя колко глави имам. Или можех да имам една монета, да я хвърля 5 пъти и да преброя колко пъти съм получил глави. Това всъщност няма значение. Но да кажем, че имам една монета и я хвърлям 5 пъти. Тогава няма да имаме несигурност. И така, ето моето определение случайна величина. Както знаем, случайната променлива е малко по-различна от обикновената променлива, тя е по-скоро като функция. Придава някаква стойност на експеримента. И тази случайна променлива е доста проста. Ние просто броим колко пъти „орелът“ е изпаднал след 5 хвърляния - това е нашата случайна променлива X. Нека помислим какви вероятности могат да бъдат различни стойностив нашия случай? И така, каква е вероятността X (главно X) да е 0? Тези. Каква е вероятността след 5 хвърляния никога да не излязат глави? Е, това всъщност е същото като вероятността да се получат някои "опашки" (точно така, малък преглед на теорията на вероятностите). Трябва да получите някои "опашки". Каква е вероятността за всяка от тези "опашки"? Това е 1/2. Тези. трябва да е 1/2 по 1/2, 1/2, 1/2 и отново 1/2. Тези. (1/2)⁵. 1⁵=1, разделете на 2⁵, т.е. на 32. Съвсем логично. И така... ще повторя малко това, през което минахме по отношение на теорията на вероятностите. Това е важно, за да разберем накъде се движим сега и как всъщност дискретно разпределение вероятности. И така, каква е вероятността да получим глави точно веднъж? Е, главите може да са се появили при първото хвърляне. Тези. може да бъде така: "орел", "опашки", "опашки", "опашки", "опашки". Или може да излязат глави при второто хвърляне. Тези. може да има такава комбинация: "опашки", "глави", "опашки", "опашки", "опашки" и т.н. Един "орел" може да падне след всяко от 5-те хвърляния. Каква е вероятността за всяка от тези ситуации? Вероятността да получите глави е 1/2. Тогава вероятността да се получат "опашки", равна на 1/2, се умножава по 1/2, по 1/2, по 1/2. Тези. вероятността за всяка от тези ситуации е 1/32. Както и вероятността от ситуация, при която X=0. Всъщност вероятността за някакъв специален ред на глави и опашки ще бъде 1/32. Така че вероятността за това е 1/32. И вероятността за това е 1/32. И такива ситуации се случват, защото "орелът" може да падне при всяко от 5-те хвърляния. Следователно вероятността да падне точно един „орел“ е равна на 5 * 1/32, т.е. 5/32. Съвсем логично. Сега започва интересното. Каква е вероятността... (ще напиша всеки от примерите в различен цвят)... каква е вероятността моята случайна променлива да е 2? Тези. Ще хвърля монета 5 пъти и каква е вероятността тя да падне точно с глави 2 пъти? Това е по-интересно, нали? Какви комбинации са възможни? Може да са глави, глави, опашки, опашки, опашки. Може също да бъде глави, опашки, глави, опашки, опашки. И ако мислите, че тези два „орела“ могат да стоят на различни места от комбинацията, тогава можете да се объркате малко. Вече не можете да мислите за разположенията по начина, по който направихме тук по-горе. Въпреки че ... можете, само рискувате да се объркате. Трябва да разбереш едно нещо. За всяка от тези комбинации вероятността е 1/32. ½*½*½*½*½. Тези. вероятността за всяка от тези комбинации е 1/32. И трябва да се замислим колко такива комбинации съществуват, които удовлетворяват нашето условие (2 "орела")? Тези. всъщност трябва да си представите, че има 5 хвърляния на монети и трябва да изберете 2 от тях, в които "орелът" пада. Нека се преструваме, че нашите 5 хвърляния са в кръг, също си представете, че имаме само два стола. И ние казваме: „Добре, кой от вас ще седне на тези столове за „орлите“? Тези. кой от вас ще бъде "орелът"? И не се интересуваме от реда, в който сядат. Давам такъв пример, надявайки се да ви стане по-ясен. И може да искате да гледате някои уроци по теория на вероятностите по тази тема, когато говоря за бинома на Нютон. Защото там ще се задълбоча във всичко това по-подробно. Но ако разсъждавате по този начин, ще разберете какво биномен коефициент. Защото, ако мислите така: Добре, имам 5 хвърляния, кое хвърляне ще доведе до първите глави? Ами ето 5 че , при което хвърляне в редица ще падне първият "орел". А колко възможности за втория "орел"? Е, първото хвърляне, което вече използвахме, отне един шанс за глави. Тези. една позиция на главата в комбинацията вече е заета от едно от хвърлянията. Сега остават 4 хвърляния, което означава, че вторият "орел" може да падне на едно от 4-те хвърляния. И го видя, точно тук. Избрах да имам глави при 1-вото хвърляне и предположих, че при 1 от 4-те оставащи хвърляния също трябва да излязат глави. Така че тук има само 4 възможности. Всичко, което казвам е, че за първата глава имате 5 различни позиции, на които може да кацне. А за втория остават само 4 позиции. Помисли за това. Когато изчисляваме така, редът се взема предвид. Но за нас сега няма значение в какъв ред падат „главите“ и „опашките“. Ние не казваме, че е „орел 1“ или че е „орел 2“. И в двата случая е просто "орел". Можем да предположим, че това е глава 1, а това е глава 2. А може и обратното: може да е вторият „орел“, а това да е „първият“. И казвам това, защото е важно да разберете къде да използвате разположения и къде да използвате комбинации. Ние не се интересуваме от последователност. Така че всъщност има само 2 начина на произход на нашето събитие. Нека разделим това на 2. И както ще видите по-късно, това е 2! начини на възникване на нашето събитие. Ако имаше 3 глави, тогава щеше да има 3! и ще ви покажа защо. Това би било... 5*4=20 делено на 2 е 10. Така че има 10 различни комбинации от 32, където определено ще имате 2 глави. И така, 10*(1/32) е равно на 10/32, на какво е равно това? 5/16. Ще пиша чрез биномния коефициент. Това е стойността точно тук отгоре. Ако се замислите, това е същото като 5!, разделено на ... Какво означава това 5 * 4? 5! е 5*4*3*2*1. Тези. ако тук ми трябва само 5 * 4, тогава за това мога да разделя 5! за 3! Това е равно на 5*4*3*2*1 делено на 3*2*1. И остава само 5 * 4. Така че е същото като този числител. И тогава, защото ние не се интересуваме от последователността, тук ни трябват 2. Всъщност 2!. Умножете по 1/32. Това ще бъде вероятността да ударим точно 2 глави. Каква е вероятността да получим глави точно 3 пъти? Тези. вероятността x=3. Така че, по същата логика, първото появяване на глави може да се случи при 1 от 5 обръщания. Второто появяване на глави може да се случи при 1 от 4-те оставащи хвърляния. И трето появяване на глави може да се случи при 1 от 3-те оставащи хвърляния. Колко съществуват различни начиниорганизирам 3 хвърляния? Изобщо колко начина има да се подредят 3 предмета на местата им? 3 е! И можете да го разберете или може да искате да прегледате уроците, където го обясних по-подробно. Но ако вземете буквите A, B и C, например, тогава има 6 начина, по които можете да ги подредите. Можете да мислите за това като заглавия. Тук може да бъде ACB, CAB. Може да е BAC, BCA и… какво последен варианткоето не назовах? CBA. Има 6 начина за подреждане на 3 различни елемента. Делим на 6, защото не искаме да преброяваме тези 6 различни начинизащото ги третираме като еквивалентни. Тук не се интересуваме какъв брой хвърляния ще доведат до глави. 5*4*3… Това може да се пренапише като 5!/2!. И го разделете на още 3!. Това е той. 3! е равно на 3*2*1. Тройките се свиват. Това става 2. Това става 1. Още веднъж, 5*2, т.е. е 10. Всяка ситуация има вероятност от 1/32, така че това отново е 5/16. И е интересно. Вероятността да получите 3 глави е вероятността отче имаш 2 орела. А причината за това... Е, причините да се случи са много. Но ако се замислите, вероятността да получите 3 глави е същата като вероятността да получите 2 опашки. И вероятността да получиш 3 опашки трябва да е същата като вероятността да получиш 2 опашки. И е добре, че ценностите работят така. Глоба. Каква е вероятността X=4? Можем да използваме същата формула, която използвахме преди. Може да е 5*4*3*2. И така, тук пишем 5 * 4 * 3 * 2 ... Колко различни начина има за подреждане на 4 обекта? 4 е!. 4! - това всъщност е тази част, точно тук. Това е 4*3*2*1. И така, това се анулира, оставяйки 5. Тогава всяка комбинация има вероятност от 1/32. Тези. това е равно на 5/32. Отново имайте предвид, че вероятността да получите глави 4 пъти е равна на вероятността глави да се появят 1 път. И това има смисъл, защото. 4 глави е същото като 1 опашка. Ще кажете: добре, и при какво подмятане ще изпаднат тези „опашки“? Да, има 5 различни комбинации за това. И всеки от тях има вероятност от 1/32. И накрая, каква е вероятността X=5? Тези. хедс ъп 5 пъти подред. Трябва да бъде така: "орел", "орел", "орел", "орел", "орел". Всяка от главите има вероятност от 1/2. Умножаваш ги и получаваш 1/32. Можете да отидете в другата посока. Ако има 32 начина, по които можете да получите глави и опашки в тези експерименти, то това е само един от тях. Тук имаше 5 от 32 такива начина. Тук - 10 от 32. Въпреки това сме извършили изчисленията и сега сме готови да начертаем разпределението на вероятностите. Но времето ми изтече. Нека продължа в следващия урок. И ако сте в настроение, тогава може би рисувайте, преди да гледате следващия урок? Ще се видим скоро!

Глава 7

Специфични закони на разпределение на случайни величини

Видове закони на разпределение на дискретни случайни величини

Нека дискретна случайна променлива приема стойностите х 1 , х 2 , …, x n, … . Вероятностите на тези стойности могат да бъдат изчислени с помощта на различни формули, например с помощта на основните теореми на теорията на вероятностите, формулата на Бернули или някои други формули. За някои от тези формули законът за разпределение има собствено име.

Най-често срещаните закони на разпределение на дискретна случайна променлива са биномен, геометричен, хипергеометричен, закон на разпределение на Поасон.

Биномен закон на разпределение

Нека се произвежда ннезависими изпитания, във всяко от които дадено събитие може или не може да се случи А. Вероятността за настъпване на това събитие във всеки отделен опит е постоянна, не зависи от номера на опита и е равна на Р=Р(А). Оттук и вероятността събитието да не се случи Авъв всеки тест също е постоянна и равна на р=1–Р. Помислете за случайна променлива хравен на броя повторения на събитието А V нтестове. Очевидно е, че стойностите на това количество са равни на

х 1 =0 - събитие А V нтестове не се появиха;

х 2 =1 – събитие А V нопити се появиха веднъж;

х 3 =2 - събитие А V низпитания се появиха два пъти;

…………………………………………………………..

x n +1 = н- събитие А V нтестове се появи всичко нведнъж.

Вероятностите на тези стойности могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Бернули (4.1):

Където Да се=0, 1, 2, …,н .

Биномен закон на разпределение х, равно на числотоуспех в нИзпитания на Бернули, с вероятност за успех Р.

И така, дискретна случайна променлива има биномиално разпределение (или се разпределя според биномиалния закон), ако нейните възможни стойности са 0, 1, 2, …, н, а съответните вероятности се изчисляват по формула (7.1).

Биномиално разпределениезависи от две параметри РИ н.

Серията на разпределение на случайна променлива, разпределена според биномиалния закон, има формата:

х			…	к	…	н
Р			…		…

Пример 7.1 . Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,4. Случайна стойност х- броят на попаденията в целта. Конструирайте неговите разпределителни серии.

Решение. Възможни стойности на случайна променлива хса х 1 =0; х 2 =1; х 3 =2; х 4=3. Намерете съответните вероятности, като използвате формулата на Бернули. Лесно е да се покаже, че прилагането на тази формула тук е напълно оправдано. Имайте предвид, че вероятността да не уцелите целта с един изстрел ще бъде равна на 1-0,4=0,6. Вземете

Серията за разпространение има следващ изглед:

х
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Лесно се проверява, че сумата от всички вероятности е равна на 1. Самата случайна променлива хразпределени по биномния закон. ■

Да намерим очаквана стойности дисперсията на случайна променлива, разпределена според биномния закон.

При решаването на пример 6.5 беше показано, че математическото очакване на броя на събитията на събитие А V н независими тестовеако вероятността за възникване Авъв всеки тест е постоянен и равен Р, равно на н· Р

В този пример е използвана случайна променлива, разпределена според биномния закон. Следователно решението на пример 6.5 всъщност е доказателство на следната теорема.

Теорема 7.1.Математическото очакване на дискретна случайна променлива, разпределена според биномиалния закон, е равно на произведението от броя опити и вероятността за "успех", т.е. М(х)=н· Р.

Теорема 7.2.Дисперсията на дискретна случайна променлива, разпределена според биномиалния закон, е равна на произведението на броя опити с вероятността за "успех" и вероятността за "неуспех", т.е. д(х)=npq.

Асимметрията и ексцесът на случайна променлива, разпределени съгласно биномиалния закон, се определят от формулите

Тези формули могат да бъдат получени с помощта на концепцията за начален и централен момент.

Законът за биномно разпределение е в основата на много реални ситуации. При големи стойности нбиномното разпределение може да бъде апроксимирано чрез други разпределения, по-специално разпределението на Поасон.

Поасоново разпределение

Нека има нОпитите на Бернули, с броя на опитите ндостатъчно голям. По-рано беше показано, че в този случай (ако освен това вероятността Рсъбития Амного малка), за да намерите вероятността дадено събитие Ада се появи Tведнъж в тестовете можете да използвате формулата на Поасон (4.9). Ако случайната променлива хозначава броя на повторенията на събитието А V нОпитите на Бернули, тогава вероятността, че хще придобие смисъла кможе да се изчисли по формулата

, (7.2)

Където λ = бр.

Закон за разпределение на Поасонсе нарича разпределение на дискретна случайна променлива х, за които възможните стойности са цели неотрицателни числа, и вероятностите p tтези стойности се намират по формула (7.2).

Стойност λ = брНаречен параметърПоасоново разпределение.

Случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, може да приеме безкрайно множествостойности. Тъй като за това разпределение вероятността Рпоявата на събитие във всеки опит е малка, тогава това разпределение понякога се нарича закон на редките явления.

Серията на разпределение на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, има формата

х					…	T	…
Р					…		…

Лесно е да се провери, че сумата от вероятностите на втория ред е равна на 1. За да направим това, трябва да запомним, че функцията може да бъде разширена в серия на Маклорен, която се събира за всеки х. IN този случайние имаме

. (7.3)

Както беше отбелязано, законът на Поасон в някои ограничаващи случаи замества биномния закон. Пример за това е случайна променлива х, чиито стойности са равни на броя на повреди за определен период от време при многократно използване на техническо средство. Предполага се, че това устройство е с висока надеждност, т.е. вероятността от неуспех в едно приложение е много малка.

Освен такива ограничаващи случаи на практика има случайни величини, разпределени по закона на Поасон, несвързани с биномното разпределение. Например, разпределението на Поасон често се използва, когато се работи с броя на събитията, които се случват за период от време (броя на обажданията до телефонната централа за един час, броя на колите, пристигнали на автомивката през деня, броя на спиранията на машината на седмица и т.н.). Всички тези събития трябва да образуват така наречения поток от събития, който е една от основните концепции на теорията опашка. Параметър λ характеризира средната интензивност на потока от събития.

Разбира се, когато се изчислява функцията на кумулативното разпределение, трябва да се използва споменатата връзка между биномното и бета разпределението. Този метод със сигурност е по-добър от директното сумиране, когато n > 10.

В класическите учебници по статистика, за да се получат стойностите на биномното разпределение, често се препоръчва използването на формули, базирани на гранични теореми (като формулата на Moivre-Laplace). трябва да бъде отбелязано че от чисто изчислителна гледна точкастойността на тези теореми е близка до нула, особено сега, когато на почти всяка маса има мощен компютър. Основният недостатък на горните приближения е тяхната напълно недостатъчна точност за стойностите на n, характерни за повечето приложения. Не по-малък недостатък е липсата на ясни препоръки относно приложимостта на едно или друго приближение (в стандартните текстове са дадени само асимптотични формулировки, те не са придружени от оценки на точността и следователно са малко полезни). Бих казал, че и двете формули са валидни само за n< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Тук не разглеждам проблема с намирането на квантили: за дискретни разпределения той е тривиален и в онези проблеми, при които възникват такива разпределения, той като правило не е от значение. Ако все още са необходими квантили, препоръчвам да преформулирате проблема по такъв начин, че да работите с p-стойности (наблюдавани значимости). Ето един пример: когато се прилагат някои алгоритми за изброяване, на всяка стъпка се изисква проверка статистическа хипотезаза биномна случайна променлива. Според класически подходна всяка стъпка е необходимо да се изчисли критериалната статистика и да се сравни нейната стойност с границата на критичния набор. Тъй като обаче алгоритъмът е изброителен, е необходимо всеки път да се определя границата на критичния набор (в края на краищата размерът на извадката се променя от стъпка на стъпка), което непродуктивно увеличава разходите за време. Модерен подходпрепоръчва да се изчисли наблюдаваната значимост и да се сравни с ниво на увереност, спестявайки търсенето на квантили.

Следователно следните кодове не изчисляват обратната функция, вместо това е дадена функцията rev_binomialDF, която изчислява вероятността p за успех в едно изпитание при даден брой n опити, брой m успехи в тях и стойността y от вероятността за постигане на тези m успеха. Това използва гореспоменатата връзка между биномното и бета разпределението.

Всъщност тази функция ви позволява да получите границите на доверителните интервали. Наистина, да предположим, че имаме m успеха в n биномни изпитания. Както знаете, лявата граница е двустранна доверителен интервалза параметър p с ниво на достоверност е 0, ако m = 0, и за е решението на уравнението . По същия начин, дясната граница е 1, ако m = n, и за е решение на уравнението . Това означава, че за да намерим лявата граница, трябва да решим уравнението , и да търсим правилното - уравнението . Те се решават във функциите binom_leftCI и binom_rightCI, които връщат съответно горната и долната граница на двустранния доверителен интервал.

Искам да отбележа, че ако не е необходима абсолютно невероятна точност, тогава за достатъчно голямо n можете да използвате следното приближение [B.L. Ван дер Варден, Математическа статистика. M: IL, 1960, гл. 2, сек. 7]: , където g е квантилът нормална дистрибуция. Стойността на това приближение е, че има много прости приближения, които ви позволяват да изчислите квантилите на нормалното разпределение (вижте текста за изчисляване на нормалното разпределение и съответния раздел на този справочник). В моята практика (основно за n > 100) това приближение даде около 3-4 цифри, което като правило е напълно достатъчно.

Изчисленията със следните кодове изискват файловете betaDF.h, betaDF.cpp (вижте раздела за бета разпространение), както и logGamma.h, logGamma.cpp (вижте приложение A). Можете също да видите пример за използване на функции.

binomialDF.h файл

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" двоен биномDF(двойни опити, двойни успехи, двойно p); /* * Нека има "изпитания" на независими наблюдения * с вероятност "p" за успех във всяко. * Изчислете вероятността B(successes|trials,p), че броят * на успехите е между 0 и "successes" (включително). */ double rev_binomialDF(двойни опити, двойни успехи, двойно y); /* * Нека вероятността y за най-малко m успеха * е известна в опитите на схемата на Бернули. Функцията намира вероятността p * за успех в едно изпитание. * * При изчисленията се използва следната връзка * * 1 - p = rev_Beta(проби-успехи| успехи+1, y). */ double binom_leftCI(двойни опити, двойни успехи, двойно ниво); /* Нека има "изпитания" на независими наблюдения * с вероятност "p" за успех във всяко * и броят на успехите е "успехи". * Лявата граница на двустранния доверителен интервал * се изчислява с нивото на значимост. */ double binom_rightCI(double n, двойни успехи, двойно ниво); /* Нека има "изпитания" на независими наблюдения * с вероятност "p" за успех във всяко * и броят на успехите е "успехи". * Дясната граница на двустранния доверителен интервал * се изчислява с нивото на значимост. */ #endif /* Завършва #ifndef __BINOMIAL_H__ */

файл binomialDF.cpp

/**************************************************** **** **********/ /* Биномно разпределение */ /**************************** **** ***************************/ #включи #включи #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * Нека има "n" независими наблюдения * с вероятност "p" за успех във всяко. * Изчислете вероятността B(m|n,p), че броят на успехите е * между 0 и "m" (включително), т.е. * сума от биномни вероятности от 0 до m: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * Изчисленията не предполагат глупаво сумиране - * се използва следната връзка с централното бета разпределение: * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1). * * Аргументите трябва да са положителни, с 0<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (p<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) връщане 1; иначе връща BetaDF(n-m, m+1).value(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * Нека вероятността y за поне m успеха * е известна в n опита на схемата на Бернули. Функцията намира вероятността p * за успех в едно изпитание. * * При изчисленията се използва следната връзка * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1). */ ( assert((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0,5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0,5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

Вероятностни разпределения на дискретни случайни променливи. Биномиално разпределение. Поасоново разпределение. Геометрично разпределение. генерираща функция.

6. Вероятностни разпределения на дискретни случайни променливи

6.1. Биномиално разпределение

Нека се произвежда ннезависими изпитания, във всяко от които събитие Аможе или не може да се появи. Вероятност стрнастъпване на събитие Авъв всички тестове е постоянен и не се променя от тест на тест. Разгледайте като случайна променлива X броя на случванията на събитието Ав тези тестове. Формула за намиране на вероятността за възникване на събитие Агладка кведнъж нтестове, както е известно, е описано Формула на Бернули

Разпределението на вероятностите, определено от формулата на Бернули, се нарича бином .

Този закон се нарича "бином", защото дясната страна може да се разглежда като общ термин в разширяването на бинома на Нютон

Записваме биномния закон под формата на таблица

	стр н	np н –1 р				р н

Нека намерим числените характеристики на това разпределение.

По дефиницията на математическото очакване за DSW имаме

.

Нека запишем равенството, което е Нютонов бин

.

и го разграничете по отношение на p. В резултат на това получаваме

.

Умножете левия и правилната странаНа стр:

.

Като се има предвид това стр+ р=1, имаме

(6.2)

Така, математическо очакване на броя на събитията вннезависими опити е равен на произведението от броя на опититенна вероятносттастрнастъпване на събитие във всеки опит.

Изчисляваме дисперсията по формулата

.

За това намираме

.

Първо, диференцираме биномната формула на Нютон два пъти по отношение на стр:

и умножете двете страни на уравнението по стр 2:

следователно

Така че дисперсията на биномното разпределение е

. (6.3)

Тези резултати могат да бъдат получени и чрез чисто качествено разсъждение. Общите X повторения на събитие А във всички опити се добавят към броя на появяванията на събитието в отделните опити. Следователно, ако X 1 е броят на появяванията на събитието в първия опит, X 2 във втория и т.н., тогава общ бройпоявата на събитие А във всички опити е равно на X=X 1 +X 2 +…+X н. Според свойството на математическото очакване:

Всеки от членовете от дясната страна на равенството е математическото очакване на броя на събитията в един тест, което е равно на вероятността на събитието. По този начин,

Според свойството на дисперсия:

Тъй като , и математическото очакване на случайна променлива , което може да приема само две стойности, а именно 1 2 с вероятност стри 0 2 с вероятност р, Че
. По този начин,
В резултат на това получаваме

Използвайки концепцията за начален и централен момент, можете да получите формули за изкривяване и ексцес:

. (6.4)

Ориз. 6.1

Многоъгълникът на биномното разпределение има следната форма (виж фиг. 6.1). Вероятност П н (к) първо нараства с увеличаване к, достига най-голямата стойности след това започва да намалява. Биномиалното разпределение е изкривено с изключение на случая стр=0,5. Имайте предвид, че когато големи числатестове нбиномното разпределение е много близко до нормалното. (Обосновката за това предложение е свързана с местната теорема на Moivre-Laplace.)

Номерм 0 настъпване на събитие се наричанай-вероятно , ако вероятността събитието да се случи определен брой пъти в тази поредица от опити е най-голямата (максимум в полигона на разпределение). За биномно разпределение

Коментирайте. Това неравенство може да се докаже с помощта на повтаряща се формулаза биномни вероятности:

(6.6)

Пример 6.1.Делът на първокласните продукти в това предприятие е 31%. Каква е средната стойност и дисперсията, също и най-вероятният брой първокласни артикули в произволно избрана партида от 75 артикула?

Решение. Тъй като стр=0,31, р=0,69, н=75, тогава

М[ х] = np= 750,31 = 23,25; Д[ х] = npq = 750,310,69 = 16,04.

За да намерите най-вероятното число м 0 , съставяме двойно неравенство

Оттук следва, че м 0 = 23.